Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

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1 Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim ANÁLISE COMBINATÓRIA O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. As operações de adição e multiplicação são exemplos de técnicas matemáticas utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira ( adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda ( multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir adições de parcelas iguais. Exemplo : = 20 corresponde a 5. 4 = 20 A multiplicação também é base de um raciocínio muito importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos ( como veremos nos exemplos). Esse princípio estabelece o número de maneiras distintas( diferentes ) de ocorrer um evento. Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória. A partir deste módulo, você vai aprofundar o estudo dessa parte da Matemática. EXEMPLO 1 Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

2 Assim, Maria dispõem de 3 x 2 = 6 maneiras ou possibilidades diferentes de se vestir. EXEMPLO 2 Natália vai viajar de São Paulo a Salvador, passando pelo Rio de Janeiro. De São Paulo ao Rio de Janeiro ela pode ir de carro, de avião ou de ônibus; do Rio de Janeiro a Salvador ela pode ir de avião ou ônibus. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer a viagem? Solução: avião Avião carro ônibus São Paulo ônibus Rio de Janeiro Salvador três possibilidades duas possibilidades Aplicando o princípio fundamental da multiplicação, temos: 3. 2 = 6 possibilidades. EXEMPLO 3 Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos formar usando 6,, e 9? 6 9 Solução: Veja o diagrama de árvore abaixo, indicando todas as possibilidades: (1) (2) (3) (4) (5) (6) () () (9) (10) (11) (12) Você não precisa fazer essa contagem basta aplicar o princípio fundamental da multiplicação. Você tem quatro algarismos e três possibilidades de combinação para cada um deles, portanto: 4. 3 = 12 possibilidades 2

3 EXEMPLO 4 Quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados com os algarismos 5,6, e? Solução: Algarismos das dezenas Algarismos das unidades Nesse caso, como não foi exigido que os algarismos sejam diferentes, existem 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e quatro para o das unidades. Logo, aplicamos o princípio fundamental da multiplicação: 4. 4 = 16 EXEMPLO 5 De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura abaixo, cobrindo os retângulos de preto ou vermelho? Solução: Cada retângulo terá duas possibilidades : preto ou vermelho. Logo o número total de possibilidades é, pelo princípio fundamental de multiplicação : = 2 6 = 64 EXEMPLO 6 As placas de automóveis eram todas formadas por duas letras ( inclusive K,Y e W ) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia as placas dos carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter três letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar? 3

4 Solução : No primeiro caso, escolhendo uma letra como exemplo: L L N N N N Não esqueça: São 26 letras do alfabeto e 10 algarismos. Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras (total de letras ) e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é: = No segundo caso L L L N N N N = = A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26 vezes maior. A diferença é de , ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente. CURIOSIDADES DA LOTECA Ao apostar na Loteria Esportiva você quer acertar os 13 jogos, evidentemente. Mas não é tão fácil assim. A certeza em acertar todos os jogos seria apostar triplo nos 13 jogos, o que você não pode fazer. Ao fazer isto, faria 313 = apostas ( lembre-se que 313 = ) e a probabilidade de acertar seria igual a 1. 4

5 Exercícios: 1) Andréa tem 4 blusas, 3 calças e 4 pares de tênis. De quantas maneiras diferentes ela pode combinar as 3 peças? 2) O cardápio de um restaurante oferece: dois tipos de salada, dez de pratos quentes, cinco de bebida e 3 de sobremesa. Quantos pedidos diferentes é possível fazer, escolhendo um item de cada? 3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem? AS PERMUTAÇÕES Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de contagem que está relacionado com as várias formas de organizar ou arrumar os elementos de um conjunto. Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto, muitas vezes precisamos saber quantas maneiras podemos arrumar um conjunto de elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o número total de possibilidades. Consultando um dicionário encontramos: PERMUTAR PERMUTAÇÃO dar mutuamente, trocar. ato ou efeito de permutar, troca, substituição; EXEMPLO 1: De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana? SOLUÇÃO: Ao escolher uma pessoa para ocupar a 1ª posição na fila temos 5 pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar da fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. Pelo princípio multiplicativo ou seja, multiplicando o nº de opções temos: 5

6 = 120 opções, essa seqüência de multiplicações é denominada fatorial e é representada pelo símbolo (!). 5! = = 120, onde o símbolo! é chamado fatorial. FATORIAL Sendo um nº natural, n! ( lê-se n fatorial) é o produto de todos os números naturais consecutivos de 1 até n. EXEMPLO 1: 3! = = 6! = = 5040 fatorial é uma multiplicação EXEMPLO 2 Quantos são os anagramas da palavra MARTELO? Você sabe o que é um anagrama? Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase. Ex: CASA Casamento Amizade Amor Satisfação Satisfação Amor Amizade Casamento SOLUÇÃO: Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras M, A, R, T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de permutações possíveis com essas letras, ou seja:! = = 5040 EXEMPLO 3: Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem? SOLUÇÃO: O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo: trocam entre si 2. 4! = = 4 maneiras sabem dirigir 6

7 EXERCÍCIOS: 4 ) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMOR? 5 ) a) Quantos números distintos de 6 algarismos podem se formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? b) Quantos desses números são pares? PERMUTAÇÕES ( com repetição de elementos ) Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA? Aparecem 3 vezes a letra A e 2 vezes a letra N. Calculamos o total de 6! = 20 e dividimos pelo fatorial de 3 e pelo fatorial de 2. 6! nº total de permutações de 6 letras. 3! 2! produto das repetições possíveis com as letras A e N ! = = ! Uma expressão geral para permutações com objetos nem todos distintos Havendo n elementos para permutar e dentre eles um elemento se repete p vezes outro elemento se repete q vezes, temos: n! p! q! No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos que se repetem. Neste caso, teremos no denominador da expressão o produto dos fatoriais de todos os elementos que se repetem. Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser facilmente simplificada. Observe os exemplos: a) 10! = ! = = ! 6!

8 b) 5! = 5! = 1 = 1!. 6. 5! c) 5! = ! = 5. 4 = 20 = 10 3! 2! 3! 2! EXERCÍCIOS: 6 ) Quantos são os anagramas da palavra PARANÁ? PERMUTAÇÕES CIRCULARES A expressão geral do número de permutações circulares será o número total de permutações, n!, dividido pelas n vezes que cada roda equivalente foi contada: n! = n. ( n 1 )! = ( n 1 )! n n EXEMPLO 1: Quantas rodas de ciranda podemos formar com crianças? SOLUÇÃO: Podemos formar! =! = = 5040 rodas diferentes. EXEMPLO 2: Se no encontro de presidentes as reuniões fossem ocorrer ao redor de uma mesa, de quantas maneiras poderíamos organizá-los? SOLUÇÃO:! = 6! = = 20 posições circulares diferentes EXERCÍCIOS: ) De quantos modos 9 pessoas podem formar uma roda de ciranda?

9 GABARITO: 1 ) 4 2 ) ) 12 4 ) 24 5 ) a ) 20 b ) ) 120 )

10 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. ª Edição IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 199. ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 200: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 10

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