Equação e Função do 1º Grau. Rafael Carvalho

Transcrição

1 Equação e Função do 1º Grau Rafael Carvalho

2 Equação do 1º Grau Introdução às equações de primeiro grau Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Equação do 1º Grau Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Equação do 1º Grau Equações de primeiro grau com uma variável Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Equação do 1º Grau A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Equação do 1º Grau Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como: Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Equação do 1º Grau As equações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma: ax + b = 0. Em que a e b são constantes reais, com a 0, e x é a incógnita. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Equação do 1º Grau As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Equação do 1º Grau 1. Resolver as equações: 2x + 4 = 10 2x = 6 x = 6/3 x = 2 5k - 12 = 20 5k = 32 k = 32/5 9h - 2 = h 9h - 2h = h = 18 h = 18/7 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Equação do 1º Grau Exemplos: 2. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Equação do 1º Grau c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c = c = 26 c = 13 Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13 4 = 9 anos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Equação do 1º Grau 3. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade B com a letra b. Assumiremos que a = 3b. Dessa forma, poderemos escrever: a + b = b + b = b = b = Resposta: Como a = 3b, então a população de A corresponde a: a = = habitantes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Questão 1 ENEM 2009 Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Questão 1 ENEM 2009 a) R$ 14,00. b) R$ 17,00. c) R$ 22,00. d) R$ 32,00. e) R$ 57,00. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Resolução De acordo com o enunciado da questão, 50 pessoas já haviam pagado sua parte da despesa total, por isso não consideraremos o valor total para elas, apenas o valor de R$ 7,00 adicional, que deverá ser multiplicado por 50 pessoas. Além desse pessoal, outros cinco juntaram-se ao grupo e precisam pagar sua parte, um valor que não conhecemos e, portanto, podemos identificar como x. Somando-se o valor que essas pessoas pagarão ao valor acrescentado ao restante do grupo, teremos um recolhimento de R$ 510,00. Podemos então montar uma equação do 1 grau: (50 7) + (5 x) = x = 510 5x = x = 160 x = 32 Portanto, cada um pagou o valor total de R$ 32,00. Logo, a alternativa correta é a letra d. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Questão 2- ENEM 2010 O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Questão 2- ENEM 2010 a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Resolução Podemos interpretar o enunciado da questão como: No primeiro salto, ele atinge uma distância desconhecida, que pode ser chamada de x m; No segundo salto, a distância diminui 1,2 m em relação ao primeiro salto, logo a distância é de (x 1,2) m; No terceiro salto, a distância reduz ainda 1,5 m em relação ao anterior, portanto a distância é (x 1,2 1,5) m, que equivale a (x 2,7) m. Se o atleta pretende alcançar a distância total de 17,4 m, somando as distâncias em cada salto, teremos a seguinte equação do 1 grau: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Resolução x + (x 1,2) + (x 2,7) = 17,4 x + x 1,2 + x 2,7 = 17,4 3x 3,9 = 17,4 3x = 17,4 + 3,9 3x = 21,3 x = 21,3 3 x = 7,1 Portanto, o valor de alcance do primeiro salto é 7,1 m. Esse valor está entre 7,0 m e 8,0 m, sendo assim, a alternativa correta é a letra d. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Funções Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como: Uma coisa depende da outra ou Uma está em função da outra. A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Funções o A máquina de dobrar o Nesse caso, temos: O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Funções - Domínio Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função, pois representa as entradas para a função f. Ou seja, os valores que podem ser usados na função. O domínio da função indicaremos por D(f). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Funções - Imagem Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos os valores de y obtidos através de x é chamado de conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o resultado de f(x), que representa os valores reais obtidos quando aplicamos um x do domínio na função e é indicado por Im(f). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Funções Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função. Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo: Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornar um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função (liquidificador). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

25 Funções Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a função liquidificador não poderá processar esse x (pedra), NÃO sendo possível obter f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte do domínio da função (liquidificador). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25

26 Função do 1 grau A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26

27 Função do 1 grau A remuneração de um vendedor de uma loja é feita em duas parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas na semana. R(x) = ,12. x Função polinomial do 1º Grau f:r R, sendo f(x) = ax + b com a, b R e a 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27

28 Função do 1 grau Características importantes da função do 1º grau: Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado coeficiente angular. Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado coeficiente linear. A função do primeiro grau é crescente em R quando a > 0 e decrescente em R quando a < 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28

29 Função do 1 grau Para função f(x) = 2x + 4. O coeficiente angular a é o número 2; O coeficiente linear b é o número 4. Como a>0, a função é crescente em R. Para função f x = 2 3 x O coeficiente angular a é o número 2 3 ; O coeficiente linear b é o número 1 2. Como a<0, a função é decrescente em R. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29

30 Função do 1 grau 1) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2. 2) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear igual a 4. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30

31 Função do 1 grau Raiz ou zero da função é um valor do seu domínio cuja imagem é zero. Em resumo, é o valor de x para que y seja nulo (y = 0). Sendo y = f(x) = ax + b, com a 0, tem-se: x é zero ou raiz de f f x = 0 Assim, ax + b = 0, que apresenta uma única solução, nos leva a x = b a para a 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31

32 Função do 1 grau Exemplo: Seja a função y = 2x 4. Para obtermos sua raiz ou zero, faremos y = 0. 2x 4 = 0 2x = 4 x = 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 32

33 Questão 3- ENEM 2013 O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ ,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ ,00, enquanto a segunda cobrou R$ ,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ ,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

34 Questão 3- ENEM 2013 a) 100n = 120n b) 100n = 120n c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n ) = 120(n ) e) 350(n ) = 150(n ) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

35 Resolução Vamos identificar a primeira empresa descrita como Empresa A e a segunda como Empresa B. Podemos utilizar funções do 1 grau para descrever o preço cobrado por cada empresa. A empresa A tem um custo fixo de R$ ,00 e cobra R$ ,00 por km construído (n), então é o termo constante e é o coeficiente da variável n. A função que representa a empresa A é: y A = an + b y A = n UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Resolução Para a empresa B, podemos afirmar que o custo fixo de R$ ,00 é o termo constante e o valor de R$ ,00 por km construído (n) é o coeficiente da variável n. Portanto, a função do preço cobrado pela empresa B é: y B = an + b y B = n O valor cobrado pelas duas empresas será o mesmo quando y A = y B, então, temos: y A = y B n = n Dividindo ambos os membros da equação por 1000, teremos: 100.n = 120.n A alternativa que apresenta a equação correta é a letra a. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36

37 Obrigado! Parceria: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37