3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE CONE 1 TRONCO DE CONE 2 SEMELHANÇA ENTRE OS CONES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3.3 Área total. 3.

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL IX 1 TRONCO DE CONE Chamaremos de tronco de cone de bases paralelas a porção do cone limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer deste cone. A secção transversal é a interseção entre o cone e um plano paralelo à sua base. Como o plano é paralelo à sua base, é obtido um cone menor, que é semelhante ao cone maior. Isso significa que os raios dos doiss cones (assim como as suas alturas) são proporcionais entre si. O tronco de cone é a diferença entre o cone maior e o cone menor. 3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE CONE 3.1 Área lateral A área lateral de um tronco de cone é a diferença entre a área lateral do cone maior e a área lateral do cone menor Seja a geratriz do tronco, que é a diferença entre a geratriz do cone maior e a geratriz do cone menor: lateral De e, é possível mostrar que a área do tronco de cone é dado pela expressão: 3.2 Área das bases As bases de um tronco de cone são a base do cone maior (que tem área ) e a base do cone menor (que tem área ) 3.3 Área total Figura 1 tronco de cone 2 SEMELHANÇA ENTRE OS CONES Sejam,,,, o volume, a área da base, a altura, o raio e a geratriz do cone maior, e,,,, o volume, a área da base, a altura, o raio e a geratriz do cone menor. Seja a razão de semelhança entre o cone menor e o maior. Então é a razão entre comprimentos correspondentes (alturas, raios, geratrizes, etc). Logo: A área total de um tronco de cone é a soma da sua área lateral com as áreas duas bases: 3.4 Volume O volume de um tronco de cone é a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor, isto é: ( ) ( ) Seja a altura do tronco, conforme a figura 1. Então, a altura do tronco é a diferença entre a altura do cone maior e a altura do cone menor: De e, é possível mostrar que o volume do tronco de cone é dado pela expressão: ( ) ( ) [ ], onde é a altura do tronco, é a área da base maior, é a área da base menor, é o raio da base maior e é o raio da base menor. 1 Geometria CASD Vestibulares

2 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4. (UERJ - 11) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo. 1. (ENEM - 13) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros. a) b) c) d) 5. (UFRGS - 08) A areia contida em um cone fechado, de altura, ocupa da capacidade do cone. 2. (UECE - 08) Um cone circular reto, cuja medida da altura é, é seccionado, por um plano paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da altura é e um tronco de cone, conforme a figura. Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a figura, a altura do tronco de cone ocupado pela areia, em centímetros, é a) b) c) d) e) A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é: a) b) c) d) 6. (UFSM - 06). Na hora do recreio, Susanita comprou um copo de sorvete com a forma de um cone com altura de e raio da base de. Para enchêlo com quantidades iguais de sorvete de creme e de chocolate, a altura atingida pelo primeiro sabor deve ser 3. (UFC - 09) Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano paralelo a sua base, cuja distância ao vértice do cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois sólidos: um cone circular reto e um tronco de cone. A relação é igual a: a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 2

3 Nível II 7. (ESPCEX (AMAN) - 13) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base e altura, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será 10. (UFU - 12) Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir. a) b) c) d) e) 8. (ITA - 12) Um cone circular reto de altura e geratriz é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta ( ) cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a a) b) c) d) e) 9. (UERJ - 10) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a. O nível desse líquido tem de altura. Considerando que esse balde esteja com de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) e, consequentemente, com um volume de água igual a litros, qual é o valor (em ) do raio da base maior? a) b) c) d) 11. (ENEM PPL - 12) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos: - copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a e e altura igual a ; - copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a e e altura igual a Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a e raio da base de comprimento igual a centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água. Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a e e a altura é, é dado pela expressão: O raio da base dessas canecas deve ser tal que seja, no mínimo, igual a Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendose a solução aquosa do hipoclorito de sódio a. Esse recipiente tem altura, em centímetros, equivalente a a) b) c) d) e) a) b) c) d) 3 Geometria CASD Vestibulares

4 12. (UNESP - 08) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de de altura e base com de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases sao círculos paralelos, de raios medindo e, respectivamente, e altura, como mostrado na figura. 14. (UNESP - 14) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo e de um tronco de cone de altura e raios das bases medindo e. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura e raios das bases medindo e. Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de litros de água por dia. Considerando a aproximação, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para banhos, ou seja, encher completamente vezes aquele chuveiro manual. Dado: litro. 13. (UFSCAR - 06) A figura 1 indica a jarra de um espremedor de frutas, e a figura 2 sua vista superior (sem a alça). Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura e raios das bases e é e dado que determine o raio aproximado da base do copo, em função de, para que a capacidade da taça seja da capacidade do copo. 15. (UDESC - 13) Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto são, respectivamente,, e, então o volume do cone original é: a) b) c) d) e) Sabe-se que a jarra é cilíndrica, com parte central na forma de um tronco de cone, e que as três circunferências indicadas na vista superior são concêntricas. a) Qual é a área, em, da superfície lateral da parte externa da jarra? (Desconsidere a alça.) b) Qual é o volume máximo de suco, em, que a jarra pode conter? CASD Vestibulares Geometria 4

5 16. (UFMG - 12) Um funil é formado por um tronco de cone e um cilindro circular retos, como representado na figura abaixo Sabe-se que,, e. Considerando essas informações, a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do corpo do funil. b) Calcule o volume total do funil. c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a receber água a. Sabendo que a vazão do funil é de, calcule quantos segundos são necessários para que o funil fique cheio. 17. (UDESC - 12) Um recipiente de uso culinário com de altura possui o formato de um tronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a metade da sua altura. 18. (UFG - 13) Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com de altura e diâmetros de na base e no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo. De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus comprimentos. Dado: 19. (UNICAMP - 06) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm e de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado. b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur. 20. (ITA - 14) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles em torno de uma reta paralela à base que dista do vértice e da base. Se o lado mede, o volume desse sólido, em, é igual a Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a e que o diâmetro de sua base é igual a, classifique as proposições abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa. a) b) c) d) e) ( ) O volume de água no recipiente corresponde à quarta parte da quantidade necessária para enchê-lo totalmente. ( ) Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de por segundo, então o tempo necessário para esvaziá-lo será superior a segundos. ( ) Para aumentar do nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais de água. A alternativa correta, de cima para baixo, é: a) V F F b) F V F c) F V V d) F F V e) V V F 5 Geometria CASD Vestibulares

6 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Note que cada uma das duas figuras possui duas bases paralelas, sendo uma base maior circular e uma base menor circular 5. Com o vértice do cone voltado para cima, sejam, o volume e a altura do cone maior,,, o volume e a altura do cone menor e o volume do tronco de cone. Como é o volume da areia (que ocupa da capacidade do cone maior) 2. Sejam o volume do cone maior e o volume do cone menor. Como a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: ( ) ( ) ( ) 3. Seja o cone circular reto original, a altura do cone maior e a altura do cone menor. Então. Como a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: Como a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas e como : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A altura do tronco é a diferença entre a altura do cone maior e a altura do cone menor: 4. Sejam, o volume e a altura do cone maior, e,, o volume e a altura do cone menor. Como todas as geratrizes desse sólido foram divididas ao meio pelo nível do líquido, a altura também será dividida ao meio. Logo,. Como a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: ( ) ( ) ( ) O volume submerso é a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor A razão entre o volume submerso e o volume do cone maior é: 6. Sejam o volume do cone maior e o volume do cone menor. Para encher o copo com quantidades iguais de sorvete de creme e de chocolate, o volume dos dois sorvetes deve ser o mesmo. Como o volume do sabor de cima é e o volume do sabor de baixo é,. Além disso, note que a altura do cone maior é e altura do cone menor é. Como a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Sejam o volume do cone maior,, o volume e a altura do cone menor inicial formado pela água e, o volume e a altura do cone menor final formado pela óleo. Então e.na situação inicial, o cone menor é formado pela água: ( ) ( ) ( ) Na situação final, o cone menor é formado pelo óleo: ( ) CASD Vestibulares Geometria 6

7 8. A figura do problema é a seguinte: 9. Sejam, o volume e a altura do cone maior, e,, o volume e a altura do cone menor. Dessse modo,. Como a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: ( ) ( ) Seja o volume do soluto hipoclorito de sódio. Inicialmente, o volume da solução é e a porcentagem em volume do soluto é, logo Após a diluição, o volume da solução é porcentagem em volume do soluto é e a, logo Na figura, tem-se que a altura do cone maior é, a geratriz do cone maior é raio da base do cone maior é e a altura do novo cone é., o Dividindo por, tem-se: Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo De e, tem-se: O volume do cone maior é: ( ) ( ) 10. Como litro equivale a, o volume de água é. Seja ainda o volume do balde. Como da capacidade do balde está ocupada com água, tem-se: ( ). Note que e. Da fórmula do volume de um tronco de cone, tem-se: O volume do cone menor é: ( ) Como os dois cones são semelhantes, tem-se: ( ) ( ) A distância do plano à base do cone original é : 7 Geometria CASD Vestibulares

8 11. Sejam,,, o raio da base maior, o raio da base menor e a altura do copo grande, e,, o volume e a altura da caneca. Então,, e. Da fórmula do volume de um tronco de cone, tem-se: 14. Sejam o volume do tronco de cone da taça, o volume do cilindro da taça, o volume da taça e o volume do copo. Então. Como o tronco d cone e o cilindro da taça têm altura igual a : Como a caneca deve substituir o copo grande, o seu volume deve ser no mínimo o volume do copo grande: Como o copo tem altura igual a : 12. Sejam,,, o volume, o raio da base maior, o raio da base menor e a altura do tronco de cone,, o volume e a altura do cilindro e o volume do chuveiro. Então,,,. Logo, para encher vezes o chuveiro manual, são necessários litros. Como em cada dia há um desperdício de litros, o número de dias de gotejamento necessários é 13. a) Sejam,, a área da superfície lateral da parte externa, o raio da parte externa e a altura da jarra. Então e Lembre-se que o raio da base do copo é b) Sejam,,, o volume, o raio da base maior, o raio da base menor e a altura do tronco de cone, o volume do cilindro e o volume máximo de suco. Então,, CASD Vestibulares Geometria 8

9 15. Sejam a altura do tronco, o raio da base maior do tronco, o raio da base menor do tronco e a geratriz do tronco. A figura do problema é a seguinte: 16. a) Sejam a altura do tronco, o raio da base maior do tronco, o raio da base menor do tronco e a geratriz do tronco. A figura do problema é a seguinte: Seja a projeção ortogonal de sobre. Então, Seja a projeção ortogonal de sobre. Então,, Usando Pitágoras no triângulo retângulo : Usando Pitágoras no triângulo retângulo : O volume do tronco de cone é: Seja a altura do cone original. Então a altura do cone menor é. Então: b) O volume do cilindro é: O volume do funil é: Seja o volume do cone original. Então, tem-se: c) Como o funil começa a receber água a e tem uma vazão de, ele é enchido com uma taxa de. Como, a capacidade do funil é Aplicando uma regra de três simples, tem-se que: 9 Geometria CASD Vestibulares

10 17. A figura do problema é a seguinte: Afirmativa III) Na figura abaixo, sejam,, tais que. Logo, Afirmativa I) Como a altura do recepiente é e a sua geratriz é, tem-se que e. Como o diâmetro da base do recepiente é, tem-se que. Usando Pitágoras no triângulo retângulo : Além disso, como é base média do trapézio : Após aumentar do nível de água, o volume de água é: O volume do recepiente é: Assim, é necessário acrescentar mais de água para aumentar do nível de água. Logo, a afirmativa III é falsa. 18. A figura do problema é a seguinte: Como o recepiente está com água até a metade da sua altura, tem-se que Além disso, como é base média do trapézio : O volume do recepiente é: Como os diâmetros são na base e no topo, os raios são na base e no topo. Logo, o comprimento da base maior é: O volume necessário para preencher o recepiente totalmente é Como os comprimento do arco entre dois pontos consecutivos que representam os fios é no máximo, o número mínimo de fios é. Como esse número é inteiro, o número mínimo é Logo, a afirmativa I é falsa Afirmativa II) Se á agua do recepiente for retirada a uma taxa constante de por segundo, o tempo necessário para esvaziá-lo é segundos. Mas Logo, a afirmativa II é verdadeira O comprimento de cada fio é o comprimento da geratriz (que mede destacada na figura. Note que o cateto horizontal do triângulo retângulo destacado é. Usando Pitágoras nesse triângulo: Como são fios de comprimento cada, a soma total dos seus comprimentos é CASD Vestibulares Geometria 10

11 19. a) Como a planificação da superfície lateral de um cone é um setor circular, a planificação da superfície lateral de um tronco de cone (que é a diferença entre um cone maior e um cone menor) é um setor de uma coroa circular (que é a diferença entre um setor circular maior e um setor circular menor), ilustrado abaixo: 20. Seja o ponto médio de. A figura bidimensional do problema é a seguinte: A figura tridimensional do problema é a seguinte: Na figura acima, é o vértice do cone maior (e do cone menor), é a geratriz do cone menor, é a geratriz do cone maior, é o perímetro da base do cone menor, é o perímetro da base do cone maior e a área do revestimento (que é a área lateral do tronco de cone) é a área hachurada. Como a base menor tem de diâmetro e a base maior tem de diâmetro, temse que e. Como os setores circulares e são semelhantes, tem-se: Note que esse sólido é a diferença entre o cilindro de raio da base e altura e dois troncos de cone de raio maior, raio menor altura No triângulo retângulo, tem-se: Na figura acima, pode-se ver que para cortar um novo tecido de revestimmento do abajur, deve-se demarcar um arco com raio, e um outro arco com raio maior ( ) ( ) b) Seja o ângulo. Então, como o arco é uma parte da circunferência de centro e raio : O volume do cilindro é: Sejam a área do setor circular de ângulo e raio, a área do setor circular de ângulo e raio, e a área da região demarcada (área hachurada): ( ) O volume do tronco de cone é: [( ) ( ) ] O volume do sólido é: 11 Geometria CASD Vestibulares

12 GABARITO 1. D 2. D 3. C 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. C 11. C 12. São necessários dias de gotejamento 13. a) A área da superfície lateral da parte externa da jarra é b) O volume máximo de suco que a jarra pode conter é 14. O raio aproximado da base do copo é 15. D 16. a) O volume do corpo do funil é b) O volume total do funil é c) Para que o funil fique cheio, são necessários segundos 17. C 18. O número mínimo de fios necessário é e a soma total de seus comprimentos é 19. a) Os raios dos arcos que devem ser demarcados são e b) A área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur é 20. C CASD Vestibulares Geometria 12