Matemática III. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande

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Therezinha Lencastre Moreira
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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande Educação Profissional Integrada ao Ensino Médio Profª Débora Bastos 2015

2 1. Sequências ou Progressões 1.1. Introdução Dicionário Luft: 1. Ação ou efeito de seguir, seguimento; 2. continuação. Matemática: Sequência Ordem 1.2. Noção de sequência. Uma sequência é uma lista ORDENADA de objetos, sejam esses objetos figuras, números, letras, palavras. Sequências de figuras: (1) fig.1 fig.2 fig.3 Sequência de polígonos segundo o número de lados. (2) fig.4 fig.1 fig.2 fig.3 fig.4 Sequência de círculos dispostos em forma triangular. Sequências de palavras ou letras: (3) domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo, (4) a, b, c, d, e, f, g, h,, z Sequência de números: (5) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 Alternância de zeros e uns (6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 Quadrados perfeitos (7) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Números naturais ímpares (8) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 Sequência de Fibonacci (9) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29 Primos fig.5 Nesta disciplina trabalharemos com sequências numéricas e também de objetos que possam vincular-se com números Notação O que indica que uma série de objetos compõe um conjunto é o uso das chaves delimitando esses objetos. Como por exemplo: {a, e, i, o, u} conjunto das vogais. Se trocarmos a ordem dos elementos de um conjunto, este não se altera: { e, i, a, u, o } continua sendo o conjunto das vogais. Isso não acontece com as sequências. Para indicar a ordem, intrínseca na idéia de sequência, usaremos os elementos separados por vírgulas, à semelhança dos conjuntos, mas limitados entre PARÊNTESES. Lembre-se que os 7 Sequências

3 parênteses são usados para definir os pares ordenados, aqui eles serão usados no mesmo sentido. Chamamos pode os objetos das sequências de TERMOS, em vez de elementos. ( 1, 3, 5, 7, 9, ) (a, b, c, d, e,, z) ATENÇÃO: As reticências têm o mesmo significado dos conjuntos, ou seja, podem indicar que a sequência tem infinitos termos, ou suprimir uma parcela de termos. As sequências podem ter um número infinito de termos, mas como está ligada a ordem podemos localizar cada termo facilmente, indicando se o termo que queremos é o segundo, sétimo, vigésimo, centésimo termo da sequência. Cada termo está diretamente ligado ao número ordinal correspondente. A notação usada para sequências faz essa relação: (a n) = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,, a n, ) (a n) é o nome da sequência. Podemos ter (b n), (c n),. Os parênteses indicam a ordem, ou seja, que se trata de uma sequência e o índice n faz referência ao vínculo de cada termo com seu ordinal, já que os índices pertencem aos números naturais positivos. a 1 é o primeiro termo, a 2 é o segundo termo, a 3 é o terceiro termo. O índice indica a posição exata do termo. a n indica o termo genérico da sequência, vincularemos essa notação também a lei ou regra que os termos da sequência satisfazem. Atenção: A notação do quarto termo, por exemplo, é a 4, essa notação representa O TERMO da sequência, não confunda com o índice. Se olharmos o índice, estamos vendo A POSIÇÃO, ou qual é o n da vez E NÃO QUANTO ELE VALE. a 4 4 n = Lei de uma sequência Em todas suas as sequências dos primeiros exemplos conseguimos descobrir o próximo termo. Existe um padrão que todos os termos satisfazem. Consequentemente, podemos definir uma LEI para definir o termo genérico origens, ou TERMO GERAL de cada sequência. Uma sequência, neste aspecto, é encarada como uma função onde o domínio é a sequência de números naturais, sem o zero. Usaremos como variável independente a letra n, para fazer alusão aos números naturais. 1. Obter o termo geral das sequências abaixo: (a n) = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,) Solução: É a sequência dos números quadrados perfeitos n = 1 a 1 = 1 n = 2 a 2 = 4 n = 3 a 3 = 9 n = 4 a 4 = 16 Para associarmos o índice n ao termo a n a dica é olhar o índice e pensar: "o que devo fazer com esse índice para obter esse termo?" A resposta que servir para todos os termos será a resposta. Por exemplo, se observarmos o elemento a 2 poderemos pensar, que basta multiplicar por 2, já que o segundo elemento é 4, mas essa regra só funciona para este termo. Neste exemplo específico fica claro que se elevarmos o índice ao quadrado teremos o valor do termo correspondente, então TERMO GERAL da sequência (a n) é: a n = n 2, n ln* (b n) = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ) Solução: É a sequência dos números naturais pares. n = 1 b 1 = 2 8 Sequências

4 n = 2 b 2 = 4 n = 3 b 3 = 6 n = 4 b 4 = 8 Encontramos quanto vale cada termo dobrando ou multiplicando o índice por 2, logo o termo geral da sequência (b n) é: b n = 2n, n ln* (c n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ) Solução: É a sequências dos números naturais ímpares. n = 1 c 1 = 1 n = 2 c 2 = 3 n = 3 c 3 = 5 n = 4 c 4 = 7 Se pensarmos que cada ímpar é sucessor ou antecessor de um par, determinar o termo geral dos ímpares fica fácil: c n = 2n 1, n ln* 2. Determinar os cinco primeiros elementos das sequências infinitas, cujo termo geral é indicado abaixo: a n = 2 n 1, n ln* Solução: Basta pelo seu substituir n na expressão. n=1 a 1 = = 1 n=2 a 2 = = 3 n=3 a 3 = = 7 n=4 a 4 = = 15 n=5 a 5 = = 31 b n = 5,n 1 3 bn-1,n 2 n ln* Solução: n=1 b 1 = 5 n=2 b 2 = 3 + b 1 = = 8 n=3 b 3 = 3 + b 2 = = 11 n=4 b 4 = 3 + b 3 = = 14 n=5 b 5 = 3 + b 4 = = Exercícios (a n) = ( 1, 3, 7, 15, 31,) (b n) = (5, 8, 11, 14, 17, ) 1. Escreva os seis primeiros termos das sequências definidas por: a n = n 3 n 2, n ln*. b n = ( 1) n + 3, n ln*. 2. Determine os oito primeiros termos da sequência definida por a n = 3 n, n ln*. Determine a 30 e a Determine os próximos três termos da sequência descrevendo o padrão que elas obedecem: (a n) = (3, 13, 30, 31, ) (b n) = (4, 14, 15, 40, 41, ) 9 Sequências

5 4. Seja a sequência definida por a n = ( 1) n + ( 1) n+1, n ln*. Escreva seus sete primeiros termos. Qual o seu 1.000º termo? E seu º termo? 5. Escreva o termo geral das sequências: (a n) = (1, 2, 3, 4, 5, ) (b n) = (3, 6, 9, 12, ) (c n) = (1, 8, 27, 64, 125,) (d n) = ( 81, 9, 3, 3, ) 6. Seja a sequência definida por a n = n, n ln*. Verifique se os números a seguir pertencem a ela. Em caso afirmativo, dê também as posições deles na sequência. (a) 11 (b) 30 (c) Construa a sequência, mostrando os oito primeiros termos, definida por: 2,n 1 (a) a n = 2 a,n 2 n - 1 n,sen 4 (b) b n = bn-3 bn 1,,sen 4,n ln * 10 Sequências

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