EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

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1 PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. De uma função 0, de domínio, sabe-se que: 0Ð&Ñœ! 0 é uma função par Seja 1 a função, de domínio, definida por 1ÐBÑœ0ÐB $Ñ. Qual dos seguintes pode ser o conjunto dos zeros de 1? (A) Ö!ß$ (B) Ö$ß& (C) Ö )ß# (D) Ö#ß) 2. Na figura estão representados, em referencial o. n. BSC, o círculo trigonométrico e um triângulo. ÒSEFÓ E Os pontos e pertencem à circunferência. ÒEFÓ SB O segmento semieixo positivo. G F é perpendicular ao O ponto é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo. Seja a amplitude do ângulo. SB! GSE!!ß Ó 1 # Š Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo ÒSEFÓ, em função de!? Ò (A) (C) sen! Þ cos! tg! Þ sen! (B) (D) tg! Þ cos! # tg! Þ sen! # V.S.F.F. 435.V1/3

4 3. De uma função 2, de domínio, sabe-se que a recta de equação Cœ# é assimptota do seu gráfico. lim 2ÐBÑ / B Qual é o valor de? BÄ _ (A) _ (B) _ (C)! (D) # 4. Na figura está representado, em referencial o. n. SBCD, um cilindro de revolução. Tem-se que: a altura do cilindro é $ BSC uma das bases está contida no plano, sendo o seu centro o ponto raio igual a ", Ó!ß#Ò 0, Ð!ß"ß!Ñ e o seu Seja e seja a função que, a cada valor de, faz corresponder o perímetro da secção produzida no cilindro pelo plano de equação Cœ,. Qual é o máximo da função 0? (A) * (B) "! (C) "" (D) "# 5. Na figura estão representados os gráficos de duas distribuições normais. Uma das distribuições tem valor médio + e desvio padrão,. A outra distribuição tem valor médio desvio padrão.. Os gráficos são simétricos em relação à mesma recta <. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? - e (A) (C) +œ- e,. (B) +œ- e,. + - e,œ. (D) + - e,œ. 435.V1/4

5 6. O João utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola. Seja Seja E F o acontecimento: «O João vai de autocarro para a escola». o acontecimento: «O João chega atrasado à escola». Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a seguinte afirmação: «Metade dos dias em que vai de autocarro para a escola, o João chega atrasado». Qual é essa igualdade? (A) (C) TÐE FÑœ!&, (B) TÐE FÑœ!&, TÐElFÑœ!&, (D) TÐFlEÑœ!&, 7. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto ÖD ÀlD "lœld 3l #ŸM7ÐDÑŸ? (A) (B) (C) (D) V.S.F.F. 435.V1/5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. De dois números complexos D" e D# sabe-se que: um argumento de D 1 " é $ o módulo de D # é 1.1. Seja A œ " 3 3 Justifique que A é diferente de " e de # 1.2. D D ão duas das raízes quartas de um certo número complexo D D D " e # s. Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de D # pertence ao segundo quadrante, determine D # na forma algébrica. 2. O nível R de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade M, medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade Rœ"! "!"# M, para M! log "! a b Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes Verifique que Rœ"#! "! log "! M 2.2. Admita que o nível de ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de "! decibéis. Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado. 435.V1/6

7 3. De uma função 0,de domínio Ò 11 ß Ó, sabe-se que a sua derivada 0 w está definida igualmente no intervalo Ò 11 ß Ó eé dada por 0 w ÐBÑœB # cos B 3.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Determine o valor de lim BÄ! 0ÐBÑ 0Ð!Ñ B Estude a função 0 quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão O gráfico de 0 contém um único ponto onde a recta tangente é paralela ao eixo SB. R ecorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu. 4. Seja 0 uma função contínua, de domínio Ò!ß&Ó e contradomínio Ò$ßÓ. Seja 1 a função, de domínio Ò!ß&Ó, definida por 1ÐBÑœ0ÐBÑ B. Prove que a função 1 tem, pelo menos, um zero. V.S.F.F. 435.V1/7

8 5. Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a Escolhe-se, ao acaso, um desses números Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos iguais a 1. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que dízima, com três casas decimais. *)!!. Apresente o resultado na forma de 5.2. Considere o seguinte problema: «De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições seguintes: começam por 9; têm os algarismos todos diferentes; a soma dos quatro algarismos é par. Quantos são esses números?» Uma resposta correcta a este problema é $ E# E$ Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique porquê. FIM 435.V1/8

9 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V.S.F.F. 435.V1/9

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11 Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< # Trapézio: F+=/7+39< F+=/7/89< # Polígono regular: Semiperímetro # Círculo: 1 < ( < <+39) E6>?<+ Apótema Formulário Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma?"? 8 Prog. Aritmética: # 8 Prog. Geométrica:? " " < 8 " < Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 # Área de uma superfície esférica: < ( < raio) Regras de derivação w w Ð?Þ@Ñw œ?þ@?þ@ w w ˆ? w?þ@?þ@ w # Volumes Ð? 8Ñwœ 8Þ? 8 " Þ? w Ð8 Ñ Prisma: Área da base Altura Ð sen?ñwœ?þ w cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñw œ?þ w sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura Ð tg?ñw œ? w cos #? Cone: " $ Área da base Altura Ð/? Ñœ?Þ w w /? Esfera: < $ < raio $ 1 ( ) Trigonometria senð+,ñœ sen +Þ cos, sen,þ cos + cosð+,ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñœ Complexos tg+ tg, " tg+þ tg, a3-3=) bþˆ 3 w-3= ) w œ33 w-3= ˆ ) ) w 3-3= ) 3 3 w-3= ) w 3w 8 8 œ -3= ˆ ) ) w a3-3=) b œ 3-3=Ð8) Ñ ) #51 8 È8 3-3=) œ È8 3-3= ß5 Ö!ßÞÞÞß8 " Ð+? Ñœ?Þ w w +? Þ ln + Ð+ ÏÖ" Ñ Ð ln?ñw œ? w? Ð log?ñw œ? w + Ð+?Þ ln + ÏÖ" Ñ Limites notáveis lim BÄ! lim BÄ! lim BÄ! lim BÄ _ senb B / B " B œ" ln ÐB "Ñ B B œ" œ" / B: œ _ Ð: Ñ 435.V1/11

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13 PROVA 435/C/13 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V.S.F.F. 435/C/1

14 CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Grupo I Deverão ser anuladas todas as questões com resposta de leitura ambígua (letra confusa, por exemplo) e todas as questões em que o examinando dê mais do que uma resposta. Pode acontecer que o examinando não respeite a indicação, expressa no enunciado, de que deverá escrever apenas a letra correspondente à alternativa seleccionada. Por exemplo: pode acontecer que ele apresente cálculos; pode acontecer que escreva, para além da letra, a resposta que lhe corresponde; pode acontecer que se esqueça de escrever a letra e escreva apenas a resposta; etc. Deverão ser consideradas (como certas ou como erradas) todas as questões em que não haja qualquer dúvida sobre a alternativa que o examinando seleccionou, mesmo que, formalmente, desrespeitem a referida indicação. Deverão ser anuladas todas as questões onde existam dúvidas sobre a alternativa seleccionada. As respostas certas são as seguintes: Questões Versão 1 C A A B B D B Versão 2 C B B D D B A Na tabela seguinte indicam-se os pontos a atribuir, no primeiro grupo, em função do número de respostas certas e do número de respostas erradas. Resp. erradas Resp. certas /C/2

15 Grupo II Critérios gerais 1. A cotação a atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro, não negativo, de pontos. 2. Se, numa alínea em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, o examinando se limitar a apresentar o resultado final, deverão ser atribuídos zero pontos a essa alínea. 3. Algumas questões da prova podem ser correctamente resolvidas por mais do que um processo. Sempre que um examinando utilizar um processo de resolução não contemplado nestes critérios, caberá ao professor classificador adoptar um critério de distribuição da cotação que julgue adequado e utilizá-lo em situações idênticas. 4. Existem alíneas cuja cotação está subdividida pelas etapas que o examinando deve percorrer para as resolver. Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir. Caso a resolução da etapa esteja incompleta, ou contenha incorrecções, cabe ao classificador decidir a cotação a atribuir a essa etapa, tendo em conta o grau de incompletude e/ou a gravidade dos erros cometidos. Por exemplo: - erros de contas ocasionais devem ser penalizados em um ponto; - erros graves, que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades, devem ser penalizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa. No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapas subsequentes devem merecer a respectiva cotação, desde que o grau de dificuldade não tenha diminuído, e o examinando as execute correctamente, de acordo com o erro que cometeu. Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldade das etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a cotação máxima a atribuir a cada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido pelo examinando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente, a cotação máxima a atribuir a cada uma delas não deverá exceder metade da cotação indicada. Pode acontecer que o examinando, ao resolver uma questão, não percorra explicitamente todas as etapas previstas nos critérios. Todos os passos não expressos pelo examinando, mas cuja utilização e/ou conhecimento estejam implícitos na resolução da questão, devem receber a cotação indicada. 5. Existem alíneas em que estão previstos alguns erros que o examinando pode cometer. Para cada caso, é indicada a cotação a atribuir. O examinando pode, contudo, utilizar um processo não contemplado nos critérios e/ou cometer um erro não previsto. Cabe ao classificador adaptar as referências dadas a todas as situações não previstas. 6. Se, na resolução de uma alínea, o examinando utilizar simbologia inequivocamente incorrecta (por exemplo, se escrever o símbolo de igualdade onde deveria estar o símbolo de equivalência), tal deve ser penalizado em um ponto, na cotação total a atribuir a essa alínea. V.S.F.F. 435/C/3

16 Critérios específicos Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo " 3 3 œ œ È #-3= -3= # $ (3+3) œ È #-3= Conclusão º Processo " 3 3 œ" lalœ È #...2 Um argumento de A é Conclusão Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo Um argumento de D 1 1 # é...5 $ # D # œ-3= & ' D # œ # È...4 $ #3 435/C/4

17 2.º Processo D " œ-3= 1 $...2 D œ Š -3= 1 $...1 D œ -3= 1 $...1 È D œ-3= $ 1 #5 1 ß5œ!ß"ß#ß$...1 D # œ-3= & ' D # œ # È...4 $ # Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo a "# Rœ"! log "! "! log "! M b... 6 Rœ"! ˆ "# log M "!... 6 Rœ"#! "! log "! M º Processo Rœ log ˆ "! "!"# "! M... 1 Rœ log ˆ "! "!"#! M"!... 1 Rœ log ˆ "! "! log ˆ "! M "#! "!... 6 Rœ"#! "! log "! M... 5 V.S.F.F. 435/C/5

18 Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, três processos: 1.º Processo Equacionar o problema: "!œ"#! "! log "! M...5 log "! Mœ#...4 Mœ"!! º Processo Equacionar o problema: "!œ"! log "! a"! "# M log "! a"! "# Mbœ" b "!"# Mœ"! "...6 Mœ"!! º Processo Equacionar o problema: "!œ"! log "! a"! "# M b...5 "!œ log ˆ "! "!"# "! M...2 "!"#! M"! œ"! "!...6 M "! #!...1 œ"! Mœ"!! lim BÄ! 0ÐBÑ 0Ð!Ñ B œ0 wð!ñ wð!ñœ# /C/6

19 wwðbñœ" # sen B (ver nota 1) wwðbñœ!í Í senb œ " # Í B œ 1 B œ 1 ' '...2 &...3 (1+2) Análise do sinal de 0 ww (ver notas 2 e 3) ß ' & ' ß1 1 1 ' & ' Concluir que o gráfico de tem a concavidade voltada para cima em e em e tem a concavidade voltada para baixo em ß (ver notas 2 e 4) Concluir que o gráfico de tem dois pontos de inflexão, 1 de abcissas e & 1 (ver nota 2)...2 Notas: ' ' 1. Se existir evidência de que o examinando pretende determinar a expressão de 0 ww, a cotação mínima a atribuir a esta etapa é de 1 ponto. 2. A análise do sinal de 0 ww e as duas conclusões podem ser apresentadas através de um quadro. 3. Se, no quadro, o examinando não indicar correctamente o domínio da função, deverá ser penalizado em 1 ponto. 4. Se o examinando apresentar os intervalos abertos, não deverá ser penalizado. É ainda de salientar que o examinando não necessita sequer de explicitar os intervalos, tal como se depreende da nota Equacionar o problema: 0 w ÐBÑœ! (ver nota 1)... 8 Explicação do método utilizado para resolver a equação (ver nota 2)... 3 Indicação do valor da abcissa pedida (ver nota 3)...4 V.S.F.F. 435/C/7

20 Notas: 1. O examinando poderá não escrever explicitamente esta equação. Se existir evidência da procura do zero de 0 w, estes 8 pontos deverão ser atribuídos. 2. A explicação do método utilizado deve ser cotada de acordo com o seguinte critério: O examinando apresenta o gráfico da função 0 w e assinala correctamente o seu zero. ou O examinando não apresenta qualquer gráfico, mas refere a utilização de ferramentas da calculadora, evidenciando a procura do referido zero...3 O examinando não apresenta qualquer gráfico nem qualquer explicação, ou limita-se a apresentar uma referência do tipo «Vi na calculadora» A escrita da abcissa do ponto pedido deve ser cotada, independentemente de o examinando ter, ou não, explicado o método utilizado, de acordo com o seguinte critério: 1.º Caso (apresentação do resultado arredondado às centésimas, de acordo com o enunciado): Resposta "!$,... 4 "!#, "!, Resposta ou... 2 "!", "!&, Resposta ou... 1 Outros resultados º Caso (apresentação do resultado com aproximação superior às centésimas): Ò "!$", "!#*Ó, Valor no intervalo à... 3 Valor fora do intervalo anterior, mas pertencente ao Ò "!!, "!#!Ó, intervalo à...2 Outros resultados º Caso décimas): (apresentação do resultado arredondado às unidades ou às Valor igual a " (ou "!, )... 1 Outros resultados /C/8

21 Justificar que é contínua (por ser a diferença de duas funções contínuas) (ver nota 1)...2 Justificar que 1Ð!Ñ! ( 1Ð!Ñœ0Ð!Ñ 0Ð!Ñ Ò$ßÓ ) Justificar que 1Ð&Ñ! e (ver nota 2)...5 ( 1Ð&Ñœ0Ð&Ñ & 0Ð&Ñ Ò$ßÓ ) e (ver nota 3)...6 Evocar o Teorema de Bolzano (ou o seu corolário), para concluir o pretendido...2 Notas: 1. Se o examinando se limitar a referir a continuidade de 1, sem justificar, deverá ser atribuída, nesta etapa, a cotação de 1 ponto, dos 2 previstos. 2. Se o examinando escrever 0Ð!Ñœ$, deverá ser atribuída, nesta etapa, a cotação de 0 pontos. 3. Se o examinando escrever 0Ð&Ñœ, deverá ser atribuída, nesta etapa, a cotação de 0 pontos G # ) # Escrita da fracção (ver notas 1, 2, 3, 4 e 5)... 7 * Probabilidade pedida '...1 Notas: 1. O examinando pode começar por indicar o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis e só depois escrever a fracção. No entanto, se não o fizer, isto é, se escrever directamente a fracção, não deverá ser penalizado. 2. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no que respeita à escrita da fracção, com a respectiva cotação a atribuir. G # ) # ' ) # ou * * (fracção correcta)...7 ) G# E# *...4 ) # ' ou...3 * * V.S.F.F. 435/C/9

22 3. Se o examinando indicar o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuído à sua resposta menos 1 ponto do que nas situações atrás referidas. 4. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casos possíveis, deverá ser atribuído 1 ponto à sua resposta. 5. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casos favoráveis, deverão ser atribuídos 4 pontos à sua resposta ( E# Escrita da fracção (ver notas 1, 2, 3, 4 e 5)... 7 * Probabilidade pedida!!!',...1 Notas: 1. O examinando pode começar por indicar o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis e só depois escrever a fracção. No entanto, se não o fizer, isto é, se escrever directamente a fracção, não deverá ser penalizado. 2. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no que respeita à escrita da fracção, com a respectiva cotação a atribuir. ( E# ( ' * ou * (fracção correcta)...7 ( # *...5 * ) *...4 * # * Se o examinando indicar o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuído à sua resposta menos 1 ponto do que nas situações atrás referidas. 4. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casos possíveis, deverá ser atribuído 1 ponto à sua resposta. 5. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casos favoráveis, deverão ser atribuídos 4 pontos à sua resposta. 435/C/10

23 Apresenta-se a seguir um exemplo de resposta: Pretende-se saber quantos números da forma 9 _ existem, com algarismos todos diferentes (escolhidos de entre os algarismos de 1 a 9) e tal que a soma dos seus quatro algarismos seja par. Ora, para que a soma dos quatro algarismos seja par, é necessário que a soma dos três últimos seja ímpar. Para que a soma destes três algarismos seja ímpar, dois casos se podem dar: ou são todos ímpares, ou dois deles são pares e o outro é ímpar. No primeiro caso, temos de escolher ordenadamente três de quatro algarismos ímpares (1, 3, 5 e 7), o que pode ser feito de E $ maneiras diferentes. No segundo caso, temos de começar por escolher a posição do algarismo ímpar, o que pode ser feito de $ maneiras diferentes. Para cada uma destas, existem maneiras de escolher esse algarismo ímpar (1, 3, 5 ou 7). Para cada posição do algarismo ímpar e para cada valor deste, existem E # maneiras diferentes de escolher ordenadamente dois de quatro algarismos pares (2, 4, 6 e 8) Þ Assim, neste segundo caso, existem $ E# números diferentes, nas condições requeridas. # $ Logo, o número pedido é $ E E Tal como o exemplo acima ilustra, o examinando deverá: referir que a soma dos três últimos algarismos tem de ser ímpar; referir que, para que isso aconteça, dois casos se podem dar: ou os três algarismos referidos são ímpares, ou dois deles são pares e o terceiro é ímpar; explicar correctamente o valor E $ (número de maneiras de escolher ordenadamente três de quatro algarismos ímpares); explicar correctamente o valor $ (número de maneiras de escolher a posição do algarismo ímpar); explicar correctamente o valor (número de maneiras de escolher um de quatro algarismos ímpares); explicar correctamente o valor # E (número de maneiras de escolher ordenadamente dois de quatro algarismos pares). V.S.F.F. 435/C/11

24 Na tabela seguinte, indica-se como deve ser atribuída a cotação desta alínea. Conteúdo Forma Nível 1 Nível 2 Nível 3 ( ) ( ) ( ) O examinando refere os seis pontos O examinando refere cinco pontos O examinando refere quatro pontos O examinando refere três pontos O examinando refere dois pontos O examinando refere um ponto ( ) Nível 1 - Redacção clara, bem estruturada e sem erros (de sintaxe, de pontuação e de ortografia). ( ) Nível 2 - Redacção satisfatória, em termos de clareza, razoavelmente estruturada, com alguns erros cuja gravidade não afecte a inteligibilidade. ( ) Nível 3 - Redacção confusa, sem estruturação aparente, presença de erros graves, com perturbação frequente da inteligibilidade. Pode acontecer que uma composição não se enquadre completamente num dos três níveis descritos e/ou contenha características presentes em mais do que um deles. Nesse caso, deverá ser atribuída uma pontuação intermédia, desde que respeite a indicação, dada nos critérios gerais, de que a cotação a atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro de pontos. 435/C/12