REGRAS GERAIS DE GEOMETRIA DESCRITIVAII 2010

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1 1 Isabel coelho 20. SECÇÕES PLANAS 20.1 Secções planas em poliedros Secções planas produzidas por planos paralelos aos planos das bases A figura da secção será paralela à figura da base. Identificar os pontos de intersecção do plano secante com as arestas e desenhar a secção. Pirâmide com base horizontal seccionada por plano horizontal Pirâmide com base de frente e algumas arestas de perfil seccionada por plano de frente Prisma com base de frente seccionada por plano de frente Prisma com base de perfil seccionada por plano de perfil Secções planas produzidas por planos não paralelos aos planos das bases A figura da secção não será paralela à figura da base. Identificar os pontos de intersecção do plano secante com as arestas e desenhar a secção. Pirâmide com base horizontal seccionada por plano de topo Prisma com bases contidas em plano de topo seccionado por plano vertical Secções planas produzidas por planos não projectantes Entre os diversos processos destacam-se os seguintes processos: Recurso a mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante num plano projectante, Recurso à determinação dos pontos de intersecção de cada aresta secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos), Recurso a método misto, em que se conjugam o recurso à determinação dos pontos de intersecção das arestas do sólido com o plano secante (método geral da intersecção de rectas com planos) e à determinação das rectas de intercepção do plano secante com os planos que contêm as faces do sólido. Pirâmide seccionada por plano oblíquo Prisma seccionado por plano de rampa Pontos problemáticos na determinação duma secção plana Pirâmide com arestas de perfil seccionada por um plano de topo (como achar os pontos da secção nas arestas de perfil?) Estes pontos problemáticos podem ser determinados com recurso a processos diferentes: Com recurso ao rebatimento do plano de perfil que passa por essas arestas, Recurso a um plano que passe por esses pontos e que seja paralelo ao plano da base 20.2 Secções planas em cones Planos secantes contendo o vértice da superfície Resultam sempre secções triangulares.

2 2 Isabel coelho Planos secantes não contendo o vértice da superfície A secção é uma parábola se o plano secante for paralelo a uma geratriz, A secção é uma hipérbole se o plano secante for paralelo a duas geratrizes, A secção é uma elipse se o plano secante não for paralelo a nenhuma geratriz nem à base,, neste último caso se cortar a base, então a secção será um segmento de elipse. Processo para a identificação do tipo de secção produzida num cone Conduzir, pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante, Determinar a recta de intersecção desse plano com o plano da base, Analisar a posição da recta i em relação à base: Se i for exterior à base a secção é uma elipse, Se i for tangente à base a secção é uma parábola,m Se i for secante à base a secção é uma hipérbole (ou parte dum hipérbole) Determinação de secções planas produzidas em cones Secções planas produzidas por planos projectantes a) Se a secção dum cone de revolução for uma circunferência basta encontrar o centro da base, O, um ponto de intersecção do plano secante com uma geratriz, P, e desenhar a circunferência com centro em O e raio OP, b) Se a secção dum cone oblíquo for uma circunferência temos de encontrar o centro da base, O, desenhar o eixo do cone OV, desenhar uma geratriz, identificar onde é que o plano secante intersecta OV, V`, e onde intersecta a geratriz, P, desenhar a circunferência com centro em O`e raio O`P. c) Se a secção dum cone oblíquo for um triângulo temos de encontrar os dois pontos que o plano secante intersecta a base, A e B, desenhar o triângulo AVB. d) Se a secção dum cone de revolução for uma elipse d.1) Método das geratrizes Desenhar muitas geratrizes e identificar os pontos de intersecção com o plano secante, ligálas e desenhar a elipse. d.2) Método dos plano paralelos à base Conduzir planos auxiliares paralelos à base,

3 3 Isabel coelho Determinar as secções produzidas por esses planos, que serão circunferências, Determinar a recta i de intersecção entre o plano secante e cada um dos planos auxiliares, Os pontos de intersecção dessas rectas i com cada circunferência respectiva, serão os dois pontos da secção pretendida. e) Se a secção dum cone irregular for uma parábola Começa-se por descobrir os pontos onde o plano secante corta a base; A e B, e corta a geratriz do contorno aparente, C, Depois adopta-se o método dos planos paralelos e descobrem-se diversos pontos a parábola. f) Se a secção dum cone de revolução for uma hipérbole Começa-se por descobrir os pontos onde o plano secante corta a base; A e B, e corta a geratriz do contorno aparente, C, Depois adopta-se o método dos planos paralelos e descobrem-se diversos pontos a parábola Secções planas produzidas por planos não projectantes (cone assente no PHP) A) Identificar o tipo de secção que o plano oblíquo faz no cone, A.1) Conduzir pelo vértice um plano paralelo ao plano secante, A.2) Descobrir a recta de intersecção com o plano da base, i, A.3) Se i for exterior à base a figura da secção será uma elipse, B) Descobrir se o plano secante corta a base do cone, caso não corte; C) Descobrir os pontos onde o plano secante corta as geratrizes do contorno aparente, A e B, (pelas geratrizes passar um plano auxiliar, intersectá-lo com o plano secante, recta i, e depois intersectar i com as geratrizes), D) Descobrir os pontos de menor e maior cota; D.1) se o cone estiver assente num plano de nível, por V passar uma recta de nível paralela ao traço horizontal do plano secante, D.2) descobrir o seu traço frontal, F, D.3) desenhar os dois planos tangentes ao cone, através D.3.1) dos traços horizontais que são paralelos ao traço horizontal do plano secante e tangentes à base e D.3.2) dos traços frontais que partem dos pontos onde os traços horizontais encontram o eixo do X e vão passar em F,

4 4 Isabel coelho D.4) desenhar as duas geratrizes correspondentes que partem dos pontos de tangencia dos traços horizontais, g e g`, D.5) a partir dos pontos de intersecção dos traços frontais, descobrir as duas rectas de nível de intersecção entre os planos tangentes e o plano secante, i e i`, D.6) descobrir os pontos de intersecção entre g e i e g`e i`. E) Descobrir os pontos de menor e maior afastamento; E.1) se o cone estiver assente num plano de nível, por V passar uma recta de frente paralela ao traço frontal do plano secante, E.2) descobrir o seu traço horizontal, H, E.3) por H desenhar os traços horizontais tangentes à base, que fazem parte dos planos tangentes ao cone, E.4) pelos pontos de tangencia, desenhar as duas geratrizes correspondentes, g e g`, e) descobrir os pontos de intersecção entre os traços dos dois planos tangentes e o plano oblíquo, E.5) por esses pontos desenhar as duas rectas de frente de intersecção entre os planos tangentes e o plano secante, i e i`, E.6) descobrir os pontos de intersecção entre g e i e g`e i`. F) Identificar o tipo de secção que o plano de rampa faz no cone, F.1) Conduzir pelo vértice uma recta s` paralela a uma recta s oblíqua do plano secante (de rampa), esta recta pertence a um plano de rampa que passa pelo vértice, F.2) Identificar o ponto I de intersecção entre a recta s` e o plano de nível da base e por ele passar a recta fronto-horizontal que será a recta i de intersecção entre o plano de rampa secante e o plano da base, F.3) Se i não intersectar a base, a figura da secção será uma elipse ou parte de elipse, G) Descobrir se o plano secante corta a base do cone; G.1) aproveitar a recta s, do plano secante de rampa, G.2) achar o ponto I`da interscção com o plano da base e por aí passar uma recta m fronto-horizontal (será a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base do cone), G.3) identificar os pontos de intersecção entre a base e o plano secante.

5 5 Isabel coelho H) Identificar onde o plano secante corta as geratrizes do contorno aparente, H.1) recorrer a planos de topo que passem pelas geratrizes, intersectá-los com o plano de rampa; as rectas que resultam intersectarão as geratrizes nos pontos pretendidos. I) Determinar os pontos de maior e menor cota, I.1) desenhar os planos tangentes ao cone, I.2) desenhar as rectas t e t` fronto horizontais tangentes à base, I.3) desenhar a recta fronto-horizontal que passa por V, recta i, I.4) desenhar as geratrizes g e g`que partem dos pontos de tangencia, I.5) pela recta s do plano de rampa passamos um plano vertical auxiliar, I.6) descobrimos os pontos de intersecção desse plano com a a recta t, ponto T, com a recta t`, ponto T`, e com a recta i, ponto I, I.7) desenhamos a recta TI e a recta T`I, I.8) intersectamos estas duas rectas com a recta r do plano de rampa, pontos M e N, I.9) por esses pontos passamos rectas fronto-horizontais, m e n, e intersectamo-las respectivamente com as geratrizes g e g`, achando deste modo os pontos de maior e menor cota. J) Descobrir mais pontos entre os pontos de menor e maior cota com recurso ao método dos planos paralelos Secções planas em cilindros de revolução assente no PHP, A) Identificar o tipo de secção, se o plano for paralelo às bases, a secção é um círculo, se o plano for paralelo ao eixo, a secção é um rectângulo, se o plano não for paralelo às bases e ao eixo, a secção é uma elipse, B) Verificar se o plano corta as bases; passar planos pelas bases e identificar as rectas da sua intersecção com o plano secante; identificar os pontos onde essas rectas intersectam os círculos das base, C) Identificar os pontos de intersecção entre o contorno aparente e o plano secante; recorrendo a planos auxiliares que passem pelas geratrizes do contorno aparente, D) Identificar os pontos de maior e menor cota, caso se trate dum cilindro regular assente no PHP,

6 6 Isabel coelho D.1) desenhar os planos verticais 1 tangentes ao cilindro, D.2) através dos seus traços horizontais tangentes à base e paralelos ao traço horizontal do plano secante, D.3) desenhar as geratrizes g e g` de contacto que partem dos pontos de tangência, T e T`, D.4) desenhar as rectas m e n de intersecção entre os planos verticais tangentes e o plano secante, D.5) descobrir os pontos I e I`de intersecção entre as geratrizes e a s rectas m e n. São esses os pontos pretendidos. E) Identificar os pontos de maior e menor afastamento, E.1) desenhar os planos de frente tangentes à base, E.2) identificar os pontos de tangência K e K`e por eles desenhar as geratrizes de tangencia, E.3) identificar as rectas de frente de intersecção entre os planos de frente a o plano secante, rectas k e k`, E.4) identificar os pontos de intersecção entre as rectas k e k`e as geratrizes. Sãos esses os pontos de maior e menor afastamento. F) Para obter mais pontos pode-se criar um plano de nível a meio dos outros pontos descobertos, F.1) identificar as rectas de intersecção entre o plano de nível e o plano secante, F.2) identificar os pontos de intersecção entre essas rectas e o círculo da secção do plano se nível Secções planas em esferas As secções planas em esferas resultam sempre em círculos. 1 Caso o cilindro seja oblíquo com geratrizes de frente, os planos tangentes terão os seus traços horizontais // ao traço horizontal do plano secante e os traços frontais serão // às geratrizes, que são de frente. Os planos tangentes serão planos oblíquos e não planos verticais.