Momentos de uma variável aleatória

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1 Momentos de uma variável aleatória O cálculo de E[X] (valor médio de X) e E[X 2 ] (que intervém na variância), pode ser generalizado pensando em E[X k ] com k IN. Definição: Dada uma v.a. X, chama-se momento de ordem k a µ k = E[Xk ] = i xk i p i + xk f(x) dx caso discreto caso contínuo no caso de e existirem. Mas os cálculos anteriores podem ser morosos... e há um procedimento mais simples para obter os momentos (sempre que seja possível usá-lo). Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 43/61

2 Exercício Vamos resolver o seguinte exercício... Para cada uma das seguintes variáveis aleatórias calcule E [ e tx], com t IR: a) X, variável aleatória discreta, associada ao lançamento de uma moeda equilibrada. b) X, variável aleatória contínua, com função densidade e x x 0 f(x) = 0 x < 0 c) X, variável aleatória contínua, do último exemplo x e x x > 0 f(x) = 0 x 0 Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 44/61

3 Momentos de uma variável aleatória Como verificou, dada uma v. a. X, E [ e tx], se existir é uma função de t. Vamos representar por M X (t) = E [ e tx]. Sabemos desenvolver e tx em série de Mac-Laurin... e tx = 1 + tx + (tx)2 2! Se M X (t) = E [ e tx] existir tem-se (tx)n n! +... M X (t) = E [ e tx] = 1 + t E[X] + t2 2! E[X2 ] tn n! E[Xn ] +... Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 45/61

4 Momentos de uma variável aleatória Então derivando em ordem a t, e calculando para t = 0 (caso exista) tem-se M X(0) = E[X], M X(0) = E[X 2 ]... M (r) X (0) = E[Xr ],... Por ser um procedimento que, quando existe, permite obter todos os momentos de uma variável aleatória, M X (t) = E [ e tx] chama-se função geradora de momentos Continuação do exercício anterior Para cada uma das variáveis aleatórias das alíneas a), b) e c), calcule E[X] e V ar[x] por dois processos i) directamente, usando a definição ii) usando a função geradora de momentos. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 46/61

5 Função geradora de momentos Seja X uma v.a. Propriedades da função geradora de momentos 1. M ax+b (t) = e bt M X (at). 2. Teorema da unicidade Se para duas v.a. X e Y se verifica M X (t) = M Y (t) então X e Y têm a mesma função de distribuição. Reciprocamente, se existir a função geradora de momentos, ela é única. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 47/61

6 Mais uns parâmetros: Quantis e Mediana Definição Dada uma v.a. X chama-se Quantil de probabilidade p e representa-se por χ p o menor valor da variável aleatória tal que F X (χ p ) p. Nota: Se X é v.a. contínua o quantil de probabilidade p é o valor χ p tal que F X (χ p ) = p. Se p = 0.5, chama-se mediana de X, χ 0.5, e é o menor valor da variável tal que F X (χ 0.5 ) 0.5. Nota: Se X é uma v.a. contínua a mediana χ 0.5, é a solução de F X (x) = 0.5 χ 0.5 f(t)dt = 0.5. Para o exercício 30 das folhas práticas determine o quantil de probabilidade 0.25 (primeiro quartil) e a mediana. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 48/61

7 Vectores aleatórios Se pretendemos associar a cada resultado de uma experiência aleatória k 2 atributos numéricos, obtemos um vector (x 1,,x k ), realização do vector aleatório (X 1,,X k ). Iremos referir-nos apenas ao caso k = 2. Exemplos Pretendemos: registar a quantidade de precipitado P e o volume V de gás numa experiência química para uma árvore seleccionada ao acaso registar a altura e o diâmetro do tronco à altura do peito... Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 49/61

8 Pares aleatórios Definição Chama-se par aleatório (X, Y ) à aplicação (X,Y ) : Ω IR 2 ω (x,y) Definição Dado o par aleatório (X,Y ), chama-se função de distribuição cumulativa conjunta ou apenas função de distribuição conjunta e representa-se por F(.,.) à função real definida em IR 2 F : IR 2 IR (x,y) F(x,y) definida por F(x,y) = P(X x,y y) (x,y) IR 2 F(x,y) goza de propriedades análogas às referidas atrás para a função de distribuição de uma variável aleatória. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 50/61

9 Função de distribuição de um par aleatório Propriedades: 1. 0 F(x, y) 1 2. F(, y) = F(x, ) = 0; F(+,+ ) = 1 3. Toda a função de distribuição, F(x, y), é não decrescente relativamente a cada um dos argumentos. 4. Toda a função de distribuição, F(x, y), é contínua à direita em relação a qualquer dos argumentos. 5. F(x 1, y 1 ) F(x 0, y 1 ) F(x 1, y 0 ) + F(x 0, y 0 ) 0 (x 0 < x 1, y 0 < y 1 ). Tipos de pares aleatórios que vamos estudar: Par aleatório discreto componentes são ambas variáveis aleatórias discretas; Par aleatório contínuo componentes são ambas variáveis aleatórias contínuas. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 51/61

10 Pares aleatórios discretos (X,Y ) diz-se um par aleatório discreto se toma os valores (x i,y j ) com probabilidades p ij = P[X = x i,y = y j ]. Definição Chama-se distribuição de probabilidades conjunta do par (X,Y ) ao conjunto de valores (x i,y j ) e respectivas probabilidades p ij p ij é chamada função massa de probabilidade conjunta e deve verificar as seguintes condições: p ij 0 i,j e p ij = 1. Um modo cómodo de representar a distribuição de probabilidades conjunta de um par aleatório discreto é na forma de uma tabela. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 52/61 i j

11 Pares aleatórios discretos Dado o par aleatório discreto (X,Y ) chama-se tabela de contingência ou tabela de dupla entrada ao quadro na forma X Y y 1 y 2... y n x 1 p 11 p p 1n p 1. x 2 p 21 p p 2n p x m p m1 p m2... p mn p m. p.1 p.2... p.n 1 p i. = n j=1 p ij e p.j = m i=1 p ij chamam-se probabilidades marginais de X e Y respectivamente. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 53/61

12 Exemplo Admite-se que num dado bairro o número de filhos e o número de assoalhadas por apartamento é um par aleatório (X,Y ), onde X designa o número de filhos e Y o número de assoalhadas, com a seguinte distribuição de probabilidades X Y a) Determine as distribuição marginais das variáveis X e Y. b) Qual a percentagem de apartamentos onde vivem famílias com 2 filhos? c) Qual a probabilidade de, um apartamento escolhido ao acaso, ter no máximo 4 assoalhadas? Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 54/61

13 Pares aleatórios discretos A função de distribuição cumulativa conjunta de (X,Y ) é dada por F(x,y) = P[X x,y y] = x i x y j y P[X = x i,y = y j ] Chamam-se funções de distribuição marginais de X e Y e representam-se por F X (x) e F Y (y) a F X (x) = F(x,+ ) = x i x p i. F Y (y) = F(+,y) = y j y p.j Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 55/61

14 Pares aleatórios discretos Define-se probabilidade condicional de X dado Y = y j como P(X = x i Y = y j ) = P(X = x i,y = y j ) P(Y = y j ) = p ij p.j e do mesmo modo probabilidade condicional de Y dado X = x i como P(Y = y j X = x i ) = P(X = x i,y = y j ) P(X = x i ) = p ij p i.. Continuação do exercício anterior d) Qual a probabilidade de num apartamento escolhido ao acaso viver uma família sem filhos, verificando-se que o apartamento tem 4 assoalhadas? e) Será o número de assoalhadas independente do número de filhos? A resolver mais adiante. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 56/61

15 Pares aleatórios contínuos Definição Um par aleatório (X,Y ) diz-se contínuo se a sua função de distribuição F(x,y) é dada por F(x,y) = P(X x,y y) = x y f(u,v) dudv onde f(.,.) 0 é a função densidade conjunta do par aleatório (X,Y ). A função f(x,y) tem que verificar as seguintes condições: f(x,y) 0 f(x,y)dxdy = 1. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 57/61

16 Pares aleatórios contínuos Se B IR 2, a probabilidade de se ter (X,Y ) B é assim obtida: P[(X,Y ) B] = f(x, y)dxdy. Pela definição e pelas propriedades do integral vem que B 2 F(x,y) x y = f(x,y). Define-se densidade marginal de X f X (x) = + f(x,y)dy e densidade marginal de Y f Y (y) = + f(x,y)dx Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 58/61

17 Pares aleatórios contínuos Define-se densidade condicional de X dado Y = y como f X Y (x y) = f(x,y) f Y (y), f Y (y) > 0 Analogamente densidade condicional de Y dado X = x como f Y X (y x) = f(x,y) f X (x), f X(x) > 0 Exemplo Vamos resolver o exercício 48 das folhas de práticas Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 59/61

18 Exercício 48 Seja X o tempo total desde a chegada de um cliente a uma estação de serviço até ao momento em que faz o pagamento, e seja Y o tempo que está em fila até efectuar o pagamento (medidos em unidades de 5 minutos). Suponha que as variáveis (X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta assim definida: f(x, y) = 8 < : (x/2)e x se 0 y x < 0 para outros valores de (x, y). a) Calcule as funções densidade marginais de X e Y. b) Qual a probabilidade de o tempo gasto na fila ser superior a 5 minutos se o tempo total gasto por um cliente for inferior a 15 minutos. c) Calcule o tempo médio de serviço. Qual a variância do tempo de serviço.? d) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique. Como vamos responder a esta questão? Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 60/61

19 Independência de variáveis aleatórias Definição Dado o par aleatório (X,Y ) diz-se que as variáveis X e Y são independentes se e só se F(x,y) = F X (x)f Y (y) (x,y) IR 2 A definição é mais facilmente usada se escrita em termos da função massa de probabilidade ou da função densidade de probabilidade. Assim: Se (X,Y ) é um par aleatório discreto as variáveis X e Y dizem-se independentes se e só se p ij = p i. p.j i,j. Se (X,Y ) é um par aleatório contínuo, as variáveis X e Y dizem-se independentes se e só se f(x,y) = f X (x) f Y (y) (x,y). Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 61/61