ATIVIDADE DE REVISÃO E FIXAÇÃO RELAÇÕES MÉTRICAS NO

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1 Aluno(a): Educador: PEDRO EDUARDO MENDES Componente Curricular: Ano/Turma: 9º Ano ( ) A ( ) B ( ) C Turno: ( ) Matutino Data: / /18 ATIVIDADE DE REVISÃO E FIXAÇÃO RELAÇÕES MÉTRICAS NO AS RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Vamos, inicialmente, identificar esses elementos considerando o seguinte triângulo retângulo: Agora, podemos estabelecer relações entre essas medidas, demonstradas a partir da semelhança de triângulos e baseadas nas seguintes propriedades: Em qual quer triângulo retângulo, a altura relativa á hipotenusa divide o triângulo em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.

2 Agora, vejamos sessas relações: 1ª Relação: considerando os triângulos HBA e ABC a seguir. H A (ângulos retos) B B (ângulo comum) HBA ~ ABC Daí, tempos a proporção c a = n c Dessa proporção, podemos escrever : c c = a n => c 2 = an Considerando estes triângulos HCA e ABC, temos: H Â (ângulos retos) C (ângulo comum) HBA ~ ABC Daí, tempos a proporção b a = m b Dessa proporção, podemos escrever : b b = a m => b 2 = am Fica assim a demonstrada a 1ª relação métrica. EM QUALQUER TRIÂNGULO, O QUADRADO DA MEDIDA DE UM CATETO É IGUAL AOPRODUTO DA MEDIDA DA HIPOTENUSA PELA MEDIDA DA PROJEÇÃO DESSE CATETO SOBRE A HIPOTENUSA. 2ª Relação: Consideramos os triângulos HBA e HAC

3 H 1 H 2 (ângulos retos) A 1 B ( complemento do ângulo B ) HBA ~ HAC Daí, tempos a proporção h m = n h Dessa proporção, podemos escrever : h h = n m => h 2 = mn Fica assim a demonstrada a 2ª relação métrica. EM QUALQUER TRIÂNGULO RETÂNGULO, O QUADRADO DA MEDIDA DA ALTURA RELATIVA À HIPOTENUSA É IGUAL AO PRODUTO DAS MEDIDAS DOS SEGMENTOS QUE ESSA ALTURA DETERNINA SOBRE A HIPOTENUSA ( QUE SÃO AS PROJEÇÕES DOS SOIS CATETOS A HIPOTENUSA). 3ª RELAÇÃO: Da 1ª relação métrica, temos que b 2 = am e c 2 = an. Multiplicando membro a membro essas duas igualdades, temos: b 2 c 2 = am an b 2 c 2 = a² m n sendo que m n = h 2 b² c² = a² h² (bc) 2 = (ah) 2 bc = (ah)² bc = ah Fica assim a demonstrada a 3ª relação métrica.

4 EM QUAL QUER TRIÂNGULO RETÂNGULO, O PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS É IGUAL AO PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS É IGUAL AO PRODUTO DA SOMA DA MEDIDA DA ALTURA RELATIVA À HIPOTENUSA (QUE SÃO AS PROJEÇÕES DOS DOIS CATETOS SOBRE A HIPOTENUSA) 4ª RELAÇÃO Vamos verificar, agora, a demonstração algébrica do teorema de Pitágoras. Como já vimos, da1ª relação, temos que b 2 = am e c 2 = an. Adicionando membro a membro essas duas igualdades, temos: b 2 + c 2 = am + an => am + an = a(m + n) => b 2 + c 2 = a 2 ou a 2 = b 2 + c 2 Logo de acordo com a demonstração está comprovado a 4º relação métrica: EM QUALQUER TRIÂNGULO RETÂNGULO, O QUADRADO DA MEDIDA DA HIPTENUSA É IGUAL A SOMA DOS QUADRADOS DAS MEDIDAS DOS CATETOS. Exemplos dessas relações com aplicações. No triângulo retângulo, determine as medidas a, h, b e c indicadas, considerando que as medidas da figura são dadas e centímetros.

5 No triângulo retângulo a seguir, vamos determinar as medidas de a, b, e m indicadas.

6 Exemplos de resolução: Escreva toda as relações métricas que você pode formar com as medias indicadas no triângulo retângulo Qual é a relação métrica que você pode formar envolvendo as medidas t, x e y indicadas no triângulo retângulo abaixo? Determine as medidas m e n indicadas neste triângulo retângulo:

7 Determine as medidas b e h indicadas no seguinte triângulo retângulo: Em um triângulo retângulo, os catetos medem 7 cm e 24 cm. Determine a medida da : a) hipotenusa b) altura relativa à hipotenusa a 2 = a 2 = a 2 = 625 a = 625 a = 25 cm ah = bc 25 h = h = 168 h = h = 6,72 cm

8 Determine as medidas a e n indicadas no triângulo retângulo abaixo. h 2 = m n 15 2 = 9 n 225 = 9n = n n = 25 a = n + m a = a = 34 As medidas indicadas no triângulo retângulo ABC da figura são tomadas em milímetros. Determine as medidas a, h, b e c que estão indicadas. h 2 = m n h 2 = h 2 = 2304 h = h = 48 c 2 = a n c² = c 2 = 3600 c = 3600 c = 60 a = n + m a = a = 100 b 2 = a m b² = b 2 = 6400 b = 6400 b = 80 A educação tem raízes amargas, mas os seus frutos são doces. Aristóteles