Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA. Professor Dudan

Transcrição

1 Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Dudan

2 IDENTIFICAÇÃO

3 PERMUTAÇÃO SIMPLES É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora.muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras. Fórmula: P n = n! Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha!

4 Exemplo Resolvido Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = = 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA...

5 E se houver elementos repetidos? Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos descontar os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.

6 Exemplo Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.

7 ARRANJO É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZ diferença. Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia. Fórmula: Dica: O ARRANJO ordena! Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem

8 Exemplo Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? (A) 69 (B) 2024 (C) 9562 (D) (E) 13824

9 COMBINAÇÃO DEFINIÇÃO É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem NÃO faz diferença. Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos. Fórmula: Dica: A COMBINAÇÃO agrupa alguns!

10 Exemplo Resolvido Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula chegaremos a: C 5,2 = 5! / [(5-2)!. 2!] = 5! / (3!. 2!) = / ! = 20/2 = 10 E não tem um atalho?

11 Método Prático Esse método agilizará a resolução das questões. Para isso basta usar a regra: rebobinar o n até o total de p itens e divide pelo p fatorial. Exemplos: C 5, 2 = C 10, 4 = C 8, 1 = C 7, 5 =

12 Exemplo Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de: (A) 720 (B) 70 (C) 150 (D) 300 (E) 35

13 ESAF 2013 Para efetuar um determinado trabalho, 3 servidores do DNIT serão selecionados ao acaso de um grupo com 4 homens e 2 mulheres. A probabilidade de serem selecionados 2 homens e 1 mulher é igual a: a) 55% b) 40% c) 60% d) 45% e) 50%

14 ESAF-2013 Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o número de possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a: a) 5 b) 12 c) 24 d) 6 e) 15

15 CESPE-2013 Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitalizadas, são separadas e distribuídas entre 7 servidores 4 servidores recém-contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação. A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 entre os 7 servidores, para digitalizar um processo de 2 páginas, é superior a 20. Certo Errado

16 CESPE-2013 Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um relator e um técnico, julgue o próximo item. A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanhados pelo órgão é inferior a Certo Errado