Se o número máximo de laranjas estragadas é 4, então temos, no mínimo, 140 laranjas não estragadas.

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1 26. (IBGE 2016/FGV) Em uma caixa há doze dúzias de laranjas, sobre as quais sabe-se que: I - há pelo menos duas laranjas estragadas; II - dadas seis quaisquer dessas laranjas, há pelo menos duas não estragadas. Sobre essas doze dúzias de laranjas, deduz-se que: a) pelo menos 96 estão estragadas; b) no mínimo 140 não estão estragadas; c) exatamente duas estão estragadas; d) no máximo 96 estão estragadas; e) exatamente 48 não estão estragadas. Princípio da Casa dos Pombos!!! Há 12 x 12 = 144 laranjas. O enunciado afirma que dadas seis quaisquer dessas laranjas, há pelo menos duas não estragadas. Assim, podemos garantir que o número de laranjas estragadas é no máximo 4. Como eu concluí isso? Ora, imagine que houvesse 5 laranjas estragadas. Assim, eu não poderia garantir que ao pegar 6 laranjas teríamos pelo menos duas não estragadas, porque poderia acontecer de termos 5 estragadas dentre as 6. Se o número máximo de laranjas estragadas é 4, então temos, no mínimo, 140 laranjas não estragadas. Letra B 27. (IBGE 2016/FGV) De um grupo de controle para o acompanhamento de uma determinada doença, 4% realmente têm a doença. A tabela a seguir mostra as porcentagens das pessoas que têm e das que não têm a doença e que apresentaram resultado positivo em um determinado teste. Entre as pessoas desse grupo que apresentaram resultado positivo no teste, a porcentagem daquelas que realmente têm a doença é aproximadamente: a) 90%; b) 85%; c) 42%; 1

2 d) 26%; e) 4%. Vamos supor que são 1000 pessoas. Sabemos que 40 (4%) realmente têm a doença e 960 não têm a doença. Dos que têm a doença, 85% apresentaram teste positivo, ou seja 85% de 40 = 34 pessoas que tem a doença apresentaram teste positivo. Dos 960 que não têm, 10% apresentaram teste positivo. Portanto, 96 não têm a doença e apresentaram teste positivo. O total de pessoas que apresentou teste positivo é igual a = 130. Destes, 34 têm a doença. Assim, entre as pessoas desse grupo que apresentaram resultado positivo no teste, a porcentagem daquelas que realmente têm a doença é 34/130 0, %. Letra D 28. (IBGE 2016/FGV) Dos 40 funcionários de uma empresa, o mais novo tem 25 anos e o mais velho tem 37 anos. Considerando a idade de cada funcionário como um número inteiro de anos, conclui-se que: a) a média das idades de todos os funcionários é 31 anos; b) a idade de pelo menos um funcionário é 31 anos; c) nenhum funcionário tem idade igual a 31 anos; d) no máximo 25 funcionários têm a mesma idade; e) no mínimo 4 funcionários têm a mesma idade. Mais uma questão envolvendo o princípio da casa dos pombos. Há 13 possíveis idades: {25,26,27,...,35,36,37}. Imagine que são 13 gavetas: na gaveta 25, colocaremos as pessoas de 25 anos; na gaveta 26 colocaremos as pessoas de 26 anos, e assim por diante. A letra A é falsa, pois não podemos calcular a média sem saber as idades das pessoas. A letra B é falsa, pois não podemos garantir que há alguém na gaveta 31, ou seja, alguém com 31 anos. 2

3 A letra C é falsa, pois nada impede que alguém tenha 31 anos. A letra D é falsa, pois poderia ocorrer o caso de todos os 40 funcionários terem a mesma idade, por exemplo. A letra E é verdadeira. Observe que são 13 gavetas. Se colocarmos 3 pessoas em cada gaveta, ainda sobra 1 pessoa. Esta pessoa deverá entrar em alguma gaveta. Portanto, em alguma gaveta terá 4 funcionários. Concluímos que pelo menos 4 pessoas têm a mesma idade, mesmo pensando na pior das hipóteses. Letra E 29. (IBGE 2016/FGV) Sem A, não se tem B. Sem B, não se tem C. Assim, conclui-se que: a) A é suficiente para B e para C; b) B é necessário para A e para C; c) C é suficiente para A e para B; d) A e B são suficientes para C; e) B é necessário para A e suficiente para C. Lembre-se que a proposição Se p, então q quer dizer que: - p é suficiente para q. - q é necessário para p. Vamos reescrever as frases do enunciado no padrão da lógica. - Se não tem A, então não se tem B. - Se não tem B, então não se tem C. Utilizando a equivalência entre Se p, então q e Se não q, então não p, podemos reescrever: - Se tem B, então tem A. - Se tem C, então tem B. Assim: -B é suficiente para A. - A é necessário para B. - C é suficiente para B. - B é necessário para C. Observe ainda que temos a seguinte estrutura: 3

4 C --> B B --> A O que podemos concluir? Podemos concluir que se tem C, então tem A. Portanto, C é suficiente para A. Letra C 30 (IBGE 2016/FGV) Sobre os amigos Marcos, Renato e Waldo, sabe-se que: I - Se Waldo é flamenguista, então Marcos não é tricolor; II - Se Renato não é vascaíno, então Marcos é tricolor; III - Se Renato é vascaíno, então Waldo não é flamenguista. Logo, deduz-se que: a) Marcos é tricolor; b) Marcos não é tricolor; c) Waldo é flamenguista; d) Waldo não é flamenguista; e) Renato é vascaíno. Como não temos uma proposição simples entre as premissas, vamos chutar que Waldo é, de fato, flamenguista. Olhando I, concluímos que Marcos não é tricolor. Marcos não sendo tricolor, a partir de II, concluímos que a proposição Renato não é vascaíno é falsa. Portanto, Renato é vascaíno. Indo agora para a premissa III: Sabemos que Renato é vascaíno. Como não pode haver VF, concluímos que Waldo não é flamenguista. Temos uma contradição, pois Waldo é flamenguista e Waldo não é flamenguista são ambas verdadeiras. Isto significa que nosso chute inicial foi errado, ou seja, Waldo não é flamenguista. Letra D 4

5 31. (IBGE 2016/FGV) Após a extração de uma amostra, as observações obtidas são tabuladas, gerando a seguinte distribuição de frequências: Considerando que E(X) = Média de X, Mo(X) = Moda de X e Me(X) = Mediana de X, é correto afirmar que: a) E(X) = 7 e Mo(X) = 10; b) Me(X) = 5 e E(X) = 6,3; c) Mo(X) = 9 e Me(X) = 9; d) Me(X) = 9 e E(X) = 6,3; e) Mo(X) = 9 e E(X) = 7. Pessoal, MODA não foi explicitado no edital. Apesar de achar muito difícil a anulação da questão, não custa tentar. Por definição, a moda é o valor que possui a maior frequência. Portanto, Mo(X) = 9, pois tem frequência máxima. São = 27 termos. A mediana é o termo de ordem (27+1)/2 = 14. Colocando os termos em ordem crescente, o 14º termo é 5 (observe que o número 3 aparece 5 vezes e o número 5 aparece 9 vezes). Portanto, Me(X) = 5. Vamos agora calcular a média. Devemos multiplicar cada termo pela sua frequência e dividir pela soma das frequências. Letra E E X = = = 7 5

6 32. (IBGE 2016/FGV) Raíza e Diego resolvem disputar um jogo em que cada um deles lança uma moeda honesta de forma independente e simultânea. Ela será vencedora no caso de dois resultados iguais, e ele, de dois diferentes. As probabilidades de vitória dela e dele são, respectivamente, iguais a: (A) 2/3 e 1/3; (B) 1/4 e 3/4; (C) 1/3 e 2/3; (D) 1/2 e 1/2; (E) 3/4 e 1/4. Quando lançamos duas moedas, há 4 possíveis resultados. - (Cara, Cara) - (Coroa, Coroa) - (Cara, Coroa) - (Coroa, Cara). Assim, a probabilidade de termos dois resultados iguais é 2/4 = 1/2 e a probabilidade de termos dois resultados diferentes também é 2/4 = 1/2. Letra D 33. (IBGE 2016/FGV) Suponha que, de um baralho normal, contendo 52 cartas de quatro naipes, é extraído, sem reposição e aleatoriamente, um total de quatro cartas. Se a carta Ás é equivalente a uma figura (ou seja, são 4 figuras e 9 números de cada naipe), é correto afirmar que a probabilidade de que todas sejam: a) do mesmo naipe é igual a (13/52).(12/51).(11/50).(10/49). b) figuras é igual a (10/52).(9/51).(8/50).(7/49). c) do mesmo número é igual a (4/52).(3/51).(2/50).(1/49). d) números é igual a (36/52).(35/51).(34/50).(33/49). e) de naipes diferentes é igual a 4.(16/52).(12/51).(8/50).(4/49). A letra A está errada porque faltou multiplicar por 4. Lembre-se que são 4 naipes. Aquele produto descrito na alternativa A é a probabilidade de todas as cartas serem de um mesmo naipe específico. Se são 4 figuras em cada naipe, então há um total de 16 figuras. A probabilidade de serem 4 figuras é igual a (16/52).(15/51).(14/50).(13/49). A alternativa B está errada. 6

7 A alternativa C está errada por um motivo parecido com o da alternativa A. Como são 9 números, deveríamos multiplicar por 9. Há 16 figuras e 36 números. Assim, a probabilidade de serem sorteados 4 números é (36/52).(35/51).(34/50).(33/49). Letra D 34. (IBGE 2016/FGV) Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2Y 3X, sendo E(X 2 ) = 25, E(X) = 4, Var(Y) = 16, Cov(X,Y) = 6. Então a variância de Z é: a) 55 b) 73 c) 108 d) 145 e) 217 Vamos primeiro calcular a variância de X, que será necessária. Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 Var(X) = = 9 Lembre-se da fórmula da variância da diferença de duas variáveis aleatórias. Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2cov(X,Y) Queremos calcular a variância de Z, ou seja, a variância de 2Y 3X. Var(2Y 3X) = Var(2Y) + Var(3X) 2cov(2Y,3X) Quando multiplicamos uma variável por k, a sua média é multiplicada por k e sua variância é multiplicada por k 2. É importante também saber que cov(ax,by) = ab.cov(x,y). Portanto, Var(2Y 3X) = 2 2.Var(Y) Var(X) 2.2.3cov(Y,X) Var(2Y 3X) = = = 73 Letra B 7

8 35. (IBGE 2016/FGV) Sabe-se que as notas de uma prova têm distribuição Normal com média µ = 6,5 e variância σ! = 4. Adicionalmente, são conhecidos alguns valores tabulados da normal-padrão. Ø(1,3) 0,90 Ø(1,65) 0,95 Ø(1,95) 0,975 Onde Ø(z) é a função distribuição acumulada da normal-padrão. Considerando-se que apenas os 10% que atinjam as maiores notas serão aprovados, a nota mínima para aprovação é: a) 9,10 b) 9,30 c) 9,50 d) 9,70 e) 9,80 O que significa Ø(1,3) 0,90? Significa que P(Z<1,3) = 90%. Portanto, P(Z>1,3) = 10%. Desta maneira, vamos utilizar o valor Z = 1,3 na fórmula de transformação. Letra A Z = 1,3 = X μ σ X 6,5 2 X 6,5 = 2,6 X = 9,1 8

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