Resoluções de Exercícios

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1 Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA V Capítulo 05 Noções de Probabilidade Parte II 3 o ) P(I B) = Observação: Diagrama de Árvore Considere as probabilidades seguintes a) P(I) = = P(II) b) P(B I) = e P(V I) = 01 A) c) P(B II) = e P(V II) = O esquema abaixo é bastante útil para analisar determinados problemas de probabilidade. B) C) O termo independente de x será aquele que torna 1 4p = 0, isto é, p = 3. Então, o termo será: = 0 D) A posição do termo médio será igual a: Portanto, o termo será igual a: = E) x 8 aparecerá quando 1 4p = 8, isto é, quando p = 1. Logo, o termo será igual a: = 1x 8 F) Soma dos coeficientes As 3 perguntas da 9 a questão de sala podem ser respondidas com a ajuda do diagrama. 1 o ) P(I B) = o ) P(B) = P(I B) + P(II B) = 3 o ) P(I B) = 01 D 0 Considere os eventos: I = A bola escolhida é da urna I II = A bola escolhida é da urna II B = A bola ser branca Resolução: Urna I 1 o ) P(I B) = P(I) P(B I) = Urna II o ) P(B) = P (I B) + P(II B) = + P(II) P(B II) = 01 A) P(H H H H H) = p(h) p(h) p(h) p(h) p(h) = B) P(exatamente 3 homens) = C) 48 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA V

2 01 C 1 o ) 84 apostas com 6 dezenas diferentes irão produzir 84. C 6,5 = 504 possibilidades de se obter uma quina. o ) Com 9 dezenas apostadas teremos C 9,5 = 16 possibilidades de se obter uma quina. 05 D = 1 = 6 = 3 = 1 = 6 = Então, 16 = = 10 = 30 = 15 = 15 a camada 40 = 10 = D Considere os eventos M = nascer uma mulher e P(M) = H = nascer um homem e P(H) = Então; P( ) = =. Então: Total = = = = 06 C A tabela da questão é o famoso triângulo de Pascal. 01 A) 07 B Qualquer termo do desenvolvimento do binômio será dado por: Para que o termo acima seja independente de x, devemos ter: Fazendo agora p = 6, temos: B) 08 E C) D) Como o expoente de x é 5, temos 4p 7 = 5, isto é, p = 3. Fazendo, agora p = 3, temos: Portanto, o coeficiente pedido é B O termo geral do binômio é 0 A 03 C 04 C O termo independente de x, se existir, é o natural p, que torna o expoente de x igual a zero, ou seja, Em consequência, o termo independente de x existe e é igual à: Portanto, segue-se que o resultado é = 4. MATEMÁTICA V MATEMÁTICA Volume 04 49

3 10 O termo geral do binômio é dado por: 08 A x y = (7 0 ) (7 0 ) = 0. Sabendo que o quinto termo é independente de x, temos que k = 4 e, portanto, 09 E 01 B Régis pode escolher 4 camisas quaisquer de maneiras. Dentre essas escolhas, ele poderá selecionar 4 camisas brancas de modos e 4 camisas azuis de maneiras. 10 B Fazendo x = 1, obtemos: Soma = ( ) 50 = 1 50 = 1 Portanto, o resultado pedido é dado por = B Escolhendo 3 lugares para as letras C 6,3 = 0 x = C 6,3 = y = Logo, 01 Considere os eventos A = a 1 a retirada é de camarão B = a a retirada é de camarão P(A B) = P(A). P(B A) = 03 B O resultado pedido é dado por: 0 P(não contactar) = P P = (0,4) (0,) = 0,08 = 8% Logo, P(contactar) = 9% 04 D E = (103 3) 4 = (100) 4 = D Para o teatro ser aberto, temos que abrir no mínimo 1 porta. Então, o total de modos de fazer será igual a: 06 C 07 E Logo o coeficiente de x é D P(duas verdadeiras) = = 64% = 100% 64% = 36% 04 C Se existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5, restam 3 bolas, que, pelas regras do jogo, estarão distribuídas igualmente nas linhas 1, e 3. A probabilidade pedida será: 05 E P( a 3 a 4 a 5 a ) = 1 o ) x = p(ganhar: 1 a opção) = = 30% o ) y = P(ganhar: a opção) = = P( ) + P( ) + P( ) y = + + = = 8% 3 o ) P(de não ganhar com a 3 a opção) = P( ) = = 7,9% Logo, z = p(ganhar algum prêmio) = 100% 7,9% = 7,1% 06 C P( ) = = 7% 50 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA V

4 07 E As cores que podem ficar com o maior número de bolas, após o procedimento de retirada e depósito, são a verde (3 ou 4) e a vermelha (4). Portanto, como a probabilidade de retirar uma bola verde da urna é 06 D e a probabilidade de retirar uma bola vermelha da urna é segue que o jogador deve escolher a cor vermelha. 08 D Sendo B o evento consulta a internet para se manter informado e A o evento homem, queremos calcular P(A B). Logo, segue-se que o resultado é igual a A probabilidade de se escolher uma pessoa que fala Português é: 07 B Total de cadetes: = 80. Cadetes com 0 ou 1 anos: = 70. Probabilidade: 09 D Divisíveis por 4: 10 C Divisíveis por 5: Divisíveis por 4 e 5: Portanto, a probabilidade pedida será: e e e 08 A 09 D Para cada posição temos 5 escolhas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, podem ser geradas senhas. Desde que A e B são independentes, tem-se Portanto, do Teorema da Soma, vem Luís pode receber 3 cartas de ouros de maneiras e 5 cartas quaisquer de modos. Portanto, segue que a probabilidade pedida é igual a 10 A) Podemos sortear três números distintos entre doze possíveis de 01 maneiras. Portanto, a probabilidade pedida é B) Uma aposta em cinco números corresponde a 0 P = (0,8) 6 (0,) 03 E Se a probabilidade de um atropelamento escolhido ser com morte é apostas de três números. Em consequência, uma aposta em cinco números deveria custar, então a probabilidade pedida é de D Quem teve a maior redução foi o Diego. 01 E = 10 6 = n( ) P(E) = = 0,1% 0 C Sócrates deve obter pelo menos dois seis. 05 B Total de alunos: = 50. A probabilidade de que este esteja com peso ideal é Portanto, a probabilidade será P = =. MATEMÁTICA V MATEMÁTICA Volume 04 51

5 03 D Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item A) ou um único 6 e pelo menos um D A probabilidade de que um aluno não compreenda ou não fale inglês é 1 0,3 = 0,7. Logo, a probabilidade de que nenhum dos alunos compreenda ou fale inglês é 0,7 0,7 0,7 = 0,343. Portanto, a probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é 1 0,343 = 0,657 = 65,7%. 01 B 1 o ) comprimento = 17 9 = 8 h Logo, a probabilidade será P = 04 A O n o de refeições distintas é: 3 = A o ) comp. = 15 h 9 min 14 h 35 min = 89 min 35 min = 54 min = h Então: P(evento ocorrer) = P = 11,5% 0 B Menor quadrilátero que contém o alvo. n(e) = P 7 P 3 n( ) = P 9 P(E) =. 06 B Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de rotas para ir e voltar de Santo Antônio a São Carlos é dado por Por outro lado, o número de rotas com rodovias de numeração ímpar é igual a Em consequência, o resultado pedido é Área de B = 60 4 (10 10) = = m 07 B Para que o teste termine na quinta pergunta, o candidato deverá errar exatamente uma pergunta dentre as quatro primeiras e errar a quinta. Por conseguinte, o resultado é 08 E Além do atleta que utilizou a substância, deveremos escolher atletas dentre os 199 que não a utilizaram. Logo, temos 03 A Pelo resultado da 3 a questão, a probabilidade dele errar com 1 lançamento é de 50%. Logo, 04 E P(ERRAR NO 1 o ERRAR NO o ) = 50% 50% = = No segundo modo, sorteada a equipe, deveremos escolher dois atletas dentre os 9 que não a utilizaram. Assim, vem Finalmente, no terceiro modo, deveremos escolher equipes em que não figura o jogador dopado e então sortear o jogador. Portanto, segue que 1 o Cálculo da área: A região I (vermelha) = 10 = 314 cm A região II (branca) = 18 = 703,36 cm A região III (azul) = 4 18 = 791,8 cm Área quadrada = cm o Cálculo das Probabilidades: As probabilidades são iguais. 09 C Para que a aula ocorra no domingo é necessário que chova no sábado e não chova no domingo. Assim, pode-se escrever: Então, x < y < z. 5 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA V

6 05 D Se nos três lançamentos ele pontuou então o espaço amostral se reduz as 3 regiões circulares do alvo. 0 C 06 D Escolhendo jogos de 5 números na cartela premiada: O numero de jogos acertando somente 5 dezenas, das seis que foram sorteadas, será: C 6,5 = 6. Para cada jogo com exatamente 5 números premiados(quina), temos 4 opções para o sexto número de modo a não fazer a sena. Logo, teremos 4 6 = 4 cartões premiados com a quina. 03 C 1 o ) Arthur escolheu a soma 1, logo ele ganhará se conseguir colocar: 1 e 11; e 10; 3 e 9; 4 e 8; 5 e 7. Ele tem 5 chances. o ) Bernando escolheu a soma 17, logo ele ganhará se conseguir colocar: e 15; 3 e 14; 4 e 13; 5 e 1; 6 e 11; 7 e 10; 8 e 9. Ele tem 7 chances. 3 o ) Caio escolheu a soma, logo ele ganhará se conseguir colocar: 7 e 15; 8 e 14; 9 e 13; 10 e 1. Ele tem 4 chances. 04 D O espaço amostral dos resultados possíveis tem 36 pares ordenados: 07 C = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (, 1)... (6, 6)}. A probabilidade pedida é igual a As chances de Eraldo ganhar são: (1, 6), (, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6) (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5). 08 P I + P II + P III = 1 P II = 3P I P III = P I = 6P I Logo: P I + 3P I + 6P I = 1 P I = 1/10 09 A Portanto, a probabilidade pedida será A área do quadrado ABCD é dada por Por outro lado, a área do círculo é igual a r. Portanto, a probabilidade pedida é Então, a probabilidade pedida seria igual a: 05 C Supondo que ele jogou nos números 4 e. Eraldo não perde se der: (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) ou (, 1), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6) ou (1, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4), ou (1, ), (3, ) (5, ), (6, ) isto é, ele tem 0 chances para não perder. Então, ele terá (36 0) = 16 chances para perder e a probabilidade pedida será igual a: 10 A) A probabilidade pedida é dada por B) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é C) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido é dado por 06 A Sejam U, I e E, respectivamente, o conjunto universo, o conjunto dos alunos que falam inglês e o conjunto dos alunos que falam espanhol. Queremos calcular P(E I ). Sabendo que temos Além disso, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos Portanto, e 01 B O 1 o membro da equação é o desenvolvimento binomial de ((x ) + 1) 5. Então, a equação é equivalente a: (x 1) 5 = (7x 13) 5 x 1 = 7x 13 6x = 1 x = Então, (x ) 6 = ( ) 6 = 0 07 A Nos três meses considerados o número de compradores do produto foi e o número de compradores do produto B, Logo, como no mês de fevereiro 30 pessoas compraram o produto A e 0 pessoas compraram o produto B segue-se que a probabilidade pedida é igual a MATEMÁTICA V MATEMÁTICA Volume 04 53

7 08 A Seja p o percentual da população vacinada, e supondo que para os % em que a vacina n ineficaz ainda h6 50% de probabilidade de infecção, temos Portanto, a proposta implementada foi a I. 09 D Se o bairro tem cinco mil moradores dos quais mil são vegetarianos, então pode-se deduzir que quatro mil não são vegetarianos. Entre os vegetarianos 40% são esportistas, ou seja, 400 moradores (10 400% = 400). Entre os não vegetarianos 0% são esportistas, ou seja, 800 moradores (400 0% = 800) Logo, conclui-se que o bairro possui 1 00 esportistas ( ). Se uma pessoa escolhida ao acaso é esportista, a probabilidade de esta ser vegetariana será: 10 C A probabilidade do primeiro país escolhido pertencer à América do Norte é de A probabilidade do segundo pertencer ao continente asiático é de A probabilidade de ambos os eventos ocorrerem será: 01 D Itens II e VI I. P(x) = x 3 + x 3 + 4x não é polinômio, pois 4 N II. ƒ(x) = 3x + é polinômio III. n(x) = 3 x + 5x + 3 = + 5x + 3; não é, pois N IV. e(x) = x 4 4x 3 + 3; não é, pois 3 N V. ƒ(x) = + x 3; não, pois N VI. ƒ(x) = x (V) 0 x 4 = 0 x = ou 3x + 1 = 0 x = 4 ou x + 1 = 0 x = 1 x = 1 x = i ou x + 5 = 0 x = 5 ou x 1 = 0 x = 1 ou Soma = i i Soma = 8 Soma = k k = 8 Portanto: 7 k 7 ( 8) = = 3 03 P(x) 0 P(x) = ax + bx + c a = 0 b = 0 c = 0 01 A) (5 + i) (1 + 3i) = i + i + 6i = = 5 + (15 + )i + 6( 1) = i B) [(5 + 4i) ( i)] + [( + i) i] = = 10 5i + 8i 4i + i + i = i = i C) (1 + 3i) (4 i) = (1 + 6i + 9(i) ) (16 16i + 4i ) = = 8 + 6i i = 0 + i D) (7 + 5i) (7 5i) = 7 (5i) = 49 5( 1) = 74 E) ( + 4i) ( 4i) = ( ) (4i) = 4 16( 1) = 0 F) (1 + i) (I + i I ) = (1 + i) (i) = i + i = i m + 3n p = 0 m + n 5p = 0 p = p = 0 p = n = 18 n = 18 m + ( 18) = 10 m = 6 p + m + n = + ( 6) + 18 = 6 0 A) i = 1 B) +i 3 = i i = i C) i 4 = (i ) = ( 1) = 1 D) i 5 = i 4 i = i E) i 6 = i 4 i = 1 F) i 7 = i 4 i 3 = i G) i 8 = (i 4 ) = 1 H) i 107 = i 3 = i I) i 1997 = i 1 = i 04 5 x + 6x + 17 = (x + m) + (x n) = x + mx + m + x nx + n = x + (m n) x + m + n n = (m 3) Substituindo n = m 3 na segunda equação, temos: 01 A) B) m + (m 3) = 17 m + m 6m + 9 = 17 m 6m 8 = 0 m 3m 4 = 0 m = 4 ou m = 1 Daí: Se m = 4, então n = 1 e, se m = 1, então, n = 4 e m + n = MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA V

8 05 C) Raiz = Se P(x) para valores apropriados a, b e c independe de x, então para estes valores P(x) é constante. Se P( 6 ) = 7 = 7; x Domínio ax + 6x 7 = 8x 7bx + 7c (a 8). x + (6 7b). x 7 7c = 0 a 8 = 0 e 6 7b = 0 e 7 7c = 0 a = 8 e b = e c = 1 resto: Logo a + b + c = 8 + ( 1) a + b + c = D) Raiz = a + b + c = 01 E P(x) (1) x (P(x)) = (x ) (x + 1) + 1 P(x) = x 3 + x x + 1 P(x) = x 3 x + x 1 0 A) P(1) = ( 1) () () = 4 B) P(1) = (8) 8 (0) 4 = 0 0 b = 4 4a + ( ) = a + 5 = c e a = 1 c = 7 a + d = d = 8 d = 1 a + b + c + d = = A) x 3 + 6x + x + 8 x 3 3x x + 3x 7 3x + x + 8 3x 9x 7x x + 1 (9) B) x x 1 x 9 x 9 x 6 + x 3 1 x x 9 + x 6 x x 6 x 3 x x () C) 1x 4 + 6x + 1 1x 4 60x 1x 54 54x x + 70 (71) 01 A) Raiz = 3 B) Raiz = 03 C p(x) = x 6 x 6 x + 1 x 6 x 5 x 5 x 4 + x 3 x + x x 4 x x x x + x + 1 (1) x 5 x 4 + x 3 x + x 1 x + 1 x 5 x 4 x 4 x 3 + 3x 4x + 5 x 4 + x 3 x + x 1 x 4 + x 3 3x 3 x + x 1 3x 3 3x 4x + x 1 + 4x + 4x 5x 1 5x 5 6 = R 04 E 1 a ) Parte: Seja x o número de produtos vendidos tal que 0 x 100 e y o salário a receber. y = x; 0 x 100. a ) Parte: Sendo x > 100 o número de produtos, então: y = (100) + (x 100). 9 y = x 900 y = x ; x > 100 O gráfico do item E é o que melhor representa a função: MATEMÁTICA V MATEMÁTICA Volume 04 55

9 01 B P(x) = (x 1) (x ) (x x 3 ) P( 1) = ( ) ( 3) ( 1 x 3 ) = 3 ( 1 x 3 ) = = 1 x 3 = x 3 = 1 x 3 = 03 A) As únicas raízes racionais possíveis são: ±1 e ±3. Como duas delas devem ser positivas e distintas, então 1 e 3 são as raízes procuradas. Se R é a 3 a raiz dessa equação, então: R = 3 R = 1 Assim, as raízes são 1, 1 e 3. B) I I + 3 = a a = 3 1 x 1 1 x x 3 = b b = 1 0 B 04 C Se racionais, (mdc(p,q) = 1) é raiz, então p divide 8 e q divide 6. p(x) = (x 1) (x + 0x + ) Então a multiplicidade de x = 1 é i raiz 3i também é raiz. 3 i raiz 3 + i também é raiz. Assim, as raízes são 4, 3, + 3i, 3i, 3 i e 3 + i no mínimo, e, portanto, o grau dessa equação deverá ser 6, no mínimo. Resposta: 6 Daí p {±1, ±, ±4, ±8} e q {±1, ±, ±3, ±6}. O conjunto que possui as possíveis raízes racionais será: ±1, ±, ±, ±, ±, ±, ±4, ±, ±8, ± De onde se conclui que 1,,, é um subconjunto. 04 A) x 1 + x = e x 1 x = B) 01 B z = ( + mi) (3 + i) = 3 + i + 3mi + m ( 1) = 05 x 3 4x + 6x 7 = 0 A) B) x 1 + x + x 3 = (x 1 + x + x 3 ) (x 1 x + x 1 x 3 + x x 3 ) = = () (3) = 4 6 = 01 1 o modo: Pesquisando as raízes: Se é raiz racional, então p divide 6 e q divide 1. Assim p = ±1, ±, ±3 e ±6; q = ±1. Logo, as possíveis raízes são: ±1, ±, ±3, ±6. Veja que é raiz, pois = 0. Dividindo x 3 x 3x + 6 por x, tem-se: 0 C x = 03 B z = 6 + i + 3mi m = 6 m + ( + 3m)i Se z = a + bi, então a = 6 m e b = + 3m. Para que o número z seja imaginário puro, temos: 6 m = 0 e + 3m 0 m = 6 e m (x + y) = (i + i) = (3i) = 9i = 9 e y = i E, portanto, as outras raízes estão na equação x 3 = 0 x = 3 e x = ± 3. Logo, as raízes são: 3, 3 e. o Modo: Fatorando por agrupamento: x. (x ) 3 (x ) = 0 (x ). (x 3) = 0 x = ou x = ± 3 0 As possíveis raízes inteiras da equação: x 3 + 4x + x 4 = 0 são ±1, ±, ±4. Veja que é raiz, pois ( ) ( ) + x ( ) 4 = 0 Dividindo x 3 + 4x + x 4 por x +, obtemos: 04 A) B) = = Cálculo auxiliar: i 3 = i i = i i = 1 i 17 = i 1 = i (17 4) (1) 4 i 35 = i 3 = i (35 4) (3) 8 i 16 = i 0 = 1 i 13 = i 13 4 (1) 3 i 30 = i = () 7 = 1 + i Assim, as outras raízes estão na equação x + x = 0, onde = = 1 e, portanto, não são inteiras. Resposta: A única raiz inteira é. 05 E z = w 56 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA V

10 01 C x = 4 0 a = o ) e o ) E = (1 + i + i + i 3 ) + (i 4 + i 5 + i 6 + i 8 ) (i 1 + i + i 3 + i 4 ) + (i 5 + i 6 + i 7 ) E = (i + i + i 3 ) E = i 1 i = 1 04 = = 45 o sen 45 o = cos 45 o = z = + i Z é real se 05 A z = + 4i = 0 a = 4 04 E P(x) = F(x) coeficientes iguais a = 9 b = 1 15 = 3c c = 5 a + b c = C Sejam n e p, respectivamente, o número de sanduíches comprados inicialmente e o preço de custo unitário. Logo, segue que: 01 B ƒ(x) x + 1 x + 1 ƒ(x) = (x + 1) (x 3x + 1) + x + 1 Pelo Teorema do Resto, temos que: R = ƒ( 1) = ( ) + ( 1) + 1 = + 1 = 1 0 C p(1) = a 1 + a = 4 a = 03 E P(x) = p = 3. 7x + 14x = (x )(x + x + 4) 7x (x ) = (x ) [x + x + 4 7x ] = (x ) (x 5x + 4) P(x) = (x ) (x 1) (x 4) Logo P(x) = 0 x = ou x = 1 ou x = 4 As raízes formam uma progressão geométrica pg (1,, 4) ou (4,, 1). Portanto, o preço de custo de cada sanduíche foi de R$ 3, C A base = (30 x) (40 x) = x + 4x A(x) = 4x 140x A V caixa = A base. altura V caixa = (4x 140x + 100) x V(x) = 4x 3 140x x ; 0 x Q(x) = 0; x C a + 7 = 0 e b + 3 = 0 a = 7 e b = 3 04 A Dados: Usando as relações de Girard, a equação será: x 3 7x + 14 x 8 = 0 05 A V(1) = 81 = a(1) 3 + b(1) + c(1) + 40 = 81 V(5) = 65 = a(5) 3 + b(5) + c(5) + 40 = 65 V(6) = 76 = a(6) 3 + b(6) + c(6) + 40 = 76 Sistema a + b + c + 40 = 81 c = 41 a b (I) 15a + 5b + 5c + 40 = 65 5a + 5b + c = 5 (II) 16a + 36b + 6c + 40 = 36 36a + 6b + c = 6 (III) Substituindo I em III e III ficamos com: Substuindo em I, temos: c = 41 ( 1) c = 60 Temos: a =, b = 1 e c = 60 Portanto, v(t) = t 3 1t + 60t + 40 Logo, às horas, a velocidade média é de: V() = () 3 1 () V() = V() = V() = 9km/h MATEMÁTICA V MATEMÁTICA Volume 04 57