1 Variáveis Aleatórias

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1 Variáveis Aleatórias Exercício Num lançamento de 3 moedas equilibradas seja X avariável aleatória que representa o número de caras saídas Escreva a função de probabilidade de X Exercício Quantasvezessedevelançarumdadoaoarparaqueaprobabilidade de não sair a face 6 em nenhum dos lançamentos seja inferior a? Exercício 3 O número de carros vendidos semanalmente num stand é uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade x 3 c c c f(x) c 3 Calcule, justificando, o valor de c Determine a função de distribuição de X 3 Calculeaprobabilidadedonúmerodecarrosvendidosnãochegara, sabendo que este valor é superior a Se os custos fixos semanais são de 3 unidades monetárias (um) quando são vendidos ou menos carros e 5 um quando se vende mais de carros e, além disso, por cada carro vendido há um lucro de 35 um, determine a função de distribuição da receita líquida semanal Exercício Uma empresa dedica-se à venda de artigos eléctricos As vendas diárias de gravadores (em unidades) são representadas por uma va X com a seguinte função de probabilidade ½ k(x +),x=,,, 3, Determine o valor de k Justifique a sua resposta Calcule a função de distribuição da va X 3 Calcule, através da função de probabilidade e da função de distribuição, a probabilidade de as vendas serem exactamente iguais a 3 gravadores, num dia em que estas foram pelo menos

2 Exercício 5 Numa loja de electrodomésticos a procura diária de aspiradores é uma va X com função de probabilidade Calcule b, justificando x 3 f(x) b 3 No início de um dia existem apenas aspiradores na loja Calcule a probabilidade de serem vendidos (considere que procura = venda sempre que exista o produto procurado) 3 A partir da alínea anterior obtenha a função de distribuição da variável número de aspiradores vendidos Exercício 6 Dado o quadro seguinte x 3 f(x) Mostre que f representa a função de probabilidade de uma va X Calcule E [X],E[X +]e V [X +] Exercício 7 Seja X uma va discreta com função de probabilidade dada por x 3 f(x) Determine a função de distribuição da va X Calcule P ( <X ) 3 Calcule E[X] e V [X] Exercício A função de probabilidade da va X, que representa o número de imperfeições em cada metros de uma fibra sintética fabricada em rolos contínuos de largura uniforme, é dada por Calcule a, justificando 3 5 x 3 f(x) a 6 5 Determine a função de distribuição da va X

3 3 Calcule P ( <X ) Calcule E[X] e V [X] Exercício 9 Seja X umavadiscretacomafunçãodedistribuiçãodada por,x< F (x) = 3, x<, x<3 k, 3 x<,x Determine os possíveis valores para k Suponha k =7 (a) Determine a função de probabilidade de X (b) Calcule P ( <X ) (c) Calcule E[X] e V [X] Exercício Considere a variável aleatória discretacomaseguinte função de distribuição a,x< F (x) = 6, x<, x< b, x<6 c,x 6 Sabendo que P (X =6)=,determine,justificando, os valores de a, b e c Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória Y = 3X 3

4 Exercício O número de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente é uma va com função de probabilidade x 3 f(x) w z t z w Sabendo que em % dosdiasasvendassãoinferioresaumequeem 7% dosdiassãosuperioresaum,determinew, z e t Determine o número médio de seguros vendidos diariamente 3 Determine E[X ] e V [X ] Determineaprobabilidadedeque,quandoconsideradosdoisdias,as vendas sejam superiores, em cada um deles, a duas unidades (suponha que as vendas realizadas num dia não influenciam as vendas realizadas no outro dia) 5 Se cada seguro é feito por 5 unidades monetárias, determine a função de probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia 6 Se num dia a receita for inferior a 5 unidades monetárias, determine a probabilidade de que seja superior a unidades monetárias Exercício Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade x m m m +3 m +5 f(x) k+ k k Determine k e m de modo que E[X] = Determine V [3X ] 3 Determine F (x) e P ( <X<5) Exercício 3 Quais das seguintes funções podem representar a função densidade de probabilidade de uma va: k ½ x x, <x< ; ½ x 6x, <x<

5 Exercício Uma máquina faz parafusos com diâmetros distribuídos segundo uma va X com a seguinte função densidade de probabilidade ½ k(x )(x ) Determine k, <x< Os parafusos são rejeitados se o seu diâmetro diferir de 5 mais de Qual a probabilidade de um parafuso ser rejeitado? Exercício 5 Considere a seguinte função ½ k x, <x<b Que relação deve existir entre k e b para que f seja uma função densidade de probabilidade de uma va X Exercício 6 Suponha que o gráfico da figura seguinte representa a função densidade de probabilidade de uma va X (a,b) -a a b Qual a relação entre a e b? Se b>, determine o valor de b quando a =e calcule, com estes valores, a função de distribuição da va X Exercício 7 Seja X uma va com função densidade de probabilidade dada por ½ 3 x +6x 5, 3 <x<5 Prove que f é de facto uma função densidade de probabilidade Determine a respectiva função de distribuição 5

6 Exercício Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade x, x k x, k<x< Determine k, justificando Determine a função de distribuição de X 3 Calcule P (5 <X 5) através da função densidade de probabilidade de X Calcule P (X </X 5) atravésdafunçãodedistribuiçãodex Exercício 9 A quantidade de peixe pescado diariamente, em toneladas, por certo barco é uma va X com a seguinte função densidade de probabilidade x, x< a( x), x< Determine o valor da constante a Determine a função de distribuição da va e, com base nela, calcule a probabilidade do barco, num dia, não pescar menos de toneladas de peixe 3 Sabendo que numa manhã o barco já pescou mais de 3 toneladas de peixe, qual a probabilidade de até ao fim do dia exceder as toneladas de pescado? Se cada caixa de peixe enviada para a lota leva 5 kg, qualaprobabilidade de num dia se enviarem mais de caixas? Exercício O Sr João tem um carro que necessita de uma reparação urgente Considere X a va que representa o número de semanas que o carro se manterá em funcionamento sem reparação A função densidade de probabilidade é a seguinte x x, <x, <x b 6

7 Qual o número máximo de semanas que o carro funcionará sem reparação? Determine a função de distribuição da va X 3 O Sr João precisa de ir ao Porto daqui a 6 semanas Qual a probabilidade de poder utilizar o seu carro sem ter efectuado qualquer reparação? Exercício Seja X uma va contínua Indique para que valores de β é que a seguinte função pode ser uma função densidade de probabilidade de X ½ βe βx, x> Usando a função densidade de probabilidade definida na alínea anterior, prove que para quaisquer s, t > se verifica P (X >s+ t/x > s) =P (X t) Exercício Considere X uma va contínua com função densidade de probabilidade dada por +x, <x x, <x<, restantes casos Determine a função de distribuição e esboce o seu gráfico Determine a esperança matemática e a variância Exercício 3 Ava contínuax tem função densidade de probabilidade dada por ½ 3x, <x<, x ou x Seja b um número real tal que <b< Calcule a função de distribuição de X Calcule P X>b/X< b 3 Determine a esperança matemática e a variância 7

8 Exercício A função densidade de probabilidade de uma va X édada por ½ a + bx, x Sabendo que E[X] = 3,determinea e b 5 Determine a função de distribuição de X 3 Calcule P X 3 Exercício 5 Considerando X uma va que representa a duração em centenas de horas de um certo componente eléctrico e em que a sua função densidade de probabilidade é dada por ½ ax Determine, justificando, o valor de a Calcule P (X >5) 3 Calcule E[X] e V [X], <x Exercício 6 DadaafunçãodedistribuiçãodavaX, x< x F (x) =, x<6 6, x 6 Determine a respectiva função densidade de probabilidade Calcule P ( X ) 3 Calcule E[X] e V [X] Calcule E[ X] e V [ X] Exercício 7 Considere uma variável aleatória contínua com a seguinte função de distribuição, x < F (x) = x 3 3 3, x< x 3, x< x, x<3, x 3

9 Determine a respectiva função densidade de probabilidade Calcule P <X< /X 3 3 Calcule E [X] e V [X] Calcule E [X +]e V X Exercício A proporção de álcool de um certo composto pode ser considerada uma va X com a seguinte função densidade de probabilidade ½ kx +, <x< Calcule k, obtenhaafunçãodedistribuiçãodava X e esboce o seu gráfico Determine m de modo que P (X >m)=p (X <m) emostrequem é único 3 Calcule E[X] e V [X] Suponha que o preço de venda desse composto depende da percentagem de álcool Especificamente se <X< 3 ocompostovende-se por unidades monetárias (um) por litro e de contrário vende-se por 7 um por litro Se o custo for 5 um por litro, calcule a esperança matemática do lucro líquido por litro Exercício 9 O diâmetro de um cabo eléctrico é uma va seguinte função densidade de probabilidade X com a ½ 6x( x), x Mostre que f é de facto uma função densidade de probabilidade Determine a função de distribuição da va X ecalculep X 3 Calcule E[X] Suponha que o cabo eléctrico é considerado defeituoso se o diâmetro diferir da sua média em mais de 5 Qual a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso? 5 Calcule V [X] 9

10 Exercício 3 A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira (em milhares de litros) é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade kx k( x) Obtenha o valor de k edee [3X +], x, <x 6 Determine a função de distribuição da va X 3 Considere os seguintes acontecimentos: A = venda diária superior a litros B = venda diária entre 3 e 5 litros Indique, justificando, se A e B são independentes Exercício 3 Uma estação de gasolina enche os reservatórios uma vez por semana O volume semanal de vendas, expresso em milhares de litros, é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade,x< x 5, x<5, 5 x<,x Mostre que f é de facto uma função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X Calcule a função de distribuição de X 3 Determine a probabilidade de numa semana se venderem mais de 7 litros de gasolina, sabendo-se que já foram vendidos pelo menos litros Calcule a quantidade média de gasolina que é vendida semanalmente

11 Exercício 3 Relativamente à distribuição da va X sabe-se que E[X] = e E[X ]=5 Sendo Y uma outra variável tal que Y = X +3, determine E[Y ], V[Y ] e σ Y Exercício 33 Seja X uma variável aleatória e a e b constantes Prove as seguintes propriedades da esperança matemática: Se X = a, então E [X] =a E [bx] =be [X] 3 E[X + a] =E[X]+a Se g(x) e h(x) são funções de X, então E[g(X)+h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)], caso existam estas esperanças matemáticas Exercício 3 Seja X uma variável aleatória e a e b constantes Prove as seguintes propriedades da variância: V [X] =E[X ] E [X] V [X] 3 Se X = a, entãov [X] = V [X + a] =V [X] 5 V [bx] =b V [X] Exercício 35 Seja X uma variável aleatória e a e b constantes Prove, por definição, que V [ax b ]=a V [X]

12 Soluções : : Pelo menos 6 lançamentos 3: 3: 33: 3: 5 3 : : 3: 5 3 5: 5: 6 53: 6: 6: E [X] = 3 9 7,E[X +]=, V [X +]= 6 7: 7: : E[X] =, V [X] = 576 : 37 : 3: : E[X] =, V [X] =6 9: k [6, ] 9a: 9b: 9c: E[X] = 7 55, V [X] = 6 : a =, b =, c = : E[Y ]=, V [Y ]=7969 : w =, z =, t = : 3: E[X ] = 3, V [X ] = : 9 5: 6: 667 : k =,m= : 556 3: P [ <X<5] = 5 3: Não 3: Sim : 6 : 56 5: k = b,comb> b 6: a = b,comb 6= 6: b = b 7: Sim 7: : : 3: 6 : 9: 5 9: 93: 59 9: 75 : : 3: 35 : β> : : : E[X] =, V [X] = 6 3: 3: 7b3 33: E[X] = 3, V [X] = 3 b 3 + : a = 3,b= 6 : 3: : 5: 3 53: E[X] = 5, V [X] = : 6: 63: E[X] =3, V [X] =3 3 6: E[ X] =, V [ X] =3 7: 7: 5 73: E [X] =, V [X] = : E [X +]=37, V X =965 : k = : 6 3: E[X] = 7, V [X] = : 35 9: 9: P X =5 93: 5 9: 55 95: 3: k =,E[3X +] = 3: 33: Não são independentes 3: 3: 33: 3 3: 5 3: E[Y ]=5,V[Y ]=9,σ Y =3 33: 3: 35:

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