Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Análise Combinatória - Atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 31 de Julho de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(auel(ptbr Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Sugiro que o leitor pesquise na Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: Tudo tem a sua ocasião própria, e há tempo para todo propósito debaixo do céu. Há tempo de nascer, e tempo de morrer; tempo de plantar, e tempo de arrancar o que se plantou; tempo de matar, e tempo de curar; tempo de derrubar, e tempo de edificar; tempo de chorar, e tempo de rir; tempo de prantear, e tempo de dançar; tempo de espalhar pedras, e tempo de ajuntar pedras; tempo de abraçar, e tempo de abster-se de abraçar; tempo de buscar, e tempo de perder; tempo de guardar, e tempo de deitar fora; tempo de rasgar, e tempo de coser; tempo de estar calado, e tempo de falar; tempo de amar, e tempo de odiar; tempo de guerra, e tempo de paz. Que proveito tem o trabalhador naquilo em que trabalha? Tenho visto o trabalho penoso que Deus deu aos filhos dos homens para nele se exercitarem. Tudo fez formoso em seu tempo; também pôs na mente do homem a idéia da eternidade, se bem que este não possa descobrir a obra que Deus fez desde o princípio até o fim. A Bíblia Sagrada, Eclesiastes 3

2 CONTEÚDO ii Conteúdo 1 Introdução à Análise Combinatória 1 2 Arranjos Arranjo simples Arranjo com repetição Arranjo condicional Permutações Permutação simples Permutação com repetição Anagrama Permutação circular Combinações Combinação simples Combinação com repetição Regras para Análise Combinatória Regra da soma Regra do Produto Número de Arranjos simples Número de Permutações simples Número de Combinações simples Número de arranjos com repetição Número de permutações com repetição Número de combinações com repetição Propriedades das combinações Números Binomiais

3 Seção 1 Introdução à Análise Combinatória 1 1 Introdução à Análise Combinatória Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que permite construir grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maioria das vezes, tomaremos conjuntos com m elementos e os grupos formados com elementos deste conjunto terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p m. Arranjos, Permutações e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos. Observação 1. É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em questões em uma forma dúbia! 2 Arranjos Definição 1 (Arranjo. É um grupo formado com p elementos escolhidos de uma coleção com m elementos, sendo p < m de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição. 2.1 Arranjo simples Definição 2 (Arranjo simples. É um arranjo que não permite a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. O número de arranjos simples é dado pela fórmula: A(m, p m! (m p! Exemplo 1. Para o conjunto {A, B, C, D}, o número de arranjos simples dos m 4 elementos tomados com a taxa p 2 é formado por 12 grupos, pois A(4, 2 4! 2!

4 2.2 Arranjo com repetição 2 Os grupos não possuem a repetição de qualquer elemento mas os elementos podem aparecer na ordem trocada. Todos os grupos estão no conjunto: {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} 2.2 Arranjo com repetição Definição 3 (Arranjo com repetição. É um arranjo em que todos os m elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. O número de arranjos com repetição é dado pela fórmula: A r (m, p m p Exemplo 2. Para o conjunto {A, B, C, D}, o número de arranjos com repetição dos m 4 elementos com a taxa p 2 é formado por 16 grupos, pois A r (4, Aparecem repetições em cada grupo. Os grupos estão no conjunto: {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} 2.3 Arranjo condicional Definição 4 (Arranjo condicional. É um arranjo em que todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. O número de arranjos condicionais é dado pela fórmula: A c A(m 1, p 1 A(m m 1, p p 1 Exemplo 3. Vamos construir todos os arranjos com 4 elementos do conjunto {A, B, C, D, E, F, G}, começando com 2 letras escolhidas no subconjunto {A, B, C}. Aqui temos um total de m 7 letras, a taxa é p 4, o subconjunto escolhido tem m 1 3 elementos e a taxa de formação para este subconjunto é p 1 2. Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto: P ABC {AB, BA, AC, CA, BC, CB}

5 Seção 3 Permutações 3 Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, obtemos 12 grupos que estão no conjunto: P DEF G {DE, DF, DG, ED, EF, EG, F D, F E, F G, GD, GE, GF } Usando a regra do produto, temos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto P ABC com um elemento do conjunto P DEF G. Um típico arranjo para esta situação é CAF G. Cálculo para o exemplo: A c A(3, 2 A(7 3, 4 2 A(3, 2 A(4, Permutações Definição 5 (Permutação. Permutação é um agrupamento formado com m elementos, de modo que todos os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. 3.1 Permutação simples Definição 6 (Permutação simples. Permutações são agrupamentos com todos os m elementos distintos. O número de permutações simples é: P (m m! Exemplo 4. Para o conjunto {A, B, C}, o número de permutações simples desses m 3 elementos é formado por P (3 3! 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas que aparecem na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} 3.2 Permutação com repetição Definição 7 (Permutação com repetição. Para os m elementos de um conjunto {x 1, x 2, x 3,..., x m }, vamos supor que existem m 1 elementos iguais a x 1,

6 3.3 Anagrama 4 m 2 elementos iguais a x 2, m 3 elementos iguais a x 3,..., m n elementos iguais a x n, tal que m m 1 m 2 m 3... m n. Para os nossos cálculos vamos usar m m 1 m 2 m 3 e o número de permutações com repetição é dado pela fórmula: P r (m; m 1 m 2 m 3 C(m, m 1 C(m m 1, m 2 C(m m 1 m 2, m 3 m! (m m 1! (m m 1 m 2! m 1! (m m 1! m 2! (m m 1 m 2! m 3! 0! m! m 1! m 2! m 3! Em geral, se m m 1 m 2 m 3... m n, o número de permutações com repetição é dado pela fórmula: P r (m; m 1 m 2 m 3...m n m! m 1! m 2! m 3!... m n! 3.3 Anagrama Definição 8 (Anagrama. Um anagrama é uma (outra palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. Se as letras da palavra original são: 1. distintas, o número de anagramas é dado pelo número de permutações simples. 2. repetidas, o número de anagramas é dado pelo número de permutações com repetição. Exemplo 5. Para obter os anagramas da palavra ARARAT, observamos que a letra A ocorre m 1 3 vezes, a letra R ocorre m 2 2 vezes e a letra T ocorre m 3 1 vez. O número de permutações com repetição desses elementos do conjunto {A, R, T } em agrupamentos de m 6 elementos é dado por 60 grupos com a repetição de todos os elementos do conjunto aparecendo também na ordem trocada. Cálculo: Aqui m 1 3, m 2 2, m 3 1, m m 1 m 2 m 3 6, logo P r (6; ! 3! 2! 1!

7 3.4 Permutação circular 5 Todos os 60 anagramas da palavra ARARAT estão listados na tabela: N Inicial Anagramas formados com as três letras iniciais indicadas 1 RRT RRTAAA 1 RTR RTRAAA 1 TRF TRRAAA 3 AAA AAARRT, AAARTR, AAATRR 3 AAT AATARR, AATRAR, AATRRA 3 ARR ARRAAT, ARRATA, ARRTAA 3 ART ARTAAR, ARTARA, ARTRAA 3 ATA ATAARR, ATARAR, ATARRA 3 ATR ATRAAR, ATRARA, ATRRAA 3 RRA RRAAAT, RRAATA, RRATAA 3 RTA RTAAAT, RTAATA, RTATAA 3 TAA TAAARR, TAARAR, TAARRA 3 TAR TARAAR, TARARA, TARRAA 3 TRA TRAAAR, TRAARA, TRARAA 6 AAR AARART, AARATR, AARRAT, AARRTA, AARTAR, AARTRA 6 ARA ARAART, ARAATR, ARARAT, ARARTA, ARATAR, ARATRA 6 RAA RAAART, RAAATR, RAARAT, RAARTA, RAATAR, RAATRA 6 RAR RARAAT, RARATA, RARTAA, RATAAT, RATATA, RATTAA 3.4 Permutação circular Definição 9 (Permutação circular. Este tipo de permutação ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando um círculo. O número de permutações circulares é dado pela fórmula: P c (m (m 1! Exemplo 6. De quantos modos distintos as pessoas do conjunto {A, B, C, D} poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular para realizar o jantar sem haver repetição das posições? Existem 24 permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, as quais estão

8 Seção 4 Combinações 6 no conjunto: P c {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA} Acontece que junto a uma mesa circular temos que: ABCDBCDACDABDABC ABDCBDCADCABCABD ACBDCBDABDACDACB ACDBCDBADBACBACD ADBCDBCABCADCADB ADCBDCBACBADBADC Assim, existem somente P (4 (4 1! 6 grupos distintos, que são: P c {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB} 4 Combinações Definição 10 (Combinação. Combinação é um arranjo formado por um agrupamentos com p elementos de uma coleção com m elementos, sendo p m, de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. 4.1 Combinação simples Definição 11 (Combinação simples. É uma combinação em que não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. O número de combinações é dado pela fórmula: C(m, p m! (m p! p!

9 4.2 Combinação com repetição 7 Exemplo 7. Considerando o conjunto {A, B, C, D}, o número de combinações simples desses m 4 elementos tomados com a taxa p 2 é formado por C(4, 2 4! 2!2! 24 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer 4 elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: C s {AB, AC, AD, BC, BD, CD} 4.2 Combinação com repetição Definição 12 (Combinação com repetição. É uma combinação em que todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. O número de combinações com repetição é dado pela fórmula: C r (m, p C(m p 1, p Exemplo 8. Para o conjunto {A, B, C, D}, o número de combinações com repetição desses m 4 elementos tomados com a taxa p 2 é formado por C r (4, 2 C(4 2 1, 2 C(5, 2 5! 2!3! 10 grupos que possuem todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. Em geral, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: C r {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois ABBA, ACCA, ADDA, BCCB, BDDB, CDDC assim as combinações com repetição dos elementos de K tomados 2 a 2, são: C r {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD}

10 Seção 5 Regras para Análise Combinatória 8 5 Regras para Análise Combinatória Em geral, problemas de Análise Combinatória são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto. 5.1 Regra da soma A regra da soma garante que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento ocorrerá de m n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. 5.2 Regra do Produto A regra do produto garante que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M nesta ordem poderá ser realizada de m n formas. Exemplo 9. Sejam duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira reta r contém m pontos distintos marcados por r 1, r 2, r 3,..., r m e a segunda reta s contém n outros pontos distintos marcados por s 1, s 2, s 3,..., s n.

11 5.3 Número de Arranjos simples 9 De quantos modos podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade na reta r e a outra extremidade na reta s? Ligando r 1 a todos os pontos de s temos n segmentos, depois ligando r 2 a todos os pontos de s temos n segmentos, e continuamos até o último ponto r m para obter também n segmentos. Como existem m pontos na reta r e n pontos na reta s, temos m n segmentos possíveis. 5.3 Número de Arranjos simples De quantas maneiras diferentes podemos escolher p elementos de um conjunto com m elementos, com p m? Cada uma dessas escolhas é um arranjo de m elementos tomados p a p. Construímos uma seqüência com os m elementos do conjunto. {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m 2, c m 1, c m } Cada vez que um elemento é retirado, indicamos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha. Para escolher o primeiro elemento do conjunto com m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o elemento de ordem m. {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m 2, c m 1, c m } Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m 1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto. O elemento retirado na segunda fase é aquele de ordem m 1. {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m 2, c m 1, c m } Após a segunda retirada, sobraram m 2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem m 2, teremos algo que pode ser visualizado como: {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m 2, c m 1, c m }

12 5.3 Número de Arranjos simples 10 Continuando o processo de retirada, cada vez temos 1 elemento a menos que na fase anterior. Para retirar o elemento de ordem p, restam m p 1 possibilidades de escolha. Para obter o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados com a taxa p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 3 m p m-p1 Número de arranjos: m(m 1(m 2...(m p 1 Denotamos o número de arranjos de m elementos com a taxa p, por A(m, p e a expressão para o seu cálculo é dada por: A(m, p m(m 1(m 2...(m p 1 Exemplo 10. Quais e quantas são as possibilidades de dispor as 5 vogais A,E,I,O,U em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: {AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, UA, UE, UI, UO} A solução numérica é A(5, Exemplo 11. Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes? Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há possibilidades. O conjunto solução é: {AA, AE, AI, AO, AU, EA, EE, EI, EO, EU, IA, IE, II, IO, IU, OA, OE, OI, OO, OU, UA, UE, UI, UO, UU}

13 5.4 Número de Permutações simples 11 Exemplo 12. Quantas placas de carros da forma XYZ-1234 são obtidas no sistema brasileiro de trânsito com 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? Sugestão: Use as 26 letras do nosso alfabeto tomadas 3 a 3 e 10 algarismos dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto. 5.4 Número de Permutações simples Este é um caso particular de arranjo com p m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto, basta escolher os m elementos em uma certa ordem. A tabela de arranjos com as linhas até a ordem p m, permitirá obter o número de permutações de m elementos: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m p m-p m-2 3 m-1 2 m 1 Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P (m e a expressão para o seu cálculo será dada por: P (m m(m 1(m 2...(m p Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m, m P (m Como o uso de permutações é intenso em Matemática e nas ciências, costumase simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P (m m! Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

14 5.5 Número de Combinações simples 12 Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m 0 e para isto podemos escrever: 0! 1 Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0! 1. O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P P (m ou com o uso do sinal de exclamação: (m 1! (m 1 m!, 0! 1 Exemplo 13. De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A,B,C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P (3 6 e o conjunto solução: P {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Exemplo 14. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P (4 24 e o conjunto solução é: P {AMOR, AMRO, AROM, ARMO, AORM, AOMR, MARO, MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR, OAMR, OARM, ORMA, ORAM, OMAR, OMRA, RAMO, RAOM, RMOA, RMAO, ROAM, ROMA} 5.5 Número de Combinações simples Seja um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, observamos que podemos escolher p elementos deste conjunto, mas ao realizar tais escolhas pode ocorrer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H, M. Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H, M ou (M, H, assim não precisamos escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduzimos o conceito de combinação. Uma coleção de p elementos de um conjunto com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não

15 5.6 Número de arranjos com repetição 13 possuem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. Aqui, temos um outro caso de arranjo, mas não acontece a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente, o que significa que dentre todos os A(m, p arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos. Para obter o número de combinações de m elementos com a taxa p, devemos dividir o número de arranjos A(m, p por m! para obter apenas o número de arranjos que contém conjuntos distintos, ou seja: C(m, p A(m, p p! m(m 1(m 2...(m p 1 p! m(m 1(m 2...(m p (p 1p m(m 1(m 2...(m p 1 (m p(m p (p 1p (m p(m p m! p!(m p! A expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, é uma das seguintes: ( m m! C(m, p p p! (m p! 5.6 Número de arranjos com repetição Tomemos um conjunto com m elementos distintos e consideremos p elementos escolhidos neste conjunto em uma certa ordem. Cada uma dessas escolhas é um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Como existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Assim, indicamos este número por: A r (m, p m p

16 5.7 Número de permutações com repetição Número de permutações com repetição Problema: Sejam 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Para colocar estas bolas em uma ordem determinada, devemos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Usaremos o seguinte procedimento: 1. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. 2. Coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10, 3 possibilidades. 3. Coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos que sobraram, para obter C(10 3, 2 possibilidades e 4. Coloque as 5 bolas amarelas, para obter C(10 3 2, 5 possibilidades. O número total de possibilidades pode ser calculado como: P r C(10, 3 C(10 3, 2 C(10 3 2, 5 10! 3!7! 7! 2!5! 5! 5!0! 10! 3!2!5! Tal metodologia pode ser generalizada. 5.8 Número de combinações com repetição Sejam m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é denominado uma combinação com repetição de m elementos com a taxa p, denotado por C r (m, p. Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos. Exemplo 15. Seja o conjunto A {a, b, c, d, e} e p 6. As coleções {a, a, b, d, d, d}, {b, b, b, c, d, e} e {c, c, c, c, c, c} são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6. Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças { a, a, b, d, d, d } equivale a # # Ø # Ø Ø # # # Ø { b, b, b, c, d, e } equivale a Ø # # # Ø # Ø # Ø # { c, c, c, c, c, c } equivale a Ø Ø # # # # # # Ø Ø

17 5.9 Propriedades das combinações 15 Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6 # e 4 Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10, 6 modos. Assim: C r (5, 6 C(5 6 1, 6 Generalizando isto, podemos mostrar que: C r (m, p C(m p 1, p 5.9 Propriedades das combinações Seja m um número de elementos e o número p a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha dentre os m elementos dados. 1. Taxas complementares: C(m, p C(m, m p. 2. Relação de Stifel: C(m, p C(m 1, p C(m 1, p Números Binomiais Se m e p são números inteiros não negativos, o número de combinações de m elementos tomados com a taxa p, indicado antes por C(m, p, é denominado coeficiente binomial ou número binomial, denotado por: ( m p m! p!(m p! Extensão: Existe uma extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, mas neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m, p pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Tomando π 3, , obtemos ( π π(π 1 3,

18 5.10 Números Binomiais 16 A função citada acima que permite a extensão é a função gama. Tais cálculos são utilizados em Probabilidade e Estatística. Existem duas relações muito importantes, que podem ser escritas em função da notação binomial: Teorema 1 (Taxas complementares. Se n, N com n, então ( ( n n n Exemplo: ( ( Teorema 2 (Relação de Stifel. Se n, N com n >, então ( ( ( n n n Desenvolvendo o membro da esquerda, obtemos: ( ( n n n! 1!(n! n! ( 1!(n 1! n!( 1 ( 1!(n! n!(n ( 1!(n (n 1! n!( 1 ( 1!(n! n!(n ( 1!(n! n!( 1 n ( 1![(n 1 ( 1]! (n 1n! ( 1![(n 1 ( 1]! ( (n 1! n 1 ( 1![(n 1 ( 1]! 1 Exemplo: ( ( ( Teorema 3 (Binomial para n finito. Se h > 0 e n N, então n ( n (1h n h n n(n 1 1nh h 2 n(n 1(n 2 h 3...h n 2! 3! 0

19 5.10 Números Binomiais 17 Teorema 4 (Desigualdade de Bernoulli com 2 termos. Se 1h > 0 e n N, então: (1 h n 1 nh Demonstração: Se n 1, então (1 h 1 1 1h. Se (1 h n 1 nh é verdadeiro, mostraremos que (1 h n1 1 (n 1h. (1 h n1 (1 h.(1 h n (1 h.(1 nh 1 h nh nh 2 1 (n 1h Teorema 5 (Desigualdade de Bernoulli com 3 termos. Se h > 0 e n N, então (1 h n n(n 1 1 nh h 2 2! Demonstração: Se n 1 então (1 h 1 1 1h 0.h 2. Se (1 h n n(n 1 1 nh h 2 é verdadeiro, mostraremos que 2! (1 h n1 (n 1n 1 (n 1h h 2 2 (1 h n1 (1 h.(1 h n n(n 1 (1 h.(1 nh h 2 2 n(n 1 1 nh h 2 h nh 2 n(n 1 h 3 2! 2 n(n 1 1 (n 1h h 2 2n n(n h2 h 3 2! n(n 1 1 (n 1h h 2 2n 2 2 h2 (n 1n 1 (n 1h h 2 2 Alguns casos particulares do Teorema binomial, são: (a b 2 a 2 2ab b 2 (a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b 4 a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4 (a b 5 a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5

20 5.10 Números Binomiais 18 Teorema 6 (Binomial. Se m é um número natural, então: ( ( ( m m m (a b m a m a m 1 b a m 2 b a m 3 b 3... ( m b m m A demonstração do teorema será construída com o uso do Princípio da Indução Matemática. Iremos considerar a Proposição P (m de ordem m, dada por: (a b m a m ( m a m 1 b 1 ( m a m 2 b 2 2 P (1 é verdadeira pois (a b 1 a b. ( m a m 3 b Vamos considerar verdadeira a proposição P (, com > 1: (a b a ( a 1 b 1 ( a 2 b 2 2 ( a 3 b ( m b m m ( b Para mostrar que é verdadeira a proposição P ( 1, devemos concluir que: ( ( ( ( (ab 1 a 1 a b a 1 b 2 a 2 b Assim b 1 (a b 1 (a b(a b (a b[a ( 1 a 1 b ( 2 a 2 b 2 ( 3 a 3 b 3... ( b ] a[a ( 1 a 1 b ( 2 a 2 b 2 ( 3 a 3 b 3... ( b ] b[a ( 1 a 1 b ( 2 a 2 b 2 ( 3 a 3 b 3... ( b ] a 1 ( 1 a b ( 2 a 1 b 2 ( 3 a 2 b 3... ( ab a b ( 1 a 1 b 2 ( 2 a 2 b 3 ( 3 a 3 b 4... ( b 1 a 1 [ ( 1 1]a b [ ( ( 2 1 ]a 1 b 2 [ ( ( 3 2 ]a 2 b 3 [ ( ( 4 3 ]a 3 b 4... [ ( ( 1 2 ]a 2 b 1 [ ( ( 1 ]ab ( b 1 a 1 [ ( ( 1 0 ]a b [ ( ( 2 1 ]a 1 b 2 [ ( ( 3 2 ]a 2 b 3 [ ( ( 4 3 ]a 3 b 4... [ ( ( 1 2 ]a 2 b 1 [ ( ( 1 ]ab ( b 1

21 5.10 Números Binomiais 19 A relação de Stifel garante as três primeiras e as três últimas as identidades: ( 1 ( 2 ( 3 E assim podemos escrever: ( ( 0 1 ( ( 1 2 ( ( ( 1 1 ( ( 2 1 ( ( ( 2 1 ( ( 3 1 ( 1 (a b 1 ( ( ( ( a 1 a b a 1 b 2 a 2 b ( ( ( a 2 b 1 ab b que garante que a propriedade P (m 1 é verdadeira.