Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA. Professor Dudan

Transcrição

1 Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Dudan

2 Análise Combinatória

3 Análise Combinatória Permutação Simples É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora.muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras. Fórmula: P n = n! Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!

4 Exemplo Resolvido Análise Combinatória Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = = 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA...

5 Exemplo Análise Combinatória Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas?

6 Exemplo Análise Combinatória Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas e nessa ordem?

7 Análise Combinatória E se houver elementos repetidos? Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos descontar os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.

8 Exemplo Análise Combinatória Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.

9 Análise Combinatória Arranjo É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZ diferença. Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia. Fórmula: Dica: O ARRANJO ordena! Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem

10 Exemplo Análise Combinatória Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? (A) 69 (B) 2024 (C) 9562 (D) (E) 13824

11 Análise Combinatória Combinação É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo) onde a ordem NÃO faz diferença. Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos. Fórmula: Dica: A COMBINAÇÃO agrupa!

12 Análise Combinatória Exemplo Resolvido Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula chegaremos a: C 5,2 = 5! / [(5 2)!. 2!] = 5! / (3!. 2!) = / ! = 20/2 = 10 E não tem um atalho?

13 Análise Combinatória Método Prático Esse método agilizará a resolução das questões. Para isso basta usar a regra: rebobinar o n até o total de p itens e divide pelo p fatorial. Exemplos: C 5, 2 = C 10, 4 = C 8, 1 = C 7, 5 =

14 Análise Combinatória Exemplo Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de: (A) 720 (B) 70 (C) 150 (D) 300 (E) 35

15 ANÁLISE COMBINATÓRIA

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17 A partir dos elementos do conjunto S={2,3,5,7}, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar? A) 6 B) 8. C) 12. D) 16. E) 24. PREF DE FOZ DO IGUAÇU/PR 2016

18 O número de anagramas formados com as letras da palavra MOLDE de maneira que as vogais OE sempre estejam juntas e nessa ordem é: A) 24. B)30. C) 60. D)72. E)120. BRDE 2015

19 Utilizando a palavra FLORESTA, quantos anagramas podem ser formados considerando que as letras FLR sempre apareçam juntas e nessa ordem? A) 520. B) 660. C) 720. D) E) SISPREM 2015

20 Uma empresa prestadora de serviços na área de limpeza dispõe de 8 empregados. De quantas maneiras diferentes é possível formar uma equipe com 4 pessoas para realizar a limpeza de um condomínio? A) 42. B) 54. C) 65. D) 70. E) 82. PREF DE LIBERATO SALZANO/RS 2015

21 Em uma empresa, trabalham 6 mecânicos e 3 técnicos. Quantas comissões diferentes compostas por 4 mecânicos e 2 técnicos podem ser formadas para prestar assistência técnica a um cliente? A) 30. B) 36. C) 40. D) 45. E) 48. PREF DE TORRES/RS 2016

22 Uma loja vende 5 modelos diferentes de blusões e 6 modelos diferentes de calças. De quantas maneiras distintas é possível realizar uma compra com 3 blusões diferentes e 3 calças diferentes? A) 80. B) 120. C) 140. D) 160. E) 200. PREF DE VIAMÃO/RS 2017

23 Dona Alice pediu ajuda a seus nove netos para realizar duas tarefas.cinco netos iriam limpar o quintal e os outros quatro iriam limpar o quarto.o número de maneiras que os netos de Dona Alice podem se organizar para realizar essas duas tarefas é igual a : A)2. B)9. C)126 D)720 E) POLICIA MILITAR/RS 2014

24 Questões FUNDATEC: C A C D D E C GABARITOS