EQUIPE UNITINS Paulo Alexandre de Oliveira Vabson Guimarães Borges Maria Lourdes F. G. Aires. Domenico Sturiale. Katia Gomes da Silva

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2 Organização de Conteúdos Acadêmicos Coordenação Editorial EQUIPE UNITINS Paulo Alexandre de Oliveira Vabson Guimarães Borges Maria Lourdes F. G. Aires Revisão Lingüístico-Textual Gerente de Divisão de Material Impresso Revisão Digital Projeto Gráfico Ilustração Capas Domenico Sturiale Katia Gomes da Silva Katia Gomes da Silva Katia Gomes da Silva Geuvar S. de Oliveira Igor Flávio Souza Equipe EADCON Coordenador Editorial William Marlos da Costa Assistentes de Edição Programação Visual e Diagramação Ana Aparecida Teixeira da Cruz Janaina Helena Nogueira Bartkiw Lisiane Marcele dos Santos Denise Pires Pierin Kátia Cristina Oliveira dos Santos Monica Ardjomand Rodrigo Santos Sandro Niemicz William Marlos da Costa

3 Caro aluno, Seja bem vindo à disciplina de Fundamentos de Matemática III. Esta matéria é de grande importância para você, acadêmico do curso de Matemática e futuro professor. Nela vamos ampliar alguns dos conceitos fundamentais que você estudou no ensino médio, em continuidade com a disciplina de Fundamentos de Matemática II. Graças a este caderno e às tele-aulas, você observará algumas aplicações dentro e fora da Matemática, aprimorando assim os seus conhecimentos. Iniciaremos estudando seqüências. Após entendermos as séries, passaremos a estudar definição, classificação e fórmula do termo geral, as suas propriedades, a interpolação, a soma dos termos e o produto dos termos da progressão aritmética e geométrica. Enfim, trataremos de um assunto bastante interessante que é o estudo das matrizes e dos determinantes. Desejamos que você tenha êxito nos seus estudos. Um grande abraço. Prof. Paulo Alexandre de Oliveira Prof. Vabson Guimarães Borges Apresentação

4 EMENTA Seqüências, progressões, matrizes e determinantes. OBJETIVOS Plano de Ensino Reconhecer uma seqüência numérica. Resolver problemas envolvendo seqüências numéricas. Reconhecer uma progressão aritmética. Determinar os termos de uma progressão aritmética. Reconhecer uma progressão geométrica. Determinar os elementos de uma progressão geométrica. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Seqüências Tipos de seqüências Classificação de uma progressão aritmética Fórmula do termo geral da PA Interpolação aritmética Soma dos termos de uma PA Classificação de uma progressão geométrica Fórmula do termo geral da PG Interpolação geométrica Soma dos termos de uma PG finita Soma dos termos de uma PG infinita Produto dos termos de uma progressão geométrica Introdução ao estudo das matrizes Representação de uma matriz genérica

5 Operações com matrizes Introdução aos determinantes Matrizes inversas BIBLIOGRAFIA BÁSICA BONJORNO, J. R. et al. Matemática fundamental: º grau. São Paulo: FTD, IEZZI, G; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, v. 5. SPIEGEL, M. R. Probabilidade estatística. São Paulo: McGraW-Hill, 004. (Schaum) BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR DOMÊNICO, L. C. de. Matemática: curso completo de º grau. São Paulo: IBEP, [s. d.]. GENTIL, M. et al. Matemática. São Paulo: Ática, unitins matemática 3º PERÍODO 9

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7 Aula 1 fundamentos da matemática iii Aula 1 Seqüências Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de: reconhecer uma seqüência numérica; resolver problemas que envolvem seqüências numéricas. Para você entender bem esta aula, é necessário ter conhecimento do conjunto dos Números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais, com as suas correspondentes representações, que você já estudou na disciplina de Fundamentos de Matemática I. Em meados do século XVII, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz escreveu uma frase representada por essa seqüência de símbolos: 1 1/1/19/5/1/1 /19/9/3/ /14/13/17/1 4/14 5/18/15/ 9 /17/9/19/1914 8/0/1/1/13/14 Para decifrar essa frase, ele estabeleceu que as chaves do processo de cifragem fossem constituídas pelas respec- tivas associações entre as letras da língua portuguesa, em ordem alfabética, e os números naturais de 1 a 3; a) b) c) que cada traço representasse um espaço; que cada número acompanhado de um acento agudo representasse uma letra acentuada. Será que você seria capaz de escrever o que Leibniz queria dizer nessa frase? Vamos lá! Tente e terá uma surpresa. unitins matemática 3º PERÍODO 11

8 Aula 1 fundamentos da matemática iii A mensagem cifrada também é conhecida como mensagem criptografada. A criptografia é uma ciência que estuda princípios e técnicas de modificação codificada da escrita, para torná-la ininteligível aos que não têm acesso às convenções combinadas, por meio de símbolos, números, letras ou desenhos. Um dos principais fundamentos da criptografia é o conceito de seqüência. Hoje, com o avanço da tecnologia e a evolução da informática, a criptografia tem tido avanços enormes, realizando senhas ou chaves cada vez mais complexas e impenetráveis, a serviço de bancos, internet e outras entidades que necessitam de segurança para seus documentos eletrônicos. 1.1 Seqüências Chamamos de seqüência ou sucessão um conjunto ordenado de valores algebricamente representados por: (a 1, a, a 3,..., a n,... ) Agora é com você. Descubra o que significa razão áurea e o que tem a ver a concha do Nautilus marinho com a seqüência de Fibonacci. em que a 1 indica o primeiro termo da seqüência, a, o segundo termo da seqüência e assim por diante. O termo a n indica o enésimo termo, também chamado de termo geral da seqüência, em que n N* = { 1,, 3,... }. Existem vários tipos de seqüências, entre as quais podemos destacar a seqüência de Fibonacci (0, 1, 1,, 3, 5, 8...). As seqüências podem ser classificadas como finitas ou infinitas. 1. Seqüências finitas Uma seqüência é classificada como finita quando apresenta um último termo. Exemplos a) (1,, 3, 5, 8, 13, 1) b) (Maria, Pedro, Lucas, Guilherme) 1.3 Seqüências infinitas Uma seqüência é dita infinita quando é marcada por reticências no final. Nesse caso, a seqüência não terá fim. Exemplos a) (1,, 3, 4, 5, 6, 7,... ) b) conjunto dos números R 1 3º PERÍODO matemática unitins

9 Aula 1 fundamentos da matemática iii 1.4 Igualdade Duas seqüências serão iguais, se e somente se tiverem os mesmos elementos dispostos na mesma ordem. Exemplos a) As seqüências (a, b, c, d, e, f) e (, 4, 6, 8, 10, 1) só serão iguais, se e somente se a =, b = 4, c = 6, d = 8, e = 10 e f = 1. b) Observe que as seqüências (3, 6,, 1, 1, 4, 7, 3) e (3, 6,, 1, 1, 7, 4, 3) apresentam os mesmos elementos, mas não apresentam a mesma ordem. Logo são seqüências diferentes, que podem representar, por exemplo, os números de telefones de duas casas diferentes. 1.5 Lei de formação de uma seqüência Denomina-se lei de formação de uma seqüência um grupo de informações capazes de determinar todos os termos de uma seqüência e a ordem em que se apresentam. Exemplos a) Observe a seguinte seqüência: a = a tal que: a = +a 1 ( ) n n N* n+1 n Atribuindo-se a n os valores 1,, 3, 4,..., obtemos os seguintes termos da seqüência: n = 1 a = + a 1 a = + = 4 n = a 3 = + a a 3 = + 4 = 6 n = 3 a 4 = + a 3 a 4 = + 6 = 8 n = 4 a 5 = + a 4 a 5 = + 8 = 10 Assim a seqüência é (, 4, 6, 8, 10,...) b) De acordo com a seqüência (a n ) n N* tal que a n = n + 1, atribuindo-se a n os valores 1,, 3, 4,..., obtemos os seguintes termos da seqüência: n = 1 a 1 = 1 +1 = n = a = +1 = 5 n = 3 a 3 = 3 +1 = 10 n = 4 a 4 = 4 +1 = 17 Assim a seqüência é (, 5, 10, 17,...) unitins matemática 3º PERÍODO 13

10 Aula 1 fundamentos da matemática iii 1.6 Lei de recorrência Outra maneira de definir uma seqüência consiste em fixar um valor de um dos termos e uma fórmula que permita calcular cada um dos termos conhecendo sempre o termo anterior (antecedente) da sucessão. Nesse caso, dizemos que a seqüência é definida por uma lei de recorrência. Observamos que, em função do agrupamento de um conjunto de números, você pode obter uma seqüência. Tal seqüência poderá ser definida como finita ou infinita, dependendo da sua lei de formação. Vimos exemplos de seqüências famosas, entre as quais destacamos a seqüência de Fibonacci. 1. Sendo n N*, obtenha os quatro primeiros termos da seqüência dada por: a) a n = n + 1 b) a n = n + n c) n + 1 an = 3. O valor da soma dos cinco primeiros termos da seqüência definida por a n = 3n +, n N* é: a) 18 b) 175 c) 0 d) De acordo com a seqüência definida por a n = 3n 16, n N*, qual o valor de a 5 + a 6? a) 3 b) 1 c) 0 d) 14 3º PERÍODO matemática unitins

11 Aula 1 fundamentos da matemática iii 4. Escreva sob a forma de (a 1, a, a 3, a 4,... ) os quatro termos da seqüência a = 6 a talque : a 9 a 1 ( ) n n * n1 + = + n Na atividade um, você acertou se utilizou os valores 1,, 3 e 4 substituindoos em cada seqüência. a) a n = n + 1 n = 1 a 1 = = 3 n = a =. +1 = 5 n = 3 a 3 = = 7 n = 4 a 4 = = 9 Assim a seqüência é (3, 5, 7, 9,...) b) a n = n + n n = 1 a 1 = = n = a = + = 6 n = 3 a 3 = = 1 n = 4 a 4 = = 0 Assim a seqüência é (, 6, 1, 0,...) n + 1 c) an = 3 n = 1 a 1 = ( )/ 3 = 1 n = a = (. + 1)/3 = 5/3 n = 3 a 3 = ( )/3 = 7/3 n = 4 a 4 = ( )/3 = 3 Assim a seqüência é (1, 5/3, 7/3, 3,...) Na atividade dois, você acertou se substituiu para n os valores 1,, 3, 4 e 5, pois o exercício requer a soma dos 5 primeiros termos da seqüência. a n = 3n + n = 1 a 1 = = 5 n = a = 3. + = 14 n = 3 a 3 = = 9 unitins matemática 3º PERÍODO 15

12 Aula 1 fundamentos da matemática iii n = 4 a 4 = = 50 n = 5 a 5 = = 77 A soma é dada por: = 175. Assim a alternativa correta é a letra (b). As demais alternativas não correspondem ao solicitado. Na atividade três, você acertou se calculou a soma a 5 + a 6, utilizando para n os valores 5 e 6, pois não há necessidade de calcular todos os valores. Veja. a n = 3n 16 n = 5 a 5 = = 1 n = 6 a 6 = = Assim, a 5 + a 6 = 1 + = 1. Sendo assim, a alternativa correta é a letra (b). As demais alternativas não correspondem ao solicitado. Na atividade quatro, você acertou se seguiu o mesmo procedimento do exemplo da aula. Observe. a =6 a tal que: a = 9+a 1 ( ) n n N* n+1 n Como o exercício solicitou os quatro termos da seqüência, você calculou, então, para n = 1,, 3 e 4. n = 1 a = 9 + a 1 a = = 15 n = a 3 = 9 + a a 3 = = 4 n = 3 a 4 = 9 + a 3 a 4 = = 33 n = 4 a 5 = 9 + a 4 a 5 = = 4 Assim a seqüência é (6, 15, 4, 33, 4,...) Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer uma seqüência e resolver problemas aplicados às seqüências. Agora que você já se acostumou à linguagem das seqüências, ficará mais fácil entender o conceito de progressão aritmética, que veremos na aula. Anotações 16 3º PERÍODO matemática unitins

13 Aula fundamentos da matemática iii Aula Progressão aritmética Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de: reconhecer uma progressão aritmética; determinar os termos de uma progressão aritmética. Para que você possa entender bem esta aula, faz-se necessário reconhecer uma sucessão ou seqüência numérica, que foi objeto de estudo da aula anterior. Esse conhecimento é importante, porque será usado para determinar os componentes da seqüência numérica, a partir de sua lei de formação. Em 1785, um professor de matemática, em uma escola da Alemanha, para obter disciplina em uma sala bastante agitada, pediu que seus alunos fizessem a seguinte tarefa: somar todos os termos de 1 até 100. Para sua surpresa, um pequeno jovem de apenas oito anos de idade, chamado Johann Friederich Carl Gauss, após alguns minutos, resolveu o problema. O professor, mal viu a resolução de Gauss, disse que o resultado estava errado. Mas o pequeno Gauss insistiu que o resultado estava correto, deixou o seu caderno com o professor e foi sentar em sua cadeira. Após três horas, os alunos começaram a entregar a tarefa e, para surpresa do professor, havia somente um resultado correto, o de Gauss. Estava descoberta a fórmula da soma de uma progressão aritmética (MARCONDES, 003)..1 Progressão aritmética Chama-se de progressão aritmética (PA) toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Essa constante r é denominada razão da progressão aritmética. unitins matemática 3º PERÍODO 17

14 Aula fundamentos da matemática iii (a 1, a, a 3, a 4,... a n,...) é uma PA a n = a + r, com n e n N n 1 Assim: a é o primeiro termo da PA; 1 a = a + r; 1 a = a + r; 3... a = a + r Chamada de fórmula do termo geral da PA. n n 1 Assim, podemos deduzir que, quando subtraímos cada termo do seu anterior, encontramos o valor da razão r. a = a + r r = a a 1 1 a = a + r r = a a 3 3 Logo podemos dizer que: a a 1 = a 3 a = r Exemplos a) (1, 3, 5, 7,... ) é uma PA de razão r = b) (...,10, 5, 0, 5, 10,...) é uma PA de razão r = 5. Classificação de uma progressão aritmética Toda progressão aritmética pode ser classificada, de acordo com sua razão r, como crescente, decrescente e constante. Vejamos, a seguir, as características de cada uma delas...1 Progressão aritmética crescente (r > 0) Uma progressão aritmética será crescente quando sua razão tiver um valor positivo. Exemplos a) (, 7, 1, 17,... ) a a 1 = 7 => 5 Como a razão é maior que zero, a PA é crescente. b) ( 10, 5, 0, 5, 10,... ) a 4 a 3 = 5 0 => 5 A razão é maior que zero. Logo a PA é crescente... Progressão aritmética decrescente (r < 0) Toda progressão aritmética que possui razão menor que zero é considerada decrescente. 18 3º PERÍODO matemática unitins

15 Aula fundamentos da matemática iii Exemplos a) (10, 7, 4, 1,,... ) a a 1 = 7 10 => 3 b) (5/,, 3/, 1,... ) a a 1 = 5/ => 1/..3 Progressão aritmética constante (r = 0) Em uma progressão aritmética constante, todos os termos são iguais e a razão r é sempre igual a zero. Exemplos a) (5, 5, 5, 5, 5, 5,... ) a a 1 = 5 5 => 0 b) ( 1/, 1/, 1/, 1/,... ) a a 1 = 1/ ( 1/) = 0.3 Fórmula do termo geral da progressão aritmética Como já sabemos, uma PA de razão r pode ser escrita assim: (a 1, a, a 3, a 4,... a n,...) Utilizando a definição de PA, podemos escrevê-la da seguinte maneira: a a3 a4 a5 a,a + r, a + r,a + 3r,a + 3r,...,a + n 1r an ( ) ) Logo podemos escrever a fórmula do termo geral da seguinte forma: n 1 ( ) a = a + n 1 r,para n N* a n = termo geral da PA a 1 = primeiro termo da PA n = número de termos da PA r = razão da PA Exemplos 1) Determine o 5 º termo da PA (, 6, 10, 14,...). Para resolver esse problema, vamos primeiramente retirar os dados do exercício. a n = a 5 =? unitins matemática 3º PERÍODO 19

16 Aula fundamentos da matemática iii a 1 = n = como a PA vai até o 5 º termo, logo teremos 5 termos r = a a 1 = 6 = 4 Aplicando a fórmula do termo geral temos a 5 = + ( 5 1 ). 4 a 5 = a 5 = + 96 a 5 = 98 Outra possível resolução desse exercício seria a seguinte: a 5 = a 1 + 4r a 5 = a 5 = 98 ) Escreva uma PA, cuja soma de seus três termos é igual a 9 e cujo produto é igual a 15. a 1, a, a 3 = (x r), x, (x + r) Primeiramente, vamos calcular a soma dos termos. x r + x + x + r = 9 x = 3 Calcularemos agora o produto dos três números. (x r). x. (x + r) = 15 Como x = 3, temos: (3 r). 3. (3 + r) = 15 3( 9 r ) = x = 15 3x = 1 x = ± x = 3 e r = (1, 3, 5) x = 3 e r = (5, 3, 1) 3) Determine o número de múltiplos de 7, compreendidos entre 0 e 50. A progressão será (1, 8, 35,..., 45). Então vamos descobrir o valor de n para saber quantos múltiplos de 7 existem entre 0 e º PERÍODO matemática unitins

17 Aula fundamentos da matemática iii a 1 = 1 n =? r = 7 a n = 45 a n = a 1 + (n 1). r 45 = 1 + (n 1) = 7n = 7n n = 33 Como o valor de n = 33, logo temos 33 múltiplos de 7 entre 0 e Interpolação aritmética O termo interpolar significa inserir valores entre dois termos de forma que a diferença entre eles seja constante. Exemplos 1. Interpole sete meios aritméticos entre e. Observe como vamos escrever essa PA:,,,,,,,, a 1 = n = 9 r =? a n = Utilizando a fórmula do termo geral, temos: n 1 ( ) a = a + n 1r = + (9 1). r + = 8r r = 3 Logo a PA será: (, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ). Interpole nove meios aritméticos entre 15 e 45. A seguir, determine qual é o décimo segundo termo dessa seqüência. a 1 = 15 n = 9 + = 11 r =? a n = 45 n 1 ( ) a = a + n 1r unitins matemática 3º PERÍODO 1

18 Aula fundamentos da matemática iii 45 = 15 + (11 1). r = 10r r = 3 PA = (15, 18, 1, 4, 7, 30, 33, 36, 39, 4, 45) O décimo segundo termo é Soma dos termos de uma progressão aritmética Às vezes, é necessário determinar a soma dos elementos de uma progressão aritmética sem, necessariamente, saber quais são os seus elementos. ( + ) a1 a n.n Sn = Em uma progressão aritmética, a soma dos extremos ou a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é sempre a mesma. Exemplos 1. Determine a soma dos 5 primeiros termos da PA ( 4,, 0,,... ). a 1 = 4 r = ( 4) = n = 5 a n = a 1 + (n 1). r a n = 4 + (5 1). a n = 44 S S n 5 = ( + ) = a a.n 1 n ( ) ( 40 5) S5 = S5 = 500. Determine a PA em que o vigésimo termo é e a soma dos cinqüenta primeiros termos é 650. a 1 =? r =? a 0 = a r = a r S n =? Resolvendo o sistema de equações ( ) a1 + 19r = a1 + 49r = 6 3º PERÍODO matemática unitins

19 Aula fundamentos da matemática iii Multiplicando por, temos: a 1 38r = 4 a 1+ 49r =6 Somando membro a membro: 11r = r = Com a razão, é possível determinar a 1 : = a r Ÿ a 1 = 36 Logo a PA procurada é ( 36, 34, 3, 30, 8,...). Concluímos que interpolar os termos de uma PA consiste em inserir valores entre dois termos e que a soma dos termos eqüidistantes de uma PA resulta sempre no mesmo valor, o que nos permite encontrar sempre a soma dos termos de uma PA. Aprendemos que, em toda seqüência, a diferença de um de seus termos menos o termo anterior tem um valor constante, chamado de razão e representado por r. Aprendemos a classificar uma PA em crescente, decrescente e constante, em função do valor da razão r. Sabendo que a soma dos extremos ou a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é sempre a mesma, aprendemos a elaborar a fórmula da soma dos termos de uma PA. 1. Determine o trigésimo primeiro termo de uma PA cujo primeiro termo é e cuja razão é 3. a) 63 c) 9 b) 65 d) 95. Determine quantos termos tem a PA (5, 7/,, 1/,..., 55). a) 60 c) 41 b) 75 d) Determine o número de múltiplos de 5, compreendidos entre 50 e Qual é a quantidade de meios aritméticos que podemos inserir ente 15 e 30, sabendo que o valor da razão é 3? 5. Determine a soma dos termos da PA cuja razão é, sabendo que o primeiro termo é cinco e o último termo é 459. unitins matemática 3º PERÍODO 3

20 Aula fundamentos da matemática iii Na atividade um, você acertou se determinou que o valor do trigésimo primeiro termo da PA é 9. a n = a 31 =? a 1 = n = 31 r = 3 Utilizando a fórmula do termo geral: n 1 ( ) a = a + n 1 r a 31 = + ( 31 1 ). 3 a 31 = a 31 = 9 Assim, o trigésimo termo vale 9 e a alternativa correta é letra (c). As demais alternativas não correspondem ao solicitado. Na atividade dois, você acertou se, para calcular a quantidade de elementos que possui a PA, calculou o valor de n. a n = 55 a 1 = 5 n =? r = 1,5 a n = a 1 + (n 1). r 55 = 5 + ( n 1 ). ( 1,5) 55 5 = 1,5 n + 1,5 60 1,5 = 1,5n n = 41 Assim, a PA possui 41 termos. A alternativa correta é a letra (c). As demais alternativas não correspondem ao solicitado. Na atividade três, assim como na segunda atividade, para resolver o problema, você encontrou o valor de n, que é 549. a n = 995 a 1 = 55 n =? 4 3º PERÍODO matemática unitins

21 Aula fundamentos da matemática iii r = 5 a n = a 1 + (n 1). r 995 = 55 + (n 1) = 5n 5 5n = 745 n = 549 Na atividade quatro, para encontrar a quantidade de elementos que podem ser introduzidos entre 15 e 30, você acertou se procurou o valor de n. a n = 30 a 1 = 15 n =? r = 3 a n = a 1 + (n 1). r 30 = 15 + (n 1) = 3n 3 3n = 18 n = 6 A quantidade de valores que devem ser inseridos nessa PA é de 6 elementos. Na atividade cinco, o exercício pede para calcular a soma da PA. Logo você acertou se recolheu os dados que o problema apresenta e, em seguida, aplicou a fórmula da soma. r = a 1 = 5 a n = 459 ( ) a1+ an n Sn = a n = a 1 + (n 1). r 459 = 5 + ( n 1 ). ( + ) 454 = n n = 456 n = 8 S n n = ( ) Sn = S = unitins matemática 3º PERÍODO 5

22 Aula fundamentos da matemática iii Nesta última atividade, você percebeu que foi necessário calcular, primeiro, o valor de n utilizando a fórmula do termo geral, para, só depois, calcular a soma dos termos. A matemática é assim mesmo: às vezes, faz-se necessário procurar um caminho alternativo para encontrarmos a resposta de um problema. Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer uma progressão aritmética e determinar seus termos. MARCONDES, Gentil Sérgio. Matemática. São Paulo: Ática, 003. Até agora, estudamos a progressão aritmética, a interpolação e a soma de n elementos. Na próxima aula, estudaremos outra seqüência, na qual a razão não é adicionada e sim multiplicada. Ela recebe o nome de progressão geométrica e complementa o nosso estudo sobre progressões. Anotações 6 3º PERÍODO matemática unitins

23 Aula 3 fundamentos da matemática iii Aula 3 Progressão geométrica Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de: reconhecer uma progressão geométrica; determinar os elementos de uma progressão geométrica. Você aprendeu, na aula anterior, a encontrar o primeiro termo, a razão e o número dos elementos de uma PA. Isso ajudará você a entender que, assim como na PA utilizamos a soma para encontrar a razão, na progressão geométrica (PG), utilizamos a multiplicação. Na PA, a razão é um valor constante, que pertence ao conjunto dos números reais e que é adicionado ao termo anterior. Vamos estudar, nesta aula, um caso em que a razão não é somada, e sim multiplicada ao termo anterior. 3.1 Progressão geométrica Podemos representar uma PG de acordo com a seguinte sentença: (a 1, a, a 3, a 4,... a n-1, a n ), em que o primeiro termo é a 1 e a razão é q: a n = a n -1. q, n N e n A PG é uma seqüência de números reais não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q chamada de razão da PG. Exemplos a) (, 4, 8, 16, 3,... ) a 1 = ; q = unitins matemática 3º PERÍODO 7

24 Aula 3 fundamentos da matemática iii b) ( 3, 6, 1, 4, 48,...) a 1 = 3; q = c) (1/, 1/6, 1/18/ 1/36,...) a 1 = 1/; q = 3 d) (,,,,,...) a 1 = ; q = 1 e) (1, 0, 0, 0, 0, 0,... ) a 1 = 1 ; q = 0 3. Classificação de uma progressão geométrica Toda progressão geométrica pode ser classificada como crescente, decrescente, constante, alternante e estacionária. Vejamos, a seguir, as características de cada uma delas Progressão geométrica crescente Em uma progressão geométrica crescente, cada termo é maior que o anterior. Isso ocorre em duas situações: quando a razão é maior que 1 (q > 1) e quando a razão é maior que 0 e menor que 1 (0 < q < 1). Exemplos a) (1, 3, 9, 7,...) q = 3 b) ( 4,, 1, 1/, 1/4,...) q = ½ 3.. Progressão Geométrica Decrescente Também para as progressões geométricas decrescentes existem duas situações: quando a razão é q > 1 e quando a razão é 0 < q < 1. Exemplos a) ( 1,, 4, 8, 16,...) q = b) (4,, 1, 1/, 1/4,...) q = ½ 3..3 Progressão Geométrica Constante Na progressão geométrica constante, cada termo é igual ao anterior. Logo sua razão q será igual a 1. Exemplo ( 11, 11, 11, 11, 11,...) q = Progressão geométrica alternante Na progressão geométrica alternante, cada termo tem o sinal oposto do seu antecessor. Nesse caso, q < 0. Exemplo (10, 0, 40, 80,...) q = 8 3º PERÍODO matemática unitins

25 Aula 3 fundamentos da matemática iii 3..5 Progressão geométrica estacionária Na progressão geométrica estacionária, cada termo, a partir do segundo, é igual a zero e o primeiro é diferente de zero (a = 0 e a 1 = 0). Exemplo (16, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...) q = 0 e a 1 = Fórmula geral de uma progressão geométrica A fórmula geral da progressão geométrica é demonstrada com base na observação de como são encontrados os termos da progressão, a partir do valor do segundo termo a. a = a 1. q a 3 = a. q = a 1. q a 4 = a 3. q = a 1. q 3 " " " " " " " " " a n 1 = a n. q = a 1. q (n ) a n = a n 1. q = a 1. q (n 1) Assim, podemos escrever a fórmula do termo geral: a n = a 1. q (n 1) Os nomes continuam idênticos aos da PA. Veja só: a n = enésimo termo ou termo geral da PG n = número de termos da PG q = razão da PG a 1 = primeiro termo da PG Exemplos a) Determine o 9º e o 13º termo da PG (, 4, 8,...). Primeiro, vamos retirar os dados do problema, para encontrar o 9 o termo. a 1 = n = 9 a 1 = q = unitins matemática 3º PERÍODO 9

26 Aula 3 fundamentos da matemática iii a 9 =? a n = a 1. q (n 1) a 9 =. 9 1 a 9 = 9 a 9 = 51 Para calcularmos o 13º termo, vamos aproveitar a fórmula anterior e mudar somente o valor de n para 13. a n = a 1. q (n-1) a 13 = a 9 = 13 a 9 = 819 b) Dada a PG (x, 3x +, 10x + 1,...), determine o valor da razão e escreva a progressão geométrica. Sabendo que a razão a a 3x q = q = = + x a mesma razão pode ser n (n 1) a1 calculada utilizando o segundo e o terceiro termo. an a3 10x + 1 Podemos também dizer que q = = = portanto podemos q (n 1) a 3x + escrever 3x + 10x + 1 =, pois a razão é igual. Resolvendo, temos: x 3x + 10x + 1x = 9x + 1x + 4 x + 4 = 0 x = e x = Se x =, então a PG (x, 3x +, 10x + 1,...) = (, 8, 3,...) Se x =, então a PG (x, 3x +, 10x + 1,...) = (, 4, 8,...) 3.4 Principais propriedades da progressão geométrica 1 a propriedade Em toda e qualquer PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anteriores e posteriores. Exemplo Dada a PG (a, b, c, d, e, f), temos, então: b = a. c; c = b. d; d = c. e; e = d. f (a n ) = a n 1. a n+1 a propriedade O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante. 30 3º PERÍODO matemática unitins

27 Aula 3 fundamentos da matemática iii Exemplo Seja a PG (a, b, c, d,e, f), temos, então: a. f = b. e = c. d 3.5 Interpolação geométrica Na interpolação geométrica, introduzimos, entre dois extremos, um certo número de meios geométricos que satisfaçam as condições da progressão geométrica. Exemplo Interpolar dois meios geométricos entre 3 e 4. Primeiramente, vamos retirar os dados fornecidos pelo problema. a 1 =3 n = + = 4 a n = 4 a n = a 1. q (n-1) 4 = 3. q 4 1 q 3 = 8 q = Resposta: (3, 6, 1, 4) 3.6 Soma dos termos de uma progressão geométrica finita A PG (a 1, a, a 3, a 4,... a n-1, a n ) pode ser escrita também da seguinte maneira: (a 1, a 1 q, a 1 q, a 1 q 3,... a 1 q n-, a 1 q n-1 ) S n = a 1 + a 1 q + a 1 q + a 1 q a 1 q n- + a 1 q n-1. Assim, multiplicamos ambos os termos da igualdade por q: S n q = a 1 q + a 1 q + a 1 q a 1 q n-1 + a 1 q n Multiplicando a primeira igualdade por ( 1) e somando a segunda, encontramos: 3 n n Sn= a aq aq aq... aq aq 3 n1 n n = S q a q aq aq... aq aq S q S = a + aq n n 1 1 n unitins matemática 3º PERÍODO 31

28 Aula 3 fundamentos da matemática iii Colocando S n em evidência temos: S n (q 1) = a 1 q n a 1 colocando a 1 em evidência S n (q 1) = a 1 (q n 1 ), logo: ( ) a 1.q qn 1 Sn = q 1 Exemplo De acordo com a progressão geométrica (1,, 4, 8, 16, 3,...), determine: a) a soma do 6 o ao 11ª termo; b) o número dos primeiros termos para que a sua soma seja Respostas a) a 6 = 3 q = n = 6 a ( n 1 q 1 ) S n = q ( 1) 3.65 Sn = Sn = = b) Nesse caso, observe que não usaremos a 6 e sim a 1 ; a fórmula não necessita do último termo. a 1 = 1 q = S n = 3767 n ( ) a1 q 1 Sn = q 1 n ( ) 1. 1 n 3767 = 1= n = 3768 n = 15 n= Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita A soma dos termos de uma progressão geométrica infinita somente pode ser calculada quando 1 < q < 1. Veja o exemplo da PG (1/, 1/4, 1/8, 1/16,...). 1 a1 = a 1 1 = = 4 3 3º PERÍODO matemática unitins

29 Aula 3 fundamentos da matemática iii a a 1 1 = = = = " " 1 an= n Assim temos a soma Sn = = 3 4 n n 1 Simplificando, Sn = 1 n 1 É possível observar que, quanto maior for o valor de n, o quociente n tende a zero. Logo o valor da soma dos termos da PG infinita é 1. Assim, a fórmula geral para o cálculo da soma dos termos de uma PG finita é: a1 Sn = 1 q A PG é convergente quando sua razão q for 1 < q < 1. Exemplo Determinar a soma dos seis primeiros termos da PG 1 ; 1 ; 1 ; a1 = 3 1 q= n S n n a1 = 1 q 1 S 3 n = S = S = n Produto dos termos de uma progressão geométrica Vamos relembrar os termos de uma PG (a 1, a, a 3, a 4,... a n-1, a n ). a = a 1. q a 3 = a. q = a 1. q a 4 = a 3. q = a 1. q 3 unitins matemática 3º PERÍODO 33

30 Aula 3 fundamentos da matemática iii " " " " " " " " " a n-1 = a n-. q = a 1. q (n-) a n = a n-1. q = a 1. q (n-1) Logo o produto será P n = a 1. a 1 q. a 1 q. a 1 q a 1 q n-. a 1 q n-1 Assim, reagrupando o produto de P n, temos: P n = (a 1. a 1. a a 1. a 1 ) ( q. q. q q n-1 ) n(n 1) n n 1 n 1 n= ( 1) a.q P a.q Exemplo Determine o produto dos seis primeiros termos da PG ( 8, 4,, 1,... ). Retirando os dados do problema, temos: a 1 = 8 1 q = n = 6 n ( ) P = a.q n 1 n n(n 1) 6 1 Pn = ( 8 ). 6 1 Pn = ( 8 ). Pn = ( ). P = 8 A fórmula ( ) n ( ) a1 q 1 Sn = q 1 progressão aritmética. A fórmula ( ) nos permite encontrar a soma dos termos da nn ( 1) n P = a q nos permite encontrar o n 1 produto dos termos de uma progressão geométrica e resolver muitos problemas de adição e de produto de termos de progressões geométricas. Vimos que, na interpolação geométrica, inserimos, entre dois meios geométricos, números que satisfaçam a condição de a PG ter uma razão q sempre constante. Aprendemos, também, que somente é possível determinar a soma dos 34 3º PERÍODO matemática unitins

31 Aula 3 fundamentos da matemática iii termos de uma PG se ela for decrescente. Também vimos que, em uma PG infinita e decrescente, a n tende para o zero. Então, a fórmula geral para o cálculo a1 da soma dos termos de uma PG convergente é Sn =. Assim, quando for 1 q necessário resolver problemas que envolvam produtos dos termos de uma PG, nn ( 1) P = a q. n usaremos a fórmula ( ) n 1 1. De acordo com o que aprendemos sobre PA, três números iguais compõem: a) b) c) d) uma PA de razão 1. uma PG de razão 0. uma PA de razão 0 e uma PG de razão 1. uma PA e uma PG de razões iguais.. Quando a razão de uma progressão geométrica tem um valor maior que 1 e o primeiro termo (a 1 ) é negativo, esta PG é chamada de: a) b) c) d) decrescente crescente constante alternante 3. Qual é o sétimo termo de uma progressão geométrica, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e 4? 4. Determine o produto dos cinco primeiros termos da PG (3, 9, 7,...). Na atividade um, você acertou se apontou como alternativa correta a letra (c), pois, como os três valores são iguais, teremos uma PA de razão nula e uma PG de razão 1. As demais alternativas não correspondem ao solicitado. Na atividade dois, você acertou se entendeu que uma PG cuja razão tem um valor maior que 1 e cujo elemento a 1 é negativo deve ser classificada como decrescente. A alternativa correta é, portanto, a letra (a). As demais alternativas não correspondem ao solicitado. Na atividade três, você acertou se indicou que o sétimo termo vale 19. Veja a demonstração dos cálculos a seguir. unitins matemática 3º PERÍODO 35

32 Aula 3 fundamentos da matemática iii a 7 =? a 1 = 3 a n = 4 n = 4 q =? Utilizando a fórmula do termo geral temos: a n = a. 1 q (n-1) 4 = 3. q 3 q = Assim, escrevendo a PG até o sétimo termo, temos: 3, 6, 1, 4, 48, 96, 19. Na atividade quatro, você utilizou a fórmula da soma do produto dos termos de uma progressão geométrica. a 1 = 3 q = 3 n = 5 nn ( 1) n Pn = ( a1) q 551 ( ) 5 Pn = P = 3 n Como o resultado é um valor muito grande, deixaremos o produto indicado por Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer uma progressão geométrica e determinar seus elementos. Começaremos a estudar matrizes e determinantes, um conteúdo muito especial, com uma grande variedade de aplicações no nosso dia-a-dia. Anotações 36 3º PERÍODO matemática unitins

33 Aula 4 fundamentos da matemática iii Aula 4 Introdução ao estudo das matrizes Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de: reconhecer uma matriz e os seus elementos; classificar os diferentes tipos de matrizes. Para melhor aproveitamento desta aula, é importante que você revise as noções de ensino médio sobre linhas, colunas e diagonais, que aqui adquirem relevância por serem utilizadas nos processos de classificação das matrizes. As matrizes são muito utilizadas, em matemática, no estudo dos sistemas algébricos e dos espaços vetoriais, e em outras ciências, como na computação, na engenharia e na estatística. Nesta aula, abordaremos as matrizes, apresentando sua definição, classificação, notação, representação e comparação. 4.1 Definição Uma matriz m x n é uma tabela de m.n entradas, dispostas em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Vejamos alguns exemplos. 1 5 A = é uma matriz x3 (leia: matriz dois por três) B = é uma matriz 3x3 (leia: matriz três por três) a b C= é uma matriz x (leia: matriz dois por dois). c a unitins matemática 3º PERÍODO 37

34 Aula 4 fundamentos da matemática iii Podemos encontrar as matrizes em várias situações do dia-a-dia. Um técnico de um time de basquete deseja anotar as cestas durante uma partida. Sabendo que o jogo tem quatro tempos e que as cestas valem um, dois ou três pontos, ele obteve a seguinte tabela. Tabela 1 Pontos durante uma partida de basquete. 1º tempo º tempo 3º tempo 4º tempo 1 ponto pontos pontos 3 0 Analisando a tabela, podemos responder a várias perguntas. Quantas cestas de dois pontos o time fez? Para responder a essa pergunta, basta somar as entradas da segunda linha: 16 cestas de dois pontos. Qual foi o total de pontos na partida? Essa é com você! Em qual dos quatro tempos o time fez mais cestas de um ponto? Muito fácil: no º tempo. A matriz do nosso exemplo tem três linhas e quatro colunas, logo é uma matriz 3x4. Veja como se apresenta na linguagem matemática: P= Classificação das matrizes Uma matriz m x n pode ser classificada de acordo com sua ordem. Matriz quadrada: é a matriz que possui a mesma quantidade de linhas e colunas, ou seja, m = n. 3 Exemplo: A = é uma matriz quadrada x. 1 7 Matriz retangular: é a matriz que possui quantidade de linhas e colunas diferentes, ou seja, m n. Exemplo: P= é uma matriz retangular 3x Matriz linha: é a matriz que possui apenas uma linha, ou seja, m = 1. Exemplo: C= [ 4 1] é uma matriz linha 1x3. Matriz coluna: é a matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, n = 1. Exemplo: 1 0 D = é uma matriz coluna 4x º PERÍODO matemática unitins

35 Aula 4 fundamentos da matemática iii As matrizes quadradas possuem propriedade e operações especiais que estudaremos nas aulas 6 e 7 deste caderno. 4.3 Notação Nos livros, as matrizes aparecem representadas de três maneiras diferentes, por meio de chaves, colchetes ou barras duplas, como no exemplo a seguir. Observe que, para identificar uma matriz, utilizamos letras maiúsculas do alfabeto A =,A =,A = Neste caderno, daremos preferência às duas primeiras, pois são as mais utilizadas na literatura. 4.4 Representação de uma matriz genérica Representamos uma matriz genérica indicando cada um de seus elementos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o primeiro índice designa a linha e o segundo, a coluna a que pertence o elemento. Por exemplo, uma matriz A x3 é representada da seguinte maneira. A a a a = a1 a a3 Uma matriz A do tipo m x n, genérica é representada conforme o exemplo a seguir. a11 a1 a13 a1n a1 a a3 an A = a com m e n N*. 31 a3 a33 a 3n am1 am am3 a mn Os elementos de uma matriz A do tipo m x n são indicados por A = (a ij ) m x n, em que o índice i refere-se à linha em que se encontra o elemento, com i {1,, 3,... m}, e o índice j refere-se à coluna em que se encontra o elemento com j {1,, 3,... n}. Trabalharemos esta notação no próximo exemplo. Exemplo Definir os elementos da matriz A = (a ij ) 3 x dados por a ij = i + j. unitins matemática 3º PERÍODO 39

36 Aula 4 fundamentos da matemática iii Solução A matriz possui três linhas e duas colunas, logo sua forma genérica é: a11 a1 A = a1 a a31 a 33 Determinando o valor de cada elemento na sua respectiva posição temos: a11 = = 3 a1 = 1 +. = a1 = +.1 = 4 A= 4 6 a = +. = a31 = = 5 a = 3 +. = A matriz A= 4 6 é a matriz procurada. 5 7 Para as próximas definições, consideraremos uma matriz quadrada A n x n. Nesse caso, diremos simplesmente uma matriz A de ordem n. 4.5 Diagonal principal e diagonal secundária Sendo A = (a ij ) uma matriz quadrada, os elementos a ij para os quais i = j formam a diagonal principal de A. Veja o exemplo: A= os elementos a 11 = 1, a = 4 e a 33 = 0 formam a diagonal principal. A diagonal secundária é formada pelos elementos a ij para os quais i + j = n + 1, em que n é a ordem da matriz. Vejamos: A= Os elementos a 13 = 8, a = 4 e a 31 = 5 formam a diagonal secundária. 4.6 Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = (a ij ) de ordem n (n > 1) diz-se matriz diagonal se a ij = 0 para todo i j, isto é, se todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. 40 3º PERÍODO matemática unitins

37 Aula 4 fundamentos da matemática iii Assim, A = ématriz diagonal Matriz nula Chamamos de matriz nula aquela que tem todos os seus elementos iguais a zero. Indica-se uma matriz nula por 0. Exemplo: 0 = 4.8 Matriz oposta Chamamos de matriz oposta de A, que se indica por A, a matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um de seus elementos. Exemplo: 3 3 A= A = Matriz identidade ou unidade Denominamos de matriz identidade (ou unidade) de ordem n, que se indica por I n, toda matriz quadrada de ordem n tal que os elementos da diagona l principal são iguais a um, e os demais elementos são iguais a zero. Exemplo: I= I I = = A primeira matriz do exemplo é a matriz identidade de ordem, a segunda é a matriz identidade de ordem 3, a última é a de ordem 4. Nas operações matriciais, a matriz identidade possui propriedades importantes Igualdade entre matrizes Em várias ocasiões, precisaremos compararar duas matrizes. Para isso precisaremos da definição de igualdade entre matrizes. Dadas duas matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), de mesma ordem m x n, os elementos que ocupam, respectivamente, a mesma posição, nas duas matrizes, e que possuem os mesmos índices serão denominados elementos correspondentes dessas matrizes Assim, se A= eb=, os elementos a 13 = 4 e b 13 = são elementos correspondentes. unitins matemática 3º PERÍODO 41

38 Aula 4 fundamentos da matemática iii Duas matrizes A e B são iguais e escrevemos A = B, se e somente se são do mesmo tipo e seus elementos correspondentes são iguais. Para melhor compreendermos essa definição, observemos com atenção os exemplos a seguir. Exemplo Encontre o valor de a, b, c e d na igualdade matricial a seguir. a b c 1 0 = d Solução: comparando os termos correspondentes nas matrizes, temos: a = 1, b = 0, c = e d = 8. Exemplo Determine o valor de x e y, de modo que as matrizes 1 B= 5 4 sejam iguais. x y 5 Solução 1 A = x + y e Para que as matrizes sejam iguais, todos os elementos correspondentes devem ser iguais. x + y = 5, isolando x na primeira equação temos. x y = 1 x + y = 5 x = 5 y (I) Substituindo (I) na segunda equação do sistema chegamos ao seguinte resultado. x y = 1 (5 y) y = y y = 1 6y = 9 3 y = Substituindo o valor de y em (I), podemos determinar o valor de x. x = 5 y 3 x = 5 x = 4 3º PERÍODO matemática unitins

39 Aula 4 fundamentos da matemática iii Assim, as matrizes A e B serão iguais se: 3 x= ey=. Trabalhamos os conceitos e as definições fundamentais no estudo das matrizes. Enfocamos sua classificação: matriz quadrada (que pode ser matriz diagonal e matriz identidade ou unidade), retangular, linha, coluna, nula, oposta. Apresentamos suas diversas representações: com chaves, colchetes ou barras duplas. Realizamos algumas comparações entre matrizes. 1. Determine a matriz B = (b ij ), de ordem 3 4, em que b ij = i j.. Determine a diferença entre a soma dos elementos da diagonal secundária e a soma dos elementos da diagonal principal, da matriz A = a ij de ordem 3, em que a ij = i j. a) 5 c) b) d) 3 x 3 y 1 3. Dada a matriz A =, determine o valor de x, y e z, para que 0 z + y a matriz A seja igual à matriz identidade de ordem. 3 a) x =, y = 1, z = 1 c) x =, y = 1, z = 0 3 b) x =, y =, z = 1 d) x =, y =, z = 4. Considere a matriz perguntas. a) Qual é a ordem de A? A = e responda às seguintes b) c) Quais são os elementos da diagonal principal? A matriz A é uma matriz quadrada? unitins matemática 3º PERÍODO 43

40 Aula 4 fundamentos da matemática iii Na atividade um, exploramos a determinação de matrizes, a capacidade de identificar suas linhas e colunas e de trabalhar seus índices. Como a matriz possui ordem 3 4, b b b b = B b b b b b b b b Seguindo a lei de formação b ij = i j B= B= A matriz B é a matriz procurada. Na atividade dois, foram explorados os elementos da matriz, como suas diagonais. Para encontrar o resultado desta atividade, não foi preciso que você determinasse todos os seus elementos, apenas os elementos das diagonais. a a a = 1 3 A a a a a a a Considerando a lei de formação da matriz, você identificou os elementos de suas diagonais. Os elementos da diagonal principal são: a 11 = 1 = 1 a = 4 4 = 0 a 33 = 6 9 = 3 Os elementos da diagonal secundária são: a 13 = 9 = 7 a = 4 4 = 0 a 31 = 6 1 = º PERÍODO matemática unitins

41 Aula 4 fundamentos da matemática iii A soma dos elementos da diagonal principal é S p = ; a soma dos elementos da diagonal secundária é S s =. Desse modo, a diferença é S s S p = 0. Na atividade três, foram explorados os conceitos de igualdade entre matrizes. O primeiro passo foi construir a matriz identidade de ordem. 1 0 I = 0 1 Comparado com a matriz A, temos: x 3 y = 0 z + y 0 1 Portanto: x 3= 1 y 1= 0 z + y = 1 x = y = 1 z + 1= 1 z = 0 Para que a matriz A seja igual a I, os valores de x, y e z devem ser iguais respectivamente a, 1 e 0. Na atividade quatro, exploramos alguns conceitos teóricos relacionados à matriz. No item (a), você determinou o número de linhas e colunas da matriz. A ordem da matriz é 5 5. No item (b), os elementos da diagonal principal consistem nos elementos a ij nos quais i = j. São eles: 1, 0, 13, 17 e 16. No item (c), a resposta correta é sim, pois a matriz possui a mesma quantidade de linhas e colunas. Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer e classificar uma matriz, seus elementos e seus tipos. Já sabemos classificar e reconhecer as matrizes, e escrever seus elementos. Estamos prontos para saber quais operações podem ser realizadas por meio das matrizes. Na próxima aula, estudaremos soma, subtração e multiplicação por escalar e por outra matriz. unitins matemática 3º PERÍODO 45

42 Aula 4 fundamentos da matemática iii Anotações 46 3º PERÍODO matemática unitins

43 Aula 5 fundamentos da matemática iii Aula 5 Operações com matrizes Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de: conhecer as operações inerentes às matrizes; aplicar as propriedades operacionais das matrizes. Para melhor andamento desta aula, é importante a consolidação dos conteúdos da aula anterior. Você deve saber escrever uma matriz e usar seus índices e suas classificações. Como no conjunto dos números reais, também no conjunto das matrizes, podemos somar, subtrair, multiplicar e efetuar potências. Porém, pela sua estrutura diferenciada, as matrizes obedecem a alguns axiomas e a algumas propriedades particulares. Uma matriz pode conter números reais, números complexos, funções ou operadores. Em nosso estudo, trabalharemos com matrizes de números reais. Nesta aula, veremos algumas propriedades das operações com matrizes e das matrizes transpostas. 5.1 Adição de matrizes Chamamos de soma entre duas matrizes A e B (A + B), da mesma ordem m x n, a matriz do tipo m x n cujos elementos são iguais à soma s ij = a ij + b ij. Cada elemento da matriz A + B é a soma dos elementos correspondentes de A e B. Observe que só podemos somar matrizes da mesma ordem. Quanto às matrizes de ordens diferentes, a adição não é definida. Veja os exemplos a seguir. unitins matemática 3º PERÍODO 47

44 Aula 5 fundamentos da matemática iii Exemplo Dadas as matrizes Solução A= eb=, determine A + B Primeiramente, verificamos se as matrizes possuem a mesma ordem. As ordens de A 3 e B 3 são iguais. Portanto a soma é definida. Assim sendo, somamos cada elemento correspondente e teremos: A+ B= A+ B= Exemplo Dadas as matrizes A= eb= 3, analise suas ordens e, se possível, determine a soma A + B. Solução Note que não podemos somar A = com B = 3, pois não 3 4 possuem a mesma ordem. 5 7 Sabemos que os números reais possuem propriedades para cada operação, as matrizes também. A seguir, estudaremos algumas propriedades relativas à soma de matrizes. 5. Propriedades da adição de matrizes Sendo A, B e C matrizes da mesma ordem m n, e 0 a matriz nula da mesma ordem das anteriores, temos as seguintes propriedades. 1. A + (B + C) = (A + B) + C (Propriedade associativa da adição) Demonstração da propriedade associativa da adição de matrizes a11 a1 b11 b1 c11 c1 Sejam as matrizes: A =,B = ec =, a1 a b c 1 b 1 c sendo seus elementos a ij, b ij e c ij R. a11 a1 b11 b1 c11 c1 + + = a1 a b c 1 b 1 c a11 a1 b11 b1 c11 c1 + + a1 a b c 1 b 1 c 48 3º PERÍODO matemática unitins

45 Aula 5 fundamentos da matemática iii a11 a1 b11 + c11 b c 1 + c1 a11 + b11 a1 + b1 11 c1 + = + a a b + c b + c a + b a + b c c a11 + b11 + c11 a1 + b1 + c1 a11 + b11 + c11 a1 + b1 + c1 = a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c Observe a ordem dos parênteses, lembrando as expressões numéricas estudadas no ensino fundamental. Vejamos outras propriedades relativas às somas de matrizes.. A + B = B + A (Propriedade comutativa da adição) 3. A + 0 = A (Existência da matriz nula) 4. A + ( A) = 0 (Existência da matriz oposta) Demonstração da existência da matriz nula a11 a1 Considere a matriz A = com seus elementos a a1 a ij R. Lembre que para todo número real k existe um simétrico k. Portanto a11 a1 a11 a =? a1 a a1 a 0 0 a11 a11 a1 a1 0 0 = a a a a As demonstrações da propriedade comutativa e da existência da matriz oposta ficam a cargo do aluno, como exercícios. 5.3 Subtração de matrizes Denominamos diferença entre duas matrizes A e B (A B), da mesma ordem m x n, a soma da matriz A com a oposta da matriz B. Exemplo Dadas as matrizes: A B. Solução A B = A + ( B) A= eb=, determine a diferença Substituindo as matrizes na expressão, temos: A B = A + ( B) + = unitins matemática 3º PERÍODO 49

46 Aula 5 fundamentos da matemática iii A B = + = A B = Multiplicação de um escalar por uma matriz Dada a matriz A e dado o número real k, o produto de k por A é a matriz obtida a partir de A, multiplicando-se todos os seus elementos pelo número k. Simbólicamente temos: Dada a matriz a a a a a a a a A a a a a n 1 3 n = n a a a a m1 m m3 mn de ordem n m e k R, a multiplicação de A pelo escalar k é representada da seguinte maneira: ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka n 1 3 n = n ka ka ka ka m1 m m3 mn Exemplo Determinar o seguinte produto ka, sendo: 4 A= ek= Solução ka = 3. = Propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz Sendo A e B matrizes de mesma ordem e k e w números reais, temos as seguintes propriedades. 1. k (wa) = (kw) A (Propriedade associativa da multiplicação de um número real por uma matriz). 50 3º PERÍODO matemática unitins

47 Aula 5 fundamentos da matemática iii Demonstração da propriedade associativa da multiplicação de um número real por uma matriz a11 a1 Seja a matriz A =, sendo seus elementos a ij, k e w R. a1 a k(wa) = (Kw)A a11 a1 a11 a1 k w kw = a1 a a1 a wa11 wa1 kwa11 kwa1 k = wa 1 wa kwa 1 kwa Aplicando novamente a propriedade de multiplicação por escalar, no primeiro membro da igualdade, temos: kwa11 kwa1 kwa11 kwa1 = kwa kwa kwa kwa 1 1 Isso comprova a validade da propriedade.. k (A + B) = k A + k B (Propriedade distributiva em relação à soma de matrizes). 3. (r + s) A = ra + sa (Propriedade distributiva em relação à soma de escalares). Demonstração da propriedade distributiva em relação à soma de escalares Seja a matriz A a a 11 1 = a1 a, sendo seus elementos a ij, k e w R. ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) (k+w)a = ka + wa a11 a1 a11 a1 a11 a1 k + w = k + w a a a a a a k + w a11 k + w a 1 ka11 ka1 wa11 wa1 = + k w a1 k w a ka wa 1 ka 1 wa ( ) ( ) ( ) ( ) k+w a11 k+w a 1 ka 11+wa11 ka 1+wa1 = k+w a1 k+w a ka 1+wa1 ka +wa Aplicando a propriedade distributiva em relação à soma de escalares, no primeiro membro da igualdade, chegamos ao seguinte resultado: ka11 + wa11 ka1 + wa1 ka11 + wa11 ka1 + wa1 = ka1 + wa1 ka + wa ka1 + wa1 ka + wa unitins matemática 3º PERÍODO 51

48 Aula 5 fundamentos da matemática iii Verificamos que a igualdade é verdadeira A = A (Elemento neutro). As demonstrações da propriedade distributiva em relação à soma de matrizes e da propriedade do elemento neutro ficam a cargo do aluno, como atividades. 5.6 Multiplicação de matrizes Dadas as matrizes A, do tipo m x n, e B, do tipo n x p, chamamos de produto A por B (AB) a matriz C, do tipo m x p, tal que cada elemento c ij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Em símbolos, temos: c ij = a i1 b 1j + a i b j + a i3 b 3i a in b nj Assim, dadas as matrizes A por B, é da forma: A= 0 4 eb=, a matriz C, produto de c11 c1 C = AB = c c,pois A B c31 c 3 1 3x x Cada elemento c ij da matriz c é obtido a partir da linha i de A e da coluna j de B. Assim: c (linha 1 de A, coluna 1 de B) c = = 30 ij 11 c (linha 1 de A, coluna de B) c = = c (linha de A, coluna 1 de B) c = = c (linha de A, coluna de B) c = = 36 c (linha 3 de A, coluna 1 de B) c = = c (linha 3 de A, coluna de B) c = = Portanto a matriz C = AB é Observações Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número de colunas de B. 5 3º PERÍODO matemática unitins

49 Aula 5 fundamentos da matemática iii Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A. Portanto a multiplicação de matrizes não é comutativa. 5.7 Propriedades da multiplicação de matrizes Sejam A, B e C matrizes e α um número real. Supondo o número de colunas da primeira matriz igual ao número de linhas da segunda matriz, temos que as seguintes propriedades. 1. A(BC) = (AB)C (Propriedade associativa da multiplicação de matrizes).. A (B + C) = AB + AC (Propriedade distributiva em relação à adição, à esquerda). Demonstração da propriedade associativa da multiplicação de matrizes a11 a1 b11 b1 c11 c1 Sejam as matrizes A =,B = e C =, sendo seus a1 a b c 1 b 1 c elementos a ij, b ij e c ij R. a a b b c c = a1 a b c 1 b 1 c a11 a1 b c 11 b1 11 c1.. a1 a b c 1 b 1 c A(BC)= (AB) C Desenvolvendo o primeiro membro da expressão, temos: a11 a1 b11 c11 + b1 c1 b11 c1 + b1 c. = a a b c + b c b c + b c ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c = a b c + a b c + a b c + a b.c a b c + a b c + a b c + a b c a b c + a b c + a b c + a b.c a b c + a b c + a b c + a b c = a11 b11 + a1 b1 a11 b1 + a c 1 b 11 c1 + a c 1 b11 + a b1 a11 b11 + a1 b1 1 c 3. (A + B) C = AC + BC (Propriedade distributiva em relação à soma, à direita). 4. A. m x n I n = A (I n = identidade de ordem n). 5. I. m A m X n = A (I m = identidade de ordem m). 6. (αa) B = A (αb) = α(a. B). unitins matemática 3º PERÍODO 53

50 Aula 5 fundamentos da matemática iii 5.8 Matriz transposta Dada a matriz A = (a ij ), de ordem m x n, chama-se transposta de A (A t ) a matriz de ordem n x m tal que A t = (a ji ). a11 a1 a13 Considerando a matriz A =, temos a matriz transposta a1 a a3 a a. = a13 a t A a1 a Exemplo Dada a matriz Solução 0 5 A =, determine a sua transposta A t De acordo com a definição, permutamos as linhas pelas colunas obtendo a seguinte matriz: 1 t A = Propriedades da matriz transposta Sendo a e b matrizes e k R, supondo que a ordem das matrizes satisfaça as condições de uma das operações, temos as seguintes propriedades. 1. (A + B) t = A t + B t (Transposta da soma).. (k A) t = k. A t (Multiplicação por escalar). 3. (A t ) t = A (Transposta da transposta, propriedade da simetria). 4. (AB) t = B t A t (Transposta do produto). Estudamos as operações elementares entre matrizes, uma ferramenta importantíssima para tornar úteis os resultados da aula anterior. Conhecer as propriedades das operações de adição de matrizes, de subtração de matrizes, de multiplicação de matrizes, de um escalar por uma matriz, de um número real por uma matriz, e de transposição de matrizes também é muito importante, pois todas essas propriedades validam e facilitam as próprias operações, objeto do nosso estudo. 54 3º PERÍODO matemática unitins

51 Aula 5 fundamentos da matemática iii 1. Dada a ordem das matrizes, verifique em quais delas é possível realizar as operações. a) A 1x + B 1x b) A x + B x1 c) A 5x. B x1 d) A x3. B 5x e) A 3x3. B 5x3 + C 3x Dada a matriz A =, calcule x e y, de modo que x y Dada a função f(x) = x x, determine f(a), sendo A = Sabendo que A =, determine B para que AB = I A = Na atividade um, você deve ter observado a ordem das matrizes, para estabelecer se as operações são definidas. a) A 1x + B 1x As matrizes possuem a mesma ordem, portanto a adição é definida. b) A x + B x1 As matrizes não possuem a mesma ordem, portanto a adição não é definida. c) A. 5x B x1 A condição para que a operação de multiplicação seja definida é que a quantidade de colunas do primeiro fator deve ser igual à quantidade de linhas do segundo fator. Neste caso, a multiplicação entre as matrizes A e B não é definida. d) A. x3 B 5x O número de linhas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. Desse modo, o produto entre as matrizes é definido. e) A 3x3. B 5x3 + C 3x5 unitins matemática 3º PERÍODO 55

52 Aula 5 fundamentos da matemática iii Podemos observar que a multiplicação não é definida. Pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B. Portanto o produto AB tem ordem 3 5. A adição é definida. Na atividade dois, primeiramente, você deve ter elevado a matriz A ao quadrado da seguinte maneira: A A x 15 5y + + A = = x y x y 3x + xy 5x + y Igualando com a matriz apresentada pelo problema, temos: 9 + 5x y 9 4 = 3x + yx 5x + y 8 17 Pela igualdade de matrizes, o termo a 11 deve ser igual ao termo b 11. Desse modo, podemos encontrar o valor x = 4. Comparando a 1 com o termo b 1, encontramos y = 3. As outras equações também são verdadeiras. Na atividade três, você deve ter utilizado os conceitos de função e substituído x pela matriz A. Desse modo, temos: f(a) A A = f(a) = f(a) = f(a) = 6 6 Na atividade quatro, primeiramente, você deve ter montado um sistema, para encontrar uma matriz que satisfaça a seguinte relação: 3 5 a b 1 0 =. 3 c d 0 1 Resolvendo a multiplicação, temos: 3a + 5c 3b + 5d 1 0 =. a + 3c b + 3d 0 1 Comparando as matrizes, temos: 3a + 5c = 1 3b + 5d = 0 a + 3c = 0 b + 3d = Resolvendo os sistemas, encontramos a matriz º PERÍODO matemática unitins

53 Aula 5 fundamentos da matemática iii Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: conhecer as operações e aplicar as propriedades operacionais das matrizes. Estudaremos conceitos relacionados ao determinante de uma matriz, que nos possibilitarão resolver sistemas lineares, calcular matrizes inversas e verificar a dependência linear entre matrizes. Anotações unitins matemática 3º PERÍODO 57

54 58 3º PERÍODO matemática unitins Aula 5 fundamentos da matemática iii

55 Aula 6 fundamentos da matemática iii Aula 6 Introdução aos determinantes Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de: calcular os determinantes de matrizes de ordem 1, e 3; conhecer as propriedades inerentes aos determinantes de ordem qualquer. Para um melhor aproveitamento desta aula, é bom ter compreendido as classificações e as operações das matrizes, estudadas nas aulas 4 e 5, além de conhecer as propriedades da soma e da multiplicação de números reais. Certamente, você já estudou os determinantes das matrizes de ordem 1, e 3, e já os utilizou na regra de Cramer. E os determinantes de matrizes de ordem maior que 3? Será que temos uma fórmula para determiná-los? Responderemos a esse quesito no decorrer desta aula. Os determinantes foram estudados, primeiramente, pelos chineses para resolver pequenos problemas que envolvem sistemas lineares. Ao longo da história da matemática, o conceito de determinante se transformou. Nesta aula, estudaremos sua definição e algumas técnicas para calculá-lo. 6.1 Permutação Permutação é o rearranjo dos elementos de um conjunto. No nosso estudo, * vamos considerar o conjunto dos Z +. Sabemos que a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto de inteiros {1,, 3,... n} é dada por: n! = n. (n 1). (n ) unitins matemática 3º PERÍODO 59