NEEJA: NÚCLEO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO

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1 1 NEEJA: NÚCLEO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO PROFESSORA: Suzerly Fatima Bonotto

2 2 NEEJA-NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃODE JOVENS E ADULTOS CULTURA POPULAR CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ÁLGEBRA- A álgebra trata de fatos genéricos da aritmética dos números, das matrizes, dos vetores, dos polinômios, para citar apenas alguns. Assim como aritmética dos números, a álgebra também trata de operações e de suas propriedades. A palavra aritmética origina-se do grego arithmos, que quer dizer números. A álgebra vai trabalhar com a linguagem matemática como instrumento de comunicação a serviço do desenvolvimento científico e tecnológico. Por ser universalmente utilizada e compreendida, e por causa do uso crescente da tecnologia (computadores, telefones celulares, entre outras), a linguagem matemática é cada vez mais necessária. Atualmente o conhecimento matemático vem se tornando fundamental para quase todas as atividades profissionais, para a compreensão da informação e para que haja maior intercâmbio entre os povos de várias línguas. Além disso, várias ciências, como a Física e a Química, exprimem suas leis e resultados de pesquisa utilizando a linguagem algébrica. Você sabe o que significa a expressão x+1? Saberia dizer o valor de x, se x+1=5? Qual é o nome que se dá a essa última expressão? E o resultado x+2x+4+5x? A seguir, estudaremos equações do 1 grau (nome dado a essas expressões), começando com expressões mais simples, para facilitar a compreensão. Leia o quadro ao lado e conheça um pouco do termo álgebra e sua utilização. Tente descobrir o que está sendo feito na tabela a seguir: Cálculo do valor numérico de expressões: Expressão Variável Valor numérico, se a variável vale 1 Valor numérico, se a variável vale 2 Valor numérico, se a variável vale 0 x+1 x 1+1=2 2+1=3 0+1=1 p-4 p 1-4=-3 2-4=-2 0-4=-4 2y+5 y = = =5 z²-z z 1²-1=1-1=0 2²-2=4-2 0²-0=0 3t+t t 3.1+1= = =0 Você deve ter repara do que a letra em cada expressão é atribuída pelo valor indicado. Nesse caso, os valores são 0,1 e 2.Vale lembrar que uma expressão algébrica pode representar constantes, variáveis ou uma combinação delas por meio de uma

3 3 seqüência de Operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação, potenciação). Ou seja, números e letras são unidos por meio de operações matemáticas. As letras podem assumir qualquer valor numérico e, sendo assim, constituem a parte variável da expressão. Por isso podemos chamá-las de variável. 1. Expresse, usando a linguagem algébrica: a) O dobro da idade de João. b) A idade de meu avô é o triplo da minha idade. c)soma de um número com314 é igual a d) A soma de dos números desconhecidos. e)o número de meninas numa turma de 46 alunos, dos quais 25 são meninos. 2. Determine o valor numérico das expressões algébricas: a )x+4 para x=4 b)p-4 para p=4 c )2k-3 para k=1 d)4-y para y=0 e)5t+6 para t=2 3. Calcule o valor de x nas equações: a) 3x=90 g) 2=7y-5 b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9 c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12 FUNÇÕES O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc. O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1 ou do 2 grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a

4 4 variável x assume. Sendo assim, a função do 1 grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b. Note que para definir a função do 1 grau, basta haver uma expressão algébrica do 1 grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x 2. x = 1, temos que f(1) = 1 2 = 1 x = 4 temos que f(4) = 4 2 = 2 Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções. Portanto, para que o estudo das funções do 1 grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes. Exemplo- 1 1-Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré estabelecido. Vamos determinar: a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem. a) Plano A: f(x) = 20x + 140

5 5 Plano B: g(x) = 25x b) Para que o plano A seja mais econômico: g(x) > f(x) 25x > 20x x > 30/5 x > 6 25x 20x > x > 30 Para que o Plano B seja mais Econômico: g(x) < f(x) 25x+110<20x x-20x< x<30 x<30/5 x< 6 g(x) = f(x) Para que eles sejam equivalentes: 25x = 20x x 20x = x = 30 x = 30/5 x = 6 O plano mais econômico será: Plano A = quando o número de consultas for maior que 6. Plano B = quando número de consultas for menor que 6. Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6. Exemplo 2- Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine: a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

6 6 Respostas a) f(x) = 1,5x + 16 b) f(x) = 1,5x + 16 f(400) = 1,5 x f(400) = f(400) = 616 O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00. Exemplo 3 3- Em uma determinada cidade, os táxis comuns cobram R$3,20 pela bandeirada e R$1,20 pelo quilômetro rodado. Sendo y o valor a ser pago e x os quilômetros percorridos: 1. Quanto o passageiro pagará caso percorra somente 1 km? 2. E se ele percorrer 3 km? 3. E se percorrer 5 km? 4. Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y, construa um diagrama de flechas. 5. Qual a relação matemática que indica a relação entre y(valor a ser pago) e x (quilômetros percorridos)? Agora veja a solução dos exercícios: 1. Aqui, o valor da bandeira é fixo e a quantidade de quilômetros rodados irá variar. Assim temos: y=3,20+1,20. 1=4,40(caso o passageiro percorra somente 1km). 2. Caso percorra 3 km, temos y=3,20+1,20. 3= R$6,80 3. Caso ele percorra 5 km, temos y=3,20+1,20. 5=9, A partir dos valores de x(quilômetros percorridos) indicados em A, podemos construir o seguinte diagrama de flechas: ,40 9,20 21,20

7 7 5. A função que estabelece essa relação entre y(valor pago) e x (quilômetros percorridos) é: y= 3,20+ 1,20 x. Exemplo 4-Sabendo que o preço da passagem de ônibus urbano comum era de São Paulo era de R$2,70 em setembro de 2010, observe a tabela e tente responder a questão. x Passagens Valor pago 1.2,70=2,70 2.2,70=5,40 4.2,70=10,80 7.2,70=18,90 Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$40,50? Conseguiu responder? Vamos verificar? Se cada passagem custa R$2, 70, e R$40,50 é o total gasto com n passagens (número desconhecido que queremos descobrir), temos a seguinte situação: 2,70. n=40,50 n=40,50/2,70 =15 A partir desses cálculos, é possível responder o que é constante e o que é variável nessa situação? De fato, o preço da passagem é constante, visto que ele não muda independentemente do número de passagens. Entretanto, o valor a ser pago na compra das passagens é variável, pois depende do número de passagens compradas. Aqui, temos um exemplo concreto de uma função do 1 Grau, que pode ser expressa pela lei p(x)=2,70, onde p é o valor a ser pago pela compra de passagens e x é a quantidade de passagens compradas.neste caso, p é variável dependente e x, a independente. Podemos dizer que essa é uma função crescente, pois à medida que x (quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens) também aumenta. NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO A ideia de função aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem variar seu valor. Por exemplo: Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado com a sua área: Lado L Área L 2

8 8 Sabemos que, nesse caso: Área = (lado) 2. Temos então que a área de um quadrado depende do seu lado, ou seja, a área de um quadrado é calculada EM FUNÇÃO do seu lado. Exercícios 1. A tabela abaixo mostra o preço que certa companhia telefônica cobra pelo tempo que seus clientes utilizam o celular em ligações locais: Responda: Tempo (minutos) Preço (reais) 1 0,95 2 1,90 3 2,85 4 0,80 5 4,75 a )O que é dado em função de que? b) Escreva a fórmula que relaciona o tempo do telefonema e o preço. c) Quanto custa uma ligação de 35 minutos? E de 45 minutos? d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 123,50, por quanto tempo ele utilizou o celular em horas? Exercício 2 Hoje muito se fala na produção de álcool combustível, em virtude de vários aspectos, em especial a preservação do meio ambiente. Em um determinado mês do ano, o litro do álcool custava R$0,98. Tomando como base esse dado, complete a tabela e estabeleça uma função matemática que indica a relação entre y (quantidade a pagar) e x (quantidade de álcool). Quantidade de álcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais) 1 0, DEFININDO O CONCEITO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DOS CONJUNTOS

9 9 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de A com um elemento de B. Vamos considerar novamente a tabela que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Seja então A um conjunto que contém os valores do lado do quadrado e B o conjunto que contém os valores da área do quadrado. Teremos que: Lado L Área L2 O diagrama de flecha representa uma função que leva os elementos de A ao seu quadrado em B. É importante observar que todos os elementos de A têm correspondente em B e que, só sai uma flecha de cada elemento de A. Sendo assim, nesse nosso caso, temos uma função de A em B (Notação: ) que pode ser escrita pela expressão y = x 2 ou f(x) = x 2. Como reconhecer uma função pelo diagrama de flechas Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada elemento de (A) partir uma única flecha. Observe:

10 10 Temos que: Nos casos 1 e 2: O diagrama de flechas representa uma função; Nos casos 3 e 4: O diagrama de flechas não representa uma função. Exercícios 2. Considerando os conjuntos de cada item e a correspondência que os relaciona, desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondência f é uma função de A em B. a) b) c) d) e) f) Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função. Vamos considerar uma função f de A em B. Temos que: A é o domínio da função f (Notação: ) B é o contradomínio da função f (Notação: ) Para cada, o elemento chama-se imagem de x pela função f e o representamos por (lê-se f de x). O conjunto de todos os y obtidos por f é chamado de conjunto imagem de f (Notação: ). Observe: Seja e, vamos considerar a função que transforma em.

11 11 Temos que: é definida por ou ; ou ; ou ; ;,,,. Exercícios 3. Considere a função f dada pelo diagrama e determine: a) D(f) b) CD(f) c) Im(f) d) f(3) e) f(4) f) x quando y=8 g) y quando x=3 h) f(x) quando x=4 4. Seja a função onde f(x) = 4x + 2 e o domínio. Determine a imagem de f. 5. Seja a função dada por. Determine a imagem do número Dada a função. Determine e.

12 12 7. Se e, calcule m sabendo que SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. As duas retas são chamadas de eixos: Eixo das abscissas: reta x. Eixo das coordenadas: reta y. Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado.

13 13 O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. (x, y) é chamado de par ordenado do ponto P. Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas. Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. O ponto A (1, 1) encontra-se no 1 quadrante. O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2 quadrante. Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a. Quando a > 0 Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x 1 ou y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

14 14 x y / Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente. Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja: No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x. Quando a < 0 Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

15 15 x y Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente. Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja: No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.. Características de um gráfico de uma função do 1º grau. Com a> 0 o gráfico será crescente. Com a < 0 o gráfico será decrescente. O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90 ) quando a > 0. O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0. Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos. Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função. Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b. DEFINIÇÃO: FUNÇÃO QUADRÁTICA Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas: f(x) = 3x 2-4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x 2-1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x 2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x 2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Gráfico

16 16 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a curva chamada parábola. 0, é uma Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x 2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. x Y Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; ZEROS E EQUAÇÃODO 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, a números reais x tais que f(x) = 0. 0, os Então as raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: Temos:

17 17 Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber: quando quando quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; é zero, há só uma raiz real; é negativo, não há raiz real. 1) Achar as raízes das equações: a) x 2 x - 20 = 0 b) x 2-3x -4 = 0 c) x 2-8x + 7 = 0 2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: a) f(x)= 3x² - 7x + 2b) f(x)= -x² + 3x 4c) f(x)= -x² + 3/2x + 1 d) f(x)= x² -4e) f(x)= 3x² O domínio dessa função 2x² - x 3. São os números reais. Para cada elemento do domínio existe uma imagem, portanto, para cada número x, vai existir um f(x). Exemplo: f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x) f(1) = -2 f(2) = 3 PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2 GRAU. 1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10) 2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número (Resposta: 3 e -4) 3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (Resposta: 10 e -8) 5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5) 6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número. (R: 0 e 4)

18 18 Resolver as equações do segundo grau, classificando quanto às raízes: a)x 2 7x + 10 = 0 b)x 2 +x-30=0 c)x 2 +3x+8=0 d)x 2-7x+12=0 Dada a função definida por f(x)=x 2-3x-2, calcule o valor de: a)f(-2)= b)f(0)= c)f(3)= d)f(-4)= FUNÇÃO EXPONENCIAL Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou e crescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. 1-Determinar os valores de x para os quais 2 x =32, Como 32=2 5 então 2 x =32=2 5, portanto x=5. 2-Determinar os valores de x para os quais 2 x =1. Como 1=2 0 então 2 x =1=2 0, portanto x=0 3-Resolver a equação 27 x = 243. Como 27=3 3 e 243=3 5 então 3 3x =(3 3 ) x =27 x =243=3 5, portanto 3x=5 de onde segue que x=5/3 4-Resolver a equação 625 x = 25. Como 625=5 4 e 25=5 2 então 5 4x =(5 4 ) x =625 x =25=5 2, portanto 4x=2 de onde segue que x=1/2. Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

19 19 2) 2 x2+x = 64 2 x2+x =2 6 x 2 +x=6 x²+ x -6 = 0 x = b± b 2 4ac 2a x= -3, 2 3) 3.2 x 2 = 48 2 x 2 = x 2 = 16 2 x 2 =2 4 x-2 = 4 x = 4 +2 x =6 Resolva as equações exponenciais: 1)2 x = 128 2)3² x = 243 3)2 x 2 = 256 4)3 x² 5 =81 5)4 x =512 6)729 2x =27 7)2 x 3 = 8)10 3x = )10 3x = )2.2 x+5 = 16 11)3.2 x+3 = 192

20 20 TRIGONOMETRIA Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. CATETOS E HIPOTENUSA Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura: Hipotenusa: Catetos: e Considere um triângulo retângulo BAC: SENO, COSSENO E TANGENTE Hipotenusa:, m( ) = a. Catetos:, m( ) = b. Ângulos:, e., m( ) = c. Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

21 21 Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim:

22 22 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Tangente Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Assim: Exemplo:

23 23 As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Resumindo x senx cosx tgx 30º 45º 60º 1-Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos: 2-Qual é a distância percorrida pelo berlinde.

24 cm = 2,65 m 3-Se a distância entre uma pessoa e uma torre é 100 m e o ângulo formado pelo topo da torre e o chão é30 o, qual a altura da torre em metros? Solução: AB = distância entre o homem e a torre = 100 m BC = altura da torre = h (a ser calculada) A função trigonométrica que usa AB e BC é tanga, onde A = 30 o. 4-Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma? 5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20 por viagem. TEOREMA DE PITÁGORAS O Teorema de Pitágoras refere-se aos triângulos retângulos. Um triângulo é chamado de triângulo retângulo quando um de seus ângulos é um ângulo reto (90 ).O lado maior de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.os outros dois lados são chamados de catetos. Hipotenusa:, m( ) = a. Catetos:, m( ) = b., m( ) = c. Ângulos:, e.

25 25 Com essas indicações, o Teorema de Pitágoras pode ser representado na forma de uma sentença matemática: a²= b² + c² Hoje em dia, a aplicação do teorema pode ser feita de maneira algébrica e por meio de cálculos. Para calcular o valor de x, que no caso a seguir é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, constrói-se a equação s partir da relação de Pitágoras: x²= 24² +7² 7 x x²= x²=625 x²= 625 x=25 Calcule o valor de x indicado nos seguintes triângulos retângulos: 5 13 x 12 x Verifique, em casa em cada caso, se a, b, e c são medidas dos lados de um triângulo retângulo.justifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitágoras: a=6cm b=2cm c= 4cm a=8cm b=3cm c=7cm a=5,4cm b=4,2cm c=1,5cm a=2,5cm b=2,4cm c=0,7cm

26 26 SEQUÊNCIAS: Muitos problemas são propostos com o uso de sequências. Às vezes, com figuras, com letras, e muitas vezes com números. Em geral, são as mesmas apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequência obedecendo-se a uma regra que rege a colocação dos termos, para completar a sequência. A seguir, damos um exemplo: A=(0;2;4;6;8;10;...) Qual é o sétimo termo dessa seqüência? É muito provável que você tenha respondido que o sétimo termo é o número 12. E por que você acha que é o número? Não dá para saber todas as possíveis respostas desta última pergunta, mas é possível prever algumas. Por exemplo: a) Essa seqüência inicia-se com o zero e o segundo termo é o zero mais dois; o terceiro termo é o segundo termo mais dois, e assim por diante. É só continuar dessa maneira para chegar ao valos do sétimo termo,que é 12. b)essa seqüência é uma lista de números naturais pares a partir do zero, e em ordem crescente. Assim, é só continuar a escrever os números pares. O número par que aparece em ordem crescente após o 10 é o 12. O uso das reticências indica que a seqüência é infinita. Também podem existir seqüência finitas. Os termos de qualquer seqüência serão representados da seguinte maneira: a 3 = 4 Esta representação indica que o número 4 é o terceiro termo da seqüência A. Exercício: Descubra uma regra para cada seqüência e acrescente três termos em cada uma delas: a)a=(1;2;2;3;3;3;-----;-----;----) b)b=(5;10;20;40;-----;-----;----) d)d=(13;8;3;-2;-----;------;------) e)e=(2;1; 1 2 ;1 4 ;1 8 ;-----,-----,------) c)c=(5;-10;20;-40;-----;----;----) Na sequência (-2,0,2,4,6,8) Ache: a)a3-a1= b)a soma de seus termos.

27 27 Conceito de Progressão Aritmética - PA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Chama-se Progressão Aritmética PA à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: A = (1, 5, 9, 13, 17, 21,... ) razão = 4 (PA crescente) B = (3, 12, 21, 30, 39, 48,... ) razão = 9 (PA crescente) C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50,... ) razão = -10 ( PA decrescente) Termo Geral de uma PA Seja a PA genérica (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a 2 = a r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: a n = a 1 + (n 1). r A expressão a n = a 1 + (n 1). r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que a n é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a 1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética PA. Exemplos: 1-Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9,... ) onde o primeiro termo a 1 = 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a 1000 = a 1 + (1000-1).2 = = = Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar. 2-Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96,..., 22)? Temos a 1 = 100, r = = - 2 e a n = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = (n - 1). (- 2) ; logo, = - 2n + 2 e, = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n, de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

28 28 3-Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?temos a 5 = 30 e a 20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a 20 = a 5 + (20-5). r e substituindo fica: 60 = 30 + (20-5).r ;60-30 = 15r ; logo, r = 2. 4-Numa P.A de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?temos r = 5, a 20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 20).5a3 = = 8 85 = Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão: Agora é só usar a fórmula do termo geral : a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1).r 38-5=11r 33=11r r=33/11 r=3 6) Identifique as seqüência que são PA e dê suas respectivas razões: (a)(2;13;24;35;46) (b)(1;2;4;8;16) (c)(19;14;9;4;-1) (d)(4,4,4,4) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r, sabendo que: a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=0,5 Exercícios: 1-Calcule o 37º termo da PA: 2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos: a)a 34 _(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4 c)a27=16 e r =1/2 3-Inserir oito meios aritméticos entre os números 2 e Quantos termos têm a PA finita (-19, -15, )? 5-Qual é o vigésimo termo da PA (3,8...)? 6-Qual é o centésimo número natural par?

29 29 7-Numa PA, de razão 3, o sétimo termo é 21.Qual é o primeiro termo? 8-Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e O sexto termo de uma PA (4, 10,...) é? 10-Qual é o décimo quinto termo da PA. (4, 9,...). PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência: (2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada. 4 : 2 = 2 8 : 4 = 2 16 : 8 = 2 32 : 16 = 2 64 : 32 = 2 termo constante da progressão geométrica é denominado razão. Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja: a n = a 1.q n -1 Com base nessa expressão, temos que: a 2 = a 1. q a 3 = a 1.q 2 a 5 = a 1.q 4 a 10 = a 1.q 9 a 50 = a 1.q 49 a 100 = a 1.q 99 Exemplo 1 Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. a 8 = a 8 = a 8 = 8748

30 30 O 8º termo da PG descrita é o número ) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. 2) Temos: a 1 = 2, q = 4/2 = 8/4 =... = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja, a 10 vem pela fórmula: a 10 = a 1. q 9 = = = ) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? 4) Temos a 4 = 20 e a 8 = 320. Logo, podemos escrever: a 8 = a 4. q 8-4. Daí vem: 320 = 20.q 4 Então q 4 =16 e portanto q = 2 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.a1=3 an=48 n=3+2=5 (3----, ----, ----, 48) an= a1.q n 1 48=3. q =q =q 4 2=q 16=q 4 1.Determine a razão de cada uma das seguintes PG: a) (3, 12, 48,...) b)(5,-15,...) d)(10,5,...) e)(10,50,...) c)(5,5/2,...) 2.Copie e complete cada uma das PG: a)(3,6,...,...,...,) b)(1,5,...,...,...,...,) c)(9,18,...,...,...,...,...) Escreva; a)uma PG, de quatro termos em que a1=5 e q=3

31 31 b)uma PG.de seis termos em que a1=-2 e q=2 c)uma PG. De cinco termos em que a1=540 e q=1/3 Calcule: 1-Uma PG cujo décimo termo da PG (2, 6,...). 2-Numa PG. De quatro termos a razão é 5 e o último termo é 375.Calcular o primeiro termo dessa PG. 3-Numa PG.de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486.Calcular a razão dessa PG. 5-Qual é o sexto termo da PG (512, 256,...)? 6-Qual é o primeiro termo de uma P.G., na qual o 11 termo é 3072 e razão é? 7-Numa PG o primeiro termo é 4 e o último termo é 4000,a razão é 10.Qual é o número de termos? 8-Inserindo 4 meio geométricos entre 2 e 486, como mostramos (2,---,---,---,---,486), a razão dessa PG é? 9-A progressão geométrica. G.(-48, -24, -12,...) tem na ordem como razão (q) e o (quinto termo) os números? 10-Qual é o oitavo termo da P.G.(3,9,...). MATRIZES Introdução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês Literatura Espanhol A

32 32 B C Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes: Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos: é uma matriz do tipo 2 x 3 Notação geral é uma matriz do tipo 2 x 2

33 33 Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [a ij ] m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Na matriz, temos: Ou na matriz B = [ ], temos: a 11 = -1, a 12 = 0, a 13 = 2 e a 14 = Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4.

34 34 Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. é do Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja: ou, abreviadamente, A = [a ij ] m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Na matriz, temos: Ou na matriz B = [ ], temos: a 11 = -1, a 12 = 0, a 13 = 2 e a 14 =

35 35 Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. é do Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n Matriz transposta: matriz A t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A t é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A t. Operações envolvendo matrizes

36 36 ADIÇÃO: Dadas as matrizes, chamamos de soma dessas matrizes a matriz, tal que C ij = a ij + b ij, para todo : A + B = C Exemplos: Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. SUBTRAÇÃO: Dadas as matrizes, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A - B = A + ( - B ) Observe: MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b ij = xa ij : B = x.a

37 37 Observe o seguinte exemplo: MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( a ij ) m x p e B = ( b ij ) p x n é a matriz C = (c ij ) m x n em que cada elemento c ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz cada C ij : para entender como se obtém 1ª linha e 1ª coluna 1ª linha e 2ª coluna 2ª linha e 1ª coluna 2ª linha e 2ª coluna

38 38 Assim,. Observe que: Portanto, comutativa..a, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade Vejamos outro exemplo com as matrizes : Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

39 39 A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A 3 x 2 e B 2 x 5, então ( A. B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A. B ) 4 x EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1- Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela Botões p Botões G Camisa A Camisa B Camisa C O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: Maio Camisa A Junho Camisa B Camisa C DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

40 40. Por exemplo, o determinante da matriz. é dado por: Determinante de matriz de terceira ordem O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo: Por exemplo:. =0 Dadas as matrizes: A=( ) B=(0 ) C=( ) Determine: a) A B = b) (B+C) = c) B.C = d) 2C+ B=

41 41 Dada a matriz: 3 5 A= ( ) a) Qual a ordem desta matriz? 8 1 Efetue as matrizes: b) Representa a matriz transposta c) Que tipo de matriz se classifica? a)( )+( ) = b)( ) -(9 ) = c) 6 (1 ) + ( ) = d) ( ) -( ) = Ache o valor dos determinantes: a) b) c) d) e) f) ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória FATORIAL DE UM NÚMERO Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n Para n = 0, teremos : 0! = 1. Para n = 1, teremos : 1! = 1 Exemplos: a) 6! = = 720

42 42 b) 4! = = 24 Princípio Fundamental da Contagem Exemplo- Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matérias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem: Português, matemática, história e geografia. Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira? = 24 maneiras Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo1- com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!,isto é P n = n! Exemplos: P 3 = 3! = = 6 Exemplo2- Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.p 5 = 5! = = 120 Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: p 3! =3.2.1=6 REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER Exercício resolvido de arranjos e combinações simples 1 Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo. Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática. 2-Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas? 3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

43 43 modos. 4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas? saladas EXERCÍCIOS: 1-Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos? 2-Numa reunião de 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 rapazes e 3 moças? 3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8 jogadores? 4-De quantas maneiras diferentes é possível compor uma faixa de três quadrados de mesma dimensão e com cores diferentes, podemos formar? 5- Dada a palavra FUTEBOL responda: a) Quantos anagramas terminam por L? b) Quantos são seus anagramas? c) Quantos começam por F? 6- Utilizando os algarismos 1,2,5,7 e 8, quantos números de 2 algarismos podemos formar? 7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos diferentes pode ocorrer a chegada dos três primeiros atletas? 8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas: -Martelo -Resto -Excursão Calcule: a) P8 b) A6,3 c) C8,5 d) P4+C4,2 e) A7,5-6P3

44 44 MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se PresentValue (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros

45 45 A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) PORCENTAGEM A palavra porcentagem percentagem vem de por cento, que significa a cada cem.é freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. O cliente recebeu desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores do Inter, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter, 90 são craques. Razão Centesimal Toda razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 7 100= 0,07=7% (lêem-se sete por cento) =0,16=16% (lêem-se dezesseis por cento) =1,25=125%(lê-se cento e vinte cinco por cento) As expressões 7%, 16%,125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

46 46 Considere os seguintes exemplos: Calcular 25% de R$120, X 120= =30 reais Calcular 32% de R$340,00: X340= =108,80 Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta este jogador fez? 8% de 75= 8 x75== Comprei um carro por R$20000,00 e o vendi por R$25.000,00. Qual foi a porcentagem de lucro que obtive? Lucro: =5000(diferença entre o preço de venda e o preço que paguei). Agora verifico quanto isso representa de lucro = é o mesmo que 1 4 =0,25= = 25% Então o lucro obtido na venda do carro é de 25% O preço de um imóvel sofreu um aumento de 20%, passando a custar R$42000,00. Qual era o preço desse imóvel antes do aumento? = 120 x 100 =35000,00 Logo, o preço antes do aumento era de R$35000,00 Numa classe de 45 alunos,40% são meninas.quantos são os meninos? X45== =27 Se 1,5% de uma produção sai com defeito, quantas das 5400 facas que produz uma fábrica saem com defeito? 1,5 100 X5400=81 facas Exercícios:

47 47 1-Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que realiza. Qual foi a sua comissão em uma venda de R$36000,00? 2- Uma loja está oferecendo 8% de desconto, para pagamento à vista, na compra de um automóvel que custa R$14700,00. Quanto uma pessoa pagará por esse carro, á vista? 3-Um funcionário recebeu um reajuste salarial de 15%.Quanto passará a receber, se seu salário atual é de R$750,00? 4-Em um treino de basquete, Bruno fez 360 arremessos e errou 198. Qual foi a sua porcentagem de acerto? 5-Uma vendedora recebe 9% de comissão nas vendas realizadas. Qual foi sua comissão em uma venda de R$3000,00? 6-Em uma liquidação, uma camisa que custava R$30,00foi vendida com 15%de desconto. Quanto passou a custar à camisa? 7-numa escola de 1ºgrau, 12% dos alunos cursam o 9º ano. Sabendo que essa escola tem um total de 1500 alunos. Calcule quantos alunos estão no 9º ano? 8-O salário de uma pessoa é de R$1600,00. No entanto todo mês ela tem um desconto de 9%.Quanto ela recebe? 9-Paula comprou uma TV à vista e obteve um desconto de 6%.Sabendo que a TV custava R$980,00.Quanto Paula economizou pagando a vista? 10-Uma bicicleta custa R$1020,00 e seu dono quer vendê-la com lucro de 10%%. Por quanto ele venderá a bicicleta? 11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veículos Automotores (IPVA), cobrado no início de cada ano, corresponde a 4% do valor de tabela dos veículos movidos a gasolina e a 3% do valor de tabela dos veículos movidos a álcool. Sabendo-se que João pagará R$1015,88 de IPVA de seu veículo movido a gasolina, qual o valor de tabela do carro de João? a)r$25397,00 b)30476,40 c)r$33862,67 d)r$40635,20 e)71111,60 JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

48 48 J = c.i. t Onde: Fórmula para calcular juros simples J = juros c =(capital) i = taxa de juros t = tempo 1- Imagine que peguemos um empréstimo de R$1000,00 para pagar em um mês, com taxa de juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, logo: J=C.i.t j=juros C=capital =R$1000,00 i=taxa de juros=15% ao mês t=tempo=1 mês J= X 1=1000x0, 15= Seu pai foi ao banco e pediu R$400,00 emprestado em três meses. O banco cobrou 5% de juros(simples)ao mês.quanto seu pai deve pagar ao final dos três meses? 5% de R$400,00 é: x5=20 Logo seu pai vai pagar R$20,00 por mês. Como são três meses eles devem pagar R$60,00 de juros. Não, ele irá pagar R$400,00 mais R$60,00 o que totaliza R$460,00. 3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$1200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? Capital: 1200 i=2%= 2 ao mês (a.m) t= meses J=C.i.t J=240 M=Ct j M= =1440 J=1200.0, Calcular os juros simples de R$1200,00 a 13% a. t. por 4 meses e 15 dias. Tri mês 1 3 3x= 4,5 x=1,5 J=c.i.t J=234,00 X 4,5 x=4,5/3 J=1200.0,13.1,5

49 49 Exemplo 5 Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P.( 1 + (i.n) ) M = [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios sobre juros simples: 1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. 2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? 3- O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação? (R - R$ 609,50) 4- Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? R Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? (R - R$ 2000,00) 6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00?( R - 3% ao mês)

50 50 8- Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?( R - R$ 225,00) 9-Uma dívida de R$750,00foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$60,00.sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?(r.1%ao mês). 10-Um banco anuncia empréstimo à taxa de 20% ao mês. Porém, a prática do banco é cobrar juros no momento do empréstimo. A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco é: (a) 21% (b) 22% (c) 23% (d) 24% (e) 25% 11-Tomei emprestado R$5080,00 na condição de juros simples, durante 2 meses a taxa de 3% ao mês.qual é a minha divida no final do período? (a) 304,80 (b) 5384,8 (c) 5064,8 (d) 5380,48 (e)n.r.c 12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de5% não mês gerou um montante de ,00.determine o valor do capital aplicado. 13-A que taxa o capital der$ 8.000,00 rende R$2400,00 em 6 meses? 14-Em quantos meses um capital de R$3000,00 rendeu de juros R$900,00 a taxa de 24% ao ano? 15- Um capital de R$16.000,00 aplicado durante 8 meses, rendeu juros R$19230,00.determine a taxa anual. JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i), 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i),3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)