Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
|
|
- Lucas Cordeiro Pacheco
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim ANÁLISE COMBINATÓRIA O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. As operações de adição e multiplicação são exemplos de técnicas matemáticas utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira ( adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda ( multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir adições de parcelas iguais. Exemplo : = 20 corresponde a 5. 4 = 20 A multiplicação também é base de um raciocínio muito importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos ( como veremos nos exemplos). Esse princípio estabelece o número de maneiras distintas( diferentes ) de ocorrer um evento. Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória. A partir deste módulo, você vai aprofundar o estudo dessa parte da Matemática. EXEMPLO 1 Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.
2 Assim, Maria dispõem de 3 x 2 = 6 maneiras ou possibilidades diferentes de se vestir. EXEMPLO 2 Natália vai viajar de São Paulo a Salvador, passando pelo Rio de Janeiro. De São Paulo ao Rio de Janeiro ela pode ir de carro, de avião ou de ônibus; do Rio de Janeiro a Salvador ela pode ir de avião ou ônibus. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer a viagem? Solução: avião Avião carro ônibus São Paulo ônibus Rio de Janeiro Salvador três possibilidades duas possibilidades Aplicando o princípio fundamental da multiplicação, temos: 3. 2 = 6 possibilidades. EXEMPLO 3 Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos formar usando 6,, e 9? 6 9 Solução: Veja o diagrama de árvore abaixo, indicando todas as possibilidades: (1) (2) (3) (4) (5) (6) () () (9) (10) (11) (12) Você não precisa fazer essa contagem basta aplicar o princípio fundamental da multiplicação. Você tem quatro algarismos e três possibilidades de combinação para cada um deles, portanto: 4. 3 = 12 possibilidades 2
3 EXEMPLO 4 Quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados com os algarismos 5,6, e? Solução: Algarismos das dezenas Algarismos das unidades Nesse caso, como não foi exigido que os algarismos sejam diferentes, existem 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e quatro para o das unidades. Logo, aplicamos o princípio fundamental da multiplicação: 4. 4 = 16 EXEMPLO 5 De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura abaixo, cobrindo os retângulos de preto ou vermelho? Solução: Cada retângulo terá duas possibilidades : preto ou vermelho. Logo o número total de possibilidades é, pelo princípio fundamental de multiplicação : = 2 6 = 64 EXEMPLO 6 As placas de automóveis eram todas formadas por duas letras ( inclusive K,Y e W ) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia as placas dos carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter três letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar? 3
4 Solução : No primeiro caso, escolhendo uma letra como exemplo: L L N N N N Não esqueça: São 26 letras do alfabeto e 10 algarismos. Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras (total de letras ) e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é: = No segundo caso L L L N N N N = = A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26 vezes maior. A diferença é de , ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente. CURIOSIDADES DA LOTECA Ao apostar na Loteria Esportiva você quer acertar os 13 jogos, evidentemente. Mas não é tão fácil assim. A certeza em acertar todos os jogos seria apostar triplo nos 13 jogos, o que você não pode fazer. Ao fazer isto, faria 313 = apostas ( lembre-se que 313 = ) e a probabilidade de acertar seria igual a 1. 4
5 Exercícios: 1) Andréa tem 4 blusas, 3 calças e 4 pares de tênis. De quantas maneiras diferentes ela pode combinar as 3 peças? 2) O cardápio de um restaurante oferece: dois tipos de salada, dez de pratos quentes, cinco de bebida e 3 de sobremesa. Quantos pedidos diferentes é possível fazer, escolhendo um item de cada? 3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem? AS PERMUTAÇÕES Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de contagem que está relacionado com as várias formas de organizar ou arrumar os elementos de um conjunto. Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto, muitas vezes precisamos saber quantas maneiras podemos arrumar um conjunto de elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o número total de possibilidades. Consultando um dicionário encontramos: PERMUTAR PERMUTAÇÃO dar mutuamente, trocar. ato ou efeito de permutar, troca, substituição; EXEMPLO 1: De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana? SOLUÇÃO: Ao escolher uma pessoa para ocupar a 1ª posição na fila temos 5 pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar da fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. Pelo princípio multiplicativo ou seja, multiplicando o nº de opções temos: 5
6 = 120 opções, essa seqüência de multiplicações é denominada fatorial e é representada pelo símbolo (!). 5! = = 120, onde o símbolo! é chamado fatorial. FATORIAL Sendo um nº natural, n! ( lê-se n fatorial) é o produto de todos os números naturais consecutivos de 1 até n. EXEMPLO 1: 3! = = 6! = = 5040 fatorial é uma multiplicação EXEMPLO 2 Quantos são os anagramas da palavra MARTELO? Você sabe o que é um anagrama? Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase. Ex: CASA Casamento Amizade Amor Satisfação Satisfação Amor Amizade Casamento SOLUÇÃO: Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras M, A, R, T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de permutações possíveis com essas letras, ou seja:! = = 5040 EXEMPLO 3: Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem? SOLUÇÃO: O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo: trocam entre si 2. 4! = = 4 maneiras sabem dirigir 6
7 EXERCÍCIOS: 4 ) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMOR? 5 ) a) Quantos números distintos de 6 algarismos podem se formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? b) Quantos desses números são pares? PERMUTAÇÕES ( com repetição de elementos ) Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA? Aparecem 3 vezes a letra A e 2 vezes a letra N. Calculamos o total de 6! = 20 e dividimos pelo fatorial de 3 e pelo fatorial de 2. 6! nº total de permutações de 6 letras. 3! 2! produto das repetições possíveis com as letras A e N ! = = ! Uma expressão geral para permutações com objetos nem todos distintos Havendo n elementos para permutar e dentre eles um elemento se repete p vezes outro elemento se repete q vezes, temos: n! p! q! No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos que se repetem. Neste caso, teremos no denominador da expressão o produto dos fatoriais de todos os elementos que se repetem. Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser facilmente simplificada. Observe os exemplos: a) 10! = ! = = ! 6!
8 b) 5! = 5! = 1 = 1!. 6. 5! c) 5! = ! = 5. 4 = 20 = 10 3! 2! 3! 2! EXERCÍCIOS: 6 ) Quantos são os anagramas da palavra PARANÁ? PERMUTAÇÕES CIRCULARES A expressão geral do número de permutações circulares será o número total de permutações, n!, dividido pelas n vezes que cada roda equivalente foi contada: n! = n. ( n 1 )! = ( n 1 )! n n EXEMPLO 1: Quantas rodas de ciranda podemos formar com crianças? SOLUÇÃO: Podemos formar! =! = = 5040 rodas diferentes. EXEMPLO 2: Se no encontro de presidentes as reuniões fossem ocorrer ao redor de uma mesa, de quantas maneiras poderíamos organizá-los? SOLUÇÃO:! = 6! = = 20 posições circulares diferentes EXERCÍCIOS: ) De quantos modos 9 pessoas podem formar uma roda de ciranda?
9 GABARITO: 1 ) 4 2 ) ) 12 4 ) 24 5 ) a ) 20 b ) ) 120 )
10 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. ª Edição IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 199. ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 200: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 10
Centro Estadual de Educação de Jovens e Adultos de Votorantim O CONCEITO DE PROBABILIDADE
Centro Estadual de Educação de Jovens e Adultos de Votorantim O CONCEITO DE PROBABILIDADE 2 Veja outros exemplos de experimentos aleatórios: 1 ) O lançamento de uma moeda Não se pode determinar o resultado,
Leia maisCentro Estadual de Educação de Jovens e Adultos de Votorantim
Centro Estadual de Educação de Jovens e Adultos de Votorantim PROGRESSÕES PROGRESSÃO NUMÉRICA - é uma seqüência ou sucessão de números que obedecem a um raciocínio lógico. Sequências: Considere um campeonato
Leia maisAs permutações. Nesta aula você estudará um tipo muito comum. Nossa aula
A UA UL LA As permutações Introdução Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de contagem, que está relacionado com as várias formas de organizar ou arrumar os elementos de um conjunto.
Leia maisCENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM. OBJETIVOS ( Módulo 5)
CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM OBJETIVOS ( Módulo 5) Nesta U.E. você será capaz de: - Usar a proporcionalidade para resolver problemas; - Aplicar o Teorema de Pitágoras na
Leia maisFísica do Calor - 22ª Aula. Prof. Alvaro Vannucci
Física do Calor - 22ª Aula Prof. Alvaro Vannucci Na Mecânica Estatística, será muito útil a utilização dos conceitos básicos de Análise Combinatória e Probabilidade. Por ex., uma garota vai sair com suas
Leia maisEnsino Médio. Fatorial
As Permutações Comentários: As primeiras atividades matemáticas da humanidade estavam ligadas à contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. As civilizações antigas, como egípcia, babilônia,
Leia maisTermo-Estatística (2013) 2ª Aula. Prof. Alvaro Vannucci
Termo-Estatística (2013) 2ª Aula Prof. Alvaro Vannucci Na Mecânica Estatística, será muito útil a utilização dos conceitos básicos de Análise Combinatória e Probabilidade. Por ex., uma garota vai sair
Leia maisAnálise Combinatória
Análise Combinatória PFC Princípio Fundamental da Contagem O princípio fundamental da contagem está diretamente ligado às situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer, por
Leia maisCentro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim APRESENTAÇÃO Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 3ª série do Ensino Médio (2º Grau).
Leia maisContinuando com. O título desta aula já indica que continuaremos. Nossa aula. Permutações com repetição
A UA UL LA Continuando com permutações Introdução Nossa aula O título desta aula já indica que continuaremos o assunto da Aula 49, em que vimos vários exemplos de permutações denominadas permutações simples
Leia maisVeja outros exemplos de experimentos aleatórios:
MÓDULO 6 Veja outros exemplos de experimentos aleatórios: 1 ) O lançamento de uma moeda Não se pode determinar o resultado, antes de efetuar o lançamento da moeda. 2 ) A aposta em jogo qualquer da Loteria
Leia maisAnálise Combinatória
Análise Combinatória PFC Princípio Fundamental da Contagem O princípio fundamental da contagem está diretamente ligado às situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer, por
Leia maisCENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM
CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM MÓDULO 3 Neste módulo você vai ter uma noção do conceito de semelhança entre figuras e ver como se comportam as áreas semelhantes para depois
Leia maisMatéria: Matemática Assunto: Princípios da Contagem Prof. Dudan
Matéria: Matemática Assunto: Princípios da Contagem Prof. Dudan Matemática Princípio da Contagem Os primeiros passos da humanidade na matemática estavam ligados a necessidade de contagem de objetos de
Leia maisRumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 12 de Setembro de 2014
Sumário 1 Análise Combinatória 1 1.1 Princípio Multiplicativo.............................. 1 1.1.1 Exercícios................................. 4 1.2 Permutação Simples................................
Leia maisANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA DEFINIÇÃO Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!. Exemplo: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Leia maisMatemática ANÁLISE COMBINATÓRIA. Professor Dudan
Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Dudan Análise Combinatória Permutação Simples Análise Combinatória É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora.muito comum em
Leia maisCentro Educacional ETIP
Centro Educacional ETIP Trabalho Trimestral de Matemática 2 Trimestre/2014 Data: 08/08/2014 Professor: Nota: Valor : [0,0 2,0] Nome do (a) aluno (a): Nº Turma: 2 M CONTEÚDO Análise Combinatória, Princípio
Leia maisAnálise Combinatória AULA 1. Métodos Simples de Contagem
Análise Combinatória AULA 1 Métodos Simples de Contagem Tales Augusto de Almeida 1. Introdução A primeira ideia que surge no imaginário de qualquer estudante quando ele ouve a palavra contagem seria exatamente
Leia maisa) Em quantas ordem quatro pessoas podem senta num sofá de 4 lugares?
ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM A análise combinatória é um ramo da matemática que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente em escolher e agrupar os elementos
Leia maisPRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA A resolução de problemas é a parte principal da Análise Combinatória, que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número de elementos dados, e de determinar
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20 Alguns Conceitos Básicos de Contagem As ideias de contagem se relacionam com
Leia maisOi, Ficou curioso? Então conheça nosso universo.
Oi, Somos do curso de Matemática da Universidade Franciscana, e esse ebook é um produto exclusivo criado pra você. Nele, você pode ter um gostinho de como é uma das primeiras aulas do seu futuro curso.
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Princípios Básicos de Contagem. O fatorial de um número e as permutações simples. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de Princípios Básicos de Contagem O fatorial de um número e as permutações simples Segundo Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisMatemática e Raciocínio Lógico Análise Combinatória Prof. Dudan
Matemática e Raciocínio Lógico Análise Combinatória Prof. Dudan Matemática e Raciocínio Lógico ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos
Leia maisESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA A resolução de problemas é a parte principal da Análise Combinatória, que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número de elementos dados, e de determinar
Leia maisPROBABILIDADE. Prof. Patricia Caldana
PROBABILIDADE Prof. Patricia Caldana Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade,
Leia maisUNITAU APOSTILA ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. CARLINHOS
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória
Leia maisEntão ao todo ela pode se vestir de 3+3=6 modos diferentes. Veja estas possibilidades na figura a seguir.
Contagem 5: resolução de exercícios Desde a primeira aula de contagem estamos estudando o princípio multiplicativo e o princípio aditivo. Também estudamos o conceito de permutação e nas últimas aulas foram
Leia maisAula 6 Revisão de análise combinatória
Aula 6 Revisão de análise combinatória Conforme você verá na próxima aula, a definição clássica de probabilidade exige que saibamos contar o número de elementos de um conjunto. Em algumas situações, é
Leia maisPolo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019
Polo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019 Marcel Thadeu de Abreu e Souza Vitor Emanuel Gulisz Análise Combinatória: Introdução Vamos buscar contar
Leia maisPaulo chegou a uma lanchonete e encontrou as seguintes opções de bebidas disponíveis:
Analise Combinatória 1 1.1 Princípio Aditivo Exemplo 1.1 Paulo chegou a uma lanchonete e encontrou as seguintes opções de bebidas disponíveis: 4 opções de refrigerante: R 1, R 2, R 3 e R 4 ; 3 opções de
Leia maisIntrodução. Alterações: Não há;
FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO ESTADUAL PROFESSOR ANTÔNIO MARIA TEIXEIRA FILHO PROFESSOR: ANDRÉ GOMES CARDOSO MATRÍCULA: 09208778 SÉRIE: 3ª SÉRIE
Leia maisRACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO PROFº MARCELO JARDIM WWW.CONCURSOVIRTUAL.COM.BR 1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Formação de senhas, códigos, placas de automóveis e telefones.
Leia maisEncontro 5: Permutação e resolução de exercícios de contagem
Encontro 5: Permutação e resolução de exercícios de contagem Relembrando: Princípio Aditivo: Sejam e conjuntos disjuntos, isto é, conjuntos com interseção vazia. Se possui m elementos e se possui n elementos,
Leia maisContagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?
Leia maisPermutacões com elementos repetidos
Permutacões com elementos repetidos Lembre-se de que permutar um grupo de elementos consiste em colocá-los em uma determinada ordem. E lembre-se de que, quando n é um inteiro não negativo, a quantidade
Leia maisExercícios sobre Métodos de Contagem
Exercícios sobre Métodos de Contagem 1) Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um líder e um vice-líder para um debate. (a) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas
Leia maisESTRUTURA DE PLANO DE UALA
ESTRUTURA DE PLANO DE UALA Nome da instituição: Colégio Olivina Olivia Carneiro da Cunha Nome do professor: Andressa Morgado. Bolsista: Allif do Nascimentos Santos Disciplina: Matemática Série: 2ª ano
Leia maisRaciocínio Lógico. 06- A quantidade de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra MINISTÉRIO é inferior a
Raciocínio Lógico 01- Se Carlos é surfista, então Julia não é tenista. Se Julia não é tenista, então Michelle anda de skate. Se Michelle anda de skate, então Lucas não é patinador. Ora, Lucas é patinador.
Leia maisMódulo de Princípios Básicos de Contagem. Segundo ano
Módulo de Princípios Básicos de Contagem Permutação simples Segundo ano Permutação Simples 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. De quantas formas se pode dispor quatro pessoas em fila indiana? Exercício
Leia maisAnálise Combinatória
FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ PLANO DE TRABALHO 1-1º BIMESTRE/2013 Análise Combinatória [Cláudia Márcia de Azevedo Pinto Rocha] [claudiamarcia.rocha@yahoo.com.br]
Leia maisMA12 - Unidade 12. Paulo Cezar Pinto Carvalho. 28 de Abril de 2013 PROFMAT - SBM
MA12 - Unidade 12 Permutações e Combinações Paulo Cezar Pinto Carvalho PROFMAT - SBM 28 de Abril de 2013 Permutações Simples De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos? A escolha do objeto
Leia maisMATEMATICA PERMUTAÇÕES SIMPLES QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8 E 9?
MATEMATICA 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR EXEMPLO PERMUTAÇÕES SIMPLES QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8 E 9? Temos o conjunto
Leia mais8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem AV 2 4º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier Aluno
8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem AV 2 4º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier Aluno ANÁLISE COMBINATÓRIA Introdução Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete
Leia maisContagem 2: permutação e resolução de exercícios de contagem. - Assuntos a serem abordados: Contagem permutação e resolução de exercícios de contagem
Contagem 2: permutação e resolução de exercícios de contagem - Assuntos a serem abordados: Contagem permutação e resolução de exercícios de contagem - Textos: Apresentado neste roteiro da aula Apostila
Leia maisMais Permutações e Combinações (grupo 2)
Capítulo 4 Mais Permutações e Combinações (grupo 2) Como vimos anteriormente, é possível resolver um grande número de problemas interessantes de contagem sem utilizar fórmulas, apenas empregando apropriadamente
Leia maisESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA A resolução de problemas é a parte principal da Análise Combinatória, que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número de elementos dados, e de determinar
Leia maisResposta da questão 2: [B] O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é igual ao arranjo de 4, 3 a 3.
Resposta da questão 1: [A],5h = 9.000 s Se d é número de algarismos da senha ímpar, podemos escrever que o número n de senhas será dado por: d1 n= 10 5 ou n= 9000 1,8 = 5000 Portanto, d1 10 5 = 5000 d
Leia maisContagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em
Leia maisCiclo 2 Encontro 2 PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES. Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr.
1 Ciclo 2 Encontro 2 PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr. ATUALIZAR O ENDEREÇO RESIDENCIAL ATÉ 07/08! 2 ATUALIZAR O ENDEREÇO RESIDENCIAL ATÉ 07/08!
Leia maisConsidere a figura, em que estão indicadas as possíveis localizações do cliente.
36. [C] Considere a figura, em que estão indicadas as possíveis localizações do cliente. A resposta é 12. 37. [C] Como cada tarefa pode ser distribuída de três modos distintos, podemos concluir, pelo Princípio
Leia maisRESPOSTA Princípio Fundamental da contagem
RESPOSTA Princípio Fundamental da contagem Monitores: Juliana e Alexandre Exercício 1 Para resolver esse exercício, devemos levar em consideração os algarismos {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9}. Para que esse
Leia maisMatemática 2C16//26 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem. Permutação simples e fatorial de um número.
Matemática 2C16//26 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem 1. Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cidade B a uma cidade C. De
Leia maisESCOLA ESTADUAL DR JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA PLANO DE ESTUDOS INDEPENDENTES DE RECUPERAÇÃO. Matemática
ESCOLA ESTADUAL DR JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA PLANO DE ESTUDOS INDEPENDENTES DE RECUPERAÇÃO (NO PERÍODO DE FÉRIAS ESCOLARES) ANO 2014/20 PROFESSOR (a) DISCIPLINA Matemática ALUNO (a) SÉRIE 2º ano 1. OBJETIVO
Leia maisMatemática ANÁLISE COMBINATÓRIA. Professor Dudan
Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Dudan Análise Combinatória Análise Combinatória Permutação Simples É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora.muito comum em
Leia maisProblemas dos Círculos Matemáticos. Problemas extras para o Capítulo 4
Problemas dos Círculos Matemáticos Problemas extras para o Capítulo 4 Problemas dos Círculos Matemáticos - Capítulo 4 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Quantos triângulos existem na figura abaixo?
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória Exercícios: 1. Maria inventou uma brincadeira. Digitou alguns algarismos na primeira linha de uma folha. Depois, no segunda linha, fez
Leia maisCentro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim MÓDULO 1 ROTEIRO DE ESTUDOS: Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a resolução dos exemplos. Copie e resolva os exercícios em
Leia maisMatemática Discreta. Aula 01: Análise Combinatória I. Tópico 01: Princípio fundamental de contagem
Tópico 01: Princípio fundamental de contagem Aula 01: Análise Combinatória I A principal função da análise combinatória é desenvolver técnicas para a contagem de conjuntos. Dito assim, parece simples e
Leia mais4 3 10! Resposta pedida: 3! x 4! = 144 Resposta: C
ágina 80. reparar o Exame 0 07 Matemática A 4 0! 4 x x 0!. Devemos escolher, das oito posições, duas para as letras A: temos 8 formas de o fazer. Das seis posições restantes, uma tem de ser para a letra
Leia maisProfessor Zé Moreira QUESTÕES PROPOSTAS
QUESTÕES PROPOSTAS 01 - Uma dama tem 3 saias e 4 blusas. De quantas maneiras poderá sair usando sala e blusa sem repetir o mesmo conjunto? 02 - Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar
Leia maisSolução: a) Observamos que temos as seguintes linhas entre as cidades: A B C
Exercício 1 Há 3 linhas de ônibus entre as cidades A e B e 2 linhas de ônibus entre B e C. De quantas maneiras uma pessoa pode viajar: (a) indo de A até C, passando por B? (b) indo e voltando entre A e
Leia maisUnidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno
Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Mauricio Fanno Estatística indutiva Estatística descritiva Dados no passado ou no presente e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis. Campo de trabalho:
Leia mais8 ANÁLISE COMBINATÓRIA E
MATEMATICA 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE NOME ESCOLA EQUIPE SÉRIE PERÍODO DATA PERMUTAÇÕES SIMPLES EXEMPLO QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8 E 9? Temos
Leia mais10. Fatorial e Análise combinatória
10. Fatorial e Análise combinatória 1. Definição e propriedades básicas. Seja n um número natural, n 2. Então, designamos o produto 123... (n-1)n como, que se lê n fatorial. Dessa definição, deduzimos
Leia maisPROBABILIDADE. Aula 3 Arranjo, Permutação e Análise Combinatória. Fernando Arbache
PROBABILIDADE Aula 3 Arranjo, Permutação e Análise Combinatória Fernando Arbache Princípio fundamental da contagem Exemplo: Uma menina quer sair com o namorado. Ela quer saber de quantas maneiras diferentes
Leia maisEstatística Básica Capítulo 2 Ayrton Barboni. Anotamos n(x) o número de elementos do conjunto X. Vejamos algumas situações:
2. TÉCNICAS DE CONTAGEM Capítulo 2 Para resolver problemas de probabilidades, que serão estudados adiante, é necessário, em alguns casos, contar os elementos de um conjunto finito. 2.1. REGRAS DE CONTAGEM
Leia maisDOUTRINA VOLUME ÚNICO: TÉCNICO DO INSS (TODAS AS DISCIPLINAS) Organizadores Flávia Cristina, Júlio Franceschet, Lucas Pavione ERRATA
DOUTRINA VOLUME ÚNICO: TÉCNICO DO INSS (TODAS AS DISCIPLINAS) Organizadores Flávia Cristina, Júlio Franceschet, Lucas Pavione ERRATA Prezado Leitor, Durante o processo de diagramação do texto ocorreram
Leia maisAulas particulares. Conteúdo
Conteúdo Capítulo 6...2 Probabilidade...2 Exercícios...4 Restpostas...9 Capítulo 7... 12 Análise combinatória... 12 Fatorial... 12 Arranjo... 13 Combinação... 16 Exercícios... 17 Respostas... 22 1 Capítulo
Leia maisCEEJA MAX DADÁ GALLIZZI
CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 18 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos
Leia maisBreve revisão de Análise Combinatória
1. Princípio fundamental da contagem Breve revisão de Análise Combinatória Considere que certo procedimento pode ocorrer de duas maneiras diferentes, quais sejam: A 1ª maneira, ocorrendo de a modos distintos;
Leia maisMatemática 4 Módulo 9
Matemática 4 Módulo 9 ANÁLISE COMBINATÓRIA I COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA (n + )! (n + )(n )!. I. Dada a função ƒ (n). Simplificando, temos: n! + (n )! (n + ).n.(n )! (n + ).(n )! (n )![(n + ).n (n
Leia maisProf. Dr. Lucas Santana da Cunha de abril de 2018 Londrina
Análise Combinatória Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 18 de abril de 2018 Londrina 1 / 11 Análise Combinatória A Análise Combinatória é a parte
Leia maisPrincípio da Multiplicação Gerando todas as palavras de um alfabeto. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/18
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Princípio da Multiplicação Gerando todas as palavras de um alfabeto Permutações > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/18 Objetivos
Leia mais( ) ( ) Questões tipo exame. O número pedido é: Questões tipo exame Pág Os algarismos 1 e 2 podem ocupar 5 A. posições diferentes.
Questões tipo exame Pág. 6.. Os algarismos e podem ocupar A posições diferentes. Os restantes lugares são ocupados por três algarismos escolhidos de entre oito, portanto, existem A maneiras diferentes
Leia maisCOLÉGIO EQUIPE DE JUIZ DE FORA MATEMÁTICA - 3º ANO EM. 1. O número de anagramas da palavra verão que começam e terminam por consoante é:
1. O número de anagramas da palavra verão que começam e terminam por consoante é: a) 120 b) 60 c) 12 d) 24 e) 6 2. Com as letras da palavra prova, podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e
Leia maisFísica do Calor - 23ª Aula. Prof. Alvaro Vannucci
Física do Calor - 23ª Aula Prof. Alvaro Vannucci Na última aula vimos exemplos de como efetuar a Permutação de um conjunto de n elementos envolvendo p situações (p estados) possíveis. Por exemplo, como
Leia maisAnálise Combinatória
Introdução Análise combinatória PROBLEMAS DE CONTAGEM Princípio Fundamental da Contagem Exemplo: Um número de telefone é uma seqüência de 8 dígitos, mas o primeiro dígito deve ser diferente de 0 ou 1.
Leia maisEXPRESSÕES NUMÉRICAS FRACIONÁRIAS
EXPRESSÕES NUMÉRICAS FRACIONÁRIAS Introdução: REGRA DE SINAIS PARA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos
Leia maisAnálise Combinatória e Probabilidade
Análise Combinatória e Probabilidade Exemplo: NOME ESCOLA EQUIPE SÉRIE PERÍODO DATA PERMUTAÇÕES SIMPLES -Roteiro do aluno- QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8
Leia maisAnálise Combinatória material teórico completo
1 Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, onde conseguimos determinar todos os casos possíveis, até as situações em que
Leia maisMatemática ANÁLISE COMBINATÓRIA. Professor Dudan
Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Dudan IDENTIFICAÇÃO PERMUTAÇÃO SIMPLES É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora.muito comum em questões que envolvem anagramas
Leia maisMATEMÁTICA ELEMENTAR II:
Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 2009 2009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer
Leia maisn! = n (n 1) (n 2) 1.
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso - IFMT Campus Várzea Grande Aula - Análise Combinatória e Probabilidade Prof. Emerson Dutra E-mail: emerson.dutra@vgd.ifmt.edu.br Página
Leia maisProfessora : Carmen Beatriz Landeira Peixoto de Miranda Pacheco. Tarefa 3 : Avaliação da Execução do Plano de Trabalho 1
Projeto Seeduc Tutor: Andréa Silva de Lima Professora : Carmen Beatriz Landeira Peixoto de Miranda Pacheco Colégio Estadual Liddy Mignone Paty do Alferes - RJ Tarefa 3 : Avaliação da Execução do Plano
Leia maisAnálise Combinatória
SEEDUC - CECIERJ Formação Continuada em Matemática Matemática 3 Ano 1 Bimestre/2013 Tarefa 3 Plano de Trabalho Análise Combinatória REFEITO Cursista: Maria Aparecida Cardoso de Lema Tutor : Rodolfo 1 PONTOS
Leia maisCOLÉGIO EQUIPE DE JUIZ DE FORA
1. (UPF-RS) O número de anagramas da palavra verão que começam e terminam por consoante é: a) 120 b) 60 c) 12 d) 24 e) 6 2. (UFF-RJ) Com as letras da palavra prova, podem ser escritos x anagramas que começam
Leia maisMódulo de Princípios Básicos de Contagem. Princípio fundamental da contagem. Segundo ano
Módulo de Princípios Básicos de Contagem Princípio fundamental da contagem Segundo ano Princípio Fundamental de Contagem 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Considere três cidades A, B e C, de forma
Leia maisDo Basquete ao futsal
Reforço escolar M ate mática Do Basquete ao futsal Dinâmica 5 3ª Série 1º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Matemática 3ª do Ensino Médio Numérico Aritmético Análise Combinatória Aluno Primeira
Leia maisOperações elementares
Operações elementares Katarine Emanuela Klitzke Introdução Algo muito importante em olimpíadas, é conhecer o estilo da prova, o modo como os conteúdos são abordados nas questões e os caminhos que devem
Leia maisMódulo de Métodos Sofisticados de Contagens. Combinação completa. Segundo ano
Módulo de Métodos Sofisticados de Contagens Combinação completa Segundo ano Combinações Completas 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. As triplas (x, y, z) = (2, 2, 0), (1, 2, 1) e (0, 1, 3) são soluções
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 9
i Sumário 1 Teoria dos Conjuntos e Contagem 1 1.1 Teoria dos Conjuntos.................................. 1 1.1.1 Comparação entre conjuntos.......................... 2 1.1.2 União de conjuntos...............................
Leia maisCentro Educacional ETIP
Centro Educacional ETIP Trabalho Trimestral de Matemática 2 Trimestre/2014 Data: 08/08/2014 Professor: Nota: Valor : [0,0 2,0] Nome do (a) aluno (a): Nº Turma: 3 M CONTEÚDO Análise Combinatória, Princípio
Leia maisMatemática 2 Ano do Ensino Médio. Lista 1 Análise Combinatória. 1. Simplifique as expressões algébricas.
Estudante: Nº. Matemática 2 Ano do Ensino Médio Professor: Diego Andrades Lista 1 Análise Combinatória 1. Simplifique as expressões algébricas. ( x 1)! x! a) ( n 1)! b) ( k 2)! k! c) ( n 1)! ( n 2)! d)
Leia maisMATEMÁTICA ELEMENTAR II:
Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 2009 2009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer
Leia maisContagem. Próxima Aula: Prova
Contagem Próxima Aula: Prova Conteúdo Correção dos Exercícios Exercício 1 Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário.
Leia mais