ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Teste Final 2009/2010. Curso: 12/06/2010.

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Teste Final 2009/2010 Curso: 12/06/2010 Nome: N o Instruções: Estaprovatemaduraçãode120 minutos e é constituída por 2Partes. A primeira parte tem 2 problemas de escolha múltipla; cada resposta certa vale 2 valores, cada resposta em branco vale 0 valoresecadaresposta errada vale 0, 6 valores. A cotação mínima desta parte é de 0 valores. A segunda parte tem 4 problemas devendo justificar as suas respostas e apresentar todos os cálculos que efectuar. O abandono da sala em caso de desistência só poderá efectuar-se decorridaumahoraapartirdoiníciodaprova. É permitida a utilização individual de máquina de calcular e a consulta de tabelas, desde que estas últimas tenham sido fornecidas na ocasião pelos docentes. Não se aceitam provas ou questões escritas a lápis. Nãoépermitidoomanuseamentoouexibiçãodetelemóveisdurantea prova. Para os 2 problemas da primeira parte, marque com uma cruz as suas escolhas na tabela seguinte (se quiser alterar a resposta, risque por inteiro o quadrado correspondente à resposta que não é válida e marque uma nova cruz na resposta que considera ser a correcta): 1 2 Questões totalmente por responder Questão 3 Questão 5 Questão 4 Questão 6 A) B) C) D) O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Escolha Múltipla Número de respostas certas Número de respostas erradas

2 Primeira Parte [2,0] 1. Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X. Considere a seguinte função: f (x) = Considere as seguintes afirmações: 1+k + x, 1 x<0 1 k x, 0 x 1 0, outros valores de x I. f é a função de densidade de probabilidade da v.a. X, k R. II. Se k =0então F X (0) = 0.5. III. Se k =0então E [X] =0.5 IV. Se k =0então V [X] =E [X 2 ]. A lista completa das afirmações correctas é: [2,0] 2. Considere as seguintes afirmações: A) I e III. B) II e IV. C) IeII. D) III e IV. I. Supondo que o intervalo de confiança a 95% para a razão de variâncias é dado por ]0.87; 1.95[, então não rejeitamos a hipótese da igualdade das variâncias populacionais ao nível de significância de 10%. II. A potência de um teste de hipóteses aumenta à medida que o verdadeiro valor do parâmetroatestarseaproximadovalorconsideradonahipótesenula. III. Se ˆθ 1 e ˆθ 2 são estimadores centrados do parâmetro θ então o estimador ˆθ 3 = aˆθ 1 +bˆθ 2,coma + b =1, é também um estimador centrado de θ. IV. Para diminuir a amplitude de um intervalo de confiança tem de proceder-se ao aumento da dimensão da amostra ou à redução do grau de confiança. A lista completa das afirmações correctas é: A) IeIV. B) III e IV. C) IeII. D) II e III.

3 Segunda Parte Justifique todos os cálculos que tiver de efectuar. 3. Uma central telefónica recebe um fluxo de chamadas de acordo com um processo de Poisson com número esperado de chamadas por hora igual a 90 (considera-se desprezável o tempo de atendimento e encaminhamento de uma chamada para o seu destinatário). [1,5] (a) Calcule a probabilidade de chegarem pelo menos duas chamadas no próximo minuto. [1,5] (b) Se o número médio de chamadas por hora fosse apenas 5, qual seria o tempo máximo disponível para a telefonista ir tomar café sem correr um risco superior a 0.15 de deixar chamadas por atender? 4. Um estudo sobre congestionamento de tráfego numa dada artéria de uma cidade, revelou que o tempo necessário para o seu percurso em hora de ponta (X, emminutos)tem distribuição normal, com desvio padrão igual a 3 minutos. [1,5] (a) Sabendo que 15.87% dos veículos ligeiros demoram mais de 13 minutos no percurso da referida artéria em hora de ponta, mostre que o valor esperado de X é igual a 10 minutos. (b) Considerando um grupo de 15 veículos ligeiros que percorreram o troço em questão em hora de ponta e assumindo que os tempos de percurso são independentes de veículoparaveículo,determine,justificando: [1,5] i. A probabilidade de pelo menos 5 terem efectuado o percurso em menos de 8 minutos; [1,5] ii. A probabilidade do tempo total de percurso dos 15 veículos ultrapassar duas horas. 5. O diâmetro X, daslaranjasdeumdadopomartemdistribuiçãonormaldemédia10cm edesviopadrão1.5cm. Para controlar o calibre da fruta foi recolhida uma amostra aleatória de 9 laranjas (X 1,..., X 9 ). [1,5] (a) Diga o que entende por amostra aleatória e determine, justificando, a distribuição da média amostral do diâmetro das laranjas. [1,5] (b) Calcule a probabilidade do diâmetro médio da amostra de laranjas ser inferior a 9cm. 6. Por forma a comparar a velocidade da internet fornecida por dois operadores diferentes (Vip e Fine) procedeu-se ao download de 6 programas. A duração total (em minutos)

4 do tempo que cada operador levou a descarregar a informação, forneceu os seguintes resultados: Vip: x i =203 (x i x) 2 = Fine: y i =221.3 (y i ȳ) 2 = Suponha que os tempos de download são normalmente distribuídos com variâncias desconhecidas e iguais. [2,0] (a) Deduza e determine o intervalo de confiança a 95% para a diferença entre os valores esperados dos tempos de download dos dois operadores. Que pode concluir relativamente à eficácia dos operadores de internet em análise, para o nível de confiança adoptado? (Nota: Considere que as amostras recolhidas são independentes) [2,0] (b) A variância dos tempos de download do operador Vip é superior a Teste a validade desta afirmação ao nível de significância de 5%. [1,5] (c) Calcule o erro que comete no teste anterior se a verdadeira variância dos tempos de download do operador Vip for Oquepodeafirmar sobre a qualidade do teste anterior? Fim

5 Proposta de Resolução Primeira Parte [2,0] 1. Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X. Considere a seguinte função: f (x) = Considere as seguintes afirmações: 1+k + x, 1 x<0 1 k x, 0 x 1 0, outros valores de x I. f é a função de densidade de probabilidade da v.a. X, k R. f deve verificar: f (x) 0 e R + f (x) dx =1 1 x<0 k 1+k + x<1+k k 0 0 x 1 1 x 0 k 1 k x 1 k k 0 k 0 logo f (x) 0 k =0 pelo que a afirmação é Falsa. II. Se k =0então F X (0) = 0.5. Tem-se a seguinte representação gráfica de f: Dadaasimetriadef em relação à origem tem-se F X (0) = 0.5, pelo que a afirmação é Verdadeira. III. Se k =0então E [X] =0.5. Atendendo à figura anterior tem-se E [X] =0, pelo que a afirmação é Falsa.

6 IV. Se k =0então V [X] =E [X 2 ]. V [X] =E [X 2 ] E 2 [X]. Como E [X] = 0 então V [X] =E [X 2 ], pelo que a afirmação é Verdadeira. A lista completa das afirmações correctas é: [2,0] 2. Considere as seguintes afirmações: A) I e III. B) II e IV. C) IeII. D) III e IV. I. Supondo que o intervalo de confiança a 95% para a razão de variâncias é dado por ]0.87; 1.95[, então não rejeitamos a hipótese da igualdade das variâncias populacionais ao nível de significância de 10%. Falsa. O contexto de um IC a 95% nada tem a ver com um teste de hipóteses com um nível de significância de 10%. II. A potência de um teste de hipóteses aumenta à medida que o verdadeiro valor do parâmetroatestarseaproximadovalorconsideradonahipótesenula. Falsa. A potência de um teste de hipóteses diminui à medida que o verdadeiro valor do parâmetro a testar se aproxima do valor considerado na hipótese nula. III. Se ˆθ 1 e ˆθ 2 são estimadores centrados do parâmetro θ então o estimador ˆθ 3 = aˆθ 1 +bˆθ 2,coma + b =1, é também um estimador centrado de θ. Verdadeira. i i i i E hˆθ3 = E haˆθ 1 + bˆθ 2 = ae hˆθ1 + be hˆθ2 = = aθ + bθ = (a + b) θ = θ ˆθ 1,ˆθ 2 são centrados a+b=1 IV. Para diminuir a amplitude de um intervalo de confiança tem de proceder-se ao aumento da dimensão da amostra ou à redução do grau de confiança. Verdadeira. A lista completa das afirmações correctas é: A) IeIV. B) III e IV. C) IeII. D) II e III.

7 Segunda Parte Justifique todos os cálculos que tiver de efectuar. 3. Uma central telefónica recebe um fluxo de chamadas de acordo com um processo de Poisson com número esperado de chamadas por hora igual a 90 (considera-se desprezável o tempo de atendimento e encaminhamento de uma chamada para o seu destinatário). [1,5] (a) Calcule a probabilidade de chegarem pelo menos duas chamadas no próximo minuto. X n o de chamadas por hora numa central telefónica X P (90) Assim Y n o de chamadas por minuto numa central telefónica Logo Y P ( 90 ) isto é Y P (1.5) 60 P (Y 2) = 1 P (Y <2) = 1 P (Y 1) = 1 F (1) = = [1,5] (b) Se o número médio de chamadas por hora fosse apenas 5, qual seria o tempo máximo disponível para a telefonista ir tomar café sem correr um risco superior a 0.15 de deixar chamadas por atender? Seja X 1 n o de chamadas por hora numa central telefónica X 1 P (5) U intervalo de tempo, em minutos, entre chamadas consecutivas, ou até á 1 a chamada U Exp(12) pois θ = 60 5 =12 com Assim ½ F (u) = 0, u<0 1 e u 12, u 0 P (U u) 0.15 F (u) e u u ln (0.85) u O tempo máximo disponível é de 1.95 minutos. 4. Um estudo sobre congestionamento de tráfego numa dada artéria de uma cidade, revelou que o tempo necessário para o seu percurso em hora de ponta (X, emminutos)tem distribuição normal, com desvio padrão igual a 3 minutos.

8 [1,5] (a) Sabendo que 15.87% dos veículos ligeiros demoram mais de 13 minutos no percurso da referida artéria em hora de ponta, mostre que o valor esperado de X é igual a 10 minutos. Sendo X - tempo em minutos necessários para a realização de um percurso em hora de ponta X N(μ, 3), então Z = X μ N(0, 1) 3 Sendo um dado do problema que P (X >13) = pelo que µ P Z> 13 μ 3 µ = P Z 13 μ = µ P Z 13 μ = então 13 μ =1 μ =10 3 como queriamos demonstrar. (b) Considerando um grupo de 15 veículos ligeiros que percorreram o troço em questão em hora de ponta e assumindo que os tempos de percurso são independentes de veículoparaveículo,determine,justificando: [1,5] i. A probabilidade de pelo menos 5 terem efectuado o percurso em menos de 8 minutos; Comecemos por calcular iii. µ P (X <8) = P Z< 8 10 = Φ ( 0.67) = 1 Φ (0.67) = ' Considerando a v.a. Y que representa o número de veículos que percorreram o trajecto em menos de 8 minutos, sendo X B(15, 0.25), então: P (Y 5) = 1 P (Y 4) = =

9 [1,5] ii. A probabilidade do tempo total de percurso dos 15 veículos ultrapassar duas horas. Sendo a v.a. T - tempo total que 15 veículos demoram a realizar o percurso T = 15X X i N(15 10, ) T N(150, ) então: P (T >2 60) = 1 P (T <120) iv. passando à normal estandartizada 1 P µ Z< = 1 φ ( 2.58) = 1 (1 φ (2.58)) = = φ (2.582) = O diâmetro X, daslaranjasdeumdadopomartemdistribuiçãonormaldemédia10cm edesviopadrão1.5cm. Para controlar o calibre da fruta foi recolhida uma amostra aleatória de 9 laranjas (X 1,..., X 9 ). [1,5] (a) Diga o que entende por amostra aleatória e determine, justificando, a distribuição da média amostral do diâmetro das laranjas. Amostra aleatória é um conjunto ordenado (X 1,...,X n ) de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas obtidas a partir de uma população X, com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x). Distribuição amostral de X : Como X N (10; 1.5) então X i N (10; 1.5) com i =1,...,9. P Pela aditividade da distribuição Normal, X = 1 Xi é igualmente normalmente 9 distribuída, com ( μx = E X = 1E [X X 9 ]= 1 {E [X 9 1] E [X 9 ]} tendo-se ou seja σ 2 X = V X = 1 81 V [X X 9 ] = X i v.a.i. ½ μx = = 10 = μ 9 X σ 2 = 1 9 X = 1.52 = ½ μx =10 σ X =0.5 X N (10; 0.5) Z = X N (0; 1). 1 {V [X 81 1] V [X 9 ]}

10 [1,5] (b) Calcule a probabilidade do diâmetro médio da amostra de laranjas ser inferior a 9cm. P X<9 µ = P Z< 9 10 = 0.5 = Φ ( 2) = 1 Φ (2) = = = Por forma a comparar a velocidade da internet fornecida por dois operadores diferentes (Vip e Fine) procedeu-se ao download de 6 programas. A duração total (em minutos) do tempo que cada operador levou a descarregar a informação, forneceu os seguintes resultados: Vip: x i =203 (x i x) 2 = Fine: y i =221.3 (y i ȳ) 2 = Suponha que os tempos de download são normalmente distribuídos com variâncias desconhecidas e iguais. [2,0] (a) Deduza e determine o intervalo de confiança a 95% para a diferença entre os valores esperados dos tempos de download dos dois operadores. Que pode concluir relativamente à eficácia dos operadores de internet em análise, para o nível de confiança adoptado? (Nota: Considere que as amostras recolhidas são independentes) IC para (μ A μ B ),comσ A e σ B desconhecidos (σ A = σ B ), n A e n B < 30 e 1 α = 0.95 Usando a estatística: XA X B (μa μ T = B ) r ³ t na +n B 2 1 n A + 1 (na 1)s 2 A +(n B 1)s 2 B n B n A +n B 2 Considerando µ 1 W = + 1 (na 1) s 2 A +(n B 1) s 2 B n A n B n A + n B 2 P ( t 10;0.975 <T <t 10;0.975 ) = 0.95 Ã! XA X B (μa μ P t 10;0.975 < B ) <t 10;0.975 = 0.95 W P ³ t 10;0.975 W< XA X B (μa μ B ) <t 10;0.975 W = 0.95 ³ XA P X B t10;0.975 W<μA μ B < X A X B + t10;0.975 W = 0.95 P ( <μ A μ B < ) = 0.95

11 (μ A μ B ) ] 3.258; 2.842[ Visto que 0 / IC o tempo de download é superior para o operador Fine, logo o operador Vip é mais eficaz. [2,0] (b) A variância dos tempos de download do operador Vip é superior a Teste a validade desta afirmação ao nível de significância de 5%. Pretende fazer-se um teste ao desvio padrão: ½ H0 : σ H 1 : σ 2 > 0.06 com α =0.05 para tal vai recorrer-se à variável Fulcral, ¾ População Normal μ desconhecido X 2 = (n 1) S2 σ 2 χ 2 (n 1) Vamos construir a região crítica e tomar uma decisão usando a estatística de teste X 2 : X 2 χ 2 (5) x 2 n 1;1 α = x 2 5;0.95 =11.1 e neste caso, tem-se na escala do χ 2 que RC =[11.1; + [. Sendo a variância amostral corrigida s 2 = = A estimativa da estatística de teste X 2, sob H 0, é X 2 = = / RC 0.06 Face à amostra recolhida e sob um nível de significância de 5%, nãohámotivopara rejeitar H 0. A decisão a tomar será a de não rejeitar H 0, isto é, admite-se que a variância dos tempos de download não é superior a 0.06, logo a afirmação é falsa. [1,5] (c) Calcule o erro que comete no teste anterior se a verdadeira variância dos tempos de download do operador Vip for Oquepodeafirmar sobre a qualidade do teste anterior? O erro cometido será o erro de 2 a espécie, isto é, β = P [não rejeitar H 0 H 0 Falsa]=P S 2 RA H 1 Verdadeira = = P S 2 <k σ 2 > Para calcular este erro vamos ter de passar para a escala do estimador S 2,istoé,k é o limite inferior da RC epodesercalculadodoseguintemodo 5k =11.1 k =

12 Assim, o erro cometido se σ 2 =0.072 é, β (0.072) = P S 2 < σ 2 =0.072 = P X 2 < = = P X 2 < 9.25 =0.9 Para este valor de β, conclui-se que o teste é de fraca qualidade. Fim.