PLANO DE AULA 1-IDENTIFICAÇÃO. Instituto Federal Catarinense-Campus Avançado Sombrio. Município: Sombrio, SC. Disciplina: Matemática
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1 PLANO DE AULA 1-IDENTIFICAÇÃO Instituto Federal Catarinense-Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio, SC. Disciplina: Matemática Série: 2º ano Nível: Ensino Médio Professora: Nébia Mara de Souza Tempo previsto: 3,5 horas/aula 2-TEMA: Funções Trigonométricas Subtemas: Função Seno, Função Cosseno, Função Tangente, Função Cossecante, Função Secante, Função Cotangente, Domínio, Imagem e Período das Funções. 3) JUSTIFICATIVA A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados. Mas a Trigonometria não se limita a estudar somente triângulo retângulo, agora a Trigonometria toma proporções ampliadas podendo ser utilizada em varias outras áreas como os fenômenos periódicos, aqueles que se repetem em intervalos regulares, e são encontrados na Música, na Acústica, Eletricidade, Mecânica e nessas áreas as funções trigonométricas são de grande aplicação. 4) OBJETIVOS: Identificar as Funções Seno, Cosseno, Tangente, Cossecante, Secante e Cotangente; Analisar os gráficos das diferentes funções; Determinar o domínio a imagem e o período das funções;
2 Analisar a influência dos parâmetros em cada função; Aplicar os conceitos de função trigonométrica na resolução de problemas; Utilizar os recursos computacionais para analisar o comportamento das funções; 5) CONTEÚDOS ENVOLVIDOS (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula). Funções trigonométricas; Trigonometria; Domínio e imagem Periodicidade das funções. 6) ESTRATÉGIAS: 6.1- recursos: quadro, data show, material impresso técnicas: Aula expositiva e dialogada, utilização de softwares matemáticos e atividades em sala de aula. 7) PROCEDIMENTOS: 7.1- Problematização: Em uma região, em determinado dia, a diferença entre os níveis da maré alta e da maré baixa é 1,4 m, e o intervalo de tempo entre duas marés alta consecutivas, (ou entre duas marés baixas consecutivas) é 12 horas. Em um plano vertical, pode-se imaginar uma circunferência acima do nível do mar e uma haste rígida ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento de Oy, tal que o movimento de sobe e desce da superfície do mar faça com que o ponto P gire sobre a circunferência, conforme mostra a figura.
3 Como você descreveria o movimento das marés nessa região em função do horário t, em hora, nesse dia? Resolução Imaginemos, em um plano vertical, uma circunferência acima do nível do mar e uma haste aguda ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento do eixo Oy, conforme mostra a figura. O subir e descer da maré, que lembra o movimento de um imenso pistão, provoca um movimento circular do ponto P. Supondo esse movimento com velocidade constante no sentido anti-horário, vamos calcular a medida ά do arco AP, em função do tempo t, em hora, em que t = 0 corresponda a um instante em que P passou pelo ponto A (0.7; 0): Medida do arco (rad) Tempo (h) 2π 12 ά t Logo, ά = πt/6 rad Assim, podemos descrever o movimento da maré nesse dia, em função do tempo t, em hora, (0 t 24): - pela ordenada do ponto P; f (t) = 0,7 sen πt/6 rad ou - pela abscissa do ponto P: g (t) = 0,7 cos πt/6 rad Notas: 1º O período p da função f (t) = 0,7 sen πt/6 ou da função g (t) = 0,7 cos πt/6 é dado por p = 2π / π/6 = 12. Esse período, no contexto do problema, chamado de período das marés, é o tempo, em hora, transcorrido entre duas marés altas (ou duas marés baixas) consecutivas. 2º O gráfico da função f (t) = 0,7 sen πt/6, para 0 t 24 é: Interpretando esse gráfico no contexto do problema, concluímos, por exemplo: - A zero hora, a maré estava em seu nível médio. - Às 3 h e às 15 h, a maré estava em nível máximo, 0,7 m acima do nível médio. - Às 9 h e às 21 h, a maré estava em seu nível mínimo, 0,7 m abaixo do nível médio.
4 7.2- Historicização De acordo com relatos de historiadores, em tempos muito distantes, anteriores à era cristã, o interesse do homem pelo movimento dos astros deu origem à Trigonometria, e por séculos esse vínculos permaneceu. Em meados do século XVI, François Viète, advogado frânces dedicado à pesquisa matemática, destacou-se por recorrer sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a trigonometria na resolução de problemas algébricos, contribuindo, assim com o desenvolvimento da Matemática. Todo esse processo culmina com introdução do conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, feita por Leonhard Euler (século XVIII), quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário. Leonhard Euler ( ), matemático mais produtivo de todos os tempos. Foi primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele a notação f(x) para uma função. A representação das relações trigonométricas no círculo de raio unitário levou os matemáticos a estudarem seu comportamento, esboçando-as graficamente. Assim, foram identificadas funções, sendo Gilles Roberval (matemático francês do século XVIII) o primeiro a esboçar a curva do seno. O estudo das funções trigonométricas teve seu ápice com Joseph Fourier, no século XIX, no campo dos movimentos periódicos Operacionalizações da aula Começaremos a aula apresentando a problematização. Logo faremos a historicização. Após começar a explicar o conteúdo das Funções trigonométricas, Seno, Cosseno, Tangente, Secante, Cossecante e Cotangente. Analisar as características da função, domínio, imagem, o período e o gráfico, com o auxilio de um software matemático GeoGebra. Após aplicar uma prova referente o conteúdo trabalhado. GENERALIZAÇÃO De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma: f(x) = a + b. trig (cx d) Em que a, b, c, d são constantes (b 0 e c 0) e trig indica uma das seis funções trigonométricas que serão estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).
5 Função Seno Chamamos de função seno a função f(x) = sen x Gráfico da função seno Para construir o gráfico da função seno vamos construir uma tabela com valores de x da 1ª volta positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 72. Veja o gráfico inicialmente para x [0, 2π] e depois para x IR. Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 72. Como a função f(x) = sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é IR, a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR IR, definida por f(x) = sen x, é a curva chamada senóide,
6 que tem o seguinte aspecto: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 73. Fonte: O domínio dessa função é R e a imagem é Im [-1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário, ou seja: Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1]. Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1 f(x) = sen x é positiva no 1 e 2 quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3 e 4 quadrantes (ordenada negativa) Observe que esse gráfico é razoável, Pois: Quando, 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1. Quando, 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
7 Quando, 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1. Quando, 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0. Periodicidade da função seno Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 73. Observando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores nos intervalos...[-2π, 0], [0, 2π], [2π, 4π],...Daí dizemos que a função seno é periódica. Observe no gráfico que sen x = sen (x = 2π) = sen (x + 4π) =...para todo x IR. Dizemos então que o período da função seno é 2π e indicamos assim: p = 2π. Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal para que ele comece a se repetir. Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 + sen x. Resolução x sen x y = 2 π/ = 3 π = 2 3π/ = 1 2π = 2
8 D(f) = IR; Im (f) = [ y IR/ 1 y 3 ]; p = 2π Analisando o que cada parâmetro interfere na função Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2 + sen x, veremos que ele sofreu um deslocamento de duas unidades para cima. f(x) = sen x De modo geral, ao considerarmos a função do tipo f(x) = a + sen x, o gráfico de f(x) = sen x será transladado para cima (a 0) ou para baixo sendo ( a 0 ) em a unidades. Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 sen x. Resolução x 2 sen x y π/2 1 2 π 0 0 3π/ π 0 0 D(fx) = IR; Im (fx) = [ y IR / -2 y 2 ]; p = 2π
9 Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2. sen x, veremos que ele sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes. Considerando a função do tipo f(x) = b. sen x, o gráfico de f(x) = sen x será dilatado se b 1, ou comprimido se 0 b 1 um número b de vezes. Caso b 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao eixo x, ficando simétrico ao gráfico com b 0. Exemplo 3: Esboçar o gráfico da função f(x) = sen 2x Queremos que os ângulos sejam 0, π/2, π, 3π/2 e 2π; para isso devemos atribuir a x metade desses valores: segue abaixo a tabela. Resolução x sen 2x y π/4 2. π/4 = π/2 1 π/2 2. π/2 = π 0 3π/4 2. 3π/4 = 3π/2-1 π 2. π = 2π 0 D(fx) = IR; Im (fx) = [ y IR / -1 y 1 ]; p = π
10 Ao comparar o gráfico de f(x) = sen x com o gráfico de f(x) = sen 2x, vemos que ele sofreu uma compressão horizontal de duas unidades, enquanto o período foi alterado para π. Considerando o gráfico do tipo f(x) = sen c. x, concluímos que o gráfico de f(x) = sem x será comprimido horizontalmente em c unidades se c 1, porém sofrerá dilatação horizontal se 0 c 1. Além disso, temos que o período é igual a 2π/ c. Função Cosseno Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x Gráfico da função cosseno Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x, inicialmente para x [0, 2π] e depois para x IR. Alguns valores de cos x serão aproximados. Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76. Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.
11 Como a função f(x) = cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é IR, a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR IR definida por f(x) = cos x é a curva chamada cossenóide, que tem o seguinte aspecto: Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76. Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R. Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1]. Período de f(x) = cos x; p = 2π Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1 e 4 quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 2 e 3 quadrantes (abscissa negativa)
12 Observe que esse gráfico é razoável, Pois: Quando, 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0. Quando, 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1. Quando, 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0. Quando, 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1. Exemplo1: Esboçar o gráfico da função f(x) = 2cos x. Resolução: x y 0 2 π/2 0 π -2 3π/2 0 2π 2
13 D(f) = IR; Im (f) = [y IR / -2 y 2]; p = 2π Se compararmos com o gráfico da função f(x) = cos x com f(x) = 2. cos, veremos que ele sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes. f(x) = cos x Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função f(x) = cos x. x cos x y = 5 π/ = 3 π (-1) = 1 3π/ = 3 2π = 5 D(f) = IR; Im = [ y IR / 1 y 5 ]; p =2π
14 Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cos x, podemos observar que ele foi deslocado 3 unidades para cima (a = 3) e dilatado verticalmente 2 vezes (b = 2). Período das funções seno e cosseno Obtemos o período da função f(x) = a + b. sen (cx - d) ou da função f(x) = a + b. cos (cx d), em que a, b, c e d são números reais, com b 0 e c 0, fazendo a medida (cx - d) assumir todo os valores reais associados a uma volta completa da circunferência trigonométrica. Para isso adotamos a fórmula p= 2π / c. Exemplos: Determinar o período das funções. a)y = 3 sen 2x Resolução P = 2π / 2 = π b) y = 2 + 6cos (-4x) Resolução P = 2π / -4 = 2π / 4 = π/2 Papel das constantes a, b, c e d As funções do tipo f(x) = a + b. trig (cx d) têm características que podem ser relacionadas com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados anteriormente. As constantes a e b alteram a imagem da função (valores de y), e as constantes c e d alteram as características relacionadas aos valores de x da seguinte forma:
15 A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a 0, então o gráfico sobe a unidades, e, se a 0, então o gráfico desce a unidades. A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se b 1, então o gráfico dilata, e, se 0 b 1, o gráfico comprime. A constante c altera o período padrão da função trig, ou seja, comprime ou dilata o gráfico padrão na horizontal. Se c 1, f(x) será comprimido horizontalmente em c unidades. Se 0 c 1, f (x) será dilatado horizontalmente em c unidades. A constante d translada o gráfico padrão d/c unidades horizontais. Se d 0, o gráfico translada d/c unidades para a direita, e, se d 0 o gráfico translada d/c unidades para a esquerda. Função Tangente Definimos função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor tg x, desde que x não seja π/2 nem 3π/2 e nenhum de seus respectivos arcos côngruos, isto é: f(x): D IR x f(x) = tg x é a curva chamada tangentóide. Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cos x = 0 Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = R ou. Período de f(x) = π
16 Essas retas verticais tracejadas nesses valores são chamadas de assíntotas, ou seja, retas cujo ponto de intersecção com o gráfico tende ao infinito. ( ) ( ) ( ) Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: f(x) = tg x é positiva no 1 e 3 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva). f(x) = tg x é negativa no 2 e 4 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa). As Funções Cossecantes, Secantes e Cotangentes A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x, assim: cossec x = 1/ sen x, para sen x 0 sec x = 1 / cos x, para cos x 0 cotg x = cox / sen x, para sen x 0. Quando sen x 0 e cos x 0, podemos ainda escrever cotg x = 1 / tg x. Exemplo: Sabemos que sem π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = 3 / 2 e tg π / 6 = 3 / 3. Podemos então calcular: a) Cossec π / 6 = 1 / ½= 2 / 1 = 2 b) Sec π / 6 = 1 / 3/2 = 2 / 3= 2 3 / 3 c) Cotg π/6 = 3 / 2 / ½ = 2 3 / 2 = 3 ou cotg π / 6 = 1 / 3 / 3 = 3 / 3 = 3 3 / 3 = 3 Funções Cossecantes Denomina-se função cossecante a função definida por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para todo x IR tal que sen x 0. Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno. Definição:.
17 Logo, o domínio da função cossecante é Im (f) = [ y IR y -1 ou y 1 ]. O período = 2π Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 81. Função Secante Denomina-se função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1/cos x, para todo x IR tal que cos x 0. Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno. Definição:. Logo, o domínio da função secante é. Im (f) = [ y IR y -1 ou y 1 ]. Período = 2π
18 Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 81. Função Cotangente Denomina-se função cotangente a função definida por f(x) = cotg x ou f(x) = cos x / sen x, para todo x IR tal que sen x 0. Sinal da função: Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno. Logo o domínio da função: D(f) = [ x IR x kπ, com k Z] Im (f) = IR Período = π
19 Exercícios de fixação do conteúdo estudado Construa e analise os gráficos das funções abaixo dando o seu domínio, sua imagem e seu período. a) f(x) = 3. sen x Resolução x sen x 3. sen x y = f(x) = 0 0 π / = 3 3 π = 0 0 3π / (-1) = π = 0 0 Gráfico Podemos verificar a função f(x) = 3. sen x na linha azul D = IR, Im = [-3, 3], P = 2π Na linha vermelha temos a função sen = x, podemos verificar: D = IR, Im = [-1, 1], P = 2π b) f(x) = 1 + cos x Resolução x cos x 1 + cos x y = f(x) = 2 2
20 π / = 1 1 π (-1) = 0 0 3π / = 1 1 2π = 2 2 Gráfico Analisando a linha azul que é a f(x) = 1 + cos x D = IR, Im = [ 0, 2 ], P = 2π Analisando a linha vermelha temos f(x) = cos x D = IR, Im = [ 1, -1 ], P = 2π 7.4- Conclusões da aula (atividades e sugestão de atividade). A aula será concluída com a aplicação de uma avaliação. AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA NOME:, DATA / / 1-Construa o gráfico da função y= 2 sen x, dando o domínio, a imagem e o período. Resolução: Observando o gráfico, temos D = IR, Im = [-2, 2] e p = 2π x sen x 2 sen x y
21 π/ π π/ (-1) -2 2π Analise as afirmações abaixo, colocando V para as afirmações verdadeira e F para as afirmações falsas, justificando as falsas. ( V ) Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal para que ele comece a se repetir. ( V ) Na circunferência trigonométrica o raio é sempre unitário. ( F ) x f(x) = tg x é a curva chamada tangenóide. É Tangentóide ( F ) Como a função cossecante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função cosseno. Correto é inversa da função seno e os mesmo sinais da função seno. 3-Encontre a soma das proposições corretas: 01. A introdução do conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, foi feita por Leonhard Euler, quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário. Foi o matemático mais produtivo de todos os tempos e primeiro a tratar seno e cosseno como funções
22 02. A tg x é positiva no 1 e 4 quadrantes e negativa no 2 e 3 quadrantes. 04. Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno. 08. O período da função y = sen 4x = π/2. Soma = 13 4.Identifique os sinais das funções abaixo conforme o quadrante: Seno no 1º, cosseno no 2º, tangente no 3º e 4º 8- Avaliação A avaliação permite ao professor acompanhar se os alunos compreenderam os conteúdos, a partir da capacidade de aplicação dos mesmos na resolução de problemas, assim como as habilidades complementares adquiridas pelo aluno, considerada necessária para sua formação acadêmica e de cidadão. 8.1 Instrumentos de avaliação A avaliação será realizada através de uma avaliação (prova). Será analisado na prova cinco questões onde cada uma terá um peso totalizando 10,0 pontos.
23 9- Referências bibliográficas Acessado em 21/08/2014. GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto, Matemática completa. 2º ano Ensino Médio.2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, XAVIER, Cláudio & BARRETO, Benigno. Matemática Aula por Aula. 2º ano Ensino Médio. 2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, PAIVA, Manoel. Componente Curricular: Matemática, 2º ano Ensino Médio, 1ª Edição, São Paulo: Editora Moderna, 2004.
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