Estudo de Gráficos de Funções através de Softwares Gráficos e Geométricos

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1 1 Universidade Federal do Paraná UFPR Estudo de Gráficos de Funções através de Softwares Gráficos e Geométricos Amanda Rosa Liria Machado Ingrid Mariana Rodrigues de Lima Simone Venturi Curitiba 2011

2 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 3 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU... 4 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 2º GRAU... 5 GRÁFICOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS... 6 FUNÇÃO SENO... 6 FUNÇÃO COSSENO... 6 FUNÇÃO TANGENTE... 7 GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS... 9 GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS SOFTWARES GEOMÉTRICOS IGEOM CABRI-GEOMETRE GEOGEBRA SOFTWARES GRÁFICOS WINPLOT GRAPH GRAFEQUATION PRIMEIRA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA SEGUNDA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GRAFEQ CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA... 36

3 3 INTRODUÇÃO Em uma era de tecnologia e comunicação é fundamental que os alunos se familiarizem com o computador e com programas específicos para aprofundar mais e melhor sua aprendizagem Matemática. Como, por exemplo, numa resolução de problemas, onde o aluno pode se concentrar mais nos métodos, nas estratégias, nas descobertas, no relacionar logicamente idéias matemáticas e na generalização do problema, deixando os cálculos para que a máquina execute. O objetivo a ser alcançado com este material é fazer com que o aluno visualize os diferentes gráficos das Funções de 1º e 2º Graus, Trigonométricas, Exponenciais e Logarítmicas, compreendendo o significado dos coeficientes e do comportamento dessas funções. Como metodologia abordada tem-se a utilização de Softwares Geométricos e Gráficos. Primeiramente considerações serão feitas sobre três Softwares Geométricos, com uma ênfase no Software Geogebra, que será utilizado em uma primeira atividade, onde os alunos devem investigar o comportamento dos diversos gráficos das funções propostas, respondendo a um questionário. Em seguida, tem-se breves abordagens sobre três Softwares Gráficos, com um aprofundamento no Software GrafEquation, que também será utilizado em uma segunda atividade, onde os alunos devem construir uma figura, apresentada inicialmente, utilizando somente gráficos de funções.

4 4 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU Diz-se função do 1º grau qualquer função, f de IR em IR, do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b reais, sendo a 0. O gráfico da função do 1º grau é representado por uma reta onde a é o coeficiente angular, responsável pela inclinação da reta com relação ao eixo Ox, e b é o coeficiente linear da reta, ordenada do ponto onde a reta corta o eixo Oy. Além disso, o coeficiente a determina se a reta será crescente ou decrescente a partir do seu sinal: Quando a> 0 a reta é crescente. Quando a< 0 a reta é decrescente.

5 5 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 2º GRAU A função do segundo grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo f(x) = y = ax² + bx +c, com a, b e c ϵ IR e a 0. No caso de b e/ou c serem iguais a zero, a função será considerada incompleta. O gráfico de uma função do 2º grau é representado por uma parábola: Quando a> 0 a concavidade da parábola fica voltada para cima e seu vértice representa o menor ponto da função. Quando a< 0 a concavidade da parábola fica voltada para baixo e seu vértice representa o maior ponto da função.

6 6 GRÁFICOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO Chamamos de função seno a função f(x) = sen(x), que associa a cada número real x, o seu valor correspondente para seno, f: R R, f(x) = sen(x). O domínio da função é definido nos reais e sua imagem pertence ao intervalo [-1,1], uma vez que a circunferência trigonométrica possui raio unitário -1 sen(x) 1. Sinal da função: como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco, temos que: F(x) = sen(x) é positiva no primeiro e segundo quadrante (ordenada positiva) F(x) = sen(x) é negativa no terceiro e quarto quadrante (ordenada negativa) O gráfico da função seno é representado por uma curva chamada senóide. FUNÇÃO COSSENO Chamamos de função seno a função f(x) =cos(x), que associa a cada número real x, o seu valor correspondente para seno, f: R R, f(x) = cos(x).

7 7 Assim como na função sem(x), o domínio da função é definido nos reais e sua imagem pertence ao intervalo [-1,1], uma vez que a circunferência trigonométrica possui raio unitário -1 cos(x) 1. Sinal da função: F(x)=cos(x) é positiva no 1º e 2º quadrantes (abscissa positiva) F(x)=cos(x) é negativa no 3º e 4º quadrantes (abscissa negativa) Seu gráfico será definido pela curva denominada co-senóide. FUNÇÃO TANGENTE Chamamos de função tangente a função f: E R que a cada número x ϵ E, com E ={ x ϵ R / x (½)π + kπ, k ϵ Z} associa a tangente desse número f: E R, f(x) = tg(x). O domínio dessa função é E e sua imagem é R. Sinal da função: F(x)= tg(x) é positiva no 1º e 3º quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva) F(x) = tg(x) é negativa no 2º e 4º quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa). seguir: O gráfico da função tangente é chamado tangentóide, e se apresenta a

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9 9 GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS A função exponencial pode ser definida como a inversa da função logarítmica natural, y = f(x) = aᵡ, com a > 0 e a 1. No gráfico de uma função exponencial podemos dividir sua construção em dois casos: a>1 e 0<a<1. Para a> 1: Para 0 < a < 1:

10 10 GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Toda função definida pela lei de formação f(x) = logᵦx, com ß 1 e ß > 0, é denominada função logarítmica de base ß. Neste tipo de função temos que o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Gráfico da função: Para podermos construir o gráfico da função logarítmica, devemos analisar dois casos: ß>1 e 0<ß< 1. Para ß>1: Para 0<ß<1:

11 11 SOFTWARES GEOMÉTRICOS Neste capítulo vamos abordar três softwares Geométricos, dos quais dois são softwares gratuitos, incluindo uma breve abordagem sobre a utilização do Software Geogebra, o qual será utilizado na Primeira Atividade proposta posteriormente. IGEOM igeom é um software para ensino de geometria que utilizam a interatividade para facilitar o aprendizado de conceitos matemáticos. Desenvolvido sob supervisão do professor Leônidas de Oliveira Brandão, do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, o igeom é uma ferramenta gratuita para ensinar de maneira ativa e interativa, que pode ser usado no ensino fundamental, médio e superior. Por intermédio do programa é possível, por exemplo, determinar a localização do ponto médio, estudar as funções de seno, cosseno, tangente, modelos matemáticos, algoritmos e recorrências (que é uma única figura repetida várias vezes em pontos específicos). Este software de Geometria Interativa é livre (gratuito) e ainda é um programa escrito na linguagem de programação Java, e portanto funciona em qualquer plataforma. O download do software pode ser encontrado no link CABRI-GEOMETRE O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de fatos

12 12 geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além da manipulação dinâmica e imediata das figuras. O Cabri permite ao professor criar livremente atividades para suas aulas, ele é assim caracterizado como um software aberto. Ele pode ser utilizado desde o primário até a Universidade em diversas áreas como Matemática, Física e Desenho Artístico por exemplo. O download do software Cabri-Geometre pode ser encontrado no link GEOGEBRA 4.2 O Geogebra é um software de matemática dinâmica que pode ser utilizado em educação matemática nas escolas do ensino fundamental, médio e superior que reúne geometria, álgebra e cálculo. Este software pode auxiliar na organização do pensamento do aluno quando ele se depara com objetos matemáticos. Este software permite realizar construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como funções e mudá-los dinamicamente depois. Do ponto de vista da Álgebra, permite inserir equações e coordenadas diretamente. Assim, o Geogebra tem a habilidade de tratar das variáveis como de funções e oferece comandos como Raízes ou Extremos. Por fim, é um software em português e livre (gratuito) para o ensino e a aprendizagem da matemática, então é permitido copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais. O download do software Geogebra pode ser encontrado no link

13 13 Vamos utilizar este software na versão 4.2 para desenvolver a atividade 1, onde os alunos devem verificar em cada tipo de função qual a mudança que ocorre quando os coeficientes são alterados. Para entender melhor seu funcionamento, vamos explorar um pouco dos recursos que serão utilizados na atividade 1. A área de trabalho possui um sistema de eixos cartesianos onde o usuário faz as construções geométricas com o mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes são mostradas na janela de álgebra. O campo de entrada de texto é usado para escrever coordenadas, equações, comandos e funções diretamente e estes são mostrados na área de trabalho imediatamente após pressionar a tecla Enter. No caso da atividade que será desenvolvida, é preciso saber como digitar corretamente as funções no campo entrada. Em Funções do Primeiro Grau devem ser escritas da seguinte maneira: y=ax+b ou f(x)=ax+b ou ax+b, onde a e b são os coeficientes. Em Funções do Segundo Grau: y=ax^2+bx+c, onde a, b e c são os coeficientes.

14 14 Em Funções Trigonométricas: Seno: y=sin(x); Cosseno: y= cos(x); Tangente: y= tan(x). Em Funções Exponenciais: y=a^x. Em Funções Logarítmicas: Logaritmo natural (base e): ln(x ) ou log(x ); Logaritmo (base 2): ld(x ); Logaritmo (base 10): lg(x). Em Funções Modulares: y=abs(x), tendo abs significando como valor absoluto. Para alterar os coeficientes nas funções já plotadas no gráfico, basta na janela de álgebra (à esquerda) dar dois cliques na função e mudar o valor desejado.

15 15 SOFTWARES GRÁFICOS Neste capítulo tem-se uma breve abordagem sobre três Softwares Gráficos, onde o Software GrafEquation será utilizado para realizar a Segunda Atividade proposta posteriormente. WINPLOT Como ferramenta didática para o ensino da Geometria Analítica (plana e espacial), o Winplot é o software mais completo. Além da versão original, em inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. Uma de suas vantagens é a de ser um programa leve, ou seja, funciona em computadores antigos também, sem perder sua eficiência ou rapidez, pode ser usado em todos os níveis educacionais e possui recursos que variam de uma simples função de 1º grau, até funções do 3º grau integrais de todos os tipos. O software plota gráficos e possui uma interface gráfica muito boa que dispensa que os usuários decorem comandos para utilizá-lo. O Winplot é um freeware, o que significa que é gratuito, e ainda mais cabe em um disquete. O download do software Winplot pode ser encontrado no link GRAPH 4.3 O software Graph suporta uma ampla variedade de funções já integradas (seno, co-seno, tangente, logaritmo, raiz quadrada, fatorial, etc.), que podem ser feitas em diferentes cores e estilos de linha. Assim, elas são facilmente distinguidas uma das outras. Sombras e pontos também podem ser colocados em todo o sistema de coordenadas. As funções podem ser salvas como um arquivo gráfico, impressa ou exportada para outros softwares. O software Graph permite ainda que se realizem alguns cálculos baseados na função representada no desenho. E para

16 16 resolver uma função, é só clicar na aba Função e digitar na caixa inserir função. O software além de ser um programa de fácil manipulação, é livre (gratuito). O download do software Graph 4.3 pode ser encontrado no link GRAFEQUATION O GrafEq é um software Educacional intuitivo, flexível e preciso para produzir gráficos de relações implícitas. Foi projetado para nutrir um entendimento visual forte da Matemática, fornecendo um criador de gráficos de equações e inequações de figuras planas. Este software é somente gratuito para testar, e seu diferencial é sua capacidade para lidar com equações e outras relações além de funções, algo alem do pálido para apresentar graficamente calculadoras e sistemas de álgebra computacional. O download do software GrafEq pode ser encontrado no link Vamos utilizar este software para desenvolver uma atividade na qual o aluno deve montar uma figura, fornecida pelo professor, utilizando somente gráficos de funções. Para entender melhor seu funcionamento, vamos explorar um pouco dos recursos que serão utilizados na atividade. A interface do GrafEq apresenta duas janelas principais, Relation e Easy Buttons, como na figura abaixo.

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18 18 Abaixo temos um índice com o significado de algumas abas encontradas nas figuras anteriores. 1) Janela na qual será inserida uma relação entre variavéis x e y: para inserir uma restrição você pode pressionar Tab ou ; (ponto e vírgula). 2) Janela de restrições, onde podemos estabelecer intervalos para os valores das variáveis x e y. 3) Easy Buttons: janela que apresenta símbolos matemáticos necessários para a construção de algumas relações, como por exemplo,,, π. Se a janela 2 não estiver visível, basta seguir o caminho: Relation - Easy buttons. 4) Altera as dimensões do gráfico (tamanho), modificando as extremidades dos eixos x e y. 5) Altera as dimensões da janela de visualização do gráfico. 6) Para "criar" o gráfico basta clicar em Create.

19 19 7) Janela do Gráfico. 8) View Tools: ferramentas que alteram o gráfico. Nessa janela, você pode alterar as cores do gráfico, além da possibilidade de fazer o gráfico desaparecer ou aparecer, selecionando as relações desejadas. A opção Blend ativada permite uma fusão das cores de imagens sobrepostas no gráfico. Exemplo: Para inserir uma equação ou inequação matemática na janela de Relações Algébricas, basta digitar no campo please enter a relation a relação desejada. Na figura a seguir, temos uma região determinada pela circunferência. Podemos inserir uma restrição, tanto para a variável x quanto para a variável y. Para isso, com o cursor posicionado na janela de relações algébricas, utilize a tecla Tab do seu teclado. Se, no exemplo acima, quisermos restringir os valores da variável y, podemos inserir, por exemplo, a restrição -2 < y < 2, obtendo o gráfico a seguir.

20 20 Podemos utilizar estes recursos do software e as equações e inequações matemáticas para fazer desenhos, como na atividade 2 proposta.

21 21 PRIMEIRA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA Resolva as questões do 1 ao 5 utilizando o Software Geogebra como auxílio na construção e observação dos gráficos. 1) Faça as atividades a seguir, as quais envolvem Funções do 1º grau. a) Construa o gráfico da função f(x) = x b) Construa o gráfico da função g(x) = x + 1

22 22 c) O que ocorre quando adicionamos uma unidade à função f(x) = x? Resposta: A reta que representa a função é deslocada uma unidade para cima, com relação ao eixo das ordenadas. d) E se subtraíssemos uma unidade da função f(x) = x o que ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico. Resposta: A reta que representa a função seria deslocada uma unidade para baixo, com relação ao eixo das ordenadas. e) Construa o gráfico da função h(x) = 2x f) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável x da função f(x) = x? Resposta: A reta que representa a função aumenta sua inclinação com relação ao eixo das abscissas. g) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: A inclinação da reta aumentaria ainda mais, tendo como referência a função f(x)=2x.

23 23 h) Seja a função f(x) = ax + b. Como as constantes a e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na inclinação da reta com relação ao eixo das abscissas e a constante b interfere no deslocamento da reta com relação ao eixo das ordenadas e na ordenada do ponto com relação a Y. 2) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções do 2º Grau. a) Construa o gráfico da função f(x) = x² + x - 6 b) Construa o gráfico da função g(x) = x² + x +2

24 24 c) O que ocorre quando adicionamos oito unidades à função f(x) = x²+x-6? Resposta: O termo livre (ou coeficiente constante) resultante é 2, o que altera a altura da parábola de -6 para 2 (ordenada no ponto em Y). d) E se subtraíssemos uma unidade da função f(x) = x² + x - 6 o que ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico. Resposta: O termo constante resultante seria -7 e, conseqüentemente, seria a altura onde a parábola cortaria o eixo Y (ordenada no ponto do eixo das abscissas). e) Construa o gráfico da função h(x) = x² + 3x - 6 f) O que ocorre ao multiplicar-se a variável x da função f(x) = x² + x - 6? Resposta: A parábola declina com relação ao eixo das ordenadas, para a esquerda.

25 25 g) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Y. Resposta: A parábola declinaria para a direita, com relação ao eixo h) Construa o gráfico da função h(x) = 2x² + x - 6 i) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável x² na função f(x) = x² + x - 6? Resposta: A abertura da parábola fica mais estreita decorrente do aumento da velocidade das imagens de x. j) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem esboçar o gráfico. Resposta: A abertura da parábola focaria ainda mais estreita. k) Construa o gráfico da função i(x) = -2x² + x 6

26 26 l) O que ocorre ao multiplicarmos por -2 a variável x² da função f(x) = x² + x - 6? Resposta: A parábola passa a apresentar a concavidade voltada para baixo e sua abertura mais estreita. m) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: A concavidade da parábola continuaria voltada para baixo e sua abertura diminuiria (ficaria ainda mais estreita). n) Seja a função f(x) = ax² + bx +c. O que as constantes a, b e c interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice, a constante b interfere na declividade da parábola de acordo com o eixo Y, e a constante c interfere

27 27 na altura da parábola com relação ao eixo Y, uma vez que determina onde a parábola corta o eixo das ordenadas. Exponenciais. 3) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções a) Construa o gráfico da função f(x) = 2ᵡ b) Construa o gráfico da função g(x) = 3.2ᵡ

28 28 c) O que ocorre quando multiplicamos por 3 a função f(x) = 2ᵡ? Resposta: A gráfico da função corta o eixo y na altura 3. d) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico da função cortaria o eixo das ordenadas na altura 4, por se tratar da ordenada do ponto no eixo Y. e) Construa o gráfico da função h(x) = 5ᵡ. f) O que ocorre ao trocarmos por 5 a base da exponencial? Resposta: O gráfico cresce mais rapidamente, com relação ao eixo y. g) E se trocássemos por 7, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Y. Resposta: O gráfico cresceria ainda mais rápido, com relação ao eixo

29 29 h) Seja a função f(x) = a.bᵡ. O que as constantes a e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na velocidade com que há o crescimento (ou decrescimento) do gráfico com relação ao eixo das ordenadas e a constante b determina se a função é crescente ou decrescente.. 4) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções Logarítmicas a) Construa o gráfico da função f(x) = log(x) b) Construa o gráfico da função g(x) = 4log(x)

30 30 c) O que ocorre quando multiplicamos por 4 a função f(x) = log(x)? Resposta: O gráfico apresenta um afastamento do eixo X, significando que há uma diminuição da velocidade de crescimento do gráfico com relação ao eixo X. d) E se multiplicássemos por 8, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico que representa a função se afastaria ainda mais do eixo das abscissas, representando uma diminuição maior da velocidade de crescimento do gráfico. e) Construa o gráfico da função h(x) = log (2x) f) O que ocorre ao multiplicarmos o x por 2? Resposta: A posição onde o gráfico corta o eixo x é alterado, no caso é deslocado mais para a esquerda, se aproximando de zero.

31 31 g) E se trocássemos por -3, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico da função seria invertido, com relação ao eixo x, e a posição onde o gráfico cortaria x seria mais próxima à zero, sendo a aproximação feita pela esquerda. h) Seja a função f(x) = a.log(bx). O que as constantes a e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na velocidade de crescimento (ou decrescimento) da função e a constante b interfere na posição onde o gráfico corta o eixo das abscissas além de determinar é crescente ou decrescente. 5) Agora, utilizando os métodos que utilizamos para as demais funções, chegou sua vez de descobrir o que as constantes a, b e c interferem no gráfico das seguintes funções trigonométricas: a) f(x) = a.sen(bx+c) Resposta: A constante a causa mudança na inclinação do gráfico da função sendo que, quando a>1 a inclinação aumenta e quando 0<a<1 a inclinação diminui. Se a é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo das abscissas, quando comparado ao gráfico da função oposta. A constante b muda o período da função alterando assim a abertura de cada onda da senóide, estreitando o gráfico à medida que o valor de b aumenta. A constante c causa uma transladação do gráfico com relação ao eixo das abscissas de -c unidades. b) g(x) = a.cos(bx+c) Resposta: Da mesma forma que na função seno, a constante a irá causar uma mudança na inclinação do gráfico da função visto que, quando a>1

32 32 a inclinação aumenta e quando 0<a<1 a inclinação diminui. Se a é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo das abscissas, quando comparado ao gráfico da função oposta. A constante b muda o período da função alterando assim a abertura de cada onda da cossenóide, estreitando o gráfico à medida que o valor de b aumenta. A constante c irá interferir no deslocamento do gráfico com relação ao eixo das abscissas de -c unidades. c) h(x) = a.tg(bx+c) Resposta: A constante a causa uma mudança na inclinação do gráfico da função. Quando a>1 a inclinação aumenta e quando 0<a<1 a inclinação diminui. Para a é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo horizontal, considerando-se o gráfico da função oposta. A constante b provoca uma mudança no período da função. A constante c provoca uma translação do gráfico com relação ao eixo horizontal de -c unidades do gráfico da função f(x)=a.tg(bx+c).

33 33 SEGUNDA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GRAFEQ Utilizando o conhecimento adquirido até aqui sobre funções e a influência que suas respectivas constantes causam na construção de seus gráficos (como pode ser analisado na atividade anterior) construa a imagem abaixo, no software GrafEq, utilizando as funções que julgar necessário. E vale lembrar que é necessário delimitar as funções para criar o desenho desejado. (desenho CASA) Resolução para a construção da casa: Para a construção da grama foi utilizado o gráfico da Função Trigonométrica Seno com a seguinte forma. Para a construção da árvore foram utilizados os gráficos de Exponencial na forma com e (tronco esquerdo) e

34 34 com e (tronco direito), e ainda o gráfico de Circunferência na forma para a cúpula. Para a montanha foi utilizado o gráfico de Função de Segundo Grau na forma com. E para terminar, na construção da casa foram utilizados gráficos de Função do Primeiro Grau onde com e com.

35 35 CONCLUSÃO A linguagem gráfica permite uma melhor visualização e compreensão de conteúdos Matemáticos, levando em consideração as dificuldades de alunos com tal manipulação e interpretação. A Geometria permite ligar a Matemática e a Arte, como visto na elaboração da atividade no Software GrafEquation, tratando do tema funções chamando a atenção para a importância da linguagem gráfica, levando em consideração a possibilidade de compreender a manipulação dos gráficos fazendo desse uso aulas mais dinâmicas e concretas, utilizando como objeto de aprendizagem os softwares gráficos e geométricos sugeridos. A concretização desta apostila nos permitiu perceber o quanto a formação matemática dos alunos no Ensino Médio é insuficiente, pelo menos em relação aos aspectos relacionados ao estudo de gráficos de funções e utilização de softwares. Normalmente este estudo é feito somente na questão algébrica, onde os gráficos são apresentados apenas como uma possibilidade de representação da lei algébrica, quase sempre feito a partir de tabelas numéricas com pontos magicamente sugeridos pelo professor. Porém com este material e sugestão de atividades, o aluno pode concretizar as idéias que já conhece sobre funções utilizando os softwares sugeridos, podendo não somente criar diversos desenhos com gráficos, mas também interpretar os gráficos, sendo muito importante para a compreensão do conteúdo de gráfico de funções.

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