Escola Secundária de Lousada. Apresentação dos Conteúdos e Objetivos para o 1º Teste de Avaliação de Matemática

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1 Escola Secundária de Lousada Matemática do 9º ano FT 7 Data: / / 01 Assunto: Trigonometria I Apresentação dos Conteúdos e Objetivos para o 1º Teste de Avaliação de Matemática Data da Realização : / 11/ 01 Conteúdos Equações do grau: -Incompletas. -Completas. -Fórmula resolvente. Trigonometria Material necessário: material de escrita (esferográfica de cor azul ou preto), compasso e régua e máquina de calcular científica. Não é permitido o uso de tinta correctora. Objetivos -Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para linguagem matemática. - Operar com polinómios. - Aplicar os casos notáveis da multiplicação, na resolução de equações de º grau. - Decompor um binómio ou trinómio em fatores, com vista à resolução de equações. - Resolver equações do grau, procurando utilizar o processo mais adequado a cada situação (lei do anulamento do produto, fórmula resolvente, noção de raiz quadrada, artifício do quadrado do binómio). -Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma equação, no contexto de um problema. - Escrever equações a partir da soma e do produto das soluções. - Resolver problemas. - Determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo. - Resolver problemas que envolvam o cálculo das razões trigonométricas Deves também: - Dominar conhecimentos lecionados em anos anteriores, como é o caso do Teorema de Pitágoras, Cálculo de Áreas e de Volumes, Semelhança de figuras e triângulos, Resolução de Sistemas de Equações, utilização de números escritos em Notação Científica, operar com Potências de Expoente Inteiro e operar com valores exatos e aproximados. - Resolver problemas de estratégia e comunicar, por escrito, as estratégias e os procedimentos usados na resolução de problemas. Em todas as questões, deves apresentar todas as justificações, explicações e os cálculos que sustentem a tua resposta. Por onde deves estudar: caderno diário, fichas de trabalho, manual adotado e em cujo site contém uma Sala de Estudo com inúmeros materiais importantes. Preparação para o Teste de Avaliação 1. Considera o paralelepípedo seguinte Determina AC ˆ B e AC ˆ D, com c.d. 1.. Calcula o comprimento, aproximado às unidades, de [ DC ].. Resolve as equações seguintes, sem utilizares a fórmula resolvente. (A) 8 = x 1 (B) 6x + 1 = 1x (C) 4x x = 0 (D) 9a 1 = 0. Um pentágono regular está inscrito numa circunferência de centro O e raio 0 cm. AB. [ OM ] é a altura do triângulo [ AOB ] relativa à base [ ].1. Determina o perímetro do pentágono. Apresenta a resposta com aproximação às décimas do centímetro... Calcula a área da parte colorida da figura. Escreve o resultado em notação científica. 1

2 4. Escreve uma equação do º grau que tenha como soluções: e, utilizando dois processos diferentes e, utilizando dois processos diferentes. 5. Na figura seguinte está representado um retângulo [ ABCD ]. Os vértices A e D são pontos da reta real. Sabe-se ainda que: O ponto E é um ponto da reta real; AB = 1, BC = 4, AE = AC ao ponto A corresponde o número ( 1 5) α 5.1. Determina o número que corresponde ao ponto E. 5.. Determina a amplitude do ângulo α, com c.d. 6. Considera a equação 5x x 5 = Verifica se o número é solução da equação. 6.. Determina a outra solução da equação. 7. O esquema abaixo representa parte da grua da figura Justifica que o triângulo [ CDE ] é isósceles. 7.. Apresenta, em metros, o valor de BC, arredondado às décimas. 7.. Para reparar uma avaria na grua, é necessário ligar os pontos D e E através de um cabo de aço. Para o efeito existe um cabo com 5 metros de comprimento. Verifica se esse cabo tem comprimento suficiente para ligar os pontos D e E. 8. Um dos canteiros de flores de um jardim municipal de uma certa cidade tem a forma retangular, conforme se ilustra na figura Sabendo que a sua área é de 00 m, determina as suas dimensões. 8.. No mesmo jardim municipal, estão a pensar construir outro espaço, mas agora com a forma triangular, mas com a mesma área. Determina a altura aproximada às décimas do triângulo. 9. O trapézio representado na figura ao lado é isósceles. Tendo em conta os valores assinalados, pode afirmar-se que o valor de z é: (A) (B) (C) 1,5 1c. d. 1 (D) ( )

3 10. Utilizando o conhecimento da soma e do produto das raízes de uma equação de º grau resolve mentalmente as equações seguintes e explica a tua resposta. (A) x 5x + 6 = 0 (B) x + x 40 = Observa a figura Mostra que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes Determina, em centímetros, a medida de AD Determina, em centímetros, a medida de AB Determina a amplitude do ângulo α. α. 1. Numa equação, = ( 4 ) Quantas soluções tem a equação? 1.. Escreve a equação na forma canónica. 1. Na figura está representado um triângulo retângulo [ ABC ] Calcula a amplitude, em graus, do ângulo α. Apresenta o resultado aproximado às unidades. 1.. Determina o volume do sólido obtido pela rotação de amplitude 60º do triângulo [ ABC ], em torno do eixo: BC; 1... AB. 14. Resolve a seguinte equação ( 5) = 5x( x ) x. 15. Observa o trapézio retângulo ao lado Calcula o perímetro do trapézio retângulo (cm), atendendo aos dados da figura Determina a amplitude do ângulo β ( duas c.d.). 9 β Considera a equação de º grau 18x + bx + c = Determina b e c de modo que a equação tenha como soluções e A figura representa o hall quadrado de um hotel, com 1 m de lado, coberto a mármore banco e preto. Sabe-se que a área ocupada pelo mármore branco é sete vezes a área ocupada pelo mármore preto. Calcula x. 18. Encontra dois números diferentes, sabendo que a sua soma é 1 e o seu produto é 104.

4 19. Determina os valores reais de k para os quais 5 é solução da equação em x k + ( x + ) k = Na figura estão representados um quadrado, um triângulo retângulo e a reta real na qual foram marcados dois pontos A e B Atendendo às construções, determina as abcissas dos pontos A e B. α 1. Utilizando a fórmula resolvente, resolve as equações: (A) ( + x )( x) = x + 8 (B) 1 4 ( x 1) = x = 9 + (C) ( x x) 0. Observa a seguinte imagem onde está representada a Terra e a Lua. Um observador, na Terra, colocado no ponto B vê a Lua (L), no horizonte. Sabe-se que: - o raio da Terra CB 6400km ; - o raio da Lua 1700km. - B L C = 1 º.1. Determina a distância do observador ao centro da Lua: BL. Apresenta o resultado em notação científica. m. Para que valores de m a equação x mx + = 0 admite uma solução dupla? 4 4. Na figura ao lado [ ABCD ] é um losango cujos lados têm comprimentos iguais à diagonal menor Calcula a área do losango para x = 4cm. Apresenta o valor exacto. 4.. Mostra que a área A do losango é dada pela fórmula x A =. 5. Resolve a equação 5 x x =, simplificando as soluções, o mais possível

5 6. O número de ouro phi (φ ) é um número irracional, como o número pi, por serum número cuja dízima é infinita não periódica. Este número tornou-se célebre pela utilização dada por pintores e arquitectos nas suas obras desde a antiguidade. O número de ouro é a solução positiva da equação φ φ 1 = Prova que 1 φ = ( 1 + 5). 7. Na figura 6 está representado um esquema da piscina que a mãe da Marta comprou para colocar no jardim. - A figura 7 representa um esquema da base da piscina. - Na figura 6, [ KL] ABCDEFGHIJ é um prisma regular e BH = 1, 5m. - Na figura 7, [ ABCDEF ] é um hexágono, BC = m e OM m =. α 7.1. Calcula, em metros cúbicos, a capacidade da piscina. Apresenta o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais. 7.. Calcula a área total da piscina. 7.. Sendo α a amplitude do ângulo BOC, determina cos α. 8. Um triângulo tem de área 15 cm. A base e a altura representam-se, em centímetros, pelas expressões x 8 e x, respectivamente. Determina a base e a altura do triângulo. 9. Fatoriza os polinómios seguintes: (A) 1 16 x = (B) + x + x = (C) x xy = (D) 5x = (E) x + x = (F) 100x = Se os dois lados do triângulo medirem a + b e a b, quanto deve medir o terceiro lado para que o triângulo seja rectângulo e tenha este terceiro lado como hipotenusa? 5

6 1. Na figura está representada uma vela decorativa coma a forma de uma pirâmide reta, quadrangular regular. A vela é constituída por quatro camadas de cera de cores diferentes e todas coma a mesma altura. Sabe-se que: - a vela tem 1 cm de altura; - a área da base é 6 cm, 1.1. Determina a quantidade de cera verde que há na vela, em centímetros cúbicos, antes desta começar a arder. 1.. A seguir está representada uma planificação de uma pirâmide com as mesmas dimensões da vela. Determina, com duas casas decimais. o valor do ângulo α.. Determina o número cujo triplo adicionado ao dobro do seu quadrado é 65.. Sendo a = 5 e b =, calcula: (A) a b (B) b a (C) ( ab ) (D) ( a + b) ab + 4. Considera as equações: (A) 11 6 = 0 x (B) ( x + 5)( x 1) = 0x 4.1. Indica se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes justificando as tuas respostas. 1- A equação (B) é completa. - O período da dizima da solução positiva obtida na equação (A) é As soluções obtidas na equação (B) são números irracionais. 4- O binómio discriminante da equação (A) é = Por ser um número grande, a equação tem mais do que duas soluções reais. 5. Num triângulo [ ABC ], rectângulo em A, inscreveu-se, da forma que a figura sugere, o quadrado [ AMNO ]. A área do quadrado [ AMNO ] é igual a 5 cm. Se o cateto [ AB ] mede 9 cm, quanto mede o cateto [ AC ]? 6. Resolve as equações de º grau, utilizando a fórmula resolvente, apenas quando for rigorosamente necessário. (A) x 00 = 0 (B) x 8x = 16 (C) x = x (D) x + x 6 = 0 7. Um losango tem de área 16m. Sabendo que a diagonal maior é o dobro da diagonal menor, determina com aproximação às centésimas o valor do perímetro do losango. 6

7 8. O topo de um prédio com 5 metros de altura é visto dos pontos A e B segundo ângulos de elevação de 6º e 7º Qual é a distância entre os pontos A e B? (Apresenta o resultado aproximado às centésimas e nos cálculos intermédios conserva três c.d.) 9. Determina a área de um triângulo [ ABC ] semelhante a um triângulo [ ] cateto tem 1 cm e a hipotenusa 9 cm. O lado maior do triângulo [ ABC ] tem 7,5 cm. DEF rectângulo, em que um 40. A área do retângulo é 5 cm. Qual é o valor de x? (A) 7cm (B) 9 cm (C) 10 cm (D) 0 cm x-5 x- 41. Um castelo está cercado por um fosso, cheio de água, sendo a entrada possível através de uma ponte levadiça com 4 m de comprimento (que na horizontal tapa o fosso) Observa a figura e calcula: A profundidade do fosso A altura h da muralha do castelo. 4. O produto das raízes da equação 7x = x é: (A) (B) (C) 7 (D) 4. Observa a figura ao lado: 4.1. Sabendo que o triângulo [ABC] é retângulo em B, qual das seguintes opções representa o senα? (A) (B) (C) (D) 7

8 44. Considera, em R, a equação: x x 5 = Determina o valor do binómio discriminante. Quantas soluções tem a equação? 45. Na figura está representado um cone de revolução, gerado pela rotação do triângulo AC, cuja base coincide com o círculo máximo rectângulo [ ABC ] em torno do cateto [ ] de uma semi-esfera de raio igual a cm. ^ 45.1.Sabendo que ABC =60º, determina o volume total da figura, com a aproximação às centésimas. 46. Resolve as seguintes equações, sem utilizares a fórmula resolvente: x x = : (A) = x 6 (A) ( ) 9 ( ) x + 1 = y 47. Classifica o seguinte sistema de equações 1 quanto ao número de soluções. y = x + y (A) Impossível. (B) Possível e indeterminado. (C) Possível e determinado. (D) Nenhuma das respostas anteriores. 48. Sabe-se que o volume de uma pirâmide quadrangular regular é aresta da base mede: 5 dm e que a sua altura é 7 dm. A (A) 7 dm (B) 6 cm (C) 5 dm (D) 6 dm 49. Escreve uma equação de º grau cujas soluções sejam e A peça ao lado, feita de ferro maciço, é constituída por um cilindro ao qual se extraiu um cone cujo vértice coincidia com o centro de uma das bases do cilindro e cuja geratriz media 0 cm. Sabendo que cada cm de ferro pesa 7,8g de massa, determina a massa da peça em kg. Apresenta todos os cálculos que efectuares e indica o resultado arredondado às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. 51. Resolve as seguintes equações: x x = ( x 1) ( x 1) = x + 4 = x x + 4 x + 4x = x ( ) 8

9 5. Na figura A está representada uma bacia e na figura B está representado um cone. A parte da figura B que está colorida serviu de base para a construção da bacia. A bacia tem 0 cm de altura, o fundo tem 0 cm de diâmetro e a parte superior tem 50 cm de diâmetro. Seja h a altura do cone maior, determina: 5.1. a altura do cone maior, explicando como chegaste à resposta; 5.. o volume da bacia, apresentando o resultado aproximado às centésimas. 5. Resolve, pelo método que te parecer mais adequado as seguintes equações: (A) 147 = 0 x + x x 1 x ( )( ) (B) = (C) ( x 5)( x + 5) + ( x 6) = x( x 5) (D) ( x + 1) = x( x + 9) 54. Sabendo que a área do trapézio seguinte tem 100 cm de área, determina o valor de x. 55. Resolve as seguintes equações: (A) x 1x + 4 (B) x 1 x x + x + = + (C) x 5x + 1 = Resolve as seguintes equações do.º grau usando a Lei do Anulamento do Produto: a) x x e) + = 0 ; b) a a = 0 ; c) x x + 1 = 0 ; f) x 9 = 0; d) 4x 1x = ; y = ; g) ( x ) x ( x ) = 0. 9