Contagem. Próxima Aula: Prova
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- Luciano Mota Laranjeira
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1 Contagem Próxima Aula: Prova
2 Conteúdo Correção dos Exercícios
3 Exercício 1 Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos deferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio? O que usar para resolver o exercício? Permutação ou Combinação?
4 Exercício 1 Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos deferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio? A ordem importa. Usar permutação! P(?,?)
5 Exercício 1 Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos deferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio? A ordem importa. Usar permutação! P(12,3) = 12 x 11 x 10 = 1320
6 Exercício 2 Juquinha tem 8 calças e 5 camisetas diferentes. De quantas maneiras Juquinha pode escolher 2 peças de roupa?
7 Exercício 2 Juquinha tem 8 calças e 5 camisetas diferentes. De quantas maneiras Juquinha pode escolher 2 peças de roupa? 2 calças = C(8,2) = 8! / 6!2! = 28 2 camisetas = C(5,2) = 5!/3!2! = 10 1 calça e 1 camiseta = 8x5 = 40 Somando tudo temos 78 escolhas
8 Exercício 3 Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos. Sabendo que ela possui em seu guarda roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Julia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem? _?????_ Julia não poderá repetir o pares quando escolher.
9 Exercício 3 Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos. Sabendo que ela possui em seu guarda roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Julia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem? _ _ Lei da multiplicação. Total =
10 Exercício 4 De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em um carro brasileiro (com 5 lugares)? Permutação ou Combinação?
11 Exercício 4 De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em um carro brasileiro (com 5 lugares)? P(?,?)
12 Exercício 4 De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em um carro brasileiro (com 5 lugares)? P(5,5) = 5x4x3x2x1 P(5,5) = 120
13 Exercício 5 De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 6 objetos diferentes entre duas pessoas?
14 Exercício 5 De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 6 objetos diferentes entre duas pessoas? Cada objeto pode ser entregue para uma das duas pessoas.
15 Exercício 5 De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 6 objetos diferentes entre duas pessoas? Desse modo, para cada objeto há duas possibilidades. Note que é possível que todos os objetos sejam dados para a mesma pessoa, já que não existe uma restrição quanto ao número mínimo de objetos para uma mesma pessoa.
16 Exercício 5 De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 6 objetos diferentes entre duas pessoas? Como são 6 objetos diferentes, há um total de 2x2x2x2x2x2 = 64.
17 Exercício 6 Quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar com 8,5,4,3 e 0????
18 Exercício 6 Quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar com 8,5,4,3 e 0? P(5,3) = 5x4x3 = 60
19 Exercício 7 Dispondo dos números 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: Quantos conjuntos podemos formar com 3 elementos utilizando esses números?
20 Exercício 7 Dispondo dos números 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: Quantos conjuntos podemos formar com 3 elementos utilizando esses números? C(5,3) = 5! / (3! 2!) = 10
21 Exercício 7 Dispondo dos números 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: Quantos conjuntos de 2 elementos podemos formar com esses números?
22 Exercício 7 Dispondo dos números 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: Quantos conjuntos de 2 elementos podemos formar com esses números? C(5,2) = 5! / (2! 3!) = 10
23 Exercício 7 Dispondo dos números 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: Quantos conjuntos com 4 elementos podemos formar com esses números?
24 Exercício 7 Dispondo dos números 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: Quantos conjuntos com 4 elementos podemos formar com esses números? C(5,4) = 5! / 4! 1! = 5
25 Exercício 8 Escreva o numero de anagramas que podemos formar com as letras das seguintes palavras: PAI CASA PADRINHO
26 Exercício 8 Escreva o numero de anagramas que podemos formar com as letras das seguintes palavras: PAI = 3x2x1 = 6 CASA PADRINHO
27 Exercício 8 Escreva o numero de anagramas que podemos formar com as letras das seguintes palavras: PAI = 3x2x1 = 6 CASA = 4! / 2! 1! 1! = 4 x 3 = 12 PADRINHO
28 Exercício 8 Escreva o numero de anagramas que podemos formar com as letras das seguintes palavras: PAI = 3x2x1 = 6 CASA = 4! / 2! 1! 1! = 4 x 3 = 12 PADRINHO = 8! =
29 Exercício 9 Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; um entre os tamanhos: pequeno e grande; de um até cinco entre os tipo de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição num mesmo sanduíche. Quantos sanduíches distintos podem ser montados? O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
30 Exercício 9 Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; um entre os tamanhos: pequeno e grande; de um até cinco entre os tipo de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição num mesmo sanduíche. Pão: 3 tipos
31 Exercício 9 um entre os tamanhos: pequeno e grande; de um até cinco entre os tipo de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição num mesmo sanduíche. Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos
32 Exercício 9 de um até cinco entre os tipo de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição num mesmo sanduíche. Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos
33 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos Somente com 1 recheio: 3x2x5 = 30 sanduíches
34 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos Somente com 1 recheio: 3x2x5 = 30 sanduíches Com 2 recheios: 3x2xC(5,2) = 3xx10 = 60 sand.
35 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos Somente com 1 recheio: 3x2x5 = 30 sanduíches Com 2 recheios: 3x2xC(5,2) = 3xx10 = 60 sand. Com 3 recheios: 3x2xC(5,3) = 3xx10 = 60 sand.
36 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos Somente com 1 recheio: 3x2x5 = 30 sanduíches Com 2 recheios: 3x2xC(5,2) = 3xx10 = 60 sand. Com 3 recheios: 3x2xC(5,3) = 3xx10 = 60 sand. Com 4 recheios: 3x2xC(5,4) = 3x2x5 =30 sand.
37 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos Somente com 1 recheio: 3x2x5 = 30 sanduíches Com 2 recheios: 3x2xC(5,2) = 3xx10 = 60 sand. Com 3 recheios: 3x2xC(5,3) = 3xx10 = 60 sand. Com 4 recheios: 3x2xC(5,4) = 3x2x5 =30 sand. Com 5 recheios: 3x2x1 = 6 sanduíches
38 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos Somente com 1 recheio: 3x2x5 = 30 sanduíches Com 2 recheios: 3x2xC(5,2) = 3xx10 = 60 sand. Com 3 recheios: 3x2xC(5,3) = 3xx10 = 60 sand. Com 4 recheios: 3x2xC(5,4) = 3x2x5 =30 sand. Com 5 recheios: 3x2x1 = 6 sanduíches Somando tudo = 186 sanduíches
39 Exercício 9 Pão: 3 tipos Tamanhos: 2 tipos Recheio: até 5 tipos O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche? Pão: 2 tipos Tamanho: 1 tipo Recheio: 5 tipos
40 Exercício 9 O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche? Pão: 2 tipos Tamanho: 1 tipo Recheio: 5 tipos 2x1xC(5,2) = 2x1x10 = 20 sanduíches
41 Exercício 10 Encontre o desenvolvimento de (x+2y) 5.
42 Exercício 11 Qual o coeficiente de x 7 y 10 no desenvolvimento (2x+3y) 17?
43 Pergunta Suponha que uma cafeteria tenha quatro tipos diferentes de biscoitos.
44 Pergunta Suponha que uma cafeteria tenha quatro tipos diferentes de biscoitos. Há quantas maneiras diferentes possíveis de escolher 6 biscoitos? Suponha apenas que o tipo de biscoito seja relevante, e não os biscoitos individualmente ou a ordem em que são escolhidos. Combinação ou permutação?
45 Pergunta Suponha que uma cafeteria tenha quatro tipos diferentes de biscoitos. Há quantas maneiras diferentes possíveis de escolher 6 biscoitos? Suponha apenas que o tipo de biscoito seja relevante, e não os biscoitos individualmente ou a ordem em que são escolhidos. Combinação com repetição
46 Pergunta Suponha que uma cafeteria tenha quatro tipos diferentes de biscoitos. Há quantas maneiras diferentes possíveis de escolher 6 biscoitos? Suponha apenas que o tipo de biscoito seja relevante, e não os biscoitos individualmente ou a ordem em que são escolhidos. C(n+r-1, r) =?
47 Pergunta Suponha que uma cafeteria tenha quatro tipos diferentes de biscoitos. Há quantas maneiras diferentes possíveis de escolher 6 biscoitos? Suponha apenas que o tipo de biscoito seja relevante, e não os biscoitos individualmente ou a ordem em que são escolhidos. C(4+6-1, 6) = C(9,6) = 84
48 Gerando Permutações e Combinações Aprendemos a contar os vários tipos de combinação e permutação. As vezes queremos mostrar as permutações e combinações.
49 Gerando Permutações e Combinações Suponha que um vendedor deva visitar 6 cidades diferentes. Em qual ordem essas cidades devem ser visitadas com o menor tempo de viagem possível?
50 Gerando Permutações e Combinações Suponha que um vendedor deva visitar 6 cidades diferentes. Em qual ordem essas cidades devem ser visitadas com o menor tempo de viagem possível? 720 ordens diferentes (6!)
51 Gerando Permutações Qualquer conjunto de n elementos pode ser colocado em correspondência um para um com o conjunto {1,2,3,..., n}. Muitos algoritmos diferentes têm sido desenvolvidos para a geração das n! permutações deste conjunto.
52 Gerando Permutações Algoritmo baseados na ordem lexicográfica. Ou ordem alfabética. Exemplo: {1,2,3,4,5} Permutações: precede coincidem os dois primeiros
53 Gerando Permutações Algoritmo baseados na ordem lexicográfica. Ou ordem alfabética. Exemplo: {1,2,3,4,5} Permutações: precede é menor que 5
54 Gerando Permutações Algoritmo baseados na ordem lexicográfica. Ou ordem alfabética. Exemplo: {1,2,3,4,5} Permutações: precede ou sucede?
55 Gerando Permutações Algoritmo baseados na ordem lexicográfica. Ou ordem alfabética. Exemplo: {1,2,3,4,5} Permutações: precede!!!
56 Gerando Permutações Uma permutação a 1 a 2... a n precede uma permutação b 1 b 2... b n se para qualquer k, com 0<k<(n+1), a 1 =b 1, a 2 =b 2,... a k <b k
57 AED Fazer um algoritmo que gere todas as permutações em ordem lexicográfica de um conjunto com seis números em ordem crescente. Valor: 1 ponto extra na Prova 2 Data de entrega: 25/09 Linguagem: C++ Vale 4 presenças
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