Combinatória e Probabilidade. Prof Carlos

Transcrição

1 Combinatória e Probabilidade Prof Carlos

2 Imagem: Kasuga / GNU Free Documentation License Imagem: Jonata / Public Domain Com que roupa eu vou?

3 Princípio Fundamental da Contagem Para se resolver problemas como esse utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo.

4 Princípio Fundamental da Contagem Com esse princípio é possível obter a solução de certos problemas sem a necessidade de se enumerar os elementos envolvidos.

5 Princípio Fundamental da Contagem Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e para cada uma dessas maneiras um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrerem os eventos A e B é dado pelo produto n x m.

6 Princípio Fundamental da Contagem Assim, para saber o total de combinações possíveis feitas com suas roupas, deverá saber inicialmente o total de peças separadas por tipos: calças, blusas e sapatos.

7 Princípio Fundamental da Contagem Como pode afirmar que poderei me vestir por mais de 10 anos com tão poucos itens?

8 Princípio Fundamental da Contagem Pelo Princípio Fundamental da Contagem basta multiplicar a quantidade de um determinado item pela quantidade dos itens seguintes! 40 x 20 x 30 = 24000

9 Princípio Fundamental da Contagem Assim, com os seus itens de vestuário poderíamos fazer combinações! 40 x 20 x 30 = 24000

10 Princípio Fundamental da Contagem Veja o exemplo no diagrama de árvore a seguir! 40 x 20 x 30 = 24000

11 Imagens: (c)bestvintage / Public Domain (d)oktaeder / Public Domain (e)thomas Steiner / GNU Free Documentation License Formando Combinações 9 Imagem: Kasuga / GNU Free Documentation License Imagem: Jonata / Public Domain

12 Formando Combinações Viu como suas roupas permitem inúmeras combinações? Imagem: Kasuga / GNU Free Documentation License Imagem: Jonata / Public Domain

13 Formando Combinações O diagrama de árvore permite que você simule, diferentes combinações, não só com suas roupas! Imagem: Kasuga / GNU Free Documentation License Imagem: Jonata / Public Domain

14 PROBABILIDADE

15 Jogar uma moeda envolve uma situação aleatória, ou seja, envolve as leis do acaso: Não é possível dizer com exatidão qual será o resultado final, mas sabemos, com certeza, quantos e quais são os resultados possíveis.

16 Imagem:Classical Numismatic Group, Inc ( / GNU-Lizenz für freie Dokumentation No caso da moeda, são dois resultados possíveis: CARA ou COROA. Desde que a moeda não seja viciada, essa é uma jogada em que ambos os resultados têm a mesma chance de ocorrer.

17 Observe outros experimentos que envolvem o acaso: Prever o tempo de vida do ser humano. A esperança de vida do brasileiro, ao nascer, divulgada pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) em 2010, era de 73,48 anos. Em 1943, essa expectativa era de 67,7 anos. Imagem: Sindermann, Jürgen / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Germany

18 Como é possível chegar a esses dados? É possível saber a chance de algo acontecer? Imagem: Webmaster-chx / Creative Commons paternité partage à l identique 3.0 (non transposée)

19 Sim, é possível medir a chance de algo acontecer. Essa medida é chamada PROBABILIDADE e é dada por uma razão entre dois números.

20 1. Espaço Amostral Experimento aleatório: É um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições. Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicamos o espaço amostral por. Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.

21 2. Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral. Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.

22 PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO P( A) número número de de elementos elementos de de A P( A) n( A) n( )

23 Exemplos: Ex.: 1 Lançar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero. A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Portanto A =, logo o evento é certo.

24 Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. B = Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível. Evento C: Ocorrência de um número par. C = 2, 4, 6 Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. D = 3, 6

25 Exemplos Ex.: 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: = cara, coroa n( ) = 2 Evento A: A = cara n(a) = 1 P( A) n( A) Como, temos ou 0,50 = 50% n( B) P( A) 1 2

26 1. Para obter verbas para a formatura do 9º Ano, a equipe de Rose rifou uma bicicleta. A rifa tinha 100 números e Rose comprou 4 deles. Qual a chance de Rose ganhar a bicicleta? Imagem: Tom O Fitz / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic

27 Resolução: Para calcular a medida da chance, isto é, da probabilidade de Rose ganhar a rifa, devemos estabelecer bilhetes comprados por Rose uma razão: 4 em 100 = Imagem:Maxim Razin / GNU Free Documentation License número total de bilhetes A razão ou dá a probabilidade de Rose ganhar a bicicleta: 1 em 25 ou 4%.

28 Observação Quando a probabilidade é zero, dizemos que o evento é impossível. Quando a probabilidade é 1 ou 100%, dizemos que é um evento certo.

29 Agora é com você... Vamos praticar o que você acabou de aprender. Imagem: Dan Foy / Creative Commons Attribuzione 2.0 Generico

30 3. Em um estojo, há 6 canetas azuis e 4 vermelhas. Qual é a probabilidade de retirarmos desse estojo ao acaso: a) uma caneta azul? b) uma caneta vermelha?