Matemática 1 e Matemática para Administração. Prof. Wallisom Rosa

Transcrição

1 Matemática 1 e Matemática para Administração Prof. Wallisom Rosa 2 o Semestre 2005

2 .

3 Sumário Prefácio 6 1 Revisão Números Inteiros, Racionais e Reais Potências O Plano Cartesiano Distância no Plano e Equação de uma Circunferência Eercícios Funções e Aplicações Conceito e Notação Simetrias Funções Crescentes e Decrescentes Funções Importantes Função Linear Polinômios Funções Racionais Funções Algébricas Funções Eponenciais

4 Sumário Funções Inversas e Logaritmos A Álgebra das Funções Combinações Composição de Funções Equações de Oferta e de Demanda Eercícios Limite e Continuidade O Limite de uma Função Limites Laterais Limites Infinitos Propriedades dos Limites Continuidade Limites no Infinito; Assíntotas Horizontais Limites Infinitos no Infinito Assíntotas. Custo Total Médio Eercícios A Derivada Tangentes Taas de Variação A Derivada de uma Função Regras de Diferenciação Novas Derivadas a partir das Antigas Regra do Produto e do Quociente

5 Sumário Regra da Cadeia Diferenciação Implícita Derivadas Superiores Aproimações Lineares* Polinômios de Taylor Aplicações da Derivada Valores Máimo e Mínimo Aplicações da Derivada Primeira Aplicações da Derivada Segunda Formas Indeterminadas e Regra de L Hôpital Esboço de Gráficos Aplicações em Economia Eercícios (Cap. 4 e 5) Avaliações 179 Bibliografia 210

6 .

7 Prefácio Essa apostila se destina aos alunos dos cursos de Administração, Ciências Contábeis e Economia que cursam Matemática para Administração ou Matemática 1 na Universidade Federal de Pernambuco. Seu conteúdo visa atender a ementa desses cursos e são, na verdade, as minhas notas de aula das vezes que ministrei esse curso nos semestres anteriores. Quero deiar meus agradecimentos aos meus e-alunos desses cursos que contribuiram dando sugestões e críticas para a melhoria desse teto. Serão abordados aqui noções introdutórias dos conceitos do Cálculo Diferencial e suas aplicações às Ciências Econômicas e Sociais. Fiz o possível para não deiar o teto muito voltado para a abordagem matemática já que se destina a alunos de outras áreas. Deiei alguns teoremas sem demonstração pois é necessário uma teoria mais avançada para demonstrá-los. Tive o cuidado de escolher eemplos bastante aplicáveis. É importante entendê-los bem já que fornecem as idéias para a resolução dos eercícios. E, por falar nisso, não se preocupe se não conseguir fazer um eercício de imediato, as vezes é mais conveniente voltar a pensar nele em um outro momento, com mais maturidade. É importante ressaltar que os eercícios estão dispostos aleatoriamente e não seguem nenhum padrão quanto ao grau de dificuldade. Tente fazer o maior número possível deles! As respostas não foram incluidas por vários motivos, um deles é para obrigá-lo a discutir com seus colegas as resoluções. Matemática também tem seu lado social! Também não se preocupe se precisar ler por mais de uma vez algum trecho do teto para entendê-lo. Isso é absolutamente normal quando se estuda qualquer teoria matemática. É preciso muita atenção e concentração para não se perder diante de tantas informações. Tenha paciência e não desista na primeira tentativa! 6

8 Prefácio 7 O primeiro capítulo se destina a uma revisão dos conceitos básicos de números reais e potenciação e, como é uma revisão, deio a cargo do leitor a decisão de lê-lo. Espero que degustem esse conteúdo com o prazer que ele merece. Quaisquer erros de português, matemáticos ou de digitação que encontrarem no teto peço encarecidamente que me avisem para que possa corrigi-los o mais rápido possível. Desde já agradeço! Ituiutaba, 7 de março de Wallisom Rosa Graduação em Matemática - Universidade Federal de Viçosa (2003) Mestrado em Matemática - Universidade Federal de Pernambuco (2005) Professor Assistente da UFU, Campus do Pontal (desde 2006) wallisom@pontal.ufu.br Telefone: (34) ou (34)

9 Os Números Meus amigos essa noite eu tive uma alucinação Sonhei com um bando de número invadindo o meu sertão Vi tanta coincidência que eu fiz essa canção Falar do número 1: Falar do número um não é preciso muito estudo Só se casa uma vez e foi um Deus que criou tudo Uma vida só se vive, só se usa um sobretudo. Agora o 12: É só de pensar no doze que então quase desisto São doze meses do ano, doze apóstolos de Cristo Doze horas é meio-dia, haja dito haja visto. Agora o 7: Sete dias da semana, sete notas musicais, Sete cores do arco-íris, das regiões divinais E se pintar tanto sete, eu já não agüento mais. Dois: E no dois o homem luta entre coisas diferentes, Bem e mal, amor e guerra, preto e branco, bicho e gente Rico e pobre, claro e escuro, noite e dia, corpo e mente.

10 Agora o 4: E o quatro é importante, quatro pontos cardeais Quatro estações do ano, quatro pés tem o animal Quatro pernas tem a mesa, quatro dias o Carnaval. Pra encerrar Eu falei de tantos números, talvez esqueci algum Mas as coisas que eu disse não são lá muito comuns Quem souber que conte outra ou que fique sem nenhum Quem souber da história que me conte outra... Raul Seias e Paulo Coelho

11 Capítulo 1 Revisão Faremos aqui uma breve revisão de certos conceitos sobre números. Certamente, o que está feito neste capítulo não deve ser nenhuma novidade para o leitor, mas é muito importante para nivelar nossos conhecimentos sobre os números reais e suas propriedades. Esse conteúdo pode ser enconrtrado em qualquer uma das referências citadas. 1.1 Números Inteiros, Racionais e Reais Os números mais usuais no dia a dia são os números 1, 2, 3,..., chamados inteiros positivos (ou, simplesmente naturais). Geralmente os utilizamos para enumerar ou contar. Usaremos a seguinte notação para esse conjunto Notaç~ao: N = {1, 2, 3,...} Os números 1, 2, 3, 4,... são chamados inteiros negativos. Quando nos referirmos aos inteiros positivos juntamente com os inteiros negativos e o 0, nós os chamaremos simplesmente inteiros. Portanto, os inteiros são 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,... Notaç~ao Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} A soma e o produto de dois números inteiros são ainda inteiros. Ademais, dados a, b e c inteiros quaisquer, esta soma obedece às seguintes propriedades: S1. Comutativa. a + b = b + a; 10

12 Capítulo 1 - Revisão 11 S2. Associativa. (a + b) + c = a + (b + c); S3. Elemento Neutro. a + 0 = a para todo a Z e, além disso, 0 é o único inteiro com esta propriedade; a + ( a) = 0. S4. Inverso Aditivo. Para cada a Z eiste um único a Z tal que Note que a propriedade comutativa também garante que 0 + a = a e que ( a) + a = 0. O conjunto Z munido com esta soma é um eemplo de um grupo abeliano 1 (ou comutativo). Além dos inteiros temos as frações, como 3, 5, 1, 10,..., que podem ser positivas ou negativas, e que podem ser escritas como quocientes m/n, onde m, n são inteiros e n 0. Muito utilizadas em processos de divisão. Tais frações são chamadas números racionais. Todo inteiro m é um número racional, porque pode ser escrito na forma m/1, mas é claro que nem todo número racional é um inteiro (Contra-eemplo: 1 não é um número inteiro!). Para os racionais, usaremos 2 a seguinte notação: Notaç~ao: Q = { p q / p, q Z e q 0}. Observe que a soma e o produto de dois números racionais são ainda números racionais. Se a/b e m/n são dois números racionais quaisquer (a, b, m, n inteiros e b, n 0), a soma e o produto destes são da seguinte forma: a b + m n a b.m n = a.m b.n (1.1) a.n + b.m =. (1.2) b.n Se p, q e w são racionais quaisquer, então este produto definido em (1.2) satisfaz as seguintes propriedades: P1. Comutativa. p.q = q.p ; P2. Associativa. (a.b).c = a.(b.c); P3. Elemento Neutro. 2 p.1 = p para todo p Q. E 1 é o único racional com tal propriedade. 1 Em homenagem ao matemático norueguês Niels Abel. 2 Também chamado unidade.

13 Capítulo 1 - Revisão 12 Se pensarmos em + e como operações, as propriedades acima e as três primeiras propriedades da soma são análogas. Poderíamos então nos perguntar: Para cada racional p eiste um inverso multiplicativo q tal que p.q = 1? A resposta é não. O contra-eemplo é óbvio: Não eiste nenhum racional tal que seu produto por 0 seja igual a 1. Entretanto, se olharmos para o conjunto Q {0} = {q Q / q 0} a resposta agora é sim. Todo número racional não nulo possui um inverso multiplicativo e além disso, se a/b é um racional não nulo então b/a é seu inverso multiplicativo, ou seja, a b. b a = 1. Finalmente, temos os números que podem ser representados por decimais infinitas, como = 0, , = 0, , 2 = 1, , π = , Quando a representação decimal infinita de um número apresenta uma parte periódica este número é racional; caso contrário ele é chamado irracional. Entretanto, este não é um bom teste para verificar se um determinado número é ou não racional pois esta parte periódica pode não ser facilmente identificada. Os números racionais e irracionais são chamados números reais, ou simplesmente números (ou ainda, reais). Notaç~ao: R = Q Irracionais. Observação Note que N Z Q R ( significa está contido em!). Observação Mais ainda, R = Q Irracionais e Q Irracionais =. Isto é, todo número real ou é racional ou é irracional, são características mutuamente eclusivas ( significa união com enquanto significa interseção com!). Observação Não eiste uma lei de fomação que sirva para identificar todos os números irracionais, ao contrário do que acontece com os racionais. Observação Há muito mais irracionais que racionais entre os números reais (Apenas uma curiosidade!). Grosseiramente, se conseguíssemos colocar todos os números reais em uma caia e escolhêssemos aleatoriamente um deles, a probabilidade desse número ser um racional é zero!

14 Capítulo 1 - Revisão 13 A soma e o produto de dois números reais ainda é um número real. A soma satisfaz as propriedades S1, S2, S3 e S4 e o produto satisfaz as propriedades P1, P2 e P3. Ademais, todo número real não nulo possui um inverso multiplicativo e se R e 0 então representaremos seu inverso multiplicativo por 1 e 1 = 1. Enfatizamos que a epressão 1/0 ou 0 1 não é definida. Em outras palavras, não podemos dividir por 0, e não atribuimos nenhum significado aos símbolos 1/0 ou 0 1. Entretanto, se é um número então o produto.0 é definido e é igual a 0. O produto de qualquer número por 0 é 0. Além disso, se é qualquer número diferente de 0, então 0/ é definido e igual a 0, e pode ser escrito como 0.( 1). Observação Note que um número racional q = m, m, n Z e n 0, é n zero se, e somente se, m = 0. chama corpo. R munido com a soma e o produto é um eemplo do que na Álgebra se Eiste em R uma ordem natural segundo a qual dados dois números quaisquer e y em R tem-se: ou > y, ou = y ou y >. Chamamos esta propriedade dos reais de Tricotomia. Assim R é o que chamamos um corpo ordenado. Munidos com esta ordem podemos representar o conjunto R geometricamente da seguinte maneira: 1. Traçamos uma reta e marcamos nela uma origem que será ocupada pelo número 0.

15 Capítulo 1 - Revisão Os pontos da reta que estiverem à direta de 0 serão os números positivos e os que estiverem à esquerda de 0, os negativos. 3. Resta apenas definir uma unidade de medida para que possamos identificar qualquer número real como um ponto da reta, o ponto da reta que dista de 0, se é positivo e de 0 se for negativo Negativos 0 Positivos Por eemplo o número 3 é negativo e se situa à esquerda de 0 a uma distância de 3 unidades. Sua representação na reta é dada por Esta idéia motiva a definição do valor absoluto de um número. Definição O Valor Absoluto de um número, representado por, é a distância deste número à origem 0, e é dado por {, se 0; =, se < 0. Note que a distância entre dois números reais e y é igual a y. Por eemplo, a distância entre 3 e 5 é 3 ( 5) = 8 = 8. (Veja a figura 1.1) Frequentemente, iremos nos valer desta bijeção entre os números reais e os pontos de uma reta para confundir estas definições. Diremos reta real ou R para nos referirmos à mesma coisa.

16 Capítulo 1 - Revisão 15 8 unidades Figura 1.1: 3 Com a relação de ordem citada anteriormente, obtemos alguns subconjuntos de R que serão importantes para o nosso estudo futuro: os intervalos. Por eemplo o conjunto dos números reais que são maiores que a e menores que b é chamado um intervalo aberto. Denotaremos este conjunto por (a, b). Isto é, (a, b) = { R / a < < b}. Temos também os intervalos fechados, denotados por [a, b] e tais que [a, b] = { R / a b} e os intervalos que não são nem abertos nem fechados os semi-abertos ou semifechados denotados por [a, b) = { R / a < b} e (a, b] = { R / a < b}. Além destes intervalos temos também os intervalos que são iitados. Utilizaremos os símbolos e para indicar que determinado intervalo se estende indefinidamente para a direita ou para a esquerda. Por eemplo, (a, ) = { R / > a} e (, b] = { R / b}. Observe que o intervalo será sempre aberto nesses símbolos. A maioria dos resultados que veremos nesta apostila farão uso destes intervalos da reta, bem como a união e ou interseção deles.

17 Capítulo 1 - Revisão Potências Seja n um inteiro maior ou igual que 1 ( 1) e seja a um número qualquer. Então, a n é o produto de a por si mesmo n vezes. Por eemplo, se a = 2 e n = 3 então, a 3 = = 8. Uma propriedade elementar da potenciação é m+n = m. n (1.3) onde é um número qualquer e m, n são inteiros positivos (m, n Z e m, n > 0.) Sejam n Z, n 1 e a R, a > 0. Definimos a 1 n como sendo o único número positivo b tal que b n = a. (Admitimos, como parte das propriedades dos números, que tal número b, único, eista). Pergunta: Se n é um inteiro ímpar, como 1, 3, 5, 7,..., podemos definir b 1 n todo número b? para igual a 1 então Se a, b são dois números maiores ou iguais a 0 e n um inteiro maior ou (ab) 1 n = a 1 n b 1 n. (1.4) Eiste outra regra elementar útil. Sejam m, n inteiros maiores ou iguais a 1 e a um número maior ou igual a 0. Definimos 3 a m n como sendo (a 1 n ) m, que é também igual a (a m ) 1 n (Verifique!). Vejamos agora potências com epoentes negativos ou 0. Queremos definir a quando a é um número racional negativo ou 0 e > 0. Queremos que seja válida a regra fundamental a+b = a b. Isto significa que precisamos definir 0 como sendo 1. Por eemplo, como 2 3 = = , vemos que esta equação só é verificada se 2 0 = 1. Analogamente se, para > 0, a relação a = a+0 = a 0 3 Com isso definimos potência de um número com epoente racional positivo.

18 Capítulo 1 - Revisão 17 é verdadeira, então 0 precisa ser igual a 1. Suponhamos, finalmente que a seja um número racional positivo, e seja um número maior que 0. Definimos a como sendo Assim, Observamos que neste caso especial, 1 a. 2 3 = 1 2 = 1 3 8, e =. (4 2 3 )(4 2 3 ) = 4 0 = Em geral, a a = 1. (1.5) suas operações. Com isso, terminamos nossa revisão sobre números e regras básicas de

19 1.3 O Plano Cartesiano Capítulo 1 - Revisão 18 Um produto cartesiano entre dois subconjuntos A e B da reta real R é denotado por A B e definido da seguinte maneira: A B = {(a, b) / a A e b B}. O Plano Cartesiano 4 é o produto cartesiano de R por R. Às vezes utilizaremos R 2 ao invés de R R e chamaremos simplesmente plano real. O número a é chamado de abscissa de (a, b) e b a ordenada. A representação gráfica é a que está na figura 1.2. y b P=(a,b) ordenada d 0 abscissa a Figura 1.2: Plano Cartesiano. Pelo Teorema de Pitágoras, d = a 2 + b Distância no Plano e Equação de uma Circunferência Observe a figura Em homenagem ao seu criador, o matemático francês René Descartes ( ).

20 o que inplica 5 d = a 2 + b 2. Capítulo 1 - Revisão 19 é dada por Pelo Teorema de Pitágoras, a distãncia d entre o ponto P e a origem d 2 = a 2 + b 2, Dados A = (a, b) e B = (c, d) a distância d entre A e B é dada por: d = (a c) 2 + (b d) 2. y b A=(a,b) d d B=(c,d) c a Figura 1.3: d é a distância entre os pontos A = (a, b) e B = (c, d) no plano. Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que estão situados a uma distância r de um ponto fio P. P e r são chamados o centro e o raio, respectivamente, da circunferência. Dados P = ( 0, y 0 ) e r um número positivo dado, se (, y) pertence a circunferência de raio r e centro em P então r = ( 0 ) 2 + (y y 0 ) 2, 5 Note que distância é sempre positiva (ou zero!).

21 Capítulo 1 - Revisão 20 ou seja, raio r. ( 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. (1.6) A equação (1.6) é chamada equação da circunferência de centro em P e y y0 P r 0 0 Figura 1.4: Circunferência de centro em P = ( 0, y 0 ) e raio r.

22 Capítulo 1 - Revisão Eercícios Eercício 1 Estenda as fórmulas (1.1) e (1.2) para todos os reais. abaio, sabendo que a, b 0: ( ) ( ) 1 a. + 1 a. 2 a b 2b b. 1 a 1 b + 3 5a. Simplifique as epressões Eercício 2 Novamente usando as fórmulas (1.1) e (1.2) e lembrando que duas frações a e b c c com o mesmo denominador c 0 são iguais se a = b, encontre A e B para que as seguintes igualdades ocorram a = A + B, onde é um número real diferente de 1 e b. = A + B. São únicos os valores de A e B? Se A = 1 quanto deve ser B? Eercício 3 Determine que valores um número real pode assumir para que seja possível efetuar os seguintes cálculos 6 : a (isto é, dividir 1 por 2 1.) b. 21 ( 1)(+2)(+ 2 3 ). Eercício 4 Use as fórmulas acima para simplificar as epressões abaio. a. [( 2) 2 + ( 1) 1 ].( 1) 2 3, onde é um número diferente de 1 e 2. b. Seja h > 0. Calcule (h + 1) 1 h 1. 6 Lembre que o produto de dois números é zero se, e somente se, um deles é zero.

23 Capítulo 1 - Revisão 22 c. d. ( 1) 3 ( 1) 2 ( 2) 2, onde 2. ( ) 1 ( 1) 2 ( 2) 5 2 ( 2) 3, onde 2. Eercício 5 Encontre os valores de para os quais é possível determinar os quocientes abaio. a b c. 1 ( 1) 2 ( 2) 13 ( 5) 1. Eercício 6 Determine a equação da circunferência com centro em (7, 5) e raio 3.

24 Capítulo 2 Funções e Aplicações Um dos conceitos fundamentais em Matemática é o de função. Nesse capítulo estudaremos as funções de uma variável e suas aplicações às ciências econômicas como, por eemplo, a análise de equilíbrio e as funções oferta/demanda. 2.1 Conceito e Notação Seja D R um subconjunto não-vazio dos números reais. Uma função f de D em R é uma correspondência que associa a cada elemento de D um único número, que denotaremos por f(), em R. Em resumo: f : D R f(). Podemos pensar em uma função como uma máquina que recebe como matéria-prima os elementos de D, os processa e devolve na saída números reais do tipo f(). É o que está ilustrado a seguir: Entrada Saída Função f()

25 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 24 O número é também chamado variável independente (ou simplesmente variável). O conjunto D, formado por todas as entradas possíveis, é chamado domínio de f. D = { R / f() R}. f() é chamado imagem de por f. O conjunto formado pelos números f() com D, dado por {f() / D} é chamado de conjunto imagem de f. A notação para o conjunto imagem é Im(f). Assim, Im(f) = {f() / D}. As seguintes notações para uma função f podem ser encontradas na literatura: f, f(), y = f(). Usaremos sempre uma letra, maiúscula ou minúscula, para representar as funções. As variáveis serão representadas por letras minúsculas. Eistem diferentes maneiras de representar uma função: 1. Descriç~ao Verbal. Por eemplo, podemos pensar em uma função que forneça a soma de um número, diferente de zero, com seu inverso multiplicativo. 2. Epress~ao ou Fórmula. f() = 2, S() = Tabela de Valores f()

26 Capítulo 2 - Funções e Aplicações Gráfico. y f f(a) a 5. Diagrama de setas. f 0 1 f(0)=3 f(1)=0 f( )=-1 Eemplo Seja f() = 2. Calcule f(1), f( 2), f(a + h), f(a + h) f(a) e f(a+h) f(a) h. Solução: f(1) = 1 2 = 1, f( 2) = ( 2) 2 = 4, f(a + h) = (a + h) 2 = a 2 + 2ah + h 2, f(a + h) f(a) = a 2 + 2ah + h 2 a 2 = 2ah + h 2, f(a + h) f(a) h = 2ah + h2 h = 2a + h. Eemplo Seja f(t) = t 1. Encontre o domínio de f e os valores f( 1) e t f(z 1).

27 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 26 Solução: D = {t R / t 0} = R {0}. f(z 1) = z 1 1 z 1 f( 1) = 0, = z 2, desde que z 1. Eemplo A Função Valor Absoluto. Vimos anteriormente a definição de valor absoluto 1 de um número. O valor absoluto de um número pode ser visto como uma função que associa a cada número real sua distância à origem. Esta função é sempre positiva e como a forma de calcular a imagem de cada real depende de seu sinal, esta função é o primeiro eemplo de uma função enunciada por sentenças. Eemplo Suponha que um comerciante de cadeiras tenha um custo de R$30, 00 por cadeira produzida, além de um custo mensal fio de R$150, 00. Então, se unidades de cadeiras forem produzidas, podemos escrever o custo total como função do número de cadeiras produzidas da seguinte maneira: C() = A tabela que ilustramos anteriormente fornece alguns valores desta função. Eemplo Um comerciante deseja fazer caias de papelão sem tampa utilizando pedaços quadrados de papelão com 30cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando para cima os lados que sobraram. Se cm é o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, o volume V da caia pode ser epresso como uma função de da seguinte maneira: V () = (30 2) 2. = Mais adiante estaremos interessados em saber qual o valor de que fornecerá o maior volume possível à caia. Observe também que as itações físicas do problema fazem com que o domínio de V seja dado pelo intervalo aberto (0, 15). (Veja a figura 2.1) 1 Recorde a definição

28 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 27 cm cm Figura 2.1: O gráfico de uma função f : D R é o conjunto dos pares ordenados (, f()) com D. O gráfico de f é um subconjunto do plano cartesiano e o denotaremos por Graf(f). Assim, Graf(f) = {(, f()) / D} e podemos representá-lo no plano cartesiano da seguinte maneira. y f f(a) (a,f(a)) a Uma curva no plano é o gráfico de uma função se toda reta verical a intercepta uma única vez. Na figura 2.2 damos eemplos de curvas no plano que representam e que não representam gráfico de uma função. Para a primeira curva, toda reta vertical a intercepta uma única vez, logo, ela representa o gráfico de uma função. Já na segunda curva, eistem retas verticais que a interceptam em três lugares. Portanto, esta não representa o gráfico de uma função.

29 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 28 y y Figura 2.2: Simetrias Algumas funções apresentam simetrias que facilitam o traçado de seus gráficos. Seja D um conjunto simétrico em relação a 0, isto é, se pertence a D então seu oposto aditivo também pertence a D. Uma função f : D R é par se f( ) = f() para todo D. O gráfico de uma função par apresenta uma simetria com relação ao eio-y. Isso significa que se fizermos o gráfico de f para 0, para obter o gráfico inteiro basta refletir o que temos em torno do eio-y. y - 0 Por eemplo, f() = 2 é uma função par pois f( ) = ( ) 2 = 2 = f(), D.

30 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 29 Uma função f : D R é ímpar se f( ) = f(), para todo D. Por eemplo, a função f() = 3 é ímpar pois f( ) = ( ) 3 = 3 = f(), D. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Logo, se tivermos o gráfico de f para 0, podemos obter o gráfico inteiro girando o que já temos em 180 o em torno da origem. y - 0 Eemplo Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois. a. f() = 5 + ; b. g() = 2 4. Solução: a. A função f é ímpar pois f( ) = ( ) 5 = 5 = ( 5 + ) = f(), para todo R. b. Já a função g não é nem par nem ímpar pois g( ) = 2 4 que é diferente de g() e de g().

31 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 30 Como acabamos de ver, eistem funções que nem são pares nem ímpares. Contudo, eiste um fato curioso: Toda função definida em um conjunto D, simétrico em relação a origem, pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar. Com efeito, seja f uma função de D em R. Daí, se D então f() = = = f() + f() 2 f() + f( ) f( ) + f() 2 f() + f( ) f() f( ) Afirmamos que g() = f()+f( ) 2 é par e h() = f() f( ) 2 é ímpar. Se provamos esta afirmação concluimos a demonstração. De fato, g( ) = f( ) + f() 2 = f() + f( ) 2 = g() para todo D e f( ) f() h( ) = 2 [ f() f( ) ] = = h() 2 para todo D. Logo, g é par e h é ímpar. Esta demonstração é de eistência. Provamos que eistem uma função par g e uma função ímpar h tais que f() = g() + h(), para todo D. Além disso, demos uma fórmula para se encontrar as funções g e h em termos de f Funções Crescentes e Decrescentes Uma função f é crescente em um intervalo I se f( 1 ) < f( 2 ) sempre que 1 < 2 em I. f é decrescente em I se f( 1 ) > f( 2 ) sempre que 1 < 2 em I.

32 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 31 y y f( 1) f( 2) f( 1) f( 2) f crescente f decrescente Nestas definições é importante salientar que, por eemplo, uma função é crescente em um intervalo I se a desigualdade f( 1 ) < f( 2 ) se mantém para quaisquer 1 e 2 em I com 1 < 2. Por eemplo, pelo gráfico de f() = 2, podemos observar que esta é decrescente em (, 0] e crescente em [0, ). y decrescente crescente 0

33 2.2 Funções Importantes Capítulo 2 - Funções e Aplicações 32 Nesta seção veremos algumas das principais funções do cálculo Função Linear Dizemos que uma função f é uma função linear 2 de quando o gráfico de f é uma reta. Assim, a forma mais geral possível para uma função linear é f() = m + b onde m, b R. y y=m+b b m=tan 0 As constantes m e b recebem o nome de coeficiente angular(ou inclinação) e coeficiente linear, respectivamente. Se m = 0, f() = b é uma função constante e se m = 1 e b = 0, f() = é a função identidade. Uma característica peculiar das funções lineares é que elas crescem ou decrescem a uma taa constante. O eemplo é um eemplo de uma função linear. Note que a cada 5 unidades a mais produzidas o custo total da produção aumenta em R$150, 00. Isso fornece uma taa crescimento de R$30, 00 por unidade produzida. Esse resultado não é nenhuma novidade já que o próprio eemplo já fornece esta informação. 2 Esta é a definição dada em [2]. Em [5], define-se função linear como as funções do tipo f() = a, e as da forma g() = a + b, b 0, são chamadas funções afim.

34 Capítulo 2 - Funções e Aplicações Polinômios Uma função P é chamada um polinômio(ou função polinomial) se é da forma P () = a n n + a n 1 n a a 1 + a 0 onde n é um inteiro não negativo. Os números a 0, a 1, a 2,..., a n são constantes chamadas coeficientes do polinômio. O grau de P é o maior inteiro n tal que a n 0 e o grau de P () = 0 (chamado de polinômio nulo) é zero. O domínio de qualquer polinômio é R. Por eemplo, a função P () = π é um polinômio de grau 5. A função V do eemplo é um polinômio de grau 3. Um polinômio de grau 1 é da forma P () = m + b e, portanto, é uma função linear. Um polinômio de grau 2 é da forma P () = a 2 + b + c e é chamado de função quadrática. O gráfico de P nesse caso é sempre uma parábola. Um polinômio de grau 3 é chamado de função cúbica e tem a forma P () = a 3 + b 2 + c + d. Na figura 2.3 ilustramos os gráficos de polinômios de graus 2,3,4 e 5. Os economistas frequentemente utilizam um polinômio P () para representar o custo na produção de unidades de um certo produto Funções Racionais Uma função racional f é o quociente de dois polinômios. Isto é, f() = P () Q() onde P e Q são polinômios. O domínio consiste de todos os valores de tais que Q() 0. Um eemplo já conhecido de função racional é a função f() = 1 que

35 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 34 grau 2 grau 3 grau 4 grau 5 Figura 2.3: Gráficos de polinômios de graus 2,3,4 e 5. associa a cada número real não nulo seu inverso multiplicativo. R {0}. A função 1 f() = é uma função racional cujo domínio é { R / 1}. Seu domínio é Funções Algébricas Uma função f é uma função algébrica se puder ser construída a partir de um número finito de operações algébricas (tais como adição, multiplicação, etração de raízes) começando com polinômios. algébrica. Alguns eemplos: Em particular, toda função racional é uma função f() = e g() = O gráfico de uma função algébrica, como veremos mais adiante, pode assumir uma variedade de formas.

36 2.2.5 Funções Eponenciais Capítulo 2 - Funções e Aplicações 35 Uma função eponencial é uma função da forma f() = a onde a é uma constante positiva. Por eemplo ( 1 f() = 2, g() = π e h() = 2) são eemplos de funções eponenciais. Os gráficos dos membros da família de funções y = a estão na figura abaio para valores diferentes da base a. Note que todos estes gráficos passam pelo ponto (0, 1), pois a 0 = 1 para a 0 (Veja a seção 1.2.). 0<a<1 a>1 a=1 0 Se 0 < a < 1, então a aproima-se de 0 à medida que cresce. Se a > 1, então a tende a 0 à medida que decresce por valores negativos. Pela figura anterior, percebemos que eistem três tipos de função eponencial y = a. Se 0 < a < 1, a função eponencial é sempre decrescente; se a = 1, ela é uma constante; e se a > 1, ela é crescente. Observe que o domínio de uma função eponencial é R e em qualquer caso a > 0, para todo. Ou seja, o conjunto imagem de uma função eponencial é o intervalo (0, ). Além disso, uma vez que

37 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 36 (1/a) = 1/a = a, o gráfico de y = (1/a) é a refleão do gráfico de y = a em torno do eio-y. Dentre todas as bases possíveis para uma função eponencial, há uma que é mais conveniente. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a função y = a corta o eio-y. As figuras a seguir mostram as retas tangentes ao gráfico de y = 2 e y = 3 (retas tangentes serão definidas precisamente nos capítulos 3 e 4; por ora vamos pensar na reta tangente ao gráfico eponencial em um ponto como a reta que toca o gráfico em um único ponto.) Se medirmos as inclinações das retas tangentes encontraremos m 0, 7 para y = 2 e m 1, 1 para y = 3. y a=3 a=2 m=1,1 m=0,7 1 0 Figura 2.4: y = a, a = 2, 3 e suas respectivas retas tangentes em (0, 1). O número e é a base para a qual resulta uma reta tangente a y = a no ponto (0, 1) com uma inclinação de eatamente 1. Ele foi descoberto pelo matemático suíço Leonhard Euler em Analisando os gráficos acima não nos surpreende que o número e esteja entre 2 e 3 e o gráfico de y = e entre os gráficos de y = 2 e y = 3. O número e é um número irracional e seu valor 3 até a quinta casa decimal é dado por e 2, Não entraremos em detalhes de como encontrar tal valor para e. Não é o objetivo deste teto!

38 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 37 y 1 0 Figura 2.5: Gráfico de y = e e sua reta tangente em (0, 1) cuja inclinação é Funções Inversas e Logaritmos Uma função f é chamada um a um (ou injetora) se nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, f( 1 ) f( 2 ) sempre que 1 2. Por eemplo, a função f() = 3 é um a um pois se (dois números diferentes não podem ter o mesmo cubo!). 2 então Porém, a função f() = 2 não é um a um pois, por eemplo, se 1 = 1 e 2 = 1 então 1 2 e, no entanto, f( 1 ) = 1 = f( 2 ). Se conhecemos o gráfico de uma dada função f, para sabermos se ela é injetora basta verificar se toda reta horizontal intercepta seu gráfico em apenas um ponto. Ou seja, uma função é um a um se toda reta vertical intercepta seu gráfico uma única vez (Veja a figura 2.6). O conjunto imagem de uma função f : D R, denotado por Im(f) é

39 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 38 y Figura 2.6: Gráfico de uma função um a um. dado por Im(f) = {f() / D}. Claramente, Im(f) é um subconjunto de R. O conjunto R, por sua vez, é chamado o contra-domínio de f. Sendo o mais geral possível, se f é uma função de um conjunto A em um conjunto B (f : A B), então A é o domínio de f, B é o contra-domínio e o conjunto imagem Im(f) é um subconjunto de B. Diremos que uma função f : A B é sobrejetora se Im(f) = B. Lembramos que esta igualdade é entre dois subconjuntos de R, isto é, Im(f) = B se, e somente se, Im(f) B e B Im(f). Como a inclusão Im(f) B é sempre satisfeita então, para verificar que uma dada função é sobrejetora basta verificar se B Im(f). Observe que qualquer função f : D Im(f) é sempre sobrejetora. Ou seja, toda função é sobrejetora sobre o seu conjunto imagem. Uma função f : A B é invertível (ou bijetora) se é injetora e sobrejetora. Em particular, se B = Im(f) então f é invertível se é um a um. Também diremos, se f é invertível, que f possui uma inversa, a qual chamaremos de f 1, que está definida em B e assume valores em A, ou seja, f 1 : B A, e é definida

40 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 39 por f 1 (y) = f() = y para todo y B. Esta definição estabelece: se f transforma em y, então f 1 transforma de volta y em. Daí a necessidade de f ser um a um pois, caso contrário, f 1 não seria uma função. Note que: Domínio de f = Im(f 1 ) Domínio de f 1 = Im(f). então Por eemplo, a função inversa de f() = 3 é f 1 () = 1 3 pois se y = 3, f 1 (y) = f 1 ( 3 ) = ( 3 ) 1 3 =. Observação Não confundir o 1 de f 1 com um epoente. Assim, f 1 () não significa 1 f()! Poderíamos modelar, por eemplo, o número de árvores y, em uma floresta, em função do tempo t, ou seja, y = f(t). Raciocinando inversamente, poderiamos estar interessados em saber quanto tempo demoraria para eistir uma floresta com um determinado número de árvores. Agora, o tempo t é uma função do número de árvores y na floresta, e é epresso por t = f 1 (y). Como Achar a Inversa de uma Função Invertível f: Passo 1. Escreva y = f(); Passo 2. Resolva essa equação para em termos de y (se possível); Passo 3. Para epressar f 1 como uma função de, troque por y. A equação resultante é y = f 1 (). Vale também: f 1 (f()) = para todo no domínio de f,

41 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 40 e f(f 1 ()) = para todo no domínio de f 1. Por eemplo, se quisermos encontrar uma função inversa para f() = , de acordo com os passos acima temos, para todo 5/2: y = Finalmente, f 1 () = y 2y = y + 3 = 5y 1 (2y + 3) = 5y 1 = 5y 1 2y + 3. Observe que o domínio de f é R { 5 }, que é eatamente o conjunto 2 imagem de f 1. Assim como R { 3} é o domínio de f 1 e a imagem de f. A 2 seguir temos o gráfico de f e de f 1. y =5/2 =-3/2 y 0 y=-3/2 y=5/2 0 Deio a cargo do leitor a verificação de que para f e f 1 dadas anteriormente temos: Figura 2.7: y = e y = f 1 (f()) = para todo no domínio de f, e f(f 1 ()) = para todo no domínio de f 1.

42 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 41 O princípio de trocar por y para encontrar a função inversa também nos dá um método para se obter o gráfico da inversa f 1 a partir de f. Uma vez que f(a) = b se, e somente se, f 1 (b) = a, o ponto (a, b) pertence ao gráfico de f se, e somente se, o ponto (b, a) pertence ao gráfico de f 1. Mas obtemos o ponto (b, a) refletindo (a, b) em torno da reta y = (Veja a figura abaio). y a (b,a) y= b (a,b) 0 b a Figura 2.8: f(a) = b se, e somente se, f 1 (b) = a. Logo, o gráfico de f 1 é a refleão do gráfico de f em torno da reta y =. Funções Logarítmicas Se a > 0 e a 1, a função eponencial f() = a é ou crescente (se a > 1) ou decrescente (se 0 < a < 1), e portanto injetora. Sabemos que Im(f) = (0, ) (Recorde a seção 2.2.5). Daí, a função eponencial f : R (0, ) admite uma inversa f 1 : (0, ) R, a qual chamaremos de função logarítmica com base a e denotaremos por log a. Assim, log a = y a y =. Logo, se > 0, então log a é o epoente ao qual deve se elevar a base a para se obter. Por eemplo, log 10 0, 0001 = 4 porque 10 4 = 0, 0001.

43 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 42 A seguir estão os gráficos de a e log a para a > 1. O fato de a crescer muito rápido reflete o fato de log a crescer devagar. y y=a y= 1 y= log a 0 1 Propriedades dos Logaritmos Se e y forem números reais positivos (maiores que 0) então: 1. log a (y) = log a + log a y (O logaritmo transforma produto em soma) ( ) 2. log a = log y a log a y (O logaritmo transforma quociente em diferença) 3. log a ( r ) = r log a, onde r é qualquer número real. (O logaritmo transforma uma potência no produto do epoente pelo logaritmo da base) Usando estas propriedades podemos calcular, por eemplo, log 2 80 log 2 5. Basta aplicar 2: pois 2 4 = 16. ( 80 ) log 2 80 log 2 5 = log 2 = log = 4

44 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 43 Logaritmos Naturais Os logaritmos na base e são chamados de logaritmos naturais e têm uma notação especial: log e = ln. Logo, Assim ln = y e y = ln = y e y =, ln(e ) =, R e e ln =, (0, ). Em particular, se = 1 temos ln e = 1. Observação Os logaritmos em qualquer base podem ser representados em termos dos logaritmos naturais da seguinte forma: se a > 0 e a 1, então log a = ln ln a. Com efeito, seja y = log a. Então, a y =. Tomando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade obtemos y ln a = ln. Portanto, y = ln ln a. Na figura 2.9 estão os gráficos de ln e e. 2.3 A Álgebra das Funções Veremos aqui como construir novas funções a partir das que já definimos.

45 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 44 y y=e y= 1 y= ln Combinações Figura 2.9: y = e e sua inversa y = ln. Seja c uma constante real e sejam f e g funções com domínios A e B, respectivamente. Então definimos as funções cf, f + g, fg e f da seguinte forma: g (cf)() = c.f() e o domínio de cf é A; ( (f + g)() = f() + g() e o domínio de f + g é A B; f g ) (fg)() = f().g() e o domínio de fg é A B; () = f() e o domínio de f é { A B / g() 0}. g() g Eemplo Se f() = 4 e g() = 1, encontre as funções f + g e fg. 1 Solução: O domínio de f é (, 4] e o de g é R {1}. A interseção dos domínios de f e g é o conjunto W = { R / 4 e 1}. De acordo com as definições temos (f + g)() = (fg)() = 1,

46 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 45 para todo W. O gráfico da função f + g é obtido a partir dos gráficos de f e g por adição gráfica. Isto significa que somamos as coordenadas y como na figura abaio. y f+g f(a)+g(a) f(a) g(a) 0 a f g Figura 2.10: (f + g)() = f() + g() para todo Composição de Funções Suponha que y é uma função da variável u, como por eemplo y = f(u) = u. Suponha também que u = g() = Uma vez que y é uma função de u que por sua vez é uma função de, segue que podemos epressar y como função de por substituição direta: y = f(u) = f(g()) = f( 2 + 1) = Esse processo chama-se composição de funções, pois a função obtida é composta de duas funções dadas f e g.

47 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 46 Assim, dadas duas funções f e g, a função composta, denotada por f g, é definida por (f g)() = f(g()) e o domínio de f g, denotado por D f g, é o conjunto de todos os números no domínio de g, tais que g() esteja no domínio de f. Logo, D f g = { D g g() D f }, onde D f e D g são os domínios de f e g, respectivamente. O diagrama abaio eplica o funcionamento da composição f g: Entrada F o Saída f Entrada Funçã Saída Máquina Máquina g g() f f(g()) Figura 2.11: (f g)() = f(g()). Eemplo Se f() = e g() = 2 3, determine f g e g f assim como o domínio de cada uma. Solução: (f g)() = f(g()) = f(2 3) = 2 3. O domínio de f é D f = [0, ) enquanto o de g é D g = R. Assim, pela definição D f g = { D g g() D f } = { R g() [0, )} = { R 2 3 0} Isto é, D f g = [ 3 2, ). = [ 3 2, ).

48 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 47 (g f)() = g(f()) = g( ) = 2 3 e seu domínio é D g f = { D f g() D g } = { [0, ) f() R} = [0, ), isto é, D g f = [0, ). Eemplo Seja f() = 1. Sabemos que D f = R {0} e que (f f)() =. Note que a epressão de (f f)() esá definida para todo R. definição do domínio de uma função composta, temos que Porém, pela D f f = { D f f() D f } = { R {0} 1 R {0}} = R {0}. O eemplo anterior mostra que não devemos calcular o domínio de um função composta f g julgando apenas sua epressão final. Devemos aplicar a definição, e, para isso, é necessário conhecer os domínios de f e g. Na seção 2.2.6, definimos a função inversa e comentamos que uma de suas propriedades era f 1 (f()) = para todo no domínio de f, e f(f 1 ()) = para todo no domínio de f 1. Se denotamos a função identidade pela letra I, isto é, I() =, então as propriedades acima podem ser escritas como composições da seguinte maneira:

49 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 48 f 1 f = I : D f D f e f f 1 = I : D f 1 D f 1. Ou seja, a composição de f 1 com f é a identidade que leva elementos do domínio de f em elementos do domínio de f. E a composição de f com f 1 é a identidade definida no domínio de f Equações de Oferta e de Demanda Faremos aqui um resumo do que está feito na seção 1.6 de [1]. Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são o preço e a quantidade de mercadoria demandada (procurada). Sejam p o preço de uma unidade de mercadoria e o número de unidades demandadas. Parece razoável que a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos consumidores dependerá do preço da mesma. Quando o preço diminui há um aumento na procura pela mercadoria e caso o preço aumente, ocorrerá o contrário: a procura irá diminuir. Uma equação que relaciona a quantidade de mercadoria demandada e o preço p de uma unidade da mesma, é chamada equação de demanda. Chega-se a tal equação através da aplicação de métodos estatísticos aos dados econômicos. Uma equação de demanda pode ter uma das formas: p = f() (2.1) = g(p). (2.2) A função f em (2.1) é chamada função preço, e f() é o preço de uma unidade de mercadoria quando unidades são demandadas. A função g em (2.2) é chamada função de demanda, e g(p) é o número de unidades da mercadoria que serão demandadas se p for o preço por unidade. Em situações econômicas normais os domínios das funções preço e de demanda consistem, como é de se esperar, de números não-negativos.

50 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 49 p b Curva de Demanda p=f() 0 a Figura 2.12: Uma curva de demanda é sempre decrescente. O gráfico de uma equação de demanda é chamado curva de demanda. Em economia, é comum representarmos a variável p no eio vertical e a variável no eio horizontal. Como a equação de demanda pode ser aplicada somente para alguns valores de e de p, é muitas vezes necessário restringi-los a intervalos fechados; isto é, [0, a] e p [0, b]. Mesmo que na prática as quantidades e preços, em geral, assumam valores racionais, permitiremos que e p sejam quaisquer números reais dentro destes intervalos. Eemplo Considere a equação de demanda: p = 0. (2.3) Como em situações econômicas normais as variáveis e p são não negativas, quando (2.3) é resolvida para p em função de, rejeitamos os valores negativos de p, obtendo p = 16 2 (2.4) que é do tipo (2.1). Assim a função preço para a equação de demanda (2.3) é a função f para a qual f() = 16 2.

51 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 50 Agora, se resolvermos (2.3) para como função de p, obtemos = p2. (2.5) Assim, a função de demanda é a função g para a qual g(p) = p2. Um esboço da curva de demanda está na figura abaio. p 4 Curva de Demanda: 2 p +2-16=0 0 8 Figura 2.13: Equação de Demanda: p O gráfico está restrito ao primeiro quadrante já que e p são não negativas. De (2.4) obtemos que p 4 e 8. Logo, [0, 8] e p [0, 4]. A forma mais geral possível de uma curva de demanda é a ilustrada na figura Note que, além de pertencer ao 1 o quadrante, a função que descreve o gráfico é sempre decrescente. Suponha agora que seja o número de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertada por um produtor e, assim como antes, p seja o preço de uma unidade da mercadoria. Suponha também que estas são as únicas variáveis. Uma equação envolvendo estas duas variáveis é chamada equação de oferta. Numa situação econômica

52 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 51 normal temos que as variáveis e p são não negativas e 2 > 1 se, e somente se, p 2 > p 1 ; isto é, quando o preço da mercadoria aumenta, o produtor naturalmente aumentará a oferta para tirar vantagem dos preços mais altos. Da mesma forma haverá uma tendência em diminuir a quantidade ofertada quando o preço diminui. O caso trivial quando a oferta é constante qualquer que seja o preço, é uma eceção a esta afirmação. O gráfico de uma equação de oferta é chamado curva de oferta. A figura abaio é um eemplo. p Curva de Oferta p 0 0 Figura 2.14: Uma curva de oferta é sempre crescente. Quando = 0, p(0) = p 0 é o preço segundo o qual nenhuma mercadoria estará disponível no mercado. Quando o preço unitário é grande, o produtor oferta uma grande quantidade de mercadoria ao mercado. Note que a função que fornece a curva de oferta é sempre crescente. Eemplo A não ser que o preço de uma guitarra Fender supere R$500, 00, nenhuma guitarra estará disponível no mercado. Entretanto, quando o preço atingir R$700, 00, 100 unidades desta guitarra estarão disponíveis no mercado. Supondo que a equação de oferta é linear, encontre-a e esboce a curva de oferta.

53 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 52 Solução: Como a equação de oferta é linear, a curva de oferta é uma reta e os pontos ( 1, p 1 ) = (0, 500) e ( 2, p 2 ) = (100, 700) pertencem a ela. Daí, a inclinação desta reta é dada por m = p 2 p = = 2. Portanto, a equação de oferta é dada por p 500 = 2( 0) p = 0 ou seja, p = 0. A curva de oferta é: p Equação de Oferta: p-2-500= Figura 2.15: Curva de Oferta: p = 0. Chamaremos o conjunto das empresas que produzem uma certa mercadoria de indústria. O mercado para uma certa mercadoria consta da indústria e dos consumidores da mercadoria. A equação de oferta do mercado é determinada a partir das equações de oferta das companhias integrantes da indústria, e a equação de demanda do mercado é determinada através das equações de demanda de todos

54 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 53 os consumidores. Mostraremos agora como determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio de um mercado. O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada, a um dado preço, é igual à quantidade de mercadoria oferecida àquele preço. Isto é, o equilíbrio de mercado ocorre quando todas as mercadorias colocadas a venda a um dado preço são vendidas. Quando ocorre o equilíbrio de mercado, a quantidade de mercadoria produzida é chamada quantidade de equilíbrio e o preço da mercadoria é chamado preço de equilíbrio. A quantidade de equilíbrio e o preço de equilíbrio são determinados resolvendo simultaneamente as equações de demanda e oferta do mercado. Na figura a seguir temos esboços das curvas de demanda e oferta, indicadas por D e S, respectivamente. p S p E E D 0 E Figura 2.16: O ponto E = ( E, p E ) é o ponto de equiĺıbrio e suas coordenadas são a quantidade de equiĺıbrio E e o preço de equiĺıbrio p E. Eemplo As equações de demanda e oferta do mercado são, respectivamente, 2 + p 2 = 25 e 2 8p + 8 = 0 onde p é o preço e unidades a quantidade. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. Trace esboços das curvas de oferta e demanda no mesmo conjunto de eios, e mostre o ponto de equilíbrio. Solução: Para encontrarmos o ponto de equilíbrio resolvemos simultaneamente as

55 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 54 equações. Isolando 2 em ambas as equações temos 2 = 25 p 2 2 = 8p 8. Igualando, encontramos uma equação para o preço de equilíbrio: 25 p 2 = 8p 8 p 2 + 8p 33 = 0. Esta equação tem como raízes 3 e 11. Como as variáveis são todas não negativas, então o preço de equilíbrio é p E = 3. Substituindo em qualquer uma das equações dadas encontramos a quantidade de equilíbrio. Assim, = 25 2 = 16 = 4. Logo, a quantidade de equilíbrio é E = 4. A seguir temos o gráfico desejado. 5 p 4 S p E 3 E 2 D E Terminamos assim este capítulo sobre funções. Nos próimos capítulos desenvolveremos a teoria necessária para esboçarmos o gráfico de uma função de uma variável e solucionarmos problemas práticos de otimização. Até então, nos itamos

56 Capítulo 2 - Funções e Aplicações 55 a traçar gráficos de equações de curvas familiares, tais como retas, semi-círculos e parábolas. Uma pergunta surge: O que nos garante o formato desses gráficos? Esperamos ser capazes de responder a tal pergunta com o estudo do ite e da derivada de uma função. Até o próimo capítulo!

57 Capítulo 2 - Funções e Aplicações Eercícios Eercício 1 Ache a inclinação da reta 3 4y = 12. Eercício 2 Mostre que as retas 2 3y + 8 = 0 e 4 6y + 5 = 0 são paralelas. Eercício 3 Ache a inclinação da reta que passa pelos pontos (4, 5) e ( 2, 7). Escreva uma equação desta reta. Eercício 4 Nos eercícios a seguir considere uma função f : D f R cuja epressão é dada em cada caso. Determine o Domínio D de cada uma. (a) f() = 2 + 5; (b) f() = ; (c) f() = (d) f() = 2 ; (e) f() = + ; (f) f() = 1 1 ; (g) f() = ln( 2 1); (h) f() = e 2. { 2 1, se < 1; 1, se 1. ; Eercício 5 Seja f : R R dada por f() = Ache (a) f(1); (b) f( 3); (c) f( 2 ); (d) [f()] 2 ; (e) f(+h) f() h, se h 0. Eercício 6 Seja g : [ 3, ) R dada por g() = + 3. Ache (a) g( 3); (b) g(1); (c) g( 2 ); (d) [g()] 2 ; (e) g(+h) g() h, se h 0. Nos eercícios de 7 a 10 defina as seguintes funções e determine o domínio da função resultante: (a) f g; (b) g f; (c) f f; (d) g g. Eercício 7 f() = 2 4; g() = 4 3; Eercício 8 f() = + 2; g() = 2 + 4; Eercício 9 f() = 2 9; g() = + 5; Eercício 10 f() = 1; g() = ln.