GEOMETRIA ESPACIAL CONTEÚDOS. Capacidade e volume Poliedros Pirâmides Cilindros Cone Esfera AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

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1 GEOMETRIA ESPACIAL CONTEÚDOS Capacidade e volume Poliedros Pirâmides Cilindros Cone Esfera AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Capacidade e volume Na receita de bolo estava indicado 500 ml de leite ou 500 cm³? É muito comum que as receitas apresentem, para as quantidades referentes aos líquidos, unidades de medida que representam múltiplos ou submúltiplos do litro (L, ml, dl,...). Porém, se na receita a quantidade estivesse informada utilizando os centímetros cúbicos, seria possível compreendê-la, ao identificar que as duas unidades de medida ( cm³ e ml) podem ser relacionadas. Figura 1 leite Fonte: Microsoft Office Quando falamos em litros (ou seus múltiplos e submúltiplos) estamos nos referindo a capacidade de um determinado recipiente. No caso da receita, se fosse utilizado, para medir a quantidade de leite, um recipiente de volume igual 500 cm³, a quantidade em ml seria de 500 ml. Por exemplo, uma caixa de leite, que apresenta o formato de um paralelepípedo, e tem volume igual a cm³ pode conter a quantidade máxima de ml ou 1 litro de leite. Isso porque essas unidades estão relacionadas da seguinte forma:

2 Medida em litros Medida em metros cúbicos 1 L cm³ Ou seja, 1L corresponde a exatamente a cm³. Veja outras relações entre essas unidades de medida. 1 cm³ 1 ml 1 m³ L 1 dm³ 1 L Relembrar essas unidades e a relação entre elas trará contribuições para os estudos a seguir. Isso porque vamos falar das formas geométricas espaciais. E, elas estão relacionadas as medidas de capacidade e volume. FORMAS GEOMÉTRICAS A geometria espacial trata do estudo de formas: como o cubo, a pirâmide, a esfera, ou seja, formas geométricas que possuem mais de duas dimensões. Essas formas são chamadas de sólidos geométricos, e estes são divididos em dois grupos, os corpos redondos e os poliedros. Acompanhe alguns exemplos: Prisma Cone Esfera Pirâmide Cilindro Corpos redondos: são sólidos delimitados por alguma superfície arredondada. Cubo Poliedros: são sólidos que apresentam suas superfícies delimitadas por figuras geométricas planas.

3 Conhecendo os poliedros As superfícies planas de um poliedro são chamadas de faces. Os lados dos polígonos que delimitam as superfícies de um poliedro são chamados de aresta. O encontro de três ou mais arestas é chamado de vértice. Alguns exemplos de poliedros: Tetraedro Cubo ou hexaedro Octaedro Esse poliedros são conhecidos como poliedros regulares. Eles, recebem tal classificação por apresentarem as seguintes características: Suas faces são polígonos regulares congruentes Polígonos De cada regulares vértice do poliedro são polígonos sai o mesmo que apresentam número de todos arestas. os lados e todos os ângulos congruentes, ou seja, todos os lados e todos os ângulos com medidas iguais.

4 Além do tetraedro, hexaedro e octaedro, há outros dois sólidos que também são conhecidos como poliedros regulares, são eles: Icosaedro Dodecaedro Esses cinco poliedros também são convexos. E, por serem convexos e regulares, também são conhecidos como poliedros de Platão. Os poliedros de Plantão possuem as seguintes caracteristicas: As faces apresentam o mesmo número de lados. De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas. Um poliedro é identificado como convexo quando fixada uma face, as demais encontram-se no mesmo semiespaço (em relação à fixada). Pode-se ainda afirmar que, considerando que todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro, este é classificado como convexo se o seu interior for convexo. Ou seja, se qualquer segmento que liga dois pontos desse interior estiver totalmente contido neste interior. Veja exemplos de poliedros convexos e não convexos: Figura 1- Poliedros convexos e não convexos Fonte: Mec, Objetos Educadionais

5 DICA: Para saber mais sobre os poliedros de Platão, você pode consultar o seguinte material: Os Sólidos de Platão Disponível em: bra=2081. Identificando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro Antes de iniciarmos as discussões sobre faces, arestas e vértices, vamos analisar alguns polígonos e identificar o número de vértices e de lados de cada um. Quadrado Pentágono Triângulo 4 lados 5 lados lados 4 vértices 5 vértices vértices É possvel que você tenha observado que em cada um desses polígonos o números de vértices é igual ao número de lados. Essa relação entre vértices e lados é observada em qualquer polígono convexo. Agora, cabe a seguinte pergunta: Será que também podemos observar essa relação nos poliedros?

6 Para responder essa pergunta, observe na tabela, a relação entre o número de arestas, vértices e faces para cada um dos sólidos apresentados. Poliedro convexo Tetradedro regular Número de vértices Número de arestas Número de faces Poliedro Octaedro regular Hexaedro regular Pirâmide quadrangular Prisma hexagonal Em análise a tabela, talvez você tenha observado que existe um relação entre vértices (V), arestas (A) e faces (F). V - A + F = 2 ( Vértices Arestas + Face = 2) Essa relação é identificada como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo.

7 Prisma São chamados de prismas os poliedros que apresentam bases congruentes e paralelas, essas bases são poligonais. Além dessas características, os prismas também são identificados por apresentarem arestas laterais que ligam as bases Aresta da base Base do prisma Aresta lateral Base do prisma O prisma apresentado é identificado como prisma triangular. Essa classificação ocorre a partir do número de arestas de sua base. Veja outros exemplos de prismas: Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal

8 Prisma reto, oblíquo e seus elementos Altura do prisma Altura do prisma Prisma reto Prisma oblíquo A altura de um prisma representa a distância entre os planos que suas bases estão contidas. Observe que os dois prismas apresentados foram identificados de diferentes maneiras. Um deles foi denominado prisma reto e o outro prisma oblíquo. Veja as características que permitem esse tipo de identificação. Prisma reto: um prisma é identificado como reto, quando suas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém suas bases. Prisma oblíquo: em um prisma oblíquo, as retas laterais não são perpendiculares aos planos que contêm suas bases. Além de reto, um prisma também pode ser identificado como regular, veja as características de um prisma regular. Um prisma é identificado como regular se este for reto e suas bases polígonos regulares.

9 Diagonal de um prisma: observe que o segmento BD tem suas extremidades não pertencentes a mesma face. Esse segmento é identificado como diagonal do prisma. Outro exemplo de diagonal do prisma, poderia ser o segmento traçado do vértice A até o vértice E. Já o segmento BF não é identificado como diagonal do prisma, pois suas extremidades pertencem a uma mesma face. Comprimento da diagonal de um paralelepípedo Observe que a diagonal desse paralelepípedo reto retângulo tem medida igual D. As medidas de comprimento, largura e altura desse sólido são a, b e c. Para calcular sua diagonal utiliza-se a seguinte expressão: D = a² b² c² Considerando que as dimensões desse sólido são representadas pelos seguintes valores: a = 10 b = 4 c = 4 Temos a seguinte medida de diagonal: D = 10² 4² 4² D = D = 12

10 D = 2 Denomina-se paralelepípedo, o prisma que têm suas bases representadas por paralelogramos. Um paralelepípedo reto retângulo é o prisma que tem suas bases representadas por retângulos. Área das superfícies de um prisma Para calcular a área de um prisma, vamos retomar o cálculo da área de alguns polígonos. Polígono Quadrado Retângulo Triângulo qualquer Cálculo da área lado x lado Base x altura Base x altura Triângulo equilátero 4 lado 2 Hexágono regular lado A área total de prisma é representada pela soma das áreas laterais com as áreas das superfícies das bases. Vamos considerar por exemplo, que um prisma de base quadrangular tem 8 cm de aresta da base e 12 cm de aresta lateral, qual será a área total desse prisma? A base do prisma é um quadrado de lado igual a 8 cm. Temos então o cálculo da base da seguinte forma: 12 cm A base = 8² A base = 64 cm² As laterais são retângulos, e portanto temos: A lateral= 8.12 A lateral = 96 cm² 8 cm 8 cm

11 Neste prisma, temos: 4 faces laterais, e portanto, a área lateral total é: 96.4 = 84 cm² 2 bases, e portanto, a área total das bases é: 64.2 = 128 cm² A área total do prisma é: 84 cm² cm² = 512 cm² Volume de um prisma O volume de um prisma é obtido ao multiplicar a área de sua base por sua altura. Acompanhe o cálculo do volume de um prisma quadrangular. 8 cm 2 cm 4 cm Para que seja calculado o volume desse prisma, deve-se observar quais são suas dimensões. Altura = 8 cm Largura = 2 cm Comprimento = 4 cm Observe que o prisma é quadrangular, e para calcular a área de sua base realiza-se o seguinte cálculo: Área da base: comprimento x largura Área da base = 4 x 2 Área da base = 8 cm² Conforme já comentado, o volume do prisma é igual ao produto da área da base por sua altura. Tem-se então: Volume = 8 x 8 Volume = 64 cm³ O hexaedro, mais conhecido como cubo, é um prisma que apresenta arestas com medidas iguais. Para calcular o volume desse prisma, utiliza-se a seguinte expressão: Volume = a³ (a variável a representa a medida da aresta)

12 Observe um exemplo: Volume do cubo: Volume = área da base. altura Volume = a².a a².a = a³ Volume = a³ Volume = 5³ Volume = 125 cm³ Pirâmide Observe que diferente dos prismas, a figura a seguir, apresenta apenas uma base. Além disso, suas faces laterais são triangulares e possuem um vértice em comum. Essa figura é chamada de pirâmide. Vértice comum Face lateral Base A pirâmide apresentada é identificada como pirâmide quadrangular. Essa classificação é realizada a partir do número de arestas de sua base.

13 Veja outros exemplos de pirâmides: Pirâmide triangular Pirâmide pentagonal Pirâmide regular A pirâmide ao lado é identificada como pirâmide regular, por ter em sua base um polígono regular e altura representada pela distância entre o centro desse polígono e o vértice V, é perpendicular a base. Apótema e as relações entre os elementos Identificamos como apótema da base de uma pirâmide regular, o segmento que tem uma de suas extremidades no centro da pirâmide e a outra no ponto médio de qualquer um dos lados da base dessa pirâmide. No caso apresentado, o apótema da base está representado pelo segmento OM. Identificamos como apótema de uma pirâmide regular, o segmento que tem uma de suas extremidades no vértice da pirâmide e a outra no ponto médio de qualquer uma das arestas da base. No caso apresentado, o apótema da pirâmide está representado pelo segmento VM.

14 Observe que os pontos V, M e O, formam um triângulo retângulo. Sendo assim, para calcular as medidas dos apótemas da pirâmide, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras. Temos então: 2 2 VM 2 VO OM Além dos apótemas, na pirâmide quadrangular regular apresentada, visualiza-se uma medida R. Esta representa o raio da circunferência circunscrita à base. E, entre o raio R, a altura da pirâmide e a aresta lateral, também pode-se observar a existência de um triângulo retângulo, sendo portanto estabelecida a relação: L² = H² + R² ( sendo L a medida da aresta lateral da pirâmide) Área de uma pirâmide Para determinar a área total de uma pirâmide, basta somar a área de suas faces com a área de sua base. Vejamos por exemplo o cálculo da área de uma pirâmide de base quadrangular regular 4 6 Área da base = 6² Área da base = 6 Para calcular a área lateral, vamos lembrar que cada face lateral da pirâmide regular é um triângulo isósceles. E, a altura desse triângulo coincide com o apótema da pirâmide, sendo assim, vamos calcular a medida do apótema, e em seguida calcular a área das faces laterais. (apótema)² = ² + 4² 4 Apótema ( apótema)² = ( apótema)² = 25 apótema = 25 apótema = 5

15 Temos então: Área da face lateral = Área da face lateral = 15 A área de todas as faces laterais é = 60 unidades ao quadrado Área total = Área da base + Área lateral Área total = Área total = 96 unidades ao quadrado Volume de uma pirâmide O volume de uma pirâmide é calculado por meio da seguinte expressão: 1 Volume = A b.h ( A b é a área da base e h, representa a altura do sólido) Vamos acompanhar um exemplo: Para calcular o volume desse sólido, vamos identificar 9 cm suas medidas: Altura = 9 cm 5 cm 5 cm Área da base = 5 x 5 ( cálculo da área de uma quadrado, já que é informado que essa pirâmide tem base quadrada) Área da base = 25 cm² 1 Volume = A b.h 1 Volume = Volume = 75 cm³

16 Cilindro São chamados de cilindros os sólidos que apresentam bases congruentes e paralelas. Além dessa característica, os cilindros também são identificados por apresentarem linhas laterais que ligam os pontos correspondentes dessas bases. Raio da base Altura do cilindro Área do cilindro A área de um cilindro é calculada ao somar a área de suas bases com a área lateral. A área da base de um cilindro é obtida ao calcular a área de um círculo. Já a área lateral é obtida ao observar que essa pode ser identificada por meio da área de um retângulo de dimensões h ( altura do cilindro) e 2.. r ( comprimento do círculo da base) 2..r Portanto, a área lateral é igual a 2 r. h Utilizando as expressões apresentadas, vamos determinar a área de um cilindro de raio igual a 6 cm e altura igual a 10 Área da base = r² Área da base =,14.6² Área da base = 11,04 cm²

17 Se cada base tem área igual a 11,04 cm², a área total da base é igual a 226,08 cm². Ou seja, área total da base é igual 2. r². Área lateral = 2 r. h Área lateral = 2., Área lateral = 76,8 cm² Área total = área das bases + área lateral Área total = 226,08 cm² + 76,8 cm² Área total = 602,88 cm² Volume do cilindro O volume de um cilindro é calculado por meio da seguinte expressão: Volume = Ab.h (área da base x altura) Neste caso, temos: Área da base = R² Altura = h Volume = πr².h Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cilindro: cm Volume = Ab.h Neste caso, temos: Raio = cm 10 cm Altura = 10 cm Vamos considerar =,14 Área da base = r² Área da base =,14.² Área da base = 28,26 Volume = r².h Volume = 28,26.10 Volume = 282,6 cm³

18 Cones Imagine sobre um plano uma circunferência A Imagine um ponto A que não está sobre essa região circular. A Ao traçar linhas retas que liguem os pontos que se encontram no perímetro dessa circunferência ao ponto A, forma-se um Cone. Cone Área do cone Assim como os prismas e as pirâmides, a área total do cone é representada pela soma da área da base com a área lateral. A base é um círculo, sendo sua área obtida por meio da expressão r². Já a área lateral é obtida ao calcular a área de um setor circular. O raio do setor é identificado pela geratriz do cone. O arco desse setor tem comprimento igual a 2 r.

19 Altura do cone Vamos trabalhar um exemplo do cálculo da área de um cone. Para tanto, observe as medidas desse cone. Para saber a medida da geratriz, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Onde g é a hipotenusa. g² = (2,5)² + 6² g² = 6, g² = 42,25 g = 42, 25 g = 6,5 cm Para calcular a área desse setor, podemos lembrar que para calcular a área de um setor circular, fazemos uso da seguinte relação: Asetor = r.l 2

20 Para não confundir as medidas, neste caso, r é substituído por g (medida da geratriz), isso porque já teremos o r que está relacionado ao comprimento do arco, comprimento do arco representado por No caso da área lateral do cone, tem-se: g. 2 r A setor = 2 2 r. A setor = Conhecendo a medida da geratriz e do raio, tem-se: Área total = r² + g.r. Área total =,14.(2,5)² + 6,5.2,5.,14 Área total = 19, ,025 Área total = 70, 65 cm² Volume do Cone g.r. O volume de um cone é calculado por meio da seguinte expressão: 1 Volume = A b.h (área da base x altura) Área da base = r² e Altura = H l é o Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cone: 1 Volume = A b.h Neste caso, temos: raio = 2 cm Altura = 6 cm 6 cm Vamos considerar =,14 Área da base = r² Área da base =,14.2² 2 cm Área da base = 12,56 1 Volume = 12,56.6 Volume = 25,15 cm³

21 Esfera Denomina-se esfera de centro A e raio R, o conjunto de pontos do espaço que apresentam uma distância, até o ponto A, menor ou igual ao raio R. A Volume da esfera Volume de uma esfera é calculado por meio da seguinte expressão: Volume = 4 R³ Vejamos um exemplo do cálculo do volume de uma esfera: Volume = 4 R³ cm Neste caso, temos: Raio = cm =,14 e vamos considerar Volume = 4.,14.³ Volume = 4.,14.27 Volume = 4.,17.9 Volume = 11,04 cm³

22 ATIVIDADES 1. Classifique cada um dos sólidos como prisma ou pirâmide. 2. Um poliedro é convexo e apresenta 10 vértices e 20 arestas, qual é o número de faces desse sólido?

23 . Identifique os poliedros, destacando aqueles que são prismas. Para os sólidos identificados como prismas, destaque qual é a forma de sua base e se o prisma é reto ou oblíquo. 4. No prisma apresentado, identifique: a) os vértices b) as arestas das bases c) as arestas laterais d) pelo menos duas de suas faces e) duas de suas diagonais 5. Determine o volume de um cubo, de medida de aresta igual a 8 cm.

24 6. Se um cubo tem volume igual a 125 cm³, qual é a medida de sua aresta? Volume = a³ 7. Com as informações do exercício anterior, calcule a área total do cubo de volume igual a 125 cm³. 5 cm 5 cm 5 cm 8. Para embrulhar um presente que está em uma caixa que tem o formato de um prisma reto retângulo, Miriam comprou um papel de área igual a cm². Se a caixa tem as seguintes dimensões: comprimento igual a 25 cm, altura igual a 10 cm e largura igual a 15 cm. O papel comprado será suficiente para embrulhar o presente? 9. (UFRN 2011) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa, um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões medindo 20 cm x 0 cm x 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm x 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura. Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm x 0 cm, a altura da água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente, a) 16 cm b) 17 cm c) cm d) 5 cm

25 10. Complete a tabela. Pirâmide Número de Número de Número de Número arestas da arestas faces vértices base laterais Quadrangular Triangular Hexagonal Pentagonal de 11.Considerando uma pirâmide regular de base quadrada, sendo a aresta da base igual a 10 cm e a altura dessa pirâmide igual a 12 cm, determine: a) a área lateral b) a área total. 12. (Unesp Adaptada) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m ), necessário para a construção da pirâmide será a) 6. b) 27. c) 18. d) 12.

26 1. (ENEM 2010 Adaptada) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm³ b) 64 cm³ c) 96 cm³ d) cm³ 14. Uma empresa de tintas trabalha com a venda de latas de diferentes capacidades. A menor delas armazena litros de tinta. A maior delas armazena 18 litros de tinta. Deseja-se aumentar a capacidade da maior lata. Para tanto, toda a embalagem foi modificada, e a lata, agora de formato cilíndrico, tem 0 cm de diâmetro e altura igual a 0 cm. Em quantos litros, aproximadamente, essa nova lata excede a capacidade da lata que anteriormente era classificada como a maior lata? ( Considere, 14 )

27 15. (ENEM 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispões de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos também cilíndricos. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem o volume 10 vezes maior que o volume de copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

28 16. (ENEM 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm. 17. (ENEM 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com o formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume do champanhe nos dois tipos de taça fosse igual. Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,. b) 6,00. c) 12,00. d) 56,52. e) 11,04.

29 INDICAÇÕES Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre a geometria espacial. Geometria Espacial Disponível em: spx?id=412&source=http%a%2f%2fwww%2eeja%2eeducacao%2eorg%2ebr%2f bibliotecadigital%2findicacoes%2fsites%2flists%2fsites%2fmatematica%2easpx REFERÊNCIAS Alfa Virtual School Matemática. Poliedro GEO10. geo1001.htm>. Acesso em: 2 mar h. BARRETO FILHO, Benigno. BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias Módulo III/ Matemática. Rio de Janeiro, 201. Disponível em: < Acesso em: 29 mar h. ENEM 2010 Exame Nacional do Ensino Médio. INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em: < B.pdf>. Acesso em: 22 mar h. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 2: livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, p UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Comperve Vestibular Disponível em:< Acesso em: 29 mar h10min. WALLE, Jonh A. Van. Matemática no Ensino Fundamental. Formação de Professores e Aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009

30 GABARITO 1. Prisma Pirâmide Pirâmide Prisma Prisma Pirâmide 2. Aplicando o teorema de Euler, sabe-se que V A + F= 2. Logo, tem-se: F = 2 F = F = F = 12

31 .a, b, c, e f são prismas. a) base hexagonal, prisma reto. b) base pentagonal, prima oblíquo. c) base quadrangular, prisma oblíquo. f) base pentagonal, prisma reto. 4. a) A, B, C, D, E, F, G, H b) AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH e HE c) AE, BF, CG, HD d) Exemplos de faces laterais: os quadriláteros ABFE e BCGF e) AG e BH 5. V = 8³ V = 512 cm³ = a³ 125 = a a = 5 7.Área da base = Área da base = 50 cm² Área lateral = Área lateral = 100 cm² Área total = 150 cm²

32 8. Sim, pois serão utilizados apenas cm² de papel. Acompanhe o cálculo desenvolvido: Se o presente está em uma caixa de formato igual a um prisma reto retângulo. É necessário determinar a área total desse prisma para saber se o material foi suficiente. Vamos utilizar um esboço do prisma mencionado, para que seja possível visualizar suas medidas. 25 cm 10 cm 15 cm Área da base = Área da base = 75 cm² Área total da base = 2.75 cm² Área total da base = 750 cm² Para calcular a área lateral, vamos dividir em lateral I e latera li. Área lateral I = Área lateral I = 150 cm² São duas laterais que medem 15 x 10, logo tem-se 00 cm². Área lateral II = Área lateral II = 250 cm² São duas laterais que medem 25 x 10, logo tem-se 500 cm². Área total = área das bases + área lateral I + área lateral II Área total = 750 cm² + 00 cm² cm² Área total = cm².

33 9. Alternativa C. Se o aquário tem o formato de um paralelepípedo retângulo, é ideal fazer o esboço desse aquário para que seja visualizado como ele foi disposto sobre a mesa. Neste esboço, a altura do aquário será considerada apenas com referência a medida que a água atingiu. 25 cm 20 cm 40 cm Considerando essas medidas para o aquário, tem-se volume igual a: V = 40 cm x 20 cm x 25 cm Volume = cm³ Conhecendo o volume, considerando as medidas de 40 cm x 20 cm x 25 cm, vamos fazer um novo esboço para interpretar as medidas do aquário se a face de apoio apresentasse dimensões 20 cm x 0 cm. y 0 cm 20 cm Volume = 20.0.y = 20.0.y y = y =, ( aproximadamente)

34 10. Pirâmide Número de Número de Número de Número arestas da arestas faces vértices base laterais Quadrangular Triangular 4 4 Hexagonal Pentagonal de 11. a) a área lateral Sendo a altura de uma pirâmide regular, a distância entre o vértice da pirâmide e o centro desse polígono, entre a altura da pirâmide, o apótema da base e o apótema da pirâmide, temos o seguinte triângulo retângulo: 12 cm 5 cm (apótema)² = 12² + 5² (apótema)² = (apótema)² = 169 apótema = 169 apótema = Área de uma face lateral = 65cm² 2 Área lateral total = 4.65 Área lateral total = 260 cm² b) A área total. Área total = área da base + área lateral Área total = Área total = Área total = 60 cm²

35 12. Alternativa D. Para encontrar a medida procurada é necessário calcular o volume de uma pirâmide. Considerando que essa pirâmide tem base quadrada, sabe-se que a área de sua base é igual a 9 m². Volume = 1 Ab. h Volume = Volume = 12 m³ 1. Alternativa D. Para saber a quantidade de madeira, deve-se calcular o volume dos dois cubos. Após obter essas medidas, subtrairemos da medida do cubo maior o volume do cubo menor, isto é, a quantidade de material que foi retirado. Assim, encontraremos a quantidade de madeira utilizada. V = 12³ V = cm³ V = 8³ V = cm³ cm³ = cm³ 14. Para saber em quantos litros essa nova lata excede a capacidade lata que era classificada como a maior, é necessário calcular a capacidade volumétrica da lata que apresenta diâmetro igual a 0 cm e altura igual a 0 cm. ( Considere =,14) Inicialmente será calculado a área da base. Área = r² Área =,14.15² Área =, Área = 706,5 cm² Volume = Ab.h Volume = 706,5.0 Volume = cm³ Se 1 cm³ é equivalente a 1 ml, cm³ são equivalentes a ml.

36 Se ml equivalem a 1 L, para saber quantos litros tem-se em ml, basta dividir por ml : = 21,195 L. Neste caso, a nova lata excede a quantidade da antiga lata em,195 L. 15. Alternativa A. Para saber a quantidade de água de café que Dona Maria deverá fazer, é necessário calcular o volume do copinho e o volume da leiteira. Volume da leiteira: Volume = Ab.h Volume =.4².20 Volume = Volume = 20 cm³ Volume do copo: Volume = Ab.h Volume =.2².4 Volume =.4.4 Volume = 16 cm³ Volume da leiteira : volume do copo 20 : 16 = 20 Portanto, Dona Maria deverá encher a leiteira até a metade pois ela tem volume 20 vezes maior que o volume do copo.

37 16. A alternativa correta é a letra B. Para saber a medida das arestas do chocolate no formato cúbico, é necessário primeiro calcular o volume do chocolate no formato de paralelepípedo. Volume = x 18 x 4 Volume = 216 cm³ A aresta do chocolate no formato cúbico, será a raiz cúbica de 216. Pois, os dois formatos de chocolate têm o mesmo volume e o volume de um cubo é igual a aresta elevada ao cubo. Logo, tem-se: Volume do cubo = a³ 216 = a³ 216 = a a = Alternativa correta é a letra B. Se as taças tinham o mesmo raio e deveriam apresentar o mesmo volume tem-se: 4 V esfera = R ³ V cone = 1 R². h Devemos lembrar que a taça no formato hemisfério representa apenas metade do volume da uma esfera V esfera = V cone. R³ = R². h ³ ².h. h 18 = h h 6 6 h = 6