ESCOLA SECUNDÁRIA ALCAIDES DE FARIA FICHA DE TRABALHO - MATEMÁTICA 11º ANO ANO LECTIVO 2011/2012

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA ALCAIDES DE FARIA FICHA DE TRABALHO - MATEMÁTICA 11º ANO ANO LECTIVO 2011/ Duas povoações A e B, distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F. Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura abaixo. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P e dois que partem de P, um para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B. Tem-se ainda que: - o ponto M, ponto médio de AB, dista 4 km de F - x é a amplitude do ângulo PAM x 0, Tomando para unidade o quilómetro, mostra que o comprimento total da canalização é dado por: g x 8 4sen x 4 cos x 4 ( Sugestão: começa por mostrar que PA e FP 4 4tgx ) cos x 1.2 Calcula g (0) e interpreta o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento. 2 - Na figura - o triângulo ABC é isósceles AB BC - DEFG é um rectângulo; DG 2; DE 1 - x designa a amplitude do ângulo BAC Mostra que a área do triângulo ABC é dada, em função de x, por 1 f x 2 tgx x 0, tgx (Nota : reparar que BÊF = BÂC) 2

2 3 - A figura abaixo representa um canteiro de forma circular com 5m de raio. O canteiro tem uma zona rectangular, que se destina á plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura. Os vértices A, B, C e D do rectângulo pertencem à circunferência que limita o canteiro. Na figura estão também assinalados: - dois diâmetros da circunferência, EG e HF, que contém os pontos médios dos lados do rectângulo - o centro O da circunferência - o ângulo BOF, de amplitude x x 0, 2 Mostra que a área (em metros quadrados da zona relvada é dada, em função de x, por: g x cos xsen x 4 - Na figura junta são dados uma circunferência de centro O e raio 1, um diâmetro AB e uma corda CD, perpendicular a esse diâmetro. Designando por 0, 2 o ângulo AÔC=AÔD, determina: 4.1 O perímetro do triângulo BCD, em função de ; 4.2 Mostra que a área do triângulo [BCD] é dada, em função de α, por senα(1+cosα) e calcula o seu valor para α = π/3 5 - A D. Joana, pessoa de gostos requintados, encomendou numa confeitaria biscoitos com a forma de losango cujo perímetro é 8 cm. Prova que a área do losango é dada, em função de x, por A x 8sen xcos x

3 6 - Considera um triângulo ABCD em que: - x é a amplitude do ângulo BCA e x 0, 2 - BC 2 - BH é a altura relativa a B - AH 1 Mostra que a área do triângulo é dada, em função de x, por A x sen x 2sen xcos x 7 - Considera a função f :, definida por f x sen x sen xcos x 7.1 ABCD é um trapézio isósceles; os lados e BC AD são paralelos. Tem-se que : - AB BC CD 1 - AD 1 -, é amplitude do ângulo ABC 3 2 Mostra que,para cada, a área do trapézio é igual a f. 7.2 Determina f e interpreta geométricamente o resultado obtido, caracterizando o 2 quadrilátero que se obtém para 2

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5 10- Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEG]. Tem-se que : [ABFG] é um quadrado de lado 2 FD é um arco de circunferência de centro B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] perpendicular a [BD]. x designa a amplitude, em radianos, do ângulo DBE ( xє[0,π/2] 10.1 Mostra que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por A(x) = 2 (1 + senx + cosx) Sugestão : pode ser útil considerar o trapézio [ACEG] 10.2 Determina A(0) e A( π/2). Interpreta geometricamente cada um dos resultados Recorre à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que te permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de x para os quais a área do polígono [ABEG] é 4,3? Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. Apresenta os valores pedidos na forma de dízima, arredondada às décimas. 11 Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1. O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre AE AF. Para cada posição do ponto, seja x a amplitude do ângulo BEC x, 4 2. Mostra que o peímetro do quadrilátero [CEAF] é dado, em função de x, por f x tgx senx

6 12 Considera um triângulo rectângulo [ABC], cujos catetos são [AB] e [BC]. Admite que se tem AB 1 e que x designa a amplitude do âmgulo BAC Mostra que o perímetro do triângulo [ABC] é dado por f x 1 senx cos x, x 0, cos x Seja 0, tal que cos Determina o valor de f(α). 13 Nafigura está representadoum triângulo [ABC]. Tem-se que: x designa a amplitude do ângulo BAC a amplitude do ângulobca é igual ao dobro da amplitude do ângulo BAC a altura BD é igual a 10 Seja g x tg x tgx 13.1 Mostra que a área do triângulo [ABC] é dada por g(x), para qualquer x 0, Considera o triãngulo [ABC] quando x = π/4. Clssifica-o quanto aos lados e quanto aos ângulos.

7 14 Na figura [ABCD] é um quadrado de lado 1. [AHB], [BGC], [CFD], e [DEA] são triângulos rectângulos iguais x designa a amplitude do ângulo HBA 14.1 Mostra que a área da superfície sombreada é dada, em função de x, por f x senx x x 1 2 cos 0, Calcula f(π/4) e interpreta geometricamente o valor obtido. 15 Um ponto C desloca-se sobre uma semi-circunfrência de diâmetro [AB] e centro O. Considera que o comprimento do segmento [AC], em função da amplitude x do ângulo AOC, é dada por: x d x 2 sen x 0, Indica o valor de x para o qual d( x) AB. Justifica que a semi-circunferência tem raio Justifica que, quando x 0, Mostra que x BC 2cos. 2, o triângulo [ABC] é rectângulo em C. x x 15.3 Verifica que a área do triângulo [ABC] é 2sen cos Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA BC. Seja α a amplitude do ângulo ABC. Mostra que a área do triângulo [ABC] é dada por BC 2 2 sen 0,

8 17 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se: A base da pirâmide tem centro F e lado 2 G é o ponto médio da aresta [BC] X designa a amplitude do ângulo FGE Mostra que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por: 4cos x 4 A(x) = x 0, cos x 2 18 Considera, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura. A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xoy. [BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior e tem coordenadas (4, 3, 0). A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro. Designando por α a amplitude do ângulo BOD, mostra que o volume do cilindro é dado por V( ) = 125 tg x 0, 2 19 Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 3.Õs diâmetros [EF] e [GH] são perpendiculares. Considera que o ponto B se desloca sobre o arco FG. Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B de tal forma que: As cordas [AB] e [CD] permanecem paralelas a [EF] [AD] e [BC] são sempre diâmetros da circunferência. Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimento de tal forma que são sempre os pontos de intersecção de [GH] com [AB] e [CD], respectivamente.

9 Para cada posição de B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB ( x 0, ) Mostra que a área da região sombreada é dada, em função de x, por A(x)= 18 x senx cos x Sugestão: usa a decomposição sugerida na figura 19.2 Recorre à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de x para o qual a área da região sombreada é igual a metade da área do círculo? Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. 20 Na figura estão representadas uma semi-recta AB e uma circunferência de centroo e raio 1( os pontos O, A e b são colineares; o ponto A pertence à circunferência). Considera que um ponto P se desloca ao longo da semo-recta AB, nunca coincidindo com o ponto A. Os pontos R e s acompanham o movimento do ponto P, de tal forma que as rectas PR e PS são sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e s, respectivamente.~ 0, Seja α amplitude, em radianos, do âmgulo SOR 20.1 Mostra que a área do quadrilátero [ORPS] é dada, em função de α, por f tg Recorre à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de α para o qual a área do quadrilátero [ORPS] é igual à área da região sombreada.? Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas

10 21 -.

11 22-23 Na figura está reprsentado um lago artificila de forma rectangular. Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos P 1 e P 2 como mostra a figura. A ponte tem um ponto de apoio A, situado a 12m de uma das margens e a 16m da outra. Seja x a amplitude do ângulo P 2 P 1 B Mostra que o comprimento da ponte, em metros, é dado por f x 16senx 12 cos x senx cos x 23.2 Considerando que a localização de P 1 e de P 2 pode variar, determina o comprimento da ponte para o qual se tem BP1 BP2. Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas.

12 24 A fig 1 representa um depósito de forma cilídrica, que contém um certo volume de um combustível. Figura 1 Figura 2 Admite que a função V, de domínio 0, 2, definida por: x x senx V 80, dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da amplitude x, em radianos, do arco ABC 8 que, como se sabe,é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos? Apresenta o resultado aredondado às unidades Recorre à calculadora oara determinar graficamente a solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco ABC, para que existam 300 m 3 de combustível no depósito? Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas 24.3 Determina, em metros cúbicos, o volume do combustível existente no depósito, no momento em que a sua altura é um quarto da altura máxima. Apresenta o resultado arredondado às unidades. Professoras: Paula Ribeiro e Cláudia Barreiro