MEDIDAS DE DISPERSÃO. Professor Jair Wyzykowski. Universidade Estadual de Santa Catarina

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Vagner Bastos Dreer
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1 MEDIDAS DE DISPERSÃO Professor Jair Wyzykowski Universidade Estadual de Santa Catarina

2 Introdução INTRODUÇÃO A variabilidade entre elementos em torno do centro da distribuição é chamada medida de dispersão. As medidas de dispersão aplicadas a população são conhecidas como parâmetros de dispersão da população e, se aplicadas a amostras são chamados estimadores de dispersão. Medidas de dispersão servem para caracterizar a distribuição das mensurações. Exemplos: Amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão, coeficiente de variação.

3 Introdução INTRODUÇÃO Exemplo 1: Comparação entre três lotes de leitões Medidas Lote 01 Lote 02 Lote Soma Média Soma dos desvios Soma dos desvios ao quadrado Variância Desvio padrão

4 Amplitude Amplitude A diferença entre a maior e a menor observação é denominada amplitude (A) A = X k X 1 É uma pobre medida de dispersão por não considerar todas as mensurações levando em conta apenas os valores extremos(máximo e mínimo). Como é improvável que uma amostra contenha os valores máximo e mínimo da população, geralmente subestima a amplitude populacional. Deve-se considerar a influência de possíveis outliers.

5 Amplitude interpercentílica Amplitude interpercentílica Distância entre percentis simétricos da distribuição dos dados. É menos influenciada por valores extremos, mais eficiente e com pequeno viés. O estimador geral da amplitude interpercentílica é dado por: A p = X 1 p X p p < 1/2 Casos comuns: Distância entre o terceiro (Q 3 ) e o primeiro (Q 1 ) quartil.

6 Desvio médio Desvio médio Soma dos desvios n (X i X) = 0 i=1 Desvio médio S X = n i=1 (X i X) n

7 Variância Variância É uma medida de dispersão absoluta das observações. População Amostra σ 2 = SQ N p N = i=1 (X i µ) 2 N S 2 = SQ n n 1 = i=1 (X i X) 2 n 1

8 Variância Variância População Amostra σ 2 = 1 N [ N i=1 X 2 i [ n S 2 = 1 Xi 2 n 1 i=1 ] ( N i=1 X i) 2 N ] ( n i=1 X i) 2 n

9 Variância Variância Para dados agrupados [ k S 2 = 1 2 ( ] k F i X i i=1 F ix i ) 2 n 1 n i=1

10 Variância Variância Características A variância não se altera quando os dados são adicionados ou subtraídos de uma constante. Se os dados são multiplicados ou divididos por uma constante, a variância do novo conjunto de dados será igual a variância original, multiplicada ou dividida por esta constante ao quadrado. A variância não é expressa na mesma unidade que os dados e a unidade não tem significado físico por estar ao quadrado.

11 Desvio Padrão Desvio Padrão É a raiz quadrada da variância. Expresso na mesma unidade dos dados, assim, é preferido pelos investigadores por ser mais fácil de interpretar. Não é afetado por uma adição ou subtração de uma constante aos dados. Se os dados são multiplicados ou divididos por uma constante o novo desvio padrão será igual ao desvio padrão original multiplicado ou dividido pela constante.

12 Desvio Padrão Desvio padrão populacional (σ) σ = 1 N [ N i=1 X 2 i ] ( N i=1 X i) 2 N Desvio padrão amostral (S) [ n S = 1 n 1 i=1 X 2 i ] ( n i=1 X i) 2 n

13 Desvio Padrão Desvio padrão para dados agrupados (S) [ k S = 1 2 ( ] k F i X i i=1 F ix i ) 2 n 1 n i=1

14 Coeficiente de variação Coeficiente de variação (CV ) Comparação de conjuntos de dados com diferentes unidades de medidas. Não depende das unidades de medidas. É uma medida da variabilidade relativa de uma população ou amostra. Expressão do desvio padrão como porcentagem da média do conjunto de dados.

15 Coeficiente de variação Coeficiente de variação populacional (CV p ) CV p = σ µ 100 Coeficiente de variação amostral (CV ) CV = S X 100

16 Erro padrão da média Erro padrão da média Suponha que amostras aleatórias de tamanho n são retiradas de uma população e que em cada amostra seja estimada a média. É uma medida da dispersão das médias amostrais em torno da média da população. Quanto menor, mais provável será a chance de se obter a média da amostra nas proximidades da média populacional. É um estimador da precisão da estimativa de uma média populacional.

17 Erro padrão da média Erro padrão da média populacional (σ X ) σ X = σ n Erro padrão da média amostral (S X ) S X = S n

18 Referências Referências Básica FERREIRA, D.F. Estatística Básica. Lavras: Editora UFLA, 2009, 2a ed. rev. 664p. LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice Hall, MOORE, D. A. Estatística Básica e sua prática. Rio de Janeiro: Ed. LTC, TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. 7a ed. Livros Técnicos e Científicos S.A. Rio de Janeiro, Complementar COSTA NETO, P. L. O. Estatística, 2a edição. Edgard Blücher, São Paulo, LIPSCHUTZ, S. Probabilidade. São Paulo: Makron, MAGALHÃES, M. N.; LIMA, C. P. de. Noções de Probabilidade e Estatística. 6ª ed. São Paulo: Edusp, MEYER, P. L. Probabilidade - Aplicações à Estatística, 2a edição. Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, MONTGOMERY, D.C. e RUNGUER, G.C. Applied statistics and probability for engineers. John Wiley & Sons, Inc, 1996.

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