Curso de Engenharia - UNIVESP Disciplina Matemática - Bimestre 1. Exercícios da semana 1 - vídeo aulas 1 e 2

Transcrição

1 Curso de Engenharia - UNIVESP Disciplina Matemática - Bimestre 1 Exercícios da semana 1 - vídeo aulas 1 e 2 RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO) Caro aluno, Nesta semana, a sua avaliação para as Aulas 1 e 2 será composta por duas entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir: A) Para avaliação das aulas 1 e 2 da Semana 1 da disciplina, escreva um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel da Matemática na compreensão da realidade. Publique sua resposta no Portfólio da disciplina. B) Os exercícios das aulas 1 e 2, foram formuladas a partir de pequenos textos (Texto A, Texto B, Texto C etc.). Para avaliação das aulas 1 e 2, escolha pelo menos UM (1) Texto (A, B, C etc.) e resolva os exercícios relacionados ao texto. As respostas devem ser enviadas pelo Portfólio da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e aprofunde, até onde for possível, os outros textos e seus exercícios. Lembre-se - você também deverá entregar alguns exercícios referentes às video aulas 3 e 4 que podem ser acessados na Organização Didática da semana 1 disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso. ***** Exercícios das vídeo aulas 1 e 2 Matemática Texto A Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras representando valores desconhecidos ou incógnitas, podem transformar perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática. Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem em outra, sugeridos a seguir. 1

2 1. Usando letras para representar números, represente na linguagem a: a) A soma de dois números é 17. Resposta: a + b = 17 b) Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu triplo, dá igual a 10. Resposta: a² + 3a = 10 c) A soma de três números naturais consecutivos é igual a 20. Resposta: a + (a + 1) + (a + 2) = 20, sendo que a N. d) A soma dos quadrados de três números é menor do que 37. Resposta: a² + b² + c² < 37 e) A média aritmética de dois números é menor ou igual a sua média geométrica. Resposta: (a +b) / 2. f) Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Resposta: a² + b² = c² (Teorema de Pitágoras) 2. As sentenças a seguir representam perguntas. Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo incógnitas: a) Qual o número que multiplicado por 7 é igual a 91? Resposta: x * 7 = 91 ou 7x = 91 b) Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma é igual a 27 Resposta: a + (a + 1) = 27, sendo que a I. c) Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado com 15 resulte em 140. Resposta: a³ + 15 = 140 d) Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do que 2. Resposta: a + 1/a > 2, sendo que a Traduza cada sentença como um sistema de equações: a) Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja 14. Resposta: a + b = 15, sendo que a * b = 14 b) Determinar um número que somado a 3 será maior do que sete, e que, multiplicado por 4, dá menos que 32 Resposta: a + 3 > 7, sendo que a * 4 < 32. c) Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que multiplicado por 7 é menor que 42 Resposta: a³ > 36, sendo que a * 7 < 42. 2

3 4. Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças matemáticas: a) x 3 = 21 Resposta: Determine o número que, ao ter três unidades retiradas, ao ser subtraído em 3 unidades, terá como valor obtido o numeral 21. b) 3x = 45 Resposta: Determine o número que, ao ser multiplicado por três, terá como valor obtido o numeral 45. c) x 2 < 4 Resposta: Determine o número que, ao ser elevado ao quadrado, terá como valor obtido um numeral inferior a 4. d) x 2 + 5x 15 = 0 Resposta: Determine o número que, ao ser elevado ao quadrado, depois, a este resultado soma-se este mesmo número 5 vezes e subtraem-se, na sequência, 15 unidades, terá como valor obtido o numeral Zero. TEXTO B Uma proposição (sentença verdadeira ou falsa) isolada não caracteriza um argumento. Nem uma simples coleção de proposições é um argumento. Argumentar é justificar a verdade de uma proposição (que é a conclusão do argumento) como consequência lógica da verdade outras proposições (que são as premissas do argumento). A estrutura geral de um argumento é se p é verdade, então q também será, em que p representa uma ou mais proposições. Um argumento sempre apresenta uma proposição que é a conclusão, e uma ou mais premissas que a justificam. 5. Em cada texto abaixo, indique se se trata ou não de um argumento: a) Acho que vai chover. Resposta: Não, não é um argumento. b) Amanhã deverá fazer sol, porque o serviço de meteorologia previu muita chuva, e ele tem errado em suas previsões. Resposta: Sim, é um argumento. c) Joaquim é português e é dono da maior padaria do bairro, que produz pães por dia. Resposta: Sim, é um argumento. d) Joaquim não é português, pois ele nasceu no Brasil, e quem nasce no Brasil é brasileiro. Resposta: Sim, é um argumento. e) Penso muito na vida. Resposta: Não, não é um argumento. 3

4 TEXTO C f) Penso, logo, existo. Resposta: Não, não é um argumento. 6. Em cada argumento abaixo, indique qual é a conclusão e quais são as premissas: a) É lógico que o time C é o melhor do atual campeonato, pois ele tem o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número de vitórias. Resposta: Neste argumento, a conclusão é de que o time C é o melhor do atual campeonato. Esta conclusão se baseia nas premissas que, neste caso, são os fatos de que o time possui o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número de vitórias. b) Três séculos de pesquisas mostraram-nos que nenhum megalozoário é carcomênico. Deste fato, podemos concluir que os infimozoários não são carcomênicos, uma vez que todo infimozoário é megalozoário. Resposta: Neste argumento, a conclusão é de que nenhum megalozoário é carcomênico. Esta conclusão se baseia nas premissas que, neste caso, são os fatos de que os infimozoários não são carcômenicos e, consequentemente, que um infimozoário é um megalozoário. c) O café não é um produto importado; portanto, não deveria ser caro, uma vez que todos os produtos importados é que são caros. Resposta: Neste argumento, a conclusão é de que o café não é um produto importado. Esta conclusão se baseia nas premissas que, neste caso, são os fatos de que o café não deveria ser caro e que todos os produtos importados são caros. Uma proposição é verdadeira ou falsa; um argumento, no entanto, não é verdadeiro ou falso, mas sim válido ou não válido, ou seja, consistente ou não consistente. Um argumento é válido quando a verdade da conclusão decorre inevitavelmente da verdade das premissas; se for possível ter as premissas simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento não é válido. Representando as proposições por meio de conjuntos no plano podemos analisar a validade de argumentos. Por exemplo, a sentença Todos os pernambucanos são brasileiros pode ser representada por um conjunto P (de pernambucanos) contido em outro 4

5 conjunto B (de brasileiros). Analogamente, a frase Nenhum alemão é francês poderia ser representada por dois conjuntos A (alemães) e F (franceses) disjuntos. Em cada argumento abaixo, represente as proposições por conjuntos e, por inspeção direta, analise se cada um dos argumentos é válido ou não: 7. Todos os alemães são europeus / Nietzsche era alemão. Logo, Nietzsche era europeu. Resposta: Nietzsche É cidadão alemão que por sua vez o coloca na condição de cidadão europeu. O ARGUMENTO É VÁLIDO. 8. Todos os alemães são europeus / O príncipe Charles não é alemão. Logo, o príncipe Charles não é europeu. Resposta: Charles NÃO é cidadão alemão, ainda sim, por ser inglês, logo, bretão, e pela Bretanha fazer parte da Europa o coloca na condição de cidadão europeu. O ARGUMENTO NÃO É VÁLIDO. 5

6 9. Todos os apinagés são índios / Não existem índios carecas. Logo, não existem apinagés carecas. Resposta: Se NÃO existem índios carecas e TODOS os apinagés SÃO índios, logo NÃO há apinagé careca. O ARGUMENTO É VÁLIDO. 10. Nenhum mamífero é ave / Nenhuma ave tem quatro patas. Logo, nenhum mamífero tem quatro patas. TEXTO D Resposta: Realmente, nenhum mamífero é uma ave, e nenhuma ave possui quatro patas. Contudo, muitos mamíferos possuem quatro patas. O ARGUMENTO NÃO É VÁLIDO. Em Matemática, demonstrar uma proposição é apresentá-la como consequência necessária de outras, já conhecidas. Como a estrutura básica de uma demonstração é se p é verdade, então q também deverá ser, precisamos conhecer a verdade de algumas proposições iniciais para começar a demonstrar outras proposições a partir delas. Quando se formula uma teoria, as verdades iniciais são os postulados, sempre em número pequeno, e os teoremas são proposições que devem ser demonstradas a partir dos 6

7 postulados, ou de outros teoremas já demonstrados. Um exercício interessante é demonstrar uma proposição admitindo outras como verdadeiras, ou por já haverem sido demonstradas, ou porque nos parecem evidentes. Naturalmente, quanto mais desenvolvemos o pensamento crítico, mais procuramos demonstrações para proposições que anteriormente considerávamos evidentes Admita que já foi demonstrado o seguinte teorema: Em um triângulo, unindo-se os pontos médios de dois lados, obtémse um segmento de reta que é paralelo ao terceiro lado. Demonstrar que, por mais irregular que seja um quadrilátero, unindose os pontos médios dos quatro lados obtém-se um paralelogramo. 7

8 Em palavras, fazendo referência à figura, onde ABCD é um quadrilátero qualquer e MNPQ é quadrilátero que tem como vértices os pontos médios dos lados de ABCD, trata-se de demonstrar que MNPQ é um paralelogramo, ou seja, que MN é paralelo a QP e que MQ é paralelo a NP. 12. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, demonstre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é igual a (n 2).180º. TEXTO E Procure o livro A DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA, de A. I. Fetissov, (São Paulo: Atual Editora, 1994, 74p.) Leia com atenção e faça um resumo da segunda parte do livro (p. 15 a 22). Estabeleça relações com o que foi tratado nas aulas I1 e I2. 8