> Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 1/10
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- João Lucas Frade Fartaria
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1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 1/10
2 De quantas maneiras podemos selecionar um subconjunto de r objetos de um conjunto de n objetos? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 2/10
3 De quantas maneiras podemos selecionar um subconjunto de r objetos de um conjunto de n objetos? A única diferença pros problemas de permutação das aulas enteriores é que a ordem dos r objetos selecionados não importa > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 2/10
4 De quantas maneiras podemos selecionar um subconjunto de r objetos de um conjunto de n objetos? A única diferença pros problemas de permutação das aulas enteriores é que a ordem dos r objetos selecionados não importa Utilizamos ( n r) para denotar tal quantidade. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 2/10
5 Exemplo Seja o conjunto {o 1, o 2, o 3, o 4 } de n = 4 objetos e r = 2. Então os subconjuntos possíveis são: {o 1, o 2 }, {o 1, o 3 }, {o 1, o 4 }, {o 2, o 3 }, {o 2, o 4 }, {o 3, o 4 }. Portanto, ( 4 2) = 6. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 3/10
6 Exemplo Seja o conjunto {o 1, o 2, o 3, o 4 } de n = 4 objetos e r = 2. Então os subconjuntos possíveis são: {o 1, o 2 }, {o 1, o 3 }, {o 1, o 4 }, {o 2, o 3 }, {o 2, o 4 }, {o 3, o 4 }. Portanto, ( 4 2) = 6. Pergunta: Quantas sequencias (ordem importa) temos de tamanho 2? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/10
7 Exemplo Seja o conjunto {o 1, o 2, o 3, o 4 } de n = 4 objetos e r = 2. Então os subconjuntos possíveis são: {o 1, o 2 }, {o 1, o 3 }, {o 1, o 4 }, {o 2, o 3 }, {o 2, o 4 }, {o 3, o 4 }. Portanto, ( 4 2) = 6. Pergunta: Quantas sequencias (ordem importa) temos de tamanho 2? Resposta: Cada subconjunto de tamanho 2 corresponde exatamente a 2! sequencias diferentes (as permutações de seus elementos) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/10
8 Exemplo Seja o conjunto {o 1, o 2, o 3, o 4 } de n = 4 objetos e r = 2. Então os subconjuntos possíveis são: {o 1, o 2 }, {o 1, o 3 }, {o 1, o 4 }, {o 2, o 3 }, {o 2, o 4 }, {o 3, o 4 }. Portanto, ( 4 2) = 6. Pergunta: Quantas sequencias (ordem importa) temos de tamanho 2? Resposta: Cada subconjunto de tamanho 2 corresponde exatamente a 2! sequencias diferentes (as permutações de seus elementos) (Note que as subconjuntos diferentes dão sequencias diferentes, e que todas as sequencias podem ser geradas a partir de algum conjunto.) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/10
9 Exemplo Seja o conjunto {o 1, o 2, o 3, o 4 } de n = 4 objetos e r = 2. Então os subconjuntos possíveis são: {o 1, o 2 }, {o 1, o 3 }, {o 1, o 4 }, {o 2, o 3 }, {o 2, o 4 }, {o 3, o 4 }. Portanto, ( 4 2) = 6. Pergunta: Quantas sequencias (ordem importa) temos de tamanho 2? Resposta: Cada subconjunto de tamanho 2 corresponde exatamente a 2! sequencias diferentes (as permutações de seus elementos) (Note que as subconjuntos diferentes dão sequencias diferentes, e que todas as sequencias podem ser geradas a partir de algum conjunto.) Portanto temos 2! (4 2) sequencias de tamanho 2 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/10
10 Considere o caso geral ( n k) (subconjuntos de tamanho k) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 5/10
11 Considere o caso geral ( n k) (subconjuntos de tamanho k) Pergunta: Quantas sequencias de tamanho k temos? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 5/10
12 Considere o caso geral ( n k) (subconjuntos de tamanho k) Pergunta: Quantas sequencias de tamanho k temos? Resposta: Cada subconjunto corresponde a k! sequencias de tamanho k, portanto ( ) n k! = número de sequencias de tamanho k k ( ) n n (n 1)... (n k + 1) = k k! n! = (n k)!k! (pois o (n k)! cancela os últimos n k termos do numerador) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 5/10
13 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
14 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 Jogador escolhe 3 números > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
15 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 Jogador escolhe 3 números Um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
16 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 Jogador escolhe 3 números Um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto de números for igual ao sorteado > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
17 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 Jogador escolhe 3 números Um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto de números for igual ao sorteado Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
18 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 Jogador escolhe 3 números Um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto de números for igual ao sorteado Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? Resposta: Tem ( ) possíveis conjuntos a serem sorteados, só um desses faz jogador ganhar > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
19 Jogo da Sena modificado. Números de 1 a 100 Jogador escolhe 3 números Um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto de números for igual ao sorteado Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? Resposta: Tem ( ) possíveis conjuntos a serem sorteados, só um desses faz jogador ganhar Portanto, probabilidade de ganhar é 1 ( ) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/10
20 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
21 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
22 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto contiver os 3 números sorteados > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
23 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto contiver os 3 números sorteados Ex: se jogador escolheu {1, 2, 3, 4}, ganha caso o sorteio seja {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, e {2, 3, 4}. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
24 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto contiver os 3 números sorteados Ex: se jogador escolheu {1, 2, 3, 4}, ganha caso o sorteio seja {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, e {2, 3, 4}. Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
25 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto contiver os 3 números sorteados Ex: se jogador escolheu {1, 2, 3, 4}, ganha caso o sorteio seja {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, e {2, 3, 4}. Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? Resposta: Tem ( ) possíveis conjuntos a serem sorteados... > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
26 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto contiver os 3 números sorteados Ex: se jogador escolheu {1, 2, 3, 4}, ganha caso o sorteio seja {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, e {2, 3, 4}. Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? Resposta: Tem ( ) possíveis conjuntos a serem sorteados... mas agora o jogador tem ( 4 3) chances de ganhar (qualquer subconjunto de tamanho 3 dos seus 4 números) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
27 Jogo da Sena modificado 2. Agora jogador escolhe 4 números Novamente um conjunto de 3 números é sorteado aleatoriamente dentre todas as possibilidades O jogador ganha se seu conjunto contiver os 3 números sorteados Ex: se jogador escolheu {1, 2, 3, 4}, ganha caso o sorteio seja {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, e {2, 3, 4}. Pergunta: Qual é a probabilidade do jogador ganhar? Resposta: Tem ( ) possíveis conjuntos a serem sorteados... mas agora o jogador tem ( 4 3) chances de ganhar (qualquer subconjunto de tamanho 3 dos seus 4 números) Portanto, probabilidade de ganhar é (4 3) ( ) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/10
28 Exemplo Considere o trecho de código abaixo: Para i=1,...n-1 Para j=i+1,...n PRINT( OI ) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/10
29 Exemplo Considere o trecho de código abaixo: Para i=1,...n-1 Para j=i+1,...n PRINT( OI ) Note que os {i, j } formam exatamente todos os pares de números entre {1, 2,..., n}: {1, 2}, {1, 3}..., {2, 3}, {2, 4}... > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/10
30 Exemplo Considere o trecho de código abaixo: Para i=1,...n-1 Para j=i+1,...n PRINT( OI ) Note que os {i, j } formam exatamente todos os pares de números entre {1, 2,..., n}: {1, 2}, {1, 3}..., {2, 3}, {2, 4}... O código imprime 1 OI para cada tal par > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/10
31 Exemplo Considere o trecho de código abaixo: Para i=1,...n-1 Para j=i+1,...n PRINT( OI ) Note que os {i, j } formam exatamente todos os pares de números entre {1, 2,..., n}: {1, 2}, {1, 3}..., {2, 3}, {2, 4}... O código imprime 1 OI para cada tal par Portanto, imprime no total ( n 2) OI s. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/10
32 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
33 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos Suponha que um banco queira classificar seus clientes em bom/mal pagador (para um possível empréstimo) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
34 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos Suponha que um banco queira classificar seus clientes em bom/mal pagador (para um possível empréstimo) Para isso, tem 100 atributos de cada cliente (idade, genero, renda, número de filhos, etc.) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
35 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos Suponha que um banco queira classificar seus clientes em bom/mal pagador (para um possível empréstimo) Para isso, tem 100 atributos de cada cliente (idade, genero, renda, número de filhos, etc.) Mas o algoritmo de classificação que o banco quer usar não funciona bem para tantos atributos (overfitting) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
36 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos Suponha que um banco queira classificar seus clientes em bom/mal pagador (para um possível empréstimo) Para isso, tem 100 atributos de cada cliente (idade, genero, renda, número de filhos, etc.) Mas o algoritmo de classificação que o banco quer usar não funciona bem para tantos atributos (overfitting) O banco quer então rodar o algoritmo em todos os conjuntos de 10 atributos, e retornar o melhor resultado > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
37 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos Suponha que um banco queira classificar seus clientes em bom/mal pagador (para um possível empréstimo) Para isso, tem 100 atributos de cada cliente (idade, genero, renda, número de filhos, etc.) Mas o algoritmo de classificação que o banco quer usar não funciona bem para tantos atributos (overfitting) O banco quer então rodar o algoritmo em todos os conjuntos de 10 atributos, e retornar o melhor resultado Pergunta: Quantas vezes o algoritmo será rodado? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
38 Sparse Machine Learning Um problema muito importante em Machine Learning é seleção de atributos Suponha que um banco queira classificar seus clientes em bom/mal pagador (para um possível empréstimo) Para isso, tem 100 atributos de cada cliente (idade, genero, renda, número de filhos, etc.) Mas o algoritmo de classificação que o banco quer usar não funciona bem para tantos atributos (overfitting) O banco quer então rodar o algoritmo em todos os conjuntos de 10 atributos, e retornar o melhor resultado Pergunta: Quantas vezes o algoritmo será rodado? ( ) (essa quantidade é gigantesca, tem 20 zeros) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/10
39 Exercicios Exercicio 1. Um comitê de 8 estudantes deve ser selecionado de uma turma de 19 calouros e 34 veteranos. De quantas formas podem ser selecionados 3 calouros e 5 veteranos? Exercicio 2. Considere o trecho de código abaixo: Para i=1,...n-2 Para j=i+1,...n-1 Para k=j+1,...n PRINT( OI ) Quantas vezes esse código imprime OI? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 10/10
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