CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

Transcrição

1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 11

2 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2

3 Progressão Aritmética Sequências Primavera, verão, outono, inverno. As quatro estações do ano formam uma sequência de termos muito conhecidos por todos, assim como estas: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si); (a, b, c, d, e,..., m, n,..., x, y, z). Se observarmos as coisas ao nosso redor, descobriremos inúmeros tipos de sequências. E à natureza, em sua diversidade de manifestações, podemos associar diversos tipos de sequências numéricas. Uma sequência numérica é uma organização de números. As sequências podem ter ou não uma lei de formação, pode ser finita ou infinita. Exemplos: (5, 4, 8, 6, 9, 1, 2) é uma sequência finita dos algarismos que compõem o número de um telefone e não possui uma lei de formação. (0, 2, 4, 6, 8,...) é uma sequência infinita dos números naturais pares. Essa sequência tem uma lei de formação bem simples: cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado por 2. Nas sequências que vamos estudar a nessa Unidade, cada número sucede o anterior de acordo com uma determinada regra, de tal modo que é sempre possível saber se um número pertence ou não à sequência. Página 3

4 Progressão Aritmética (P.A.) Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes: 7, 10, 13, 16, 19, 22, O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R). Portanto, nesse exemplo, temos: Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e sua classificação: (3, 7, 11, 15, 19, 23,...) Temos R = 4. É uma progressão crescente. (9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5,...) Temos R = - 2. É uma progressão decrescente. (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,...) Temos R = 0. É uma progressão estacionária. Dada uma progressão aritmética, como calculamos sua razão? Pense! Não é difícil. Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo e o anterior. Assim, retomando os três últimos exemplos, temos: na 1ª progressão: R = 7-3 = 4 R = 11-7 = 4 R = = 4 etc. na 2ª progressão: R = 7-9 = - 2 R = 5-7 = - 2 etc. na 3ª progressão: R = 4-4 = 0 Página 4

5 Fórmula do termo geral de uma P.A. Passamos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressão aritmética (de agora em diante representada por PA) de razão R: Suponha que você conheça o primeiro termo, e a razão. Como faremos para calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades: Vemos então que, para calcular um termo qualquer é preciso somar ao 1º termo, vezes a razão, ou seja: Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º. Quantos degraus deve subir? É claro que são 9. Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quantos deve subir? Deve subir 24, lógico. Então, para chegar ao degrau número n, devemos subir n - 1 degraus. Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes. Página 5

6 EXEMPLO 1: Qual é o trigésimo (30º) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38,...? Solução: A razão da progressão é R = = 7 e o primeiro termo é. Desejamos calcular o trigésimo termo, ou seja,. A partir da fórmula do termo geral: Substituindo por 10, por 7 e a letra por 30, obtemos: Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213. EXEMPLO 2: Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantos números ele escreveu? Solução: A progressão desse exemplo é a seguinte: 17, 19, 21, 23,..., 63. O primeiro termo é 17, o último termo é 63 e a razão é 2. Escrevemos então: Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, calcularemos n que é o número de termos da progressão: A progressão tem, portanto, 24 termos. Página 6

7 EXEMPLO 3: Em janeiro de certo ano, João estava ganhando R$ 70,00 por mês. Seu patrão prometeu aumentar seu salário em R$ 4,00 todos os meses. Quanto João estará ganhando em dezembro do ano seguinte? Solução: Se o salário de João aumenta R$ 4,00 todos os meses, então a seqüência dos salários é uma progressão aritmética de razão 4. Vamos organizá-la assim: Usando a fórmula do termo geral, temos: Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, João estará ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 162,00. Uma outra fórmula Se você está no 6º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º, quantos degraus deve subir? A resposta é simples: 4 degraus. Podemos escrever isso em linguagem matemática: De modo geral, se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de número m, devemos subir m - n degraus. A nossa nova fórmula, que relaciona dois termos quaisquer, é então a seguinte: Página 7

8 EXEMPLO 4: Todos os anos, uma fábrica aumenta a produção, em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu peças, e no 8º ano, Quantas peças ela produziu no 1º ano de funcionamento? Se a produção é aumentada a cada ano em uma quantidade constante, temos que a seqüência das produções anuais forma uma progressão aritmética. Nessa progressão, sabemos que e. Devemos calcular, ou seja, a produção inicial. Tomemos então nossa última fórmula: e façamos m = 8 e n = 5. Ela fica assim: Substituindo os valores conhecidos, temos: Sabemos agora que a razão é 160, ou seja, a produção da fábrica aumenta em 160 peças a cada ano. Para calcular o primeiro termo da progressão, façamos m = 5 e n = 1 na fórmula que estamos usando. Ela fica assim: Como os valores de e são conhecidos, podemos fazer as substituições: Concluímos então que, no primeiro ano de funcionamento, essa fábrica produziu 820 peças. Para terminar, repare que temos duas fórmulas, muito parecidas, para relacionar dois termos de uma progressão aritmética e sua razão. A segunda é mais geral. Ela é capaz de calcular qualquer termo de uma PA se você conhece a razão e, também, um outro termo qualquer. Página 8

9 Progressão de três termos Suponha inicialmente que os números a, b, c, formem uma progressão aritmética. Como a razão é igual a b - a e também igual a c - b temos: Dizemos então que b é a média aritmética entre a e c. EXEMPLO: Determine o valor de x na progressão Exercícios Questão 01: Calcule o 25º termo da PA: 5, 8, 11, 14,... Questão 02: Calcule o valor de x em cada uma das progressões geométricas abaixo: a) 4, 12, x b) 10, x, 30 c) x, 6, 9 Questão 03: Uma caixa d água de litros está completamente cheia e vaza 7 litros por hora. a) Complete alguns termos da progressão sugerida abaixo: b) Quantos litros terá a caixa 24 horas depois do instante em que estava cheia? Página 9

10 Questão 04: Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforo como mostra o desenho: a) Quantos palitos ela usou para fazer 10 quadrados? b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos? Sugestão: Forme uma progressão da seguinte forma: Questão 05: Um menino tem R$ 19,00 no seu cofre e, a partir de certo mês, passou a tirar R$ 0,80 todos os dias para um sorvete. a) Organize uma PA mostrando a quantia que resta no cofre após o sorvete diário. Assim: b) Que quantia havia no cofre após o sorvete do 15º dia? c) Qual foi o 1º dia em que ele não pôde tomar sorvete? Questão 06: Em uma PA, e. Calcule. Questão 07: No acostamento de uma estrada, existem dois telefones para pedidos de socorro mecânico: um no km 51 e outro no km 117. Entre eles, serão colocados mais 10 telefones, de modo que entre um e o seguinte se tenha sempre a mesma distância. Determine em que quilômetros ficarão os novos telefones. Sugestão: Se já existem 2 telefones e mais 10 serão colocados entre eles, então a progressão terá, ao todo, 12 termos. Considere então e. Com a fórmula do termo geral, você pode calcular a razão. Página 10

11 Somando os termos de uma progressão aritmética Na aula anterior, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se conhecemos um de seus termos e a razão. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquer quantidade de termos de uma PA. Deduziremos a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética usando a mesma idéia que um menino de 10 anos teve no ano de Esse menino, que se tornou um dos maiores matemáticos de todos os tempos, chamava-se Carl Friedrich Gauss, e uma pequena parte de sua história é a que relatamos a seguir: O menino Gauss era alemão e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos 10 anos, freqüentava a escola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, o professor mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100. Mas, para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quase imediatamente: Dá Vamos mostrar como ele calculou de cabeça a soma: Primeiro vamos representar por S essa soma. Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida, somamos as duas, termo a termo. Assim, duas vezes S é igual à soma de 100 parcelas, todas iguais a 101. Logo: Não há dúvida de que esse episódio da vida do menino Gauss nos mostra uma idéia brilhante. Página 11

12 Fórmula da Soma dos termos de uma P.A. O raciocínio utilizado por Gauss para obter a soma dos termos da progressão que nos serviu de exemplo pode ser aplicado a qualquer outra. Portanto, se uma progressão tiver n termos, a soma de todos eles será: Nessa fórmula, é bom lembrar que: é o primeiro termo, é o último termo, é o número de termos. EXEMPLO 1: Calcule a soma dos 30 primeiros números ímpares. Solução: Os números ímpares são: Eles formam uma progressão aritmética de razão 2. Para calcular o trigésimo (30º) termo dessa progressão, precisamos usar a fórmula que aprendemos na aula passada. Substituindo então n por 30, obtemos: Vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, fazendo também n = 30: Substituindo os valores do primeiro e do último termo, temos: Concluímos então que a soma dos 30 primeiros números ímpares é: Página 12

13 EXEMPLO 2: No Exemplo 3 da aula passada, vimos que João ganhava R$ 70,00 em janeiro de certo ano e passou a receber um aumento de R$ 4,00 todos os meses. Desejamos saber agora qual foi o total que ele recebeu em dois anos de trabalho, ou seja, até dezembro do ano seguinte. Solução: Nós vimos que o salário de João forma uma progressão aritmética de razão 4. O primeiro termo é 70 e o vigésimo quarto (24º) termo foi calculado. Vamos agora somar todos esses valores usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética. Com 24 parcelas, a fórmula fica assim: Substituindo os valores do primeiro e do último termo, temos: Concluímos que João ganhou, ao longo dos dois anos, um total de R$ 2.784,00. Página 13

14 A Progressão Aritmética na máquina de calcular. Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples para facilitar nossos cálculos: a máquina de calcular. Além de realizar as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula raiz quadrada e tem memória. A maioria dessas calculadoras é capaz de mostrar, com muita facilidade, os termos de uma progressão aritmética qualquer. Como exemplo, consideremos a progressão aritmética de razão R = 7, começando em. Para visualizar quantos termos você quiser, digite: A primeira vez que você apertar a tecla o visor mostrará 16, que é o segundo termo da progressão. Continuando a apertar a tecla diversas vezes, o visor mostrará os termos seguintes da progressão: 23, 30, 37, 44 etc. A máquina de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se não forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente. Vamos mostrar então como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17. Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, após cada termo que aparecer no visor, apertar a tecla. Isto faz com que os termos da progressão sejam acumulados na memória da calculadora. Depois que você apertar pela quinta vez a tecla, aperte a tecla e a soma dos 5 termos da progressão aparecerá no visor. O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte: Iniciando com e com, e procedendo como indicamos acima, encontraremos, para a soma dos 5 termos da progressão, o valor 81. Página 14

15 Exercícios Questão 08: Dada a progressão: 5, 16, 27, 38,..., calcule: a) o vigésimo (20º) termo; b) a soma dos 20 primeiros termos. Questão 09: Calcule a soma de todos os números ímpares de dois algarismos. Sugestão: Os números ímpares de dois algarismos formam a progressão 11, 13, 15, 17,..., 99. É preciso saber quantos termos ela possui. Para isso, utilize a fórmula do termo geral:, com e. O valor de n que você encontrar é o número de termos da progressão. Utilize então a fórmula da soma. Questão 10: Calcule a soma dos 25 primeiros termos da PA: 100, 94, 88, 82,... Questão 11: Um corredor planejou seu treinamento da seguinte forma: pretende correr 5 km no primeiro dia e depois ir aumentando a distância em 500 m todos os dias. a) Quanto ele estará correndo no trigésimo (30º) dia do treinamento? b) Nesses 30 dias, qual foi a distância total que ele percorreu? Sugestão: Construa uma PA da seguinte forma etc. Calcule pela fórmula do termo geral e depois some todos os termos. Questão 12: Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? Página 15

16 Questão 13: Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é de 1m. O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega a primeira roseira, volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar a décima oitava (18ª) roseira ele retorna para deixar o balde junto à torneira. Qual foi a distância total percorrida pelo jardineiro? Página 16

17 Gabarito Questão 1: 77 Questão 2: a) x = 20 b) x = 20 c) x = 3 Questão 3: a) 986; 979 E 972. b) 832 Questão 4: a) 31 palitos. b) 83 quadrados. Questão 5: a) R$17,40; R$16,60; R$15,80 e R$15,00. b) R$7,00. c) 24º dia. Questão 6: 143 Questão 7: razão 6; Os novos telefones ficarão nos quilômetros: 57; 63; 69; 75; 81; 87; 93; 99; 105 e 111. Questão 8: a) a 20 = 214 b) S 20 =2190 Questão 9: S= 2475 Questão 10: S 25 = 700 Questão 11: a 30= 19,5km S 30 = 367,5km Questão 12: S 5 = 70km Questão 13: S 18 = 846m Página 17

18 Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Página 18

19 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 19