Algoritmos para Gerar Permutações e Combinações em Ordem Lexicográfica

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1 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap3. Princípios Elementares de Contagem pg 76 Algoritmos para Gerar Permutações e Combinações em Ordem Lexicográfica Algoritmo: conjunto de instruções cuja execução, numa ordem préestabelecida, conduz à realização de uma tarefa (um cálculo, por exemplo). Léxico: Conjunto de palavras de uma linguagem. Ordem Lexicográfica. Consideremos as sequências construídas com símbolos de um dado conjunto ordenado (por exemplo, sequências de letras do alfabeto, com a ordenação normal que lhes está associada, primeiro o a, depois b, c, d, etc). Ordenar as sequências por ordem lexicográfica, corresponde a ordená-las como as palavras de um dicionário. Exemplos Consideremos a ordenação a < b < c < d, das letras do alfabeto. Podemos escrever beta < beto, aa < aaa [acrescentam-se espaços à direita da palavra mais curta, de modo que as duas fiquem com igual comprimento; o espaço é considerado o menor símbolo do alfabeto],

2 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap3. Princípios Elementares de Contagem pg 77 rita < rute ana < anabela. GERAR PERMUTAÇÕES POR ORDEM LEXICOGRÁFICA Considere o seguinte problema: escrever em ordem lexicográfica todas as permutações possíveis dos dígitos 1,2,3,4. Representemos as permutações pelos números de quatro dígitos que lhes correspondem: 1234, 1342, etc. Observemos o seguinte: - o menor número que se pode escrever é 1234; - o maior número que se pode escrever é 4321; - percorrendo o maior número da direita para a esquerda verificamos que cada dígito é maior que o que está à sua direita; - quando isto não acontece, ao percorrermos uma permutação da direita para a esquerda, então essa permutação não corresponde ao maior número possível. Podemos resolver o problema do seguinte modo: A. Escrevemos o menor número, B. Percorremos o número da direita para a esquerda, comparando pares sucessivos de dígitos. Se em alguma dessas comparações o dígito da esquerda for menor que o da direita, faz-se o seguinte, considerando apenas o conjunto dos dígitos já comparados: - seja p a posição do referido dígito da esquerda;

3 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap3. Princípios Elementares de Contagem pg 78 - coloca-se na posição p do dígito da esquerda o dígito que lhe for imediatamente superior, de entre todos os já comparados; - os restantes elementos do conjunto dos dígitos já comparados escrevem-se então à direita da posição p, por ordem crescente. C. Repete-se este algoritmo desde o passo B, até se obter o número [ver exemplos em vídeo] Complete a resposta anterior: 1234, 1243, 1324,. Generalizando: se quisermos escrever em ordem lexicográfica todas as permutações de n objectos distintos, o1, o2,, on, nos quais está definida uma ordenação o1 o2 on, procedemos do seguinte modo (s i é o símbolo na posição i): A. Percorrer a sequência s1s 2 sn da direita para a esquerda, comparando pares de símbolos consecutivos, até se encontrar um par de símbolos sksk 1 tal que s k sk 1 (se não existir um par de símbolos nestas condições, então terminar), e fazer o seguinte: - trocar a posição do símbolo s k com a do menor símbolo à sua direita que seja maior que s k ; - ordenar em seguida, por ordem crescente, todos os símbolos à direita da posição k; a sequência obtida é uma permutação.

4 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap3. Princípios Elementares de Contagem pg 79 B. Repetir o passo A com a nova permutação obtida. [ver exemplos em vídeo] GERAR COMBINAÇÕES POR ORDEM LEXICOGRÁFICA Considere o seguinte problema: escrever por ordem lexicográfica todas as combinações de 3 dígitos que se podem obter com os dígitos 1,2,3,4,5. Representemos as combinações pelos números que se obtêm, colocando os dígitos respectivos por ordem crescente (123, 234, etc). Note que 123 é o menor número e 345 o maior número que é possível obter com combinações de 3 dígitos. Podemos resolver o problema do seguinte modo: A. Começar com a combinação 123. B. Depois, - escrever todos os números que se obtêm fazendo o terceiro símbolo (a contar da esquerda) tomar os valores de 4 até ao máximo, que é 5: ; - uma vez obtida a combinação com o maior símbolo possível na terceira posição, escrever na segunda posição o símbolo imediatamente superior a 2, neste caso o 3; escrever na terceira posição o símbolo imediatamente superior a 3, neste caso o 4: 134, e repetir os passo anteriores até o símbolo na segunda posição ser 4 (não pode ser maior; porquê?):

5 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap3. Princípios Elementares de Contagem pg escrever agora na primeira posição o símbolo 2 (que é o símbolo imediatamente superior a 1), escrever na segunda posição o 3 (que é o símbolo imediatamente superior a 2), e na terceira posição o símbolo imediatamente superior a 3 ( o 4): 234 C. Repetir este algoritmo desde B, até se obter a combinação Obtiveram-se as 10 combinações possíveis. Generalizando: se quisermos escrever em ordem lexicográfica todas as combinações r a r, de n objectos distintos, o1, o2,, on, entre os quais está definida uma ordenação o1 o2 on, procedemos do seguinte modo: A. Começar por escrever a combinação o1, o2,, or ; B. Para encontrar a combinação seguinte: - percorrer a sequência da direita para a esquerda, até encontrar uma posição k com um símbolo O i < O n que possa ser substituído pelo que lhe é imediatamente superior, O i+1 ; - nesta posição, k, substitui-se o símbolo O i pelo símbolo O i+1 ;

6 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap3. Princípios Elementares de Contagem pg 81 - nas posições k+1, k+2,, (a contar da esquerda), colocamse em crescendo os símbolos O i+2, O i+3,, até formar uma sequência de r símbolos; C. Se a sequência já contiver os r maiores símbolos, então terminar. Senão, determinar a próxima combinação executando o algoritmo a partir do passo B com a sequência até aqui obtida.