A distribuição normal é a distribuição mais importante do campo da Estatística, Muitas funções convergem para a normal (Poisson, Binomial);

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1 Distribuições de Probabilidades Contínuas Capítu 7lo. DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal é a distribuição mais importante do campo da Estatística, uma vez que: Serve de parâmetro de comparação; Muitas funções convergem para a normal (Poisson, Binomial); Muitos fenômenos são descritos pela distribuição normal. Condições para que uma variável aleatória siga uma distribuição normal: Um grande número de fatores influencia a variável aleatória Cada fator tem, individualmente, um peso muito pequeno Efeito de cada fator é independente dos outros fatores Efeito dos fatores no resultado é adicionado. A f.d. p. da variável aleatória normal X, com média µ e desvio padrão é dada por: f () (X µ ) ( N(; µ, ) e ) se < < + A função acumulada ou Função Repartição é dada por : F( ) f( ) d

2 Assim, P(a < < b) b a e ( µ ) ( ) d Figura 7. Uma vez especificados µ e, a curva normal pode ser completamente definida. Os parâmetros µ e são também chamados de parâmetros de LOCALIZAÇÃO e ESCALA, pois: Para constante µ variando Figura 7.

3 3 para µ constante variando Figura 7.3 para µ µ Figura 7.4

4 4 Figura 7.5 Atenção P( < X < ) I P( < X < ) II Pois as duas distribuições tem equações diferentes! Propriedades da Distribuição normal. A Moda da distribuição ocorre em µ;. A curva é simétrica em relação à µ.; 3. A curva tem seus pontos de infleão em µ ± ; 4. A curva normal se aproima assintoticamente do eio - à medida que se afasta de µ; 5. A área total compreendida entre a curva e o eio - é igual a (lógico: é uma f.d.p.!).

5 5 Cálculo da probabilidade Uma vez que o f() é função de µ e, teremos inúmeras equações para diferentes valores de µ e.para evitar cálculos laboriosos com a integração, criou-se uma tabela única - a da normal padronizada, com µ 0 e. X ~ N(µ,6) z ~ N (, 0) TABELADA! P( < < ) P(z < z < z ) Figura 7.6 Transformo em z! z µ Tabela A3 - Walpole (pags 68 e 68) Eercício 7.. Dada uma distribuição Normal com µ 50 e 0, ache a probabilidade da v.a. assumir valores entre 45 e 6.. Em uma prova, a média das notas foi 74 e o desvio padrão 7. Se % dos alunos tiraram nota A e as notas seguem uma Distribuição Normal, qual será o menor valor de A e o maior valor de B?

6 6 3. Se a média das alturas dos poodles miniatura é, com desvio padrão de,8, qual a percentagem de poodles que ecedem 4 em altura, assumindo que as alturas seguem a distribuição Normal? 4. Se X ~ N (850, 45) a) P(X < 900) b) P(700 < X < 000) c) P(X > 750) 5. Suponha que, baseado nos dados históricos, o total anual precipitado em uma bacia hidrográfica siga uma normal X ~ N (60, 5 ). a) Qual a probabilidade de que nos anos futuros a precipitação anual fique entre 40 e 70 polegadas? b) Qual a probabilidade da precipitação anual ser inferior a 30? Teorema Central do Limite O Teorema Central do Limite constitui o fundamento para a estimativa de parâmetros populacionais e para o teste de hipóteses. Dado: A variável aleatória segue uma distribuição de probabilidades qualquer, com média µ e desvio padrão Amostras de tamanho n são etraídas aleatoriamente desta população Resultado: Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende a uma Distribuição Normal A média das médias amostrais será a média populacional µ O desvio padrão das médias amostrais será / n Atenção: Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproimada satisfatoriamente por uma Distribuição Normal. A aproimação melhora a medida que o tamanho da amostra n aumenta

7 7 Se a distribuição original é Normal, então as médias amostrais seguirão uma Distribuição Normal para qualquer tamanho de n.distribuição LOG-NORMAL Muitos fenômenos hidrológicos eibem uma evidente assimetria, principalmente devido ao fato dos fenômenos naturais precipitação, vazão, etc somente assumirem valores maiores que zero, e estes valores poderem assumir teoricamente valores entre 0 e +. Em tais casos, a variável aleatória não seguirá uma distribuição Normal, mas o seu logaritmo natural sim. Y l n Então, X ~ ( µ, ), se Y ~ N ( µ, ) Neste caso, sua f.d.p (de ) pode ser facilmente determinada substituindo pelo na equação da Distribuição Normal: Normal: f() ep Π f() Π ( µ ) ( µ ) ep Podemos calcular f() (lognormal) através de: d f() f(). d mas, ln d > 0 d

8 8 f () f() Assim: Normal: f() Π ep ( µ ), p/ 0 f() 0, caso contrário A equação anterior mostra que a equação é unilateral ou seja, só toma valores somente no intervalo positivo de.(*). Note-se que os parâmetros µ e, que aparecem na f.d.p. são a média e o desvio padrão de, ou seja, de ln() e não de. (*) Além disso, a f() toma várias formas diferentes para valores distintas de µ e Como se vê na figura abaio, a f.d.p. é assimétrica a direita, tornando-se a assimetria mais pronunciada a medida que aumenta Ver gráficos Paulo Miranda 0, 0, 3 0, 3 Figura 7.7. Distribuição Lognormal com µ 0 e vários valores de. (SOONG)

9 9 Estimativas dos parâmetros da distribuição lognormal. ' '. Transformando os s em s e calculando. X i Y i Y i l i µ n i i n. (n ). Relação entre ν e µ e µ e (sem calcular os logarítmos) µ ep µ + ν µ ou seja ν µ mas e ν Eercício 7. Um curso d água tem vazões diárias que se supõe seguirem uma Distribuição Lognormal. Em um período de 30 anos, encontrou-se a vazão média igual a.300cfs e distribuição padrão 360cfs. Qual o valor dos parâmetros µ e. µ ep ( µ + ) ν e Solução: µ.300 Sabemos que: 360 mas, ν 360 µ ( 300) 0,045 e e ν +,045 ( ln) 0,04

10 0 0,556 mas ln (300) µ + µ 7,73 b) Qual o valor da cheia milenar? c) Qual o valor da cheia decamilenar? d) Qual a probabilidade dos valores diários ultrapassarem 4.000cfs? Eercício 7.3 (Haan) Dados as vazões de pico do Rio Kentuck (USA) entre 895 a 960: Tabela 7. - Peak discharges (cfs), Kentuck River, near Salvisa, Kentuck (McCabe, 96) ,300 97, , , , , , ,00 4 8, , , , ,500 34, , ,500 69, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0 5, , ,000 58, , ,000 67, , , , , , , , ,00 5 5,400 37, , , , ,500 µ 67,660 0,885

11 Supondo que o modelo log.normal seja válido, calcular: a) P( > cfs) b) A magnitude da cheia centenária c) P( < cfs) Solução b) magnitude da cheia centenária. µ Tr 00 P(X > ) 0,0 X é só achar P(X < ) 0,99 ln µ P(X < ) P ln { X < ln P Z < 0, 99 Y z,3 mas z ln - µ Determinados no problema anterior µ,0737 PnX 0,30395 k ln k e k cfs b) As cheias para Tr 50 e Tr 000 anos. Eercício 7.5 (profa.terezinha, pag. 0) A descarga média anual do Rio Piabinha (Petrópolis) no posto hidrométrico em Areal, durante o período de , foi de l/s, com desvio padrão de.00 l/s. Supondo a validade do modelo lognormal, pede-se a probabilidade de que, em um determinado ano, a descarga esteja entre l/s e l/s. Solução: µ P( ).00

12 ν (.00 ) µ (4.500 ) 0,009 ν e e ν + ln ( e ) ln ( ν + ) 0,007 0, 44 µ ep(µ + ) ln µ µ + µ lnµ - 9,58 0,0035 µ 9,56 assim, P (0.700 X 6.900) P (ln Y ln 6.900) P ln ( 0.700) 9,56 ln( 6.900) 0,44 Ζ 9,56 0,44 P (-,96 Ζ,) P (z,) + P(z,86) 0, ,4750 0, DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES EXPONENCIAL (Haan, pg. 79) O processo de Poisson é um processo discreto numa escala de tempo contínua. Então, a distribuição de probabilidade do número de eventos num tempo t é uma distribuição discreta, enquanto que a distribuição de probabilidade para o tempo entre os eventos e o tempo para que o k-ésimo evento ocorra é uma distribuição contínua.

13 3 3.. DEDUÇÃO DA FÓRMULA (Soong, 95) Suponha que o evento seja a chegada de barcos em um porto. Seja X um v.a. que representa o n de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuição de Poisson (X ~ p(; λt)). Mas o que nos interessa aqui é o tempo entre duas chegadas, que, naturalmente, também é uma v.a., no caso, contínua. Denotemos por T esse tempo entre as chegadas. Suponha que chegue pelo menos barco neste tempo t. A FDP da variável aleatória T é, por definição: FDP P(T t) P(T > t) Equivale a não há chegadas no tempo t, ou seja, P(0) p(0; λt). Sabemos que a distribuição de Poisson é dada por: p(, Assim, λ) λt ( λt) e! p(0; λt) 0 λt ( λt) e 0! λt e Assim, a FDP da eponencial é dada por: FDP e -λt, onde λ taa média de chegadas Se a FDP é dada por e -λt, a função densidade de probabilidade (fdp) da Eponencial é dada por: Sabemos que, por definição: FDP () f().d No caso da Eponencial, a variável aleatória é T, o tempo entre chegadas (não eiste t < 0).

14 4 Assim: FDP (T) t 0 f (t)dt - e -λt Se a FDP f (t)dt, então f(t) Assim, f (t) d dt f(t) λe t 0 d dt (FDP) -λt d() d -λt -λt λt ( - e ) - ( e ) 0 - e ( λ) λe λt dt dt Concluindo, A função densidade de probabilidade (fdp) e a função distribuição de probabilidades (FDP) da Eponencial são dadas por: λt f(t) λe t 0 F(T) F T λt ( t) e Sendo a média e a variância dadas por: µ λ λ Eercício 7.6 (ABRH, vol.4, pág.30) Se ocorrem 3 chuvas catastróficas com duração de hora a cada 0 anos, qual a probabilidade de que leve menos de ano até a próima ocorrência? Solução: λ 3/0 0,3 chuva/ano t ano

15 5 Usando a FDP diretamente: P(T < ) e para t λ 0,3 λt P(T < ) e 0,3 0,6 (Ver mais em Haan, pág. 78) ATENÇÃO: Possível pergunta de um aluno Então, em um estudo de duração de secas, eu não preciso dos dados individuais (durações de cada seca)? Somente o n º de secas e o n º total de anos observados? Depende: Se eu tiver certeza que os dados se ajustam a uma Eponencial, basta ter o λ (n º de ocorrências / n º de anos observados) - parâmetro da Poisson. O λ, é na verdade, o inverso da média das durações das secas (média da eponencial n º de anos obs. / n º de ocorrências). λ3 ocorrências/ 0 anos Média da eponencial /λ 0 anos/ 3 ocorrências 3,3 Se eu não tiver certeza que os dados se ajustam à uma Eponencial, eu precisarei dos dados históricos duração de cada seca testo a aderência pelo Teste do Chi- Quadrado (χ ). Se a Eponencial passar no teste, basta calcular o parâmetro λ (inverso da duração média ).

16 6 Relação Eponencial Poisson Poisson 3 chuvas catastróficas em 0 anos Qual a probabilidade de nenhuma chuva catastrófica em 30 anos? Solução: λ 3 chuvas/0 anos t 30 anos 0 Assim, λt 9 chuvas p ( ; λt) ( λt).e 0! λt 0 9. e 0! 9 0,000 0,000 Eplicação: o n o esperado de chuvas catastróficas em 30 anos seria de 9 chuvas. Por isso a probabilidade de não ocorrer nenhuma deu tão pequena! Eponencial 3 chuvas catastróficas em 0 anos Qual a probabilidade de passar mais de 30 anos para que ocorra a próima chuva catastrófica? Solução: P( t 30) P( t 30) P > Por definição λt ( t > 30) ( e ) e λt e λt P 9 ( t > 30) e 0, 000 λ 3 0 t 30 λt 9

17 7 Eplicação: Espera-se que a cada 3,33 anos ocorra uma chuva catastrófica. Por isso a probabilidade de que se passe mais de 30 anos para ocorrer esta chuva é tão pequena. Eercício 7.8 (Haan, 99 E.6.) Haan e Jonhson estudaram as características físicas de depressões no setor centro-oeste de Iowa. Achar a probabilidade de uma depressão ter área maior que,5 acres (supor seguir uma eponencial). Área (acres) n o de dep. 0 / 06 / 36 / 8 / 9 / / / 5 3 / / 4 4 / ,5,7 i. Fi n 5 5 / 5 / 6 6 (média da Eponencial 6 6 / 3 6 / /5 7 /5 8 Sabemos que: média /λ λ 0,7837 parâmetros de Poisson P( >,5) P(,5) ( e -(0,7837),5 ) 0,7 mas P(T t) e -λt

18 8 Eercício 7.9 (Ang and Tang, pág,, e.3.8) Dados históricos de terremotos em San Francisco, Ca, mostram que no período de , ocorreram 6 terremotos de grande intensidade. Se a ocorrência de terremotos desta intensidade segue uma distribuição de Poisson, qual a probabilidade de ocorrerem terremotos nos próimos dois anos? Solução: λ 6/5 0,8 terremotos por ano P(T ) e --λt - e -(0,8). 0,6 b) E a probabilidade de nenhum terremoto desta intensidade ocorrer nos próimos 0 anos. Solução: P(T > 0) P(T 0) e --λt e -(0,8). 0 0,78 e -λt Eercício 7.0 (Bedient e Huber, 96 Hdrolog e Floodplain Analsis) Durante um ano, cerca de 0 episódios independentes de tempestade ocorreram em Gainsville, Flórida. Sua duração média foi de 5,3 horas. Considerando um ano com 8760 horas, o tempo médio entre tempestades foi de: Tempo c/ tempestade 0 5,3 583 hs Tempo total 74,3 horas 0 (entre tempestades) (suponha a validade do modelo eponencial) a) Qual a probabilidade de que no mínimo se passe 4 dias entre tempestades? Solução: Sabemos que: P(T t) e -λt no mínimo 4 E(4) + E(5) + E(6) P(T 4) P(T < 4) ( e λt ) P(T 4) e λt Sabemos que: ep. média /λ λ 0,035 t 4 dias 4hs 96hs

19 9-0, P(T 4) e P(T 4) 0,747 b) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade ser de eatamente horas? f(t). dt 0 c) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade seja menor ou igual a horas? P(T ) e - λt e - 0,035 0, DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES GAMA Seja X uma variável aleatória que representa o número de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuição de Poisson. Suponha que o tempo a v-ésima chegada seja dada pela f.d.p. ν f(t) λ. ( ν-) t λt e. ( ν )! para valores inteiros de ν. Veja que quando ν... λt f(t) λ e Eponencial Gama. Ou seja, a Distribuição Eponencial é um caso particular da Distribuição

20 0 Eercício 7. Haan, 79 Os barcos chegam a uma eclusa numa média de 4 a cada hora. Se a eclusa só pode operar 4 barcos de cada vez, qual a probabilidade do primeiro barco ter que esperar pelo menos hora antes de ser embarcado? Solução: É a mesma coisa de : Qual a probabilidade do 4 o barco demorar mais de hora (após o o ter chegado)? 3 t 0 Se o tempo começa a contar a partir da chegada do o barco, eu quero saber qual a probabilidade do terceiro barco que falta demorar mais que uma hora. P(T 3 > ) P(T 3 ) 0 ν ( ν-) λ. t. e ( ν - )! -λt dt Sabemos que: λ4 e ν3-3 -4t 4. t. e. dt t t. e. dt 0 (*) Pode ser resolvida por integração por partes (*) udv uv vdu Se: u t du t dt dv (-4) dt (-4) v e 4t 4t e d(e u ) e u du t. e -4t 0 0 e -4t. t dt (resolver!)... 0,76 Assim, P(T 3 > ) 0,76 0,38 Distribuição Acumulada Inversa Pode-se ainda usar a Tabela ( FDP) da Gama (Haan, ) Entrar na tabela com: χ λt ν v

21 No problema anterior λ 4 v 3 t Então, χ 4 8 ν 3 6 tabela 0,380 Diretamente! Pois a tabela da P(T > t) Comparação entre diversas distribuições (ver Paul Meer, pag 33):. Admita-se que provas independentes de Bernoulli estão sendo realizadas: a) variável aleatória número de ocorrências do evento A em um número fio de provas; Distribuição: Binomial b) variável aleatória número de provas de Bernoulli necessárias para obter a primeira ocorrência do evento A; Distribuição: Geométrica c) variável aleatória número de provas de Bernoulli para se obter a r-ésima ocorrência do evento A. Distribuição: Binomial Negativa (ou Pascal)

22 . Admita-se um processo de Poisson número médio de sucessos num dado intervalo de tempo conhecido p de sucesso ~ comprimento do intervalo de tempo, etc. número de falhas impossível saber! a) variável aleatória número de ocorrências do evento A, durante um intervalo de tempo fio. Distribuição: Poisson b) variável aleatória tempo necessário até a primeira ocorrência do evento A; Distribuição: Eponencial c) variável aleatória tempo necessário até a v-ésima ocorrência de A; Distribuição: Gama 4.. Aplicações da Distribuição Gama na Hidrologia (ver ABRH, vol 4 pag.34) A Distribuição Gama tem grande aplicação na Hidrologia, devido a aspectos de natureza morfológica unicamente. Nesse caso, o valor de ν poderá não ser inteiro e o fatorial (v )! deve ser computado pela Função Gama, que dá seu nome a distribuição. Função Gama : v (v) Γ.e. d 0 Então, Se v for inteiro positivo, Γ(v) (v )! Para v não inteiro, Γ(v) está tabelado (Haan, 35) λ f (t) ν ( ν-). t.e (v -)! -λt λ v ( ν-). t.e Γ(v)! -λt

23 3 Atenção: Normalmente, a Distribuição Gama é apresentada sob a seguinte estrutura matemática: t λ β ν α Assim, β f() α ( α-).. e Γ( α) -β α α média var iância β β (Semelhante ao Haan) Atenção: O Walpole considera: t λ β ν α Assim, ν λ f(t). ( ν-) t. e Γ( ν) -λt média αβ f() α β. α β ( α-). e - β. Γ( α) variância αβ Semelhante ao Walpole α > 0, β > 0

24 4 4.. OS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO GAMA (Metodologia do Haan. Ver também Soong, 93) Os parâmetros associados à Distribuição Gama são α e β e supõem-se ambos positivos. Como a distribuição Gama é unilateral, serve freqüentemente de modelo para quantidades físicas que só tomam valores positivos. Além disto, graças à sua versatilidade, torna-se um modelo útil, já que variando os valores de α e β, podemos obter uma ampla variedade de formas da f.d.p Gama. Variando α: Variando β: f() α 3,5 β 5,0 variando β,0 β 3,0 0,5 β,0 f() β,5 α 5,0 variando α α,0,0 α 3,0 0,5 3,0 4,5 6,0 0,5 3,0 4,5 6,0 Podemos observar que α determina a forma da distribuição, sendo portanto um parâmetro de forma; enquanto β é o parâmetro de escala da distribuição. Em geral a f.d.p. é unimodal com pico em 0 para α (caso da eponencial e da J-shaped ) é em ( α ) para α >. β (OBS: Ver também comentário em Yevjevich, pág 47 sobre Lognormal e Gama)

25 5 Eercício 7. (ABRH vol. 4, pág. 35) Dados os valores máimos anuais de vazões no rio Mãe Luzia em Forquilhinha, em m 3 /s. 3,,35 m³/s 69,6 m³/s a) Estimar os parâmetros da distribuição da distribuição Gama (Método dos Momentos) α µ α 3,35 β β β 0,0 α 3,37 α (69,6) 0, 0 β 3,35 (69,6) b) Calcular o período de retorno para a vazão máima observada (Q 880m 3 /s) Solução: Por definição P(Q > 880) Tr (Na Tabela Haan, pág. 34) v α 3,37 6,74 χ β 0, ,6 P(X > ) 0,0444 Tr 69,5 0,0444 Tr ~ 70 anos 5. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CHI-QUADRADO Um outro importante caso particular da distribuição Gamma é obtido fazendo ν α e β, onde ν é um inteiro positivo. A distribuição tem um único parâmetro ν - chamado de graus de liberdade.

26 6 f () ν ( ν ) ( ). Γ.e - ( ν ), > 0 média ν variância ν A distribuição é um dos principais instrumentos na área da inferência estatística e teste de hipóteses. 6. LOG-NORMAL A 3 PARÂMETROS (ver Yevjevich, pág.38) Quando o limite inferior da distribuição não é zero, é necessário modificar a função distribuição de probabilidade da log-normal, introduzindo um terceiro parâmetro o limite inferior. A f.d.p. da distribuição log-normal a 3 parâmetros é: f() ( δ) π. ep ( ln ( - δ) µ ) Esta equação é a mesma da Log-nomal, apenas com a substituição de por ( - δ ): f(). ep π ( ln () µ ) A adição (ou subtração) de uma constante de uma variável não muda sua variância, mas muda sua média. Assim, a mudança de µ implica na modificação de seu coeficiente de variação ν. Aqueles parâmetros que dependem de ν, como também mudam, uma vez que:

27 7 υ e A maneira mais fácil de epressar os parâmetros δ, µ e é usando os momentos de ; onde o de primeira ordem define µ e o de segunda ordem,. Como já foi dito anteriormente, µ e são diferentes dos parâmetros correspondentes à função lognormal a parâmetros. δ Onde + δ Eercício 7.3 (Lista Terezinha pág. 3, e. 7) X ~ Λ (µ,, δ) Sabe-se que a média e o desvio padrão das vazões máimas são: µ m 3 /s 470 m 3 /s Considerar que a vazão mínima possível é 835 m 3 /s. Calcular os parâmetros da Log 3

28 8 Solução: f() f() δ 835 µ µ µ Sabemos que: µ m³/s 470 m³/s Mas, µ ep µ + υ e ( 470) υ µ (.465) (0,0364) e 0,0364 l n (,0364 ) 0, 0358 Então,.465 ep µ l n µ + { 0,0358 (.465) ( 0,358)) µ 7,79 0,89 Assim, X ~ Λ (7,79; 0,89; 835)

29 9 Eercício 7.4 (Lista Terezinha pág.6) Consideremos a seguinte seqüência de dados hidrológicos (ordenados),50 4,30 4,65 5,3 6,30 7,4 9,43,70 4,3 4,70 5,50 6,36 7,36 9,69 3,80 4,50 4,73 5,78 6,43 7,80 0,0 4,05 4,57 4,85 5,8 6,66 8,0 0,68 4,0 4,60 4,90 5,88 6,89 8,56,50 4,3 4,6 5,0 5,93 6,9 8,77 4 valores Ajustar uma Log-normal a 3 parâmetros. Supor o menor valor possível para qualquer observação é,0. µ 6,0,4 µ µ - δ 6,0 4,0,4 µ µ 6,0 υ υ e µ 0,7 e 0,489,7 l n (,7) 0,39 µ ep µ + ρ n (4,0) µ + µ,4 0, µ,9 ~ Λ (,9; 0,49; )

30 30 7. GAMA A 3 PARÂMETROS Similarmente a Lognormal a 3 parâmetros, se for substituído por (-δ), temos que a f.d.p. será dada por: α β f() ( - δ) ( α- ) Γ( α) β(-δ) e onde α, β e δ são parâmetros e Γ (α) é a Função Gama. Apenas a média é alterada, passando neste caso para: µ µ δ Eercício 7.5 Ajustar a distribuição do eemplo anterior (Terezinha, pág.6) a uma Gama III. µ 6,0,4 δ α µ 4, 0 β α 4,0 β 4,0 4,56 β β 0,9 4,56 β β α 4,0 0,9 α 3,68 ~ Γ (3,68; 0,9; ) 8. DISTRIBUIÇÃO DE EXTREMOS DO TIPO I ou DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL A distribuição é dada por: O Método de Gumbel baseia-se em uma distribuição de valores etremos.

31 3 P (X ) ep(-ep(-)) onde P é a probabilidade de um dado valor de vazão ser igualado ou ecedido e é a variável reduzida dada por: ( ) f S S n f - S S n n onde f é a moda dos valores etremos, S n é o desvio padrão da variável reduzida Y, S é o desvio padrão da variável, e e, as médias das variáveis e, respectivamente. seguintes: A aplicação do método de Gumbel no cálculo da vazão é mostrada nos passos. Determinar a medida ( ) e o desvio-padrão (S ) da série de dados históricos.. Em função do número de dados (n), etrair da Tabela 7.4 os valores esperados da medida ( n ) e desvio-padrão (s n ), associados a variável reduzida. Tabela 7.4 Valores esperados da média (Y n ) e desvio-padrão (S n ) da variável n reduzida () em função do número de dados (n). (Fonte: VILLELA, 975). n S n n n 0 0,5, ,56,9 30 0,54, 90 0,56,0 40 0,54,4 00 0,56, 50 0,55,6 50 0,56,3 60 0,55,7 00 0,57,4 70 0,55,9 0,57,8 3. Determinar a moda dos valores etremos, pela epressão seguinte: f S Y S n n S n

32 3 4. Em função do período de retorno (T r ), etrair da tabela 7.5, o valor da variável reduzida () ou usar a fórmula Tabela 7.5 Variável reduzida, Probabilidade e período de retorno. (Fonte: VILLELA, 975). Variável Reduzida Período de Retorno Probabilidade Probabilidade () (T r ) ( P) (P) 0,000,58 0,63 0,368 0,367,00 0,500 0,500 0,579,33 0,49 0,57,500 5,00 0,00 0,800,50 0,0 0,00 0,900,970 0,0 0,050 0,950 3,395 30,0 0,033 0,967 3,90 50,0 0,00 0,980 4, ,00 0,990 5, ,005 0,995 5, ,003 0,997 6, ,00 0,998 6, ,00 0, Determinar a vazão de projeto (), aplicando elementos obtidos nos passos precedentes à equação: ( ) f S S n Ou seja, S f + S n