Matemática Trigonometria. 1.2 Arcos de circunferência Consideremos uma circunferência com dois de

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1 Matemática Trigonometria TRIGONOMETRIA 1. CIRCUNFERÊNCIA E ARCOS Texto e contexto Consideremos os seguintes problemas: P1: Às 12:15 da manhã, qual o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio analógico? E às 8:30 da noite? P2: Estas figuras mostram o esboço de uma pista de Kart (Fig. 1 e o modelo matemático do traçado central dessa pista (Fig. 2. O traçado citado é composto por quatro semicircunferências, como mostra o modelo matemático, no qual cada centímetro no desenho representa 200 m na realidade. Nessas condições, qual é o comprimento total do traçado central dessa pista? (Use π = 3,15 P3: Um sistema de transmissão de movimento é constituído de duas polias acopladas a uma correia (Fig. 1. O modelo matemático desse sistema apresenta duas circunferências cujos centros distam 60 cm um do outro e de uma correia (Fig. 2. Os raios dessas polias medem 45 cm e 15 cm. Suponha que essa correia deverá ser trocada e, numa determinada loja, o seu preço atual é de R$ 0,30 por centímetro linear. Usando as aproximações π = 3,15 e 3 = 1,8, calcule o preço atual dessa correia, na loja citada. Problemas como esses poderão ser resolvidos com a teoria que estudaremos neste capítulo. 1.1 Circunferência Dado um ponto C e uma distância r (Fig. 1, chamamos de circunferência de centro C e raio r a figura plana cujos pontos distam r de C (Fig

2 92 Matemática Trigonometria 1.2 Arcos de circunferência Consideremos uma circunferência com dois de seus pontos, A e B, dividindo-a em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada arco da circunferência, conforme estas figuras. Neste texto, vamos considerar, sempre, o menor dos arcos AB (a menos que se mencione algo em contrário. 1.3 Medida de um arco Para cada arco AB (Fig. 1 existe um ângulo AO^ B correspondente (Fig. 2, sendo O o centro da circunferência. Esse ângulo é chamado ângulo central. É possível estabelecer uma relação entre esse ângulo e aquele arco, de modo a concluir que tenham a mesma medida. Em outras palavras, a medida do ângulo central é igual à medida angular do arco correspondente, ou seja: AO^ B = α AB = α É importante notarmos que: se os pontos A e B co1incidirem, poderemos ter que AB é um arco nulo, cuja medida é 0 (Fig. 1, ou que é um arco de uma volta (circunferência, cuja medida é 360 (Fig. 2. se os pontos A e B são extremidades de um diâmetro, ou seja, estão alinhados com o centro, então eles determinam dois arcos de meia volta (semicircunferência, cada um medindo 180. Exemplos: Se os pontos A e B de uma circunferência determinam um arco AB que mede 48 (Fig. 1, então o ângulo central correspondente também mede 48 (Fig. 2. AO^ B = 48

3 Matemática Trigonometria 93 No instante em que um relógio analógico marca 10 horas da manhã, o menor ângulo entre os seus ponteiros (das horas e dos minutos mede 60, pois as trajetórias dos ponteiros de um relógio analógico são arcos de 360. Considerando as doze divisões, cada uma medirá 30 (Fig. 1. Às 10 horas, o menor dos ângulos equivale a duas divisões (Fig. 2. O menor ângulo mede 60 Vamos resolver o problema P 1 proposto na introdução (pág. 91. Sabemos que o visor de um relógio é dividido em 12 partes iguais. Assim, cada arco relativo a 5 minutos tem medida igual a o caso: (12:15 Às 12h, os dois ponteiros estão sobrepostos (Fig. 1. Daí até 12h 15min, o ponteiro dos minutos percorreu 90, e o das horas percorreu um arco de medida α (Fig. 2. Assim, o ângulo procurado irá medir θ = (AO^ B α. Como AO^ B = 90, temos que θ = 90 α. 1 o modo: Em 1h = 60min, o ponteiro das horas desloca-se 30. Vejamos quanto ele se desloca em 15min, fazendo esta regra de três: 60min 30 15min α 60. α = o α = α = (7,5 α = 7 30 θ = θ = O ângulo formado mede o modo: Enquanto o ponteiro dos minutos percorre 360, o ponteiro das horas percorre 30. Das 12:00 até as 12:15, o ponteiro dos minutos percorreu 90, enquanto que o das horas percorreu α. Assim, para obter α, podemos proceder como se segue: 360. α = α = α = (7,5 α = 7 30 θ = θ = O ângulo formado mede o caso: (8:30 Notemos as posições dos ponteiros às 8h (Fig. 3 e às 8h 30min (Fig. 4, sendo que θ é o ângulo procurado, e α é o ângulo descrito pelo ponteiro das horas nesse intervalo de 30min.

4 94 Matemática Trigonometria É fácil notar que θ = 60 + α. Para o cálculo de α, temos: 1 o modo: 60min 30 30min α 60. α = α = 15 θ = θ = 75 O menor ângulo mede 75 2 o modo: Das 8:00 até as 8:30, o ponteiro dos minutos percorreu 180, enquanto o das horas percorreu α. Assim: 360. α = α = 15 θ = θ = 75 O menor ângulo mede Comprimento da circunferência Já sabemos que a medida angular de uma circunferência é 360. No entanto, ainda não sabemos obter seu comprimento, que é sua medida linear, assunto que abordaremos neste tópico. Inicialmente, imaginemos que seja possível cortar uma circunferência em um de seus pontos e, depois, manipulá-la convenientemente até obter um segmento de reta. Esse segmento teria um comprimento igual ao da circunferência, conforme mostram estas figuras ao lado: O processo que consiste em obter um segmento cujo comprimento é igual ao de uma curva é denominado retificação (tornar reto dessa curva. Experimentalmente, se tomarmos um pedaço de cordão e, com ele, fizermos uma circunferência, o comprimento desse cordão será igual ao da circunferência construída. Se dividirmos esse comprimento pelo diâmetro da circunferência, obteremos um valor aproximadamente igual a 3,14. Se repetirmos esse procedimento com qualquer pedaço de cordão, diferente do anterior, vamos obter um valor, também, próximo de 3,14. Esse fato intrigou muitos matemáticos do passado, os quais, na busca de um valor exato para esse quociente, obtiveram aproximações com várias casas decimais. Hoje em dia, com o uso de computadores, podemos obter milhões de casas decimais. Nesse sentido, é possível demonstrar, com recursos da Geometria Plana, que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é constante e igual a um número irracional, cujo valor aproximado até a 10 a casa decimal é 3, Esse número é, convencionalmente, chamado de π (lê-se pi. Consideremos, nessas condições, as circunferências λ 1, λ 2,... λ n, destas figuras, as quais têm comprimento C 1, C 2,... C n, diâmetros d 1, d 2,... d n e raios R 1, R 2... R n, respectivamente: De acordo com o exposto na teoria, temos: C 1 d 1 = C 2 d 2 =... = C n d n = π C 1 2R 1 = C 2 2R 1 =... = C n 2R n = π

5 Matemática Trigonometria 95 Desse modo, considerando uma circunferência genérica, de comprimento C e raio R, temos: C 2R = π C = 2πR Exemplos: Uma circunferência cujo comprimento é 40π, tem um diâmetro de 40 cm, pois o comprimento da circunferência de raio r é C = 2πr e o diâmetro d mede 2r. Assim: 2πr = 40π r = 20 d = 2. r d = 40 O diâmetro mede 40 cm Vamos resolver o problema P 2 proposto na introdução (pág. 91. Usando uma régua para medir os raios O 1 A, OB 2 e O 3 C, obteremos, respectivamente, 1 cm, 0,6 cm e 0,4 cm. O comprimento L da pista é obtido pela soma das semicircunferências AB, BC, CD e AD. Desse modo, temos: L = AB + BC + CD + AD AB = π. O 1 A AB = π. 1 AB = 3,15. (200 AB = 630 m CD = π. O C 3 CD = π. 0,4 CD = 3,15. (80 CD = 252 m BC = π. OB 2 BC = π. 0,6 AD = π. BD AD = π. 2 BC = 3,15. (120 BC = 378 m L = m L = m O comprimento total é de m AD = 3,15. (400 AD = m 1.5 Comprimento de um arco de uma circunferência Imaginemos que seja possível cortar uma circunferência em dois de seus pontos (A e B, obtendo dois arcos AB dessa circunferência. Se retificarmos um desses arcos, obteremos um segmento de reta. O comprimento desse segmento será igual ao comprimento daquele arco. Como já vimos, a medida angular de um arco AB não representa a medida do comprimento desse arco. Isso é fácil de ser percebido nestas ao lado figuras: AB Observando essas figuras, notamos que os arcos e CD têm a mesma medida angular, que é igual à do ângulo central α. No entanto, é visível que o comprimento de AB é menor do que o de CD.

6 96 Matemática Trigonometria Formalmente, define-se comprimento de um arco AB como sendo a medida linear desse arco, que equivale à distância, tomada sobre a circunferência, entre os pontos A e B. Particularmente, quando um arco AB de uma circunferência de raio r tem comprimento igual a r (Fig. 1, dizemos que a medida desse arco é de 1 radiano (1 rad (Fig. 2. Existe uma proporção direta entre o comprimento do arco e o raio da circunferência e entre o comprimento do arco e sua medida angular. Desse modo, o comprimento de um arco AB qualquer de uma circunferência de raio r pode ser calculado com a seguinte regra de três simples e direta: L AB = α. r Exemplos: Um arco de 3 π rad de uma circunferência de raio 4 2 cm tem comprimento aproximado de 4,71 cm, como segue; usando π = 3,14: A medida do arco (ou do ângulo central AO B é de 3 π rad (Fig. 1. Então, o comprimento L 4 AB desse arco é proporcional a essa medida (Fig. 2. Montemos, então, a seguinte regra de três: L arco = 3 π. 2 L 4 arco = 3 π cm 2 Usando π = 3,14 temos: L arco = 3. (3,14 L arco 4,71 cm 2 O comprimento aproximado do arco é de 4,71 cm 1.6 Conversão de unidades Já sabemos que o comprimento C de uma circunferência de raio r é igual a 2πr, sendo π = 3, Isso significa que, se o comprimento de um arco de uma volta (360 é 2πr e um arco de 1 rad tem comprimento r, então o arco de uma volta (360 equivale a um arco de 2π rad, ou seja: 2π rad = 360 π rad = 180 Exemplos: Um arco de 50 equivale a um arco de 5 π rad, enquanto um arco de π rad equivale a um de o caso: 180 π rad 50 α 180. α = 50. π α = 50 π equivalem a 5 π 18 2 o caso: π rad 180 π 5 rad α π. α = π. 180 α = 36 5 π rad equivale a 36 5

7 Matemática Trigonometria 97 Vamos resolver o problema P 3 proposto na introdução (pág. 91 Primeiramente, tracemos por O 1 um reta paralela à parte reta da correia. Observando a figura, notamos que o comprimento da correia é composto pelos comprimentos dos arcos BC de 240, AD de 120 e pelas partes retilíneas AB e CD. Assim: L correia = L BC + L AD + 2AB No triângulo destacado, temos: sen 60 = x = x 60 x = Agora façamos as conversões: x = 30 π AD AD = rad 3π x 30(1,8 x 54 cm π BC BC = 4 π rad 3 L AD = 2 π. 15 L 3 AD = 10π L BC = 4 π. 45 LBC = 60π 3 L AD 10. 3,15 L AD 31,5 cm L BC 60. 3,15 L BC 189 cm L correia = , (54 L correia = 328,5 m Preço = 328,5. 0,30 Preço = 98,55 O preço da correia é de R$ 98,55 Saiba mais O que é o número π? Artigo de Elon Lages Lima RPM 06 A maneira mais rápida de responder a esta pergunta é dizer que π é a área de um círculo de raio 1. (Por exemplo, se o raio do círculo mede 1 cm, sua área mede π cm 2. Podemos também dizer que π é o comprimento de uma circunferência de diâmetro igual a 1. Desde há muito tempo (cerca de anos! notou-se que o número de vezes em que o diâmetro está contido na circunferência é sempre o mesmo, seja qual for o tamanho dessa circunferência. Dito de outro modo, se o diâmetro mede um centímetro, um metro ou um côvado, a circunferência medirá respectivamente π centímetros, π metros ou π côvados. Ainda de outra maneira: se uma circunferência tem comprimento C e diâmetro D, enquanto outra tem comprimento C diâmetro D, então C D = C. Este valor constante da razão C D D é um número aproximadamente igual a 3,141592, o qual se apresenta pela letra grega π. Os babilônios já tinham observado que o valor de π se situa entre e frações decimais, isto dá 3,125 < π < 3,142. O conhecimento que as pessoas têm sobre o valor de π nem sempre melhorou com o tempo. Por exemplo, o Velho Testamento, que foi escrito cerca de 500 anos a.c. (embora baseado em tradições judaicas bem mais antigas, contém um trecho segundo o qual π = 3. (Primeiro Livro dos Reis, VII:23. É natural que os redatores do Velho Testamento, mais preocupados com assuntos divinos do que com detalhes terrenos, não estivessem a par do que seus vizinhos babilônios já sabiam há mais de um milênio. Mas, em 1931, um cidadão americano de Cleveland, Ohio, publicou um livro segundo no qual o valor exato de π seria 256, ou seja 25 8 < π < Em, ou seja 3,16. O livro em si, apesar de todas as heresias que contém, não causa 81 admiração, pois o número π sempre provocou irresistível atração aos amadores, pelos séculos afora.

8 98 Matemática Trigonometria O curioso é que o valor 256 é o mesmo que foi obtido pelo escriba egípcio Ahmes, autor do famoso papiro 81 de Rhind, escrito 2 mil anos antes de Cristo. Desde Arquimedes, que obteve o valor π = 3,1416, matemáticos têm se ocupado em calcular π com precisão cada vez maior. O inglês Willian Shanks calculou π com 707 algarismos decimais exatos, em Em 1947, descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527 algarismo (e, portanto, nos seguintes. Com auxílio de uma maquininha manual, o valor de π foi, então, calculado com 808 algarismos decimais exatos. Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se π com algarismos decimais exatos e, em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente algarismos exatos! Esses cálculos de π com um número cada vez maior de algarismos decimais sugerem duas perguntas. A mais inocente seria: quantos algarismos serão necessários para se ter o valor de π? Ora, sabe-se que π é um número irracional. Isto signifi ca que nenhuma fração ordinária (e, consequentemente, nenhuma fração decimal fi nita ou periódica pode exprimir exatamente o seu valor. Portanto, não importa quantos algarismos decimais tomemos, jamais obteremos o valor exato de π nem chegaremos a uma periodicidade (embora o erro cometido ao se substituir π por uma tal fração seja cada vez menor. Outra pergunta que se pode fazer é: por que, então, tanto esforço para calcular π com centenas ou milhares de algarismos decimais? (O computador francês levou 28 horas e 10 minutos. Deus sabe quantos meses ou anos levou William Shanks. Uma resposta é que esses cálculos existem pelo mesmo motivo que existe o Livro dos Recordes de Guinness. Uma razão mais prática poderia ser a seguinte. Um computador, como toda máquina, precisa ser testado contra possíveis defeitos, antes de começar a funcionar. Uma maneira de fazer isso é mandá-lo calcular alguns milhares de dígitos de π e fazê-lo comparar o resultado obtido com o que já se conhecia. Mas, voltando às origens de π: desde quando tal número é representado por essa letra grega, equivalente ao nosso π? Nos tempos antigos, não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava π ou c, mas, a partir de 1737, passou a adotar sistematicamente o símbolo π. Desde então, todo o mundo o seguiu. A verdade é que, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones propusera a mesma notação, sem muito êxito. Questão de prestígio. O número π surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que = π e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números 4 naturais é igual a π2. A área da região compreendida entre o eixo das abscissas e o gráfi co da função 6 y = e x 2 é igual a π. Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois números naturais, escolhidos ao acaso, sejam primos entre si é de 6 π 2. Desde que fi cou clara a ideia de número irracional, começou-se a suspeitar que π era um deles. Euler acreditava na irracionalidade de π, mas quem a provou foi seu contemporâneo Lambert, em Pouco depois, Euler conjeturou que π seria transcendente, isto é, não poderia ser raiz de uma equação algébrica com coefi cientes inteiros (por exemplo: é impossível encontrar inteiros a, b, c tais que aπ 2 + bπ + c = 0. Este fato foi demonstrado em 1882 por Lindemann, 99 anos depois da morte de Euler. Da transcendência de π resulta que o antigo problema grego da quadratura do círculo não têm solução. Para a resolução desse problema, seria necessário que se construísse, com auxílio de régua e compasso, um quadrado cuja área fosse igual à de um círculo dado. Tomando o raio do círculo como unidade de comprimento, isto equivale a pedir que se construa, com auxílio de régua e compasso, um segmento de comprimento igual a π (lado do quadrado de área π. Vamos dizer construir o número x para signifi car construir, com régua e compasso, a partir de um segmento dado, tomado como unidade, outro segmento de comprimento igual a x. O problema da quadratura do círculo pede que se construa o número π. Isto sugere a questão mais geral: quais os números reais que se podem construir? Ora, as construções geométricas feitas com régua e compasso consistem em repetir, um número fi nito de vezes, as seguintes operações básicas: 1 Traçar a reta que une dois pontos dados; 2 Traçar a circunferência com centro e raio de dados. Um ponto, nessas construções só pode ser obtido como interseção de duas retas, de duas circunferências ou de uma reta com uma circunferência. Considerando-se no plano um sistema de coordenadas cartesianas, uma reta é representada por uma equação do 1 o grau y = ax + b e uma circunferência por uma equação do 2 o grau (x a 2 + (y b 2 = r 2. Assim, um número que se pode construir é sempre obtido como solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas cujos graus são < 2. Prova-se, a partir daí, que se o número real x pode ser construído, então x é o resultado de um número fi nito de operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz quadrada, efetuadas a partir de números inteiros.

9 Matemática Trigonometria 99 Em particular, todo número x que pode ser construído (com régua e compasso é algébrico, isto é, pode ser expresso como raiz de uma equação algébrica com coeficientes inteiros. Como π é transcendente, π também é. Segue-se que a quadratura do círculo não pode ser feita com régua e compasso apenas. Isto encerra a questão. Infelizmente, nem todas as pessoas que gostam de Geometria, e que se interessam por construções com régua e compasso, sabem disso. E, pensando que o problema da quadratura do círculo ainda está em aberto, imaginam soluções engenhosas, que submetem a revistas e a instituições onde se faz Matemática. Tais soluções são basicamente de 3 tipos: 1 o As que contêm erros devidos a raciocínios defeituosos; 2 o As que apresentam apenas uma solução aproximada para o problema; 3 o As que não se restringem ao uso de régua e compasso. (Por exemplo, empregando certas curvas cuja construção não pode ser efetuada apenas com esses dois instrumentos. Desde 1775, a Academia Real Francesa decidiu não mais aceitar para análise inúmeras propostas de quadratura para elas enviadas. Mas, em todas as partes do mundo, parece não desaparecerem nunca os quadradores. Quando eu era estudante, na Universidade de Chicago, havia no Departamento de Matemática uma carta mimeografada que dizia mais ou menos o seguinte: Prezado Senhor: Recebemos seu trabalho sobre a quadratura do círculo. Infelizmente estamos muito atarefados para examiná-lo. Caso o Sr. nos envie a quantia de 10 dólares, poderemos encarregar um dos nossos estudantes de pós-graduação de analisar seu trabalho e localizar os erros eventualmente nele contidos. Atenciosamente... Por causa desta carta padrão, vários colegas meus daquela época abocanharam alguns dólares sem fazer muita força. Exercícios de sala 1 Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros, das horas e dos minutos de um relógio quando este marcar: a 12h 15min? b 15h 10min?

10 100 Matemática Trigonometria 2 Converta em graus a medida dada em radianos e vice-versa. a 150 b 2 π rad c 315 d 5π rad (PUC-MG_Adapt. Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno de duas de suas praças. A pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas condições, qual o valor da razão R (Use π = 3,14. L 5 (UNIFESP_Adapt. A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue. 3 Qual o comprimento de um arco de 120 em uma circunferência de raio 10 cm? Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, qual deve ser a medida do seu raio em centímetros?

11 Matemática Trigonometria (UFAL_Adapt. Considere que: Os raios de Sol incidem paralelamente sobre a Terra. O planeta Terra é uma esfera cuja linha do Equador tem km de perímetro. Na fi gura a seguir são representados os raios solares incidindo nos pontos P e Q da linha do Equador do planeta Terra e são indicadas as medidas dos ângulos que esses raios formam com as normais à superfície terrestre nesses pontos. Qual o comprimento do arco PQ, que corresponde à menor distância de P a Q, em quilômetros, tomada sobre o Equador? 9 O arco AB de circunferência de raio 50 cm têm um comprimento de 30π cm. Qual é, em graus, a medida desse arco? 10 Uma circunferência de centro O tem raio medindo 10 cm. Nessa circunferência, considere dois pontos A e B. Qual é o comprimento do arco menor AB nos casos em que: aao B = π 4 rad b AO B = (UNICAMP Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de (UFJF Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: a 93 km. c 366 km. e 291 km. b 196 km. d 592 km. 13 (UFRN No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme fi gura a seguir, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é a 5 voltas. b 7 voltas. c 9 voltas. d 11 voltas. Exercícios propostos 7 Calcule a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos quando são: a 12h 50min. b 3h 55min. 8 Converta as medidas dadas em graus para radianos e vice-versa: a 5 π rad. e b 300. f 2 π rad. 5 c 2 5 rad. g 4 3π rad. d (UFPB Um ciclista, para vencer uma competição, percorreu m em uma bicicleta com rodas de raio 30 cm (incluindo o pneu. O número de voltas completas que cada roda da bicicleta deu, para percorrer essa distância, foi: (Use: π = 3,14. a 900 b c d e (PUC-MG A roda de uma bicicleta tem 90 cm de diâmetro. Então, a distância percorrida por um ciclista nessa bicicleta em movimento, quando a roda dá voltas completas sem deslizar: (Considere π = 3,14. a é inferior a 3 quilômetros. b está entre 3 e 4 quilômetros. c está entre 4 e 5 quilômetros. d é superior a 5 quilômetros.

12 102 Matemática Trigonometria 16 (PUC-MG Para percorrer certa distância, uma roda de raio R dá três voltas completas, enquanto que uma roda de raio r dá 10 voltas. Então, a razão entre os raios dessas rodas, r R, é igual a: a 0,20 b 0,25 c 0,30 d 0,35 17 (UFC A fi gura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. 21 (UFG O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas, cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos. Se o ponteiro das horas (OB mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos? Determine o comprimento da correia, em termos de r. (Obs.: despreze a espessura da correia. 18 (UFAL Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual a a π 17 4 c 64 π 45 e π b 64 π 15 d π 19 (UF-LAVRAS Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo α (figura a seguir formado pelos ponteiros de um relógio mede a 90 b c d 120 e (UFSM No último pleito, o horário de encerramento das votações, segundo determinação do TSE para todo o Estado do Rio Grande do Sul, foi às 17 horas. Passados 5 minutos do encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros do relógio era de a 123 c 122 e 120 b d (UEG Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78 Oeste e 52 Oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio km, qual é a distância entre essas duas cidades? 23 (UEL Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 24 horas no sentido oesteleste; o tempo gasto a cada 15 de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/ Luzaka (Zâmbia forma, em seu vértice central, um ângulo de 75. A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília é: a 5 horas. b 9 horas. c 12 horas. d 17 horas. e 21 horas. 24 (UERJ A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede km. Na representação a seguir, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.

13 Matemática Trigonometria 103 Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x; y, em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir. 27 (UNESP Em um jogo eletrônico, o monstro tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a fi gura. A parte que falta no círculo é a boca do monstro, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do monstro, em cm, é: a π 1. c 2π 1. e 2π + 1. b π + 1. d 2π. Considerando π igual a 3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a: a b c d (UFRS Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é a 45 b 50 c 55 d 60 e (UFRS Dentre os desenhos a seguir, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é: a d 28 (UFSCAR Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no fi nal, uma fatia menor, que é indicada na fi gura por fatia N + 1. Considerando π = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, é a 0,74. b 0,72. c 0,68. d 0,56. e 0, (UEL Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as medidas dadas no esquema a seguir. b e c Dados: AD = 13 cm, CB = 3 cm e AB = 20 cm. As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para outra. O comprimento dessa correia, em centímetros, é a 54 π d 58π b 52 π e 59π c 52 3π

14 104 Matemática Trigonometria 30 (UFSCAR A sequência de fi guras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP. Além do que indicam as fi guras, sabe-se que o raio da roda mede 3 cm, e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento RQ + QP da rampa, em cm, é igual a a 5π c 6π + 3. e 8π 3 5. b 4π d 7π (ENEM O atletismo é um dos esportes que mais se identifi cam com o espírito olímpico. A fi gura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo benefi ciado? a 1 b 4 c 5 d 7 e 8 32 (ENEM A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva. Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a y = R. c y = πr. e y = 4πR. b y = 2R. d y = 2πR.

15 2. CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Matemática Trigonometria 105 Circunferência trigonométrica 2.1 Introdução A Trigonometria é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Já conhecemos as razões trigonométricas, ou seja, as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Para triângulos quaisquer, já usamos as leis do seno e do cosseno. A partir daqui, vamos estender esses conceitos para ângulos de medidas quaisquer. Esses ângulos serão associados a arcos de uma circunferência centrada na origem de um sistema ortogonal, definida como circunferência trigonométrica. Além disso, iremos dar maior ênfase aos arcos medidos em radianos. 2.2 Definições e elementos Circunferência trigonométrica é definida como sendo aquela que tem centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e tem raio unitário (Fig. 1. Estruturalmente essa circunferência e os eixos coordenados estão dispostos de modo que: Os eixos coordenados dividem-na (por meio dos pontos A, B, C e D em quatro regiões congruentes denominadas quadrantes (I Q., II Q., III Q., IV Q., numerados no sentido anti-horário (Fig. 2; O ponto A é a origem dos arcos trigonométricos. O sentido positivo desses arcos é o anti-horário e, como consequência, o sentido horário é negativo. (Fig. 3; Aos pontos A, B, C e D são associados, respectivamente, as medidas dos arcos 0 = 0 rad, 90 = π 2 rad, 180 = π rad e 270 = 3 π rad (Fig É importante notarmos que ao ponto A associa-se, também, o arco de 2π rad = 360 o. Fig. 1 y Fig. 2 B y B Fig. 3 B y + Fig. 4 y B π 2 C O r = 1 x A C II Q. O I Q. x A C O x A π C O A 0 x 2π D III Q. D IV Q. D D 3π Arcos trigonométricos Consideremos a circunferência trigonométrica na qual os arcos têm origem no ponto A e extremidade no ponto M. Desse modo, dizemos que o arco AM pertence a um certo quadrante quando M pertencer a esse quadrante. Exemplos: O arco AM 1 = 4π rad pertence ao I Q. e o arco O arco AM 9 3 = π rad pertence ao IV Q. e o AM 6 2 = 13π rad pertence ao II Q. arco AM 4 = 3π rad pertence ao III Q AM1 I Q. e AM2 II Q. AM3 IV Q. e AM4 III Q.

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