UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática

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1 UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática JONAS DA CONCEIÇÃO RICARDO UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS MEDIADA PELA TECNOLOGIA: UM ESTUDO DE CASO Vassouras 01

2 R357p Ricardo, Jonas da Conceição Uma proposta para o ensino de funções quadráticas mediada pela tecnologia : um estudo de caso. Caderno de atividades com tutorial [com o uso do GeoGebra] / Jonas da Conceição Ricardo. Vassouras, 01. iv, p. il. 9,7 cm. Orientador: Julio Cesar da Silva. Coorientador: Ana Maria Severiano de Paiva. Dissertação (mestrado) Educação matemática, Universidade Severino Sombra, 01. Inclui bibliografias e anexos. 1. Matemática.. Funções (Matemática). 3. Software. I. Silva, Julio Cesar da. II. Paiva, Ana Maria Severiano de. III. Caderno de atividades com tutorial. IV. Universidade Severino Sombra. V. Título. CDD 510 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade Severino Sombra / Vassouras - RJ

3 JONAS DA CONCEIÇÃO RICARDO UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS MEDIADA PELA TECNOLOGIA: UM ESTUDO DE CASO Produto da dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientadores: Professora Dra: Ana Maria de Paiva Severiano Professor Dr: Júlio César da Silva Vassouras 01

4 LISTA DE FIGURAS FIGURA 01 Tela inicial do Geogebra 08 FIGURA 0 Criando parâmetros no Geogebra 09 FIGURA 03 Tornando os parâmetros visíveis 09 FIGURA 04 Gráfico gerado após executado os comandos da atividade 10 FIGURA 05 Animação dos parâmetros 11 FIGURA 06 Modificação da cor da parábola 1 FIGURA 07 Gráfico gerado após executado os comandos da atividade 5 13 FIGURA 08 Gráfico gerado após executado os comandos atividade 6 15 FIGURA 09 Gráfico gerado após executado os comandos atividade 7 16 FIGURA 10 Gráfico gerado após executado os comandos atividade 8 17 FIGURA 11 Gráfico gerado após executado os comandos atividade 9 18 FIGURA 1 Gráfico gerado após executado os comandos atividade 10 19

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE ATIVIDADE BIBLIOGRAFIA

6 6 INTRODUÇÃO O presente produto é parte integrante da dissertação de mestrado do programa de pós-graduação stricto sensu- Mestrado em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra. O objetivo é: Propor um material geométrica da função quadrática. Esse estudo permite: de apoio com tutorial para auxiliar a representação Um primeiro contato do aluno com funções que apresentam uma regular variação de crescimento. Ainda que o primeiro contato do aluno com função tenha sido com a função afim, o tipo de crescimento proposto pelas funções quadráticas é diferente por: Nos remeter a uma idéia de retorno., pensando da seguinte forma: enquanto uma grandeza (x) cresce, a sua correspondente também age da mesma forma e depois decresce(ou vice-versa), assumindo assim, os valores anteriormente assumidos. Em conformidade com que deseja o Parâmetro Curricular Nacional, e as Orientações Curriculares Nacional, foi que o produto dessa dissertação foi pensado: Não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação e comunicação na configuração da sociedade atual. Por um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la; por outro lado, tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática. É importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática ( BRASIL, 006, p. 87) Em outro momento em conformidade temos outra orientação para a utilização da tecnologia como parte integrante do processo educacional: [...] Já se pensando na Tecnologia para a Matemática, há programas de computador (softwares) nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos, referidos a seguir como

7 7 programas de expressão. Os programas de expressão apresentam recursos que provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o pensar matematicamente, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas. São características desses programas: a) conter um certo domínio de saber matemático a sua base de conhecimento; b) oferecer diferentes representações para um mesmo objeto matemático numérica, algébrica, geométrica; c) possibilitar a expansão de sua base de conhecimento por meio de macro construções; d) permitir a manipulação dos objetos que estão na tela[...](brasil, 006,p.88) Em conformidade do que é proposto foi pensada: Seqüência didática onde utilizamos uma abordagem computacional para plotagem de gráficos, facilitando assim a construção geométrica da função quadrática, para tal foi utilizando o software Geogebra 1. As atividades foram pensadas com conformidade com a matriz de referência do SAERJINHO, valorizando em cada questão o descritor 3 da mesma. Dentre a abordagem que propusemos a fazer, alguns pontos merecem algum destaque, como por exemplo a abordagem da forma canônica, além de uma abordagem clássica pode trazer muitos ganhos em relação à analise da construção de parábolas. Essa abordagem torna interessante pelo fato de: Possibilitar que o aluno reconheça uma outra forma, técnica, de resolução como a de completar quadrado ou desenvolvendo as operações. A escolha do software educacional para o estudo de funções se da pelo fato de: ser um software free; poder ser utilizado tanto no sistema operacional Linux quando no sistema operacional Windows. As propostas aqui desenvolvidas não tem a finalidade de ser uma proposta inovadora, apenas tentamos fazer com que as mesmas possam completar o material que já é proposto nos livros didáticos, há de se ressaltar que existem propostas, com essa mesma finalidade onde o software educacional utilizado é diferente; diante disso não 1 Disponível em : < acessado em 4out.01 Avaliação externa a qual os alunos do ensino médio da SEEDUC/RJ são submetidos bimestralmente 3 Item ao qual queremos analisar o conhecimento do aluno.

8 8 temos a pretensão de colocarmos o nosso produto como o rotulo de ineditismo, apenas uma outra proposta para o que já é existente. Por se tratar de um produto de uma dissertação de mestrado, as atividades aqui elencadas já foram testadas fazendo com que houvesse uma boa aceitação por parte dos alunos. As dificuldades encontradas ao longo da pesquisa, são dificuldades que possivelmente, vocês professores possam vir a encontrar: quantidade mínima de computadores para turmas super lotadas; falta de pessoas para instalar os programas nos computadores, porém não chega a ser suficientes para que possamos desenvolver um bom trabalho junto com os alunos. Para o problema de sala de informática com quantidade ínfimas de computadores a sugestão que fica é: Utilização, mesmo na sala de aula, de data-show e laptop. Ainda que os alunos fiquem somente observando o que o professor esteja fazendo na tela do computador, para os mesmos, fica muito mais atraente quando eles podem observar o dinamismo de uma função, tirando a aparência estática que uma parábola, ou qualquer outro gráfico, tem ao ser escrito seja num quadro branco ou negro. Com essa abordagem proposta tentamos: Evitar as tabelas de construção do gráfico de qualquer função, em particular a parábola. Fazemos isso pensando que esse método pode não trazer nenhum ganho conceitual, senão as operações matemáticas envolvidas, o ideal nesse caso é que seja feito o caminho inverso, ou seja, a partir do gráfico montarmos as tabelas. No quesito avaliação, podemos pensar na mesma como sendo um esforço sistemático para interpretar e acessar informações cujo professor e aluno se propuseram compartilhar determinados conceitos, sendo assim pode-se pensar em diversidades de estratégia para decidir se o processo foi bem sucedido ou não, quais as práticas merecem ser revistas, quais foram as que alcançaram um entendimento desejado do conteúdo e quais possibilitaram que os estudantes desenvolvessem cada uma das

9 9 habilidades relacionadas aos temas estudados. Esperamos que essa seqüência didática proposta possa ajudá-los ao ministrar de uma maneira mais dinâmica essa parte do conteúdo. ATIVIDADE 1: DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Nessa atividade a intenção é fazer com que o aluno partindo de uma função quadrática simples, a mais usual, possa: identificar, graficamente raízes, vértices e a simetria da função, a partir da função dada e o gráfico gerado. HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial do º grau. Digite na barra de entrada a função f ( x) x e responda: Figura 1: Tela inicial do Geogebra a) Quais são as raízes da função? b) Quais são os pontos de vértice dessa parábola? c) Existe alguma simetria em relação a algum eixo, se houver qual?

10 10 ATIVIDADE : DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Nessa atividade deseja-se: propor um estudo dos parâmetros a, b e c da função quadrática do tipo f ( x) ax bx c. HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer a variação de um gráfico através da variação dos seus coeficientes Digite na barra de entrada a = 1 entra; b =1 entra; c = 1entra. Figura : Criando parâmetros no geogebra Após ser feito isso siga os seguintes passos: clique sobre os pontos a, b, e c que estão à direita da tela do geogebra. Aparecerá no º quadrante do gráfico cartesiano três linhas com uma bolinha preta em cada uma; clique com o botão direito do mouse sobre a bolinha e aparecerá um outra tela, nesta tela você deve marcar exibir rótulo, faça isso nos três parâmetros. Figura 3: Tornando os parâmetros visíveis

11 11 Após ser feito isso siga os seguintes passos: digite na tela de entrada o comando: a*x^+b*x+c. aparecerá um gráfico de uma função; a partir daí clicando com o botão do mouse em cima dos parâmetros faça os deslizar; estimule os alunos possam tirar suas próprias conclusões a partir da variação dos parâmetros a, b e c. Figura 4: Gráfico gerado após executado os comandos da atividade Obs: Caso queira mostrar aos alunos a dinâmica da função clique: sobre o parâmetro que você quer fazer variar com o botão direito do mouse e marque animar.

12 1 Figura 5: Animação dos parâmetros a- O que acontece quando varia o parâmetro a? b- O que acontece quando varia o parâmetro b? c- O que acontece quando varia o parâmetro c? ATIVIDADE 3: DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Nessa atividade, assim como na atividade anterior, deseja-se: propor um estudo dos parâmetros a, b e c da função quadrática do tipo f ( x) ax bx c. HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer a variação de um gráfico através da variação dos seus coeficientes Adotando o gráfico do exercício anterior responda as questões: a) O que acontece quando a é positivo e se aproxima de zero? E quando a é negativo e se aproxima de zero? b) Qual o domínio da função f ( x) ax bx c, para parâmetros definido a = 1 e ENTER, b = 1 e ENTER e c = 1 e ENTER c) Qual a sua imagem?

13 13 ATIVIDADE 4: DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Com essa atividade, espera-se que os alunos após terem visto a variação do coeficiente a da função quadrática possa perceber que: se em uma função quadrática tem-se que a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima, de igual modo se o coeficiente a da função quadrática for do tipo a < 0 a concavidade da parábola e voltada para baixo HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer o gráfico de uma função a partir de sua lei de formação Esboce, numa mesma janela, os gráficos das funções abaixo: a) f1 ( x) x, b) f ( x) x, c) 3 f 3( x) x 5 3 d) f 4 ( x) x 5 Obs: Pensando em facilitar a visualização dos gráficos gerados pelas funções o ideal é que cada gráfico gerado seja feito de uma cor. Isso pode ser feito da seguinte forma: Na tela de entrada digite: a função, por exemplo, f ( x) x ; ao aparecer o gráfico gerado pela função, clique com o botão direito do mouse, clique em propriedades, cores e escolha a cor que quiser para o gráfico. Figura 6 : Modificação da cor da parábola a) Quais são as funções cujos gráficos são parábolas com concavidade voltada para cima? b) Quais são as funções cujos gráficos são parábolas com concavidade voltada para baixo? c) De que forma o coeficiente a da função parábola? f ( x) ax determina a concavidade da

14 14 d) Os gráficos das funções reflexão em relação a que eixo? f ( x) ax e f ( x) ax, com a 0, mostram uma ATIVIDADE 5: DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Essa atividade tem por finalidade: verificar o entendimento do aluno sobre a mudança de representação de uma função quadrática HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer o gráfico de uma função a partir da sua lei de formação Adotando o mesmo princípio da atividade 4, esboce, numa mesma janela, os gráficos das funções abaixo: Obs: assim como na atividade anterior, o ideal que cada função fosse feita de um cor, para que o aluno não sinta-se confuso na hora de responder. f 1 (x) = -x, f (x) = x +3, f 3 (x) = x +4, f 4 (x) = -x -1, f 5 (x) = 3x, f 6 (x) = x Figura 7 : Gráfico gerado após executado os comandos da atividade 5

15 15 a) Destaque os coeficientes de cada função. b) Ao fazermos uma comparação entre os gráficos f(x) = x com o gráfico de f(x) = x +3, observa-se uma translação horizontal ou vertical? De quantas unidades? Para que lado? c) Ao compararmos o gráfico de f(x) = -x -1 com o gráfico de f(x) = x, observase uma translação horizontal ou vertical? De quantas unidades? Para que lado? d) Que tipo de deslocamento é determinado pela variação do coeficiente c (termo independente de x)? ATIVIDADE 6: DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Essa atividade tem por finalidade: verificar o entendimento do aluno sobre a mudança de representação de uma função quadrática. HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer o gráfico de uma função a partir da sua lei de formação, analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos. Digite as funções abaixo na barra de entrada do geogebra e responda as questões: f(x) = x, f(x) = (x-1) +1, f(x) = (x+1) + 1/4, f(x) = -(x-) e f(x) = (x-3) +1 Uma função da forma f(x) = ax + bx + c (com a 0) é chamada de função quadrática. Uma função quadrática sempre pode ser escrita na forma canônica f(x) = a(x+h) + k. Esta forma é a mais conveniente para obter propriedades de f. O seu gráfico, uma curva chamada parábola (cujas propriedades você irá estudar no futuro), pode ser obtido a partir de transformações do gráfico de f(x) = x. Dependendo do sinal de a, f(x) possui um valor mínimo (quando a > 0) ou máximo (quando a < 0), que ocorre para x = h. Este valor é a abscissa do vértice da parábola, ou seja, o ponto em que o eixo de simetria da curva a intersecta. As raízes de f(x) =0 são também obtidas de forma imediata a partir da forma f(x) = a(x+h) + k (daí vem a fórmula de resolução das equações do º grau).

16 16 Figura 8 : Gráfico gerado após executado os comandos atividade 6 a) Qual é a raiz das funções f (x) = (x+1) + ¼ e f(x) = (x-1) + 1 b) Quais os vértices da parábola das 5 funções? c) Ao esboçar todos os gráficos o que você observou em relação ao vértice das parábolas? ATIVIDADE 7 DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE : A finalidade dessa atividade é: fazer que com que os alunos criassem applets e a partir dos mesmos tirassem suas conclusões a cerca das variações dos coeficientes das funções quadráticas. Nessa atividade damos ênfase a forma canônica da função quadrática. HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer a função quadrática na sua forma fatorada. Utilizando a função quadrática f ( x) a( x m)² k, e fazendo variar os parâmetros a, m e k responda as questões:

17 17 Obs:Para efetuarmos essa tarefa precisaremos inicialmente definir esses parâmetros no Geogebra. Para isso, digite na caixa de entrada, seguidamente, a =1 e ENTER, m=1 e ENTER e k=1 e ENTER. Feito isso escreva na caixa ENTRADA (parte inferior da tela) a função f(x) = a*(xm)^+k, desta forma mesmo, com * e ^, tecle ENTER e siga os passos indicados abaixo, respondendo aos itens propostos. Figura 9 : Gráfico gerado após executado os comandos atividade 7 a) Descreva com suas palavras a parábola apresentada na janela de visualização, por que a mesma e apresentada dessa forma? b) Clique com o botão do mouse no ponto referente aos parâmetros, fazendo os deslizar, descreva o que tem acontecido com a parábola. c) Fixando o parâmetro a no valor 1, faça deslizar o ponto m, descreva o acontecido com a parábola. d) Fixando o parâmetro a no valor 1, faça deslizar o ponto k, descreva o acontecido com a parábola. e) Utilizando como ponto de vértice da parábola (1,) e que tenha raízes -1 e 3. Trace o gráfico dessa função. Quais os valores que você usou para a, m e k? ATIVIDADE 8 DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE : A finalidade dessa atividade é: continuar a atividade 7. Nessa atividade damos ênfase a forma canônica da função quadrática. HABILIDADE RELACIONADA: Reconhecer a função quadrática na sua forma fatorada. Adotando o mesmo procedimento da tarefa 7:

18 18 execute os procedimentos descritos na atividade anterior para a função f ( x) ax² bx c. Defina em uma nova tela do Geogebra os parâmetros a, b e c e na caixa de entrada f(x)= a*x^+b*x+c, ; faça os parâmetros deslizar na seqüência, um de cada vez, fazendo retornar ao valor 1, antes que o outro parâmetro seja alterado e responda: a) Descreva a parábola quando você desliza o ponto relativo ao parâmetro a? b) Descreva o que aconteceu quando o ponto deslizado foi o ponto relativo ao parâmetro b? c) E com o parâmetro c? d) Pensando da atividade da tarefa 7 proposto no item (e), faça surgir a partir dos da movimentação dos parâmetros a, b e c uma parábola côncava para baixo com vértice no ponto (1,) e que tenha raízes em -1 e 3: Quais foram os valores utilizados nos parâmetros? Figura10 : Gráfico gerado após executado os comandos atividade 8

19 19 ATIVIDADE 9 DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Nessa atividade foi feita uma adaptação de um problema que envolve uma representação da função quadrática. HABILIDADE RELACIONADA: identificar uma equação do º grau que expressa um problema. (ENEM 000- ADAPTADA) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se R(x) = k.x.(p x), onde k é uma constante positiva característica do boato. Utilizando o Geogebra, e se apropriando das atividades até então desenvolvidas, criar parâmetros, digitar uma função na barra de entrada, crie o gráfico da função definida no enunciado acima. Figura 11 : Gráfico gerado após executado os comandos atividade 9

20 0 ATIVIDADE 10 DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Essa atividade é uma atividade livre, onde o aluno testa tudo aquilo que ele aprendeu nas atividades anteriores. HABILIDADE RELACIONADA: H6: Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial do º grau Represente graficamente as funções abaixo, utilizando o Geogebra e complete as lacunas. Obs: assim como em atividades anteriores, caso os alunos venham digitar todas as funções na mesma tela, recomenda-se que seja cada função fosse feita de um cor, para que o aluno não sinta-se confuso na hora de responder. a) f(x) = x b) g(x) = x + 1 c) h(x) = (x 3) d) i(x) = x Figura1 : Gráfico gerado após executado os comandos atividade 10

21 1 Para obter o gráfico de g, basta transladar o gráfico de f em... unidades para...; para obter o de h, basta transladar o gráfico de f... unidades para... E para obter o de i?

22 CONCLUSÃO Assim como já falado no inicio, o presente trabalho não tem por finalidade substituir outros materiais didáticos já existentes, na verdade a nossa proposta que o mesmo seja utilizado juntos dos outros materiais que o professor possui para produzir a sua aula, como livros didáticos, vídeo aulas ou outro tipo de qualquer de material que os mesmos julguem ser importante para o bom andamento da sua aula. As atividades aqui elencadas, foram testadas em turmas do 1º ano do ensino médio do Colégio Estadual Dr Albert Sabin, situado no Estado do Rio de Janeiro, nem sempre o que propusemos dá certo na sua integra, mas entendemos que qualquer tipo de diversificação na prática docente pode ser fundamental para a mudança de postura dos alunos frente as dificuldades encontradas. Há de se ressaltar que as atividades por si só, não são o suficiente para o bom entendimento de funções quadráticas e sua representação geométrica, essa afirmação pode-se concluir pelo fato de ter ocorrido nas aplicações da mesma termos debatido muito os conceitos fundamentais da função quadrática, como ponto de vértice, característica da concavidade da função, ponto de interceptação no eixo das abscissa e ordenadas e eixo de simetria, a representação geométrica dos pontos abordados os torna dinâmicos fazendo com que o aluno tenha um melhor entendimento do que estão falando. Esperamos que o objetivo traçado na elaboração desse caderno de atividade possa ser alcançado que é oferecer uma outra forma de abordagem de um mesmo item, projetando assim uma melhora gradativa não só do desempenho dos alunos, que esse caderno por ventura possa vir a alcançar, como a melhoria dos docentes que são peças fundamentais nessa engrenagem educacional.

23 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CARVALHO, P.C.P;WAGNER. E; LIMA, E.L Projeto SEE-RJ/IMPA/Instituto Unibanco Melhoria do Ensino Médio- Funções Quadráticas, Rio de Janeiro- IMPA, 008, 17p. Apostila CECIERJ, Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro. Funções quadráticas- matemática 1º ano 3º bimestre 1º ciclo. CEDERJ: Rio de Janeiro, 011. DANTE, L. Matemática, 1ª Ed. São Paulo: Ática 004 IEZZI,G et al. Ciências e Aplicações, 1: Ensino Médio, 6 ed-são Paulo: Saraiva,010 MEC.Parâmetros Curriculares Nacionais - Ensino Médio, Parte III - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias: MEC/SEMT, 006. SANTOS, A. R dos et al, INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES REAIS: Um enfoque Computacional, Departamento de Métodos Matemáticos- Instituto de Matemática- UFRJ, 1998