PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 Área Interdepartamental de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Tomar PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA COLECTÂNEA DE EXERCÍCIOS Engenharia Informática Ano Lectivo 2006/2007

2 Os exercícios não resolvidos nas aulas práticas constituem elementos de trabalho complementar que os alunos devem realizar e esclarecer junto da docente, salvo indicação em contrário. Nota: Os exercícios assinalados com um asterisco (*) saíram em exames de anos lectivos anteriores. Atendimento / Orientação Tutorial Lígia Henriques Rodrigues Gab ª feira: 14h00-14h30 / 17h30-18h00 6ª feira: 14h00-14h30 / 16h00-18h30

3 1ª PARTE

4 Capítulo 1 Noções Básicas de Probabilidades 1.1 Qual o número de permutações possíveis com as letras A, B, C e D? 1.2 Qual o número de combinações para as mesmas letras, A, B, C e D, tomadas 3 a 3? 1.3 Qual o número total de chaves diferentes que é possível formar num jogo de totobola? 1.4 Qual o número de permutações das letras da palavra estatística? 1.5 As peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As peças vão sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a uma paragem quando se obtenham duas peças defeituosas consecutivas ou quando se tenham registado quatro peças. Descreva o espaço de resultados desta experiência. 1.6 Lança-se 3 vezes uma moeda equilibrada: (a) Defina o espaço amostral desta experiência. (b) Calcule a probabilidade de obter: i. duas caras; ii. pelo menos uma cara. 1.7 Um dado é lançado duas vezes. Seja A o acontecimento soma das pintas obtidas nos dois lançamentos diferente de quatro. Calcule P (A). 1.8 Considere a experiência aleatória do exercício anterior e os acontecimentos: A - saída de um número de pintas, no primeiro lançamento não superior a 2 ; B - saída de um número de pintas, no segundo lançamento, pelo menos igual a 5. Qual a probabilidade de que se verifique A ou B. 1.9 Numa revista um economista afirmou que considerava a melhoria da situação financeira tão provável como a sua estagnação. No entanto encarava a melhoria como duas vezes mais provável que a quebra da actividade económica. (a) Que espaço de resultados está implícito nestas observações? (b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaço? 1

5 1.10 Três atletas participam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar é duas vezes maior do que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a do C ganhar. Qual a probabilidade de cada um dos atletas ganhar a prova? 1.11 Mostre que, com P (A) = P (B) = 0.6, A não pode ser mutuamente exclusivo com B Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferência da população de certa cidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, é dada pelos seguintes valores (percentagens sobre o total da população): Consumidores A B C A e B A e C B e C A, B e C das Marcas Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nessa cidade, seja consumidora de: (a) Das marcas A ou B; (b) Somente de A e C; (c) Somente C; (d) De pelo menos uma das marcas; (e) De nenhuma delas Sejam A e B dois acontecimentos tais que: P (A) + P (B) = x e P (A B) = y. Determine em função de x e y, a probabilidade de que: (a) Não se realize nenhum dos acontecimentos; (b) Se realize um e um só dos acontecimentos; (c) Se realize pelo menos um dos acontecimentos; (d) Se realiza quanto muito um dos acontecimentos Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: ˆ P (A) = P (B) = P (C)= 1 4 ; ˆ P (A B)=P (C B) = 0; ˆ P (A C)= 1 8. Calcule a probabilidade de que, pelo menos um dos acontecimentos ocorra Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer, tais que: P (A B) = 7 8 ; P (A B) = 1 4 ; P (Ā) = 5 8 Calcule: (a) P (A). 2

6 (b) P (B). (c) P (A B) Se P (A B) = 0.6, qual o maior valor para P (A B) Sendo P (A) = 0.5 e P (A B) = 0.7, determine: (a) P (B) sendo A e B independentes. (b) P (B) sendo A e B mutuamente exclusivos. (c) P (B) sendo P (A B) = 0.5. (d) P (B) sendo P (A B) = Considere três acontecimentos A, B e C tais que: P (C) = 0.3; P (B C) = 0.4; P ( B C) = 0.8; P (A (B C)) = P (A (B C)) = 0.2. (a) Calcule P (C B). (b) Calcule P [(B C) A]. (c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula, definidos num espaço de resultados Ω. Mostre que: P (A C B C) = P (A B C) = P (A B C). P (B C) 1.20 Considere um espaço de resultados constituído por N elementos A i e por M elementos B j. Os acontecimentos A i são equiprováveis, o mesmo se passando com os acontecimentos B j. Sabe-se, que P (B j ) = 2P (A i ). Considere o acontecimento A formado por n acontecimentos A i e por m acontecimentos B j e prove que: P (A) = n + 2m N + 2M Em certa escola 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em química e 10% em matemática e química. Um estudante é seleccionado aleatoriamente: (a) Se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática? (b) Se foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em química? (c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática ou em química? 1.22 Numa certa cidade 40% da população tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15% tem cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa é seleccionada aleatoriamente: (a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos? (b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos? 3

7 (c) Qual a probabilidade de não ter nem olhos nem cabelos castanhos? (d) Se ela não tem olhos castanhos, qual a probabilidade de ter cabelos castanhos? (e) Se ela não tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de não ter olhos castanhos? 1.23 Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuição por classes e por idades é a seguinte: Idades Homens Mulheres até 21 anos 5 3 de 21 até 50 anos mais de 50 anos 15 9 (a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher? (b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem, sabendo-se que tem mais de 50 anos? (c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem ou ter mais de 50 anos? (d) Os acontecimentos a pessoa escolhida ao acaso é homem e a pessoa escolhida ao acaso tem mais de 50 anos são independentes? Justifique a resposta As probabilidades de três atiradores A, B e C acertarem no alvo são iguais a 0.75, 0.80 e 0.90, respectivamente. Determine a probabilidade de: (a) Os três atiradores acertarem simultaneamente. (b) Pelo menos um dos atiradores acertar O Rui entrou na universidade e foi informado que há 30% de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa de estudo a probabilidade de se licenciar é 0.85, enquanto que no caso de não obter bolsa a probabilidade de se licenciar é (a) Qual a probabilidade de que o Rui se licencie. (b) Se daqui a uns anos encontrar o Rui já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido bolsa de estudo? 1.26 Dos candidatos a um emprego 30% são mulheres e 70% são homens; 60% das mulheres e 40% dos homens têm estudos superiores. Determine a probabilidade de que um candidato seleccionado aleatoriamente: (a) Seja uma mulher, sabendo que tem estudos superiores. (b) Seja um homem e não tenha estudos superiores Uma empresa produz um bem a partir de 3 processos de fabrico. Sabe-se que 20% da produção tem por base o 1º processo, 30% o 2º e 50% o 3º. Com base em estudos anteriores, chegou-se à conclusão que, do total de bens produzidos pela empresa, 7.5% são defeituosos, sendo a percentagem de defeituosos entre os produzidos pelo 1º processo de 10% e pelo 2º também de 10%. 4

8 (a) Determinado produto foi produzido pelo 3º processo de fabrico. Qual a probabilidade de ser defeituoso? (b) Determinado produto está defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido produzido pelo 3º processo de fabrico? 1.28 Uma loja de brinquedos emprega três mulheres para tentar fazer embrulhos durante a época de Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 3% das vezes; Helena embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 8% das vezes; Joana embrulha os restantes presentes e esquece-se de tirar o preço 5% das vezes. (a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter preço? (b) Suponha que tinha ido a essa loja, verificando em casa que o seu presente ainda tinha preço. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana Parte dos acidentes escolares devem-se a acidentes laboratoriais; 25% dos estudantes não lêem as instruções que acompanham os produtos que manipulam, e entre os que as lêem ainda há 10% dos acidentes devido à falta de precaução na utilização desses produtos. Qual a probabilidade de que um estudante que não lê as instruções venha a ter um acidente, se é de 0.7, a probabilidade de que um acidentado não tenha lido as instruções? 1.30 Uma empresa de construção civil produz telhas para o mercado nacional e internacional, sendo ambos os mercados equiprováveis. Sabendo que 10% das telhas lançadas no mercado nacional apresentam deficiências e que a proporção é de 3.3% no mercado externo. Determine: (a) A percentagem de telhas defeituosas na produção total da empresa. (b) Sabendo que encontrou uma telha sem defeitos, qual a probabilidade de ter sido produzida para o mercado nacional? 1.31 Um fornecedor tem grande parte do seu stock constituído por martelos pneumáticos do mesmo tipo provenientes de três fábricas A, B e C. 60% dos aparelhos são produzidos na fábrica A e os restantes em B e C na proporção de 3 : 1. Sabe-se que, respectivamente, 20%, 10% e 5% dos martelos provenientes de A, B e C têm defeitos. (a) Determine a percentagem de aparelhos do stock que têm defeitos. (b) Sabendo que foi encontrado um martelo pneumático com defeito, indique qual a fábrica que, com maior probabilidade, lhe terá dado origem? 1.32 (*) Uma fábrica de televisores compra 1 4 dos transístores de que necessita ao fornecedor A que garante uma fiabilidade (bom funcionamento) de 0.8 ao seu material. A aquisição do restante material é igualmente dividida por outras duas firmas, B e C, que garantem, respectivamente, uma fiabilidade de 0.9 e 0.7. (a) Qual a fiabilidade de um transístor seleccionado ao acaso? (b) Qual a origem mais provável de um transístor que, escolhido ao acaso, se verificou ter funcionado bem? 5

9 1.33 (*) Uma companhia que produz transístores tem 3 linhas de montagem A, B e C produzindo respectivamente 15%, 35% e 50% da sua produção global. Suponha que as probabilidades de um transístor produzido por cada uma dessas linhas ser defeituoso são, respectivamente de 0.01, 0.05 e (a) Se for escolhido ao acaso da produção global um transístor, qual a probabilidade de ele não ser defeituoso? (b) Se ao seleccionarmos ao acaso um transístor, verificarmos que não tem defeitos, qual é a probabilidade de ter sido produzido na linha de montagem B? 1.34 (*) A execução de um projecto de construção de um edifício no tempo programado está relacionada com os seguintes acontecimentos: E = escavações executadas a tempo F = fundações executadas a tempo S = superstrutura executada a tempo supostos independentes e com probabilidades iguais a, respectivamente, 0.8, 0.7 e 0.9. Calcule a probabilidade de: (a) O edifício ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazos nas três actividades referidas. (b) O prazo de execução ser cumprido para a escavação e não ser cumprido em pelo menos uma das outras actividades (*) O Zézé vai tirar a carta de condução. Antes de fazer os exames, com as novas regras, estima em 0.9 a probabilidade de passar no exame de código e como ás no volante que é, em 0.95 a probabilidade de passar no exame de condução se passou no exame de código. (a) Determine a probabilidade de o Zézé tirar a carta de condução. (b) Se não tirar a carta, qual a probabilidade de não ter passado no exame de código. 6

10 Capítulo 2 Variáveis Aleatórias 2.1 Considere-se o lançamento de três moedas e a variável aleatória X={número de faces}. Determine a função de probabilidade e a função de distribuição. 2.2 Numa caixa estão 5 bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são extraídas aleatoriamente e os seus números anotados. Determine a função de probabilidade e a função de distribuição de: (a) X={máximo dos dois números seleccionados}. (b) Y ={soma dos dois números seleccionados}. 2.3 Sendo a função de probabilidade de X indicada por: (a) Indique o valor de K. X f(x) 10 (b) Deduza a função de distribuição de X. 1 5 K 1 10 (c) Determine a de forma a ter P(X a) 0.5. (d) Calcule P(X = 3 X 1). 2.4 A variável discreta X apresenta a função de distribuição a seguir tabelada. 0, x < 1 0.1, 1 x < 2 F (x) = 0.4, 2 x < 3 0.9, 3 x < 4 1, x 4 (a) Calcule P(X 2) e P(X > 1). (b) Deduza f(x) e represente graficamente as duas funções. 2.5 Verifique se as funções indicadas podem ser funções de probabilidade de alguma variável aleatória. (a) f(x) = 1, para x = 0, 1, 2, 3, 4,

11 (b) f(x) = x + 1, para x = 1, 2, 3, Uma confeitaria estabeleceu um registo de vendas para um certo tipo de bolo. Determine o número esperado de bolos encomendados. N. de bolos/dia Probabilidade Seja X a variável aleatória com a seguinte função de probabilidade: X f(x) (a) Calcule o valor médio, a moda e a mediana. (b) Qual o valor da variância e do desvio padrão. (c) Verifique se a distribuição é simétrica. 2.8 A função de probabilidade da variável aleatória que designa o número de peças defeituosas numa amostra é definida por, 0.512, x = , x = 1 f(x) = 0.096, x = , x = 3 0, outros valores de x (a) Represente-a graficamente. (b) Calcule: ˆ P(X 1); ˆ P(X < 2); ˆ P(1 < X 4). 2.9 Seja Y a variável aleatória com função de probabilidade: y f(y) =, y = 2, 1, 0, 1, 2 k 0, outros valores de y (a) Determine k de forma a que f(y) seja uma função de probabilidade. (b) Faça a representação gráfica de f(y) Considere a variável aleatória discreta X, com a seguinte função de distribuição: 0, x < 0 1/6, 0 x < 2 F (x) = 1/4, 2 x < 4 1/2, 4 x < 6 1, x 6 8

12 (a) Determine a função de probabilidade. (b) Calcule: ˆ P(X 1); ˆ P(2 X < 6); ˆ P(0 < X 2); ˆ P (X > 5) O número de automóveis encomendados mensalmente num stand, é uma variável aleatória X com a seguinte função de distribuição: F (x) = (a) Calcule a função de probabilidade. 0, x < 0 0.3, 0 x < 1 0.6, 1 x < 2 0.8, 2 x < 3 0.9, 3 x < 4 1, x 4 (b) Quantos automóveis o stand deve ter num mês, para que a probabilidade de satisfazer todas as encomendas não seja inferior a 0.75? 2.12 Considere a seguinte função de probabilidade: x 2 f(x) =, x = 1, 2, , outros valores de x (a) Mostre que a função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função de probabilidade e represente-a graficamente. (b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente. (c) Calcule P(X = 1 X 2). (d) Determine E(X) e V (X) Determine E(X) e V (X) das distribuições dos exercícios 2.1, 2.2 e Relativamente à distribuição da variável X, sabe-se que: E(X)=6 e E(X 2 )=62. Sendo Y uma outra variável aleatória dada por Y = 1 X + 3, determine: 2 (a) E(Y ). (b) V (Y ) e σ Y Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que V (X) = 2, V (Y ) = 4 e COV (X, Y ) = 2. Determine V (3X 4Y + 8) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes tais que V (X) = 1, V (Y ) = 2. Determine V (5X 2Y + 3). 9

13 2.17 Sejam X e Y = ax + b duas variáveis aleatórias tais que E(X) = 1, E(Y ) = 5, V (X) = 0.25 e V (Y ) = 4. Determine os valores de a e de b Considere a v.a. X, contínua, com função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por: 1 f(x) = 2 x, 0 < x < 2 0, outros valores de x (a) Faça a sua representação gráfica e mostre que se trata de uma f.d.p.. (b) Calcule P(X 1), P( 1 4 < X 1 2 ) e P(X > 3 2 ). (c) Calcule P(X < < X < 2) A v.a. X é caracterizada pela seguinte função densidade de probabilidade: x 2, 1 < x 0 x, 0 < x 1 f(x) = 1, 1 < x < , outros valores de x (a) Verifique que se trata de uma função densidade de probabilidade. (b) Calcule P( 1 2 < X < 2). (c) Deduza a função de distribuição Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade: 0, x < 0 k, 0 x < 1 f(x) = k(2 x), 1 x < 2 0, x 2 (a) Calcule: ˆ k. ˆ P(X < 1.5). ˆ E(X) e V (X). (b) Obtenha a função de distribuição A quantidade de pão que uma padaria vende diariamente (em quilogramas) é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade dada pela seguinte função densidade: ky, 0 x 50 f(y) = k(100 y), 50 y 100 0, c. c. (a) Calcule o valor de k. (b) Determine a quantidade média de pão vendida diariamente. (c) Qual a probabilidade de um certo dia a venda de pão ser superior a 80 kg? 10

14 2.22 Uma v.a. X tem a seguinte função densidade de probabilidade: x 1, 1 x < 2 f(x) = 3 x, 2 x < 3 0, outros valores de x (a) Obtenha a função de distribuição. (b) Calcule o valor médio e o desvio padrão. (c) Calcule P(2 X 2.2) As vendas semanais do produto A (em toneladas) comportam-se de forma aleatória de acordo com a seguinte f.d.p.: { 0.04y , 1 y 5 f(y) = 0, outros valores de y (a) Calcule E(Y ) e V (Y ). (b) Calcule a mediana das vendas mensais. (c) Para o produto A o lucro obtido em cada semana é uma variável aleatória definida por: X = 200Y 60. Calcule E(X) e V (X) O tempo de espera entre chamadas (em minutos) numa central telefónica, pode ser considerado como uma variável aleatória e é caracterizado pela seguinte f.d.p., { (k 2)e x, x 0 f(x) = 0, x < 0 (a) Determine o valor de k. (b) Qual a probabilidade de que o tempo de espera entre duas chamadas, seja inferior a 3 minutos? (c) Determine o tempo médio de espera e o tempo de espera mais frequente entre duas chamadas. (d) Obtenha a função de distribuição da v.a. X. (e) Calcule a probabilidade P (4 X < 6 X > 2) (*) O diâmetro de um cabo (em polegadas) supõe-se ser uma variável aleatória contínua X, com função densidade de probabilidade, { 2kx(1 x), 0 x 1 f(x) = 0, x < 0 x > 1 (a) Determine o valor de k. (b) Obtenha a função de distribuição de X. (c) Qual a probabilidade de o diâmetro de um cabo ser superior a 0.80 polegadas? (d) Calcule P(X X 2 3 ). 11

15 2.26 (*) A percentagem de álcool em determinado composto pode ser considerada uma variável aleatória X, com a seguinte f.d.p.: { 20x f(x) = 3 (1 x), 0 < x < 1 0, c. c. (a) Determine a função de distribuição de X. (b) Calcule E(X), V (X) e σ X (*) A função densidade de probabilidade da variável aleatória X tem a seguinte expressão: x 3 + x, 0 x 1 f(x) = 3x 2 + 2x 39 4, 1 < x 2 0, c. c. (a) Calcule o valor esperado e a variância de X. (b) Calcule as probabilidades: i. P(X < 1). ii. P(X < 3) (*) Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade: Determine: (a) k. (b) V (X). f(x) = (c) A correspondente função de distribuição. { x k 1, 2 x 4 0, c. c (*) Uma estação de gasolina enche os reservatórios no princípio de cada semana. Supondo o volume semanal X de vendas (em milhares de litros) de gasolina, uma variável aleatória contínua com a seguinte f.d.p.: { k(40 x), 0 x 40 f(x) = 0, c. c. (a) Determine o valor de k. (b) Determine a média e a variância da variável aleatória Y = 2 3X. (c) Calcule a probabilidade de o volume de vendas numa semana ser superior a 30 (mil litros) de gasolina (*) Admita que o número de licenciados, em Engenharia Química Industrial, procurados diariamente pelas empresas é uma variável aleatória, distribuída do seguinte modo: 12

16 X f(x) 0.1 k 0.3 k (a) Deduza a função de distribuição e calcule a de modo que P(0 < X a)=0.8. (b) Determine o valor esperado do número de licenciados procurados diariamente. (c) Calcule E(3X 2 + 1) (*) A quantidade de bolos (expressa em kg) vendida diariamente no bar do IPT é uma variável aleatória com a seguinte f.d.p., 5k 2, 0 x < 5 f(x) = k(10 x), 5 x < 10 0, c. c. (a) Obtenha o valor da constante k. (b) Calcule a quantidade média de bolos vendida diariamente no bar do IPT. (c) Determine a quantidade de bolos que deve ser recebida diariamente de forma a satisfazer 80% dos pedidos. 13

17 Capítulo 3 Distribuições Teóricas 3.1 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se no entanto que 40% dessas garrafas contém realmente menor quantidade do que o volume indicado no rótulo. Tendo adquirido 6 garrafas, qual a probabilidade de: (a) Duas delas conterem menos de 1 litro? (b) No máximo 2 conterem menos de 1 litro? (c) Pelo menos 2 conterem menos de 1 litro? (d) Todas conterem menos de um litro? (e) Todas conterem o volume indicado no rótulo? 3.2 Qual a probabilidade de, em 10 lançamentos de um dado perfeito: (a) Se obterem 5 faces par? (b) Se obterem 5 faces superiores a 4? 3.3 Admite-se ser 0.4 a probabilidade de que um cliente que entra num supermercado M realize despesa superior a 1.000$00. (a) Qual a probabilidade de, em 3 clientes: ˆ nenhum realizar despesa superior a 1.000$00? ˆ no mínimo 2 gastarem mais de 1.000$00? (b) Qual a probabilidade de, em 15 clientes: ˆ nenhum realizar despesa superior a 1.000$00? ˆ no mínimo 2 gastarem mais de 1.000$00? 3.4 Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um é de 1 2. Calcule a probabilidade de ficar bem: (a) Em pelo menos 1 exame. (b) Em exactamente 1 exame. 3.5 Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra, calcule a probabilidade de um vendedor que visite num dia 16 pessoas: 14

18 (a) Realizar 5 vendas. (b) Realizar entre 4 e 8 vendas. (c) Realizar quando muito 2 vendas. (d) Realizar no máximo 10 vendas. (e) Realizar pelo menos 12 vendas. (f) Realizar no mínimo 3 vendas. (g) Se o vendedor visitar 16 pessoas diariamente, qual o número médio diário de vendas? 3.6 Um estudo encomendado pela empresa M permitiu apurar que aproximadamente 60% dos seus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face à empresa, 30% uma atitude hostil e 10% uma atitude não definida. Qual a probabilidade de num grupo de 12 trabalhadores: (a) Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face à empresa? (b) No máximo 2 terem uma atitude bem definida? (c) Qual o número esperado de trabalhadores com atitude hostil? 3.7 Um avião comercial tem 4 motores independentes e num voo a probabilidade de cada motor funcionar sem avarias é de 99%. Qual a probabilidade do avião fazer uma viagem segura se, para isso, precisar de pelo menos 2 motores a funcionar correctamente. 3.8 A probabilidade de um automóvel efectuar uma lavagem automática, quando vai ser abastecido de combustível numa bomba de gasolina, é 0.1. Determine: (a) A probabilidade de nenhum dos próximos 6 carros ser lavado. (b) A probabilidade de pelo menos um dos próximos 10 automóveis efectuar uma lavagem. (c) A probabilidade de pelo menos 2 dos próximos 10 automóveis efectuarem lavagens automáticas. (d) O numero médio de lavagens em cada grupo de 25 automóveis. 3.9 Suponha que X tem distribuição binomial e que p=0.2 e E(X)=1. Calcule n e V (X) Suponha que X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabendo que E(X)=5 e V (X)=4, determine n e p O número de chamadas que chegam num período de 5 minutos à central telefónica de uma empresa, é uma v.a. com distribuição Poisson, de parâmetro λ=10. Calcule a probabilidade, de num período de 5 minutos: (a) Chegarem exactamente 8 chamadas. (b) Chegarem menos de 5 chamadas. (c) Chegarem, no mínimo, 3 chamadas. (d) Chegarem pelo menos 20 chamadas. 15

19 (e) Não chegar nenhuma. (f) Calcule a probabilidade de num período de 2 minutos chegarem exactamente 3 chamadas Numa fábrica o número de acidentes por semana segue uma lei de Poisson, de parâmetro igual a 2. Calcule a probabilidade de que: (a) Numa semana haja menos de um acidente. (b) Se verifiquem 4 acidentes Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distribuição Poisson de parâmetro 5. Nos últimos 300 dias seguiu uma política de adquirir 8 artigos por dia, tendo verificado que em 21 desses dias, o seu stock não chegou para satisfazer as encomendas. Quantos produtos (no mínimo) deverá ele passar a adquirir por dia se quiser fazer baixar para 0.03 a probabilidade da ruptura de stock? Nota: Os produtos não vendidos no próprio dia são inutilizados Durante 40 minutos consecutivos foi registado o número de partículas cósmicas que, por minuto, incidem num dado aparelho detector. Os resultados foram compilados na tabela que se encontra abaixo. Na suposição de que as partículas atingem o detector de um modo aleatório e a um ritmo constante, qual será a probabilidade de cinco partículas serem detectadas no minuto seguinte? Um material radioactivo emite partículas α a uma taxa de duas por milisegundo. Determine a probabilidade de: (a) Serem emitidas duas partículas num milisegundo. (b) Serem emitidas quatro partículas em dois milisegundos. (c) Serem emitidas pelo menos três partículas em dois milisegundos. (d) Serem emitidas pelo menos cinco partículas em dois milisegundos sabendo que já foram emitidas pelo menos duas partículas Admite-se que 5% da produção de certa fábrica seja defeituosa. Numa encomenda de 100 unidades, qual a probabilidade de se encontrarem: (a) 2 defeituosas. (b) no máximo 2 defeituosas Se a probabilidade de um carro furar um pneu durante a passagem pela ponte sobre o Tejo for de , qual a probabilidade de que em carros haja menos de 3 a sofrer tal percalço? 16

20 3.18 A procura diária para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuição Poisson. Sabendo que que a procura a média diária é de 3 produtos e que o stock diário é mantido em 6 unidades, calcule: (a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos. (b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock. (c) O número esperado de clientes que ficam por satisfazer. (d) O novo stock diário a assegurar de maneira que a probabilidade de ruptura seja no máximo de (e) Em média quantos produtos são vendidos por dia, na hipótese: ˆ de a loja poder satisfazer todo e qualquer pedido. ˆ estar limitada ao stock diário de 6 unidades. (f) Qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no máximo 3 dias com vendas inferiores a 2 produtos. (g) Durante o ano, qual o número esperado de dias com procura superior a 2 produtos (admitir que o ano tem 365 dias úteis) Uma pessoa tem no bolso 5 chaves do mesmo tipo, mas só uma abre a porta. Considere o seguinte método: Experimentar uma chave após a outra, sem as repor no bolso após cada tentativa. Seja X a variável aleatória que corresponde ao número de chaves experimentadas (incluindo a que abre a porta). (a) Determine a lei de probabilidade da variável X. (b) Qual o número médio de chaves experimentadas pelo método considerado? 3.20 Considere o caso de uma fila de clientes, num estabelecimento comercial e suponha que em cada unidade de tempo (30 segundos, por exemplo) chega ao estabelecimento, no máximo, 1 cliente. Suponha ainda que a probabilidade de chegar um cliente é p e a probabilidade de não chegar nenhum é 1 p. Seja T uma variável aleatória que representa o tempo até à chegada do próximo cliente. (a) Qual a distribuição de T? (b) Qual a probabilidade de não chegar nenhum cliente nas próximas t unidades de tempo? (c) Qual o tempo médio até à chegada do próximo cliente? 3.21 Uma caixa tem doze ampolas, das quais quatro estão estragadas. Dela extrai-se uma amostra de três ampolas, sem reposição. Determine a função de probabilidade e a função de distribuição da v.a. que representa o número de ampolas estragadas De uma lista de 80 candidatos a um emprego sabe-se que apenas 20 têm menos de 25 anos. Se escolher 10 candidatos de uma forma aleatória e sem reposição, qual a probabilidade de 5 terem menos de 25 anos? 17

21 3.23 Uma remessa de 20 barras de aço é aceite pelo comprador se, numa amostra de 5 barras, tiradas ao acaso e sem reposição, não houver mais do que uma defeituosa. Qual a probabilidade de ser aceite um lote contendo 4 barras defeituosas? 3.24 Um determinado armazém de produtos alimentares possui em stock 4500 latas de conserva, entre as quais existem 225 cujo prazo de validade termina brevemente. Um supermercado está interessado em comprar as 4500 latas. No entanto a gerência do supermercado decidiu não efectuar a compra se numa amostra de 30 latas, recolhidas ao acaso e sem reposição, forem encontradas pelo menos 3 cujo prazo de validade termine brevemente. Qual a probabilidade de a compra não se efectuar? 3.25 Sabendo que a duração (em minutos) de uma conversa telefónica é uma v.a. T com função densidade, { ke f(t) = t 3, t > 0 0, t 0 (a) Calcule: ˆ k. ˆ A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos. ˆ A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos mas menos de 5. ˆ A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos dado que a conversa já dura à 2 minutos. ˆ A duração média de uma conversa deste tipo. (b) Obtenha a função de distribuição Muitos programas de computador possuem um utilitário chamado gerador de números aleatórios. Este utilitário permite obter um (pseudo) número aleatório distribuído, em geral, uniformemente em ]0, 1]. (a) Determine a função densidade de probabilidade deste tipo de geradores. (b) Qual a probabilidade de o número gerado estar entre 0.3 e 0.5? E entre 0.2 e 0.4? 3.27 O gasto diário para a manutenção de um laboratório é um número uniformemente distribuído entre 10 euros e 50 euros. (a) Determine a média e a variância desta distribuição uniforme. (b) Calcule a probabilidade de, num dia, o gasto ser superior a 40 euros. E qual será a probabilidade de o gasto ser exactamente 20 euros? 3.28 A variável T representa o tempo de funcionamento sem avarias, expresso em dias, de um determinado equipamento. A f.d.p. da v.a. T é definida pela expressão seguinte: { 0.5e 0.5t, t > 0 f(t) = 0, t 0 (a) Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um período compreendido entre 1 e 3 dias. 18

22 (b) Determine o valor esperado e a variância da variável T Considere uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade é (b, c > 0): (a) Faça um esboço de f(x). f(x) = (b) Determine c em função d a e de b. (c) Determine o E(X) e V (X). { 0, x a c b e x b, x a 3.30 Um departamento de reparação de máquinas recebe, em média, 5 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de meia hora? 3.31 Em média, atraca um navio em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio? 3.32 Suponha que T, tempo (em horas) de trabalho sem falhas de um dispositivo, segue uma lei exponencial com λ = 0,03. (a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falhas nas primeiras 100 horas de funcionamento. (b) Sabendo que o dispositivo não falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidade de não falhar nas 200 horas seguintes? (c) Que distribuição segue o número de falhas por unidade de tempo? 3.33 O tempo de funcionamento T entre avarias consecutivas, de uma determinada máquina, é uma variável aleatória exponencial com média de 1 hora. (a) Considere umas da máquinas. Qual a probabilidade de estar a funcionar ao fim de 1 hora? E de 2 hora? E de 3 horas? (b) Considere um sistema de montagem composto por 4 destas máquinas. Qual a probabilidade de 2 máquinas estarem ainda a funcionar (sem avarias) ao fim de 1 hora? E de 2 horas? 3.34 Seja X N (µ, σ 2 ) e Z = X µ. σ (a) Mostre que: E(Z)=0 e V(Z)=1. (b) Calcule as seguintes probabilidades: P (µ σ < X < µ+σ), P (µ 2σ < X < µ+2σ) e P (µ 3σ < X < µ + 3σ) A v.a. X segue uma distribuição Normal de parâmetros µ=20 e σ 2 =9. (a) Determine as seguintes probabilidades: ˆ P(X 23). ˆ P(X 40). ˆ P(X > 21). 19

23 ˆ P(X > 17). ˆ P(21.5 < X < 25). ˆ P(16.2 < X < 18.8). ˆ P(17 < X < 29.3). (b) Determine os valores da variável X tais que: ˆ P(X a)= ˆ P(X b)= ˆ P(X a)= ˆ P(X > b)= O tempo requerido para executar certa tarefa é uma v.a. com distribuição Normal com média 72 minutos e desvio padrão 12 minutos. (a) Calcule a probabilidade de que: ˆ A tarefa leve mais de 93 minutos. ˆ Não leve mais de 95 minutos. ˆ Leve entre 63 e 78 minutos. (b) Determine os valores de a e b tais que: ˆ P(X > a)= ˆ P(X < b)= Sabe-se que a v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros µ=3 e σ=2. Calcule: (a) P(X < 4) ; P(X < 5) ; P(X > 15). (b) P(X < 1); P(X < 1); P(X > 2); P(X > 3). (c) P(4 < X < 5); P( 1 X 2); P(2 < X < 5) O tempo (em minutos) que um operário leva a executa certa tarefa é uma v.a. com distribuição Normal. Sabe-se que a probabilidade de o operário demorar mais de 13 minutos é de e a de demorar menos de 8 minutos é de (a) Calcule o tempo médio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio padrão. (b) Calcule a probabilidade de o operário demorar entre 9 e 12 minutos a executá-la Calcule a média e o desvio padrão da variável X N (µ, σ 2 ), sabendo que: P(X 3)= e P(X 9)= As variáveis independentes X e Y especificam os desvios (erros elementares) introduzidos por duas componentes de um aparelho eléctrico e têm distribuições normais de médias 2 e 4 e variâncias 4 e 5, respectivamente. Sabendo que o erro à saída do aparelho está associado aos erros destas duas componentes pela relação U = X +3Y, determine a probabilidade deste erro final ser superior a O conteúdo de certo tipo de garrafas é aleatório e com distribuição Normal de média 1 e desvio padrão Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de este ficar com um volume de líquido superior a 3.1 litros? 20

24 3.42 As pontuações obtidas com um teste psicotécnico distribuem-se de uma forma aproximadamente Normal, sendo a pontuação média de 50p. e o desvio padrão de 10p.. Qual a probabilidade de, em 20 pessoas submetidas a esse teste, se registarem 5 com pontuações inferiores a 41.6 pontos? 3.43 A distribuição dos rendimentos familiares de certo bairro de 5000 famílias (em u.m.) é satisfatoriamente representada por uma lei Normal com parâmetros 180u.m. e 25u.m.. (a) Qual o número esperado de famílias nesse bairro auferindo entre 175u.m. e 188u.m.? (b) Qual a percentagem de famílias que ganham menos de 163u.m? (c) Qual o rendimento máximo auferido pelo grupo das 500 famílias de menores proveitos? 3.44 A despesa (euros) de um cliente num supermercado é uma variável aleatória X N (µ = 125, σ 2 = 400). Determine: (a) A fracção de clientes que gastam mais de 150euros. (b) O valor do consumo abaixo do qual estão os 10% de clientes menos gastadores. (c) Considere o número de clientes que gastam uma importância entre 115euros e 135euros. Determine: ˆ O número esperado destes clientes entre os próximos 50. ˆ A probabilidade de entre os próximos 3 clientes estarem 2 destes clientes A despesa (euros) de um cliente num supermercado é uma variável aleatória X N (µ = 125, σ 2 = 400). Determine: (a) A fracção de clientes que gastam mais de 150e. (b) O valor do consumo abaixo do qual estão os 10% de clientes menos gastadores. (c) Considere o número de clientes que gastam uma importância entre 115e e 135e. Determine: ˆ O número esperado destes clientes entre os próximos 50. ˆ A probabilidade de entre os próximos 3 clientes estarem 2 destes clientes Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se no entanto que 40% dessas garrafas contém realmente menor quantidade do que o volume indicado no rótulo. Em 100 garrafas existentes na loja, qual a probabilidade de: (a) Haver 30 com menos de 1 litro? (b) Haver não mais de 30 com menos de 1 litro? (c) Haver mais de 45 com menos de litro? (d) Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro? 3.47 O número de chamadas que chegam num período de 5 minutos à central telefónica de uma empresa é uma v.a. com distribuição Poisson de parâmetro 10. Calcule a probabilidade de: 21

25 (a) Em 1 2 hora, chegarem: ˆ 65 chamadas. ˆ Pelo menos 70 chamadas. (b) Num dia (8 horas) chegarem: ˆ Menos de 900 chamadas. ˆ Entre 900 e 1000 (inclusive) chamadas O número de avarias que uma máquina tem por dia é aleatório e segue uma distribuição de Poisson de média 0.2. Qual a probabilidade de num ano (365 dias), se registarem: (a) 76 avarias. (b) Entre 70 e 75 avarias. (c) Mais de 77 avarias. (d) No máximo 70. Nota: Considere que a máquina funciona nos 365 dias do ano (*) Suponha-se gestor de uma empresa, de componentes electrónicas, cujos lucros mensais (em milhares de escudos) se comportam de forma aleatória e têm a seguinte f.d.p., (a) Determine o valor da constante k. k(2x + 10), 5 x < 5 f(x) = k(22.5 x 2 ), 5 x < 45 0, c. c. (b) Calcule a probabilidade de a empresa: ˆ ter prejuízos (lucros negativos) num mês; ˆ ter prejuízos quando muito num mês de um trimestre; ˆ ter prejuízos em 3 meses de oito trimestres (*) O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. normal com valor esperado µ e variância σ 2. Uma peça é defeituosa se o comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm um comprimento inferior a 2.5mm e 47.5%, das peças produzidas, têm um comprimento entre 2.5mm e 3.42mm. (a) Calcule µ e σ. (b) Determine a probabilidade de que uma peça, escolhida ao acaso, não seja defeituosa (*) Um sistema complexo é constituído por 100 componentes que funcionam independentemente. A probabilidade de que qualquer das componentes venha a falhar durante o período de operação é igual a 0.1. Sabendo que o funcionamento do sistema exige que estejam operacionais pelo menos 85 componentes, calcule a probabilidade de que o sistema funcione. 22

26 3.52 (*) Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada no mercado é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: 1 + k + x, 1 x < 0 f(x) = 1 + k x, 0 x < 1 0, c. c. (a) Calcule o valor de k. (b) Calcule a mediana de X. (c) Calcule a probabilidade de que em duas peças extraídas ao acaso, e com reposição, da produção da máquina apareça uma com um desvio positivo em relação à norma (*) Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em média, 4 bolhas de ar espalhadas aleatoriamente por 10m 2 de placa. Sabendo que a distribuição do número de bolhas de ar pode ser modelada por uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de: (a) Uma placa de 2.5m 2m ter mais de 2 bolhas de ar. (b) Obter, num lote de 10 placas de vidro com 1m 2.5m, 6 placas perfeitas. (c) Obter, num lote de 225 placas de vidro com 2.5m 5m, 45 placas com 4 bolhas de ar. 23

27 2ª PARTE

28 Capítulo 4 Distribuições por Amostragem 4.1 Consultando a tabela da distribuição t de Student, determine: (a) t (10;0.99) e t (10;0.01) ; (b) t (18;0.025) ; (c) O número real a tal que P( a < t < a)=0.99 para 23 g.l Consultando a tabela da distribuição χ 2, determine: (a) χ 2 (9;0.99) ; (b) χ 2 (15;0.975) ; (c) χ 2 (18;0.01) ; (d) χ 2 (28;0.9) ; (e) Os números reais positivos a e b tais que P(a < χ 2 < b)=0.9 para 19 g.l. e tais que P(χ 2 < a)= P(χ 2 > b). 4.3 Consultando a tabela da distribuição F de Snedecor e usando as suas propriedades, determine: (a) O valor de F (5,10;0.995) e F (5,10;0.005) ;, (b) O valor de F (7,5;0.975) e F (7,5;0.025) ; (c) O valor da probabilidade p, sabendo que, F (9,15;p) =2.09 e o valor de F (9,15;1 p). 4.4 Uma amostra de dimensão n = 100 é seleccionada de uma população cujo valor médio é µ = 50 e o desvio padrão é σ = 10. (a) Determine o valor médio e o desvio padrão de X. (b) Qual a distribuição de probabilidade aproximada de X. (c) Calcule P(X > 52) e P(47.5 < X < 52.5). 4.5 Em determinada cidade, os resultados de um exame oficial acusaram média 72 e desvio padrão 8. Qual a percentagem de amostras de dimensão 100 onde se encontra uma média amostral inferior a 70? 25

29 4.6 Com base numa população normal, qual deverá ser a dimensão da amostra para que seja de pelo menos 0.95 a probabilidade de que a média amostral não se afaste da média da população mais do que 0.5σ? 4.7 O conteúdo (em litros) de garrafas de azeite Azeitoninha segue uma distribuição Normal de média µ = 0.99 e desvio padrão σ = (a) Seleccionaram-se aleatoriamente 16 garrafas deste azeite para inspecção. Qual a probabilidade de o conteúdo médio das garrafas ser superior a 1 litro? (b) Considerando uma amostra de 100 garrafas: ˆ Calcule a probabilidade do conteúdo médio ser inferior a 9.85dl. ˆ Determine a e b tais que P(a X b)= Em 1000 amostras de 200 crianças cada, considerando que os dois sexos são equiprováveis, em quantas se esperaria encontrar: (a) Menos de 40% do sexo masculino? (b) Entre 40% e 60% do sexo feminino? 4.9 Admita que a vida de certo fármaco segue uma distribuição normal com vida média de 2000 dias e desvio padrão σ = 60 dias. Num lote de 10 medicamentos, qual a probabilidade de que o desvio padrão amostral não exceda os 50 dias? 4.10 Admitindo que o peso do conteúdo de embalagens de açúcar tem distribuição Normal com σ 2 = 1, seleccionou-se uma amostra aleatória de 10 embalagens e pesou-se o conteúdo de cada embalagem. Determine b 1 e b 2, tal que P(b 1 S 2 b 2 )=0.9 e P(S 2 b 1 )=P(S 2 b 2 ) As vendas diárias de dois estabelecimentos são aleatórias. As vendas diárias de A possuem valor médio µ A = 1400 contos e desvio padrão σ A = 200 contos, enquanto que para B tem-se µ B = 1200 contos e σ B = 100 contos. Nestas condições, qual a probabilidade de, em dois meses de actividade (60 dias), a média diária de vendas no estabelecimento A ser superior à média diária de vendas no estabelecimento B, em pelo menos 150 contos? 4.12 Os resultados de uma eleição acusam 65% de votos a favor de determinado candidato. Determine a probabilidade de duas amostras aleatórias independentes, cada uma com 200 eleitores, acusarem, em módulo, uma diferença superior a 10% nas proporções dos votos a favor do candidato? 26

30 Capítulo 5 Estimação 5.1 Considere um modelo normal e a estatística T definida da seguinte forma: T = X 1 + 2X 2 2 para amostras aleatórias de dimensão n = 2. (a) Determine a distribuição amostral de T e os respectivos parâmetros. (b) T é um estimador centrado para µ? (c) Obtenha uma estimativa para T com base na amostra (7,8; 6,7). 5.2 Para o parâmetro θ de certa população, foram indicados dois estimadores: ˆθ 1 e ˆθ 2. Qual o estimador que escolheria, sabendo que: E(ˆθ 1 ) = n + 1 n θ V (ˆθ 1 ) = k n E(ˆθ 2 ) = n + 1 n θ V (ˆθ 2 ) = k n + 3, onde k é uma constante. 5.3 Considere uma amostra aleatória de dimensão n proveniente de uma população, X, normal com média µ e variância σ 2. Prove que X é um estimador não enviesado e consistente de µ. 5.4 Considere uma amostra aleatória de dimensão n proveniente de uma população, X, normal com média µ e variância σ 2 : n (a) Mostre que a variância amostral corrigida, S 2 (X i X) 2 =, é um estimador n 1 não enviesado da variância populacional σ 2. n (b) Tendo em conta a relação existente entre a variância amostral, S 2 (X i X) 2 =, n e a variância amostral corrigida, S 2, o que poderá dizer sobre a propriedade de não enviesamento de S 2 (c) Calcule as estimativas fornecidas por cada estimador com base na seguinte amostra: (32; 27; 32; 28; 31; 37; 25; 26; 30). 27

31 5.5 O peso de componentes electrónicas produzidas por determinada empresa é uma v.a. que se supõe ter distribuição normal. Pretendendo-se estudar a variabilidade do peso das referidas componentes, recolheu-se uma amostra de 60 elementos e, obtiveram-se os seguintes valores, em gramas: 60 x i = 6528gr ; 60 x 2 i = gr 2 (a) Apresente uma estimativa para a média do peso das componentes. (b) Apresente uma estimativa para a variância do peso das componentes. (c) Construa um intervalo de confiança para a média do peso com um grau de confiança de 95%. 5.6 Sabe-se que o tempo de vida útil de um componente electrónico tem desvio padrão σ = 500 horas, mas o tempo médio de vida útil é desconhecido. Supõe-se que o tempo de vida útil dos componentes electrónicos tem uma distribuição aproximadamente normal. Numa amostra de n = 15, o tempo médio de vida útil é x = 8900 horas. Pretende-se que construa intervalos de confiança para a média da população com um grau de confiança de: (a) 95%. (b) 90%. 5.7 Certo equipamento de empacotamento automático encontra-se regulado para encher embalagens de um quilo de certo produto e o seu deficiente funcionamento origina prejuízo para a empresa. Aceita-se, da experiência passada, que o peso das embalagens se comporta normalmente com uma dispersão dada por σ = 12gr. Para verificar a afinação do equipamento, seleccionaram-se em certo período nove embalagens cujos pesos exactos foram anotados (em gramas): (a) Construa intervalos de confiança para a média, com os seguintes graus de confiança: 90%, 95% e 99%. (b) Suponha que, em vez de uma amostra de nove embalagens, tinha sido obtido uma outra de 100 embalagens que, após os necessários cálculos tinha fornecido um peso médio x = 994gr. Construa um novo intervalo de confiança, a 95%, com base nesta segunda amostra. Que ilação retira do aumento do tamanho da amostra (c) Qual deverá ser o tamanho da amostra a recolher, de tal forma que a amplitude do intervalo, a 95%, seja 2? 5.8 O tempo de resolução de determinado tipo de teste é uma variável que segue uma distribuição normal, com σ = 14 minutos. Uma amostra de 12 alunos aleatoriamente escolhidos resolveram o teste no tempo médio de minutos. (a) Determine o intervalo de confiança a 99% para µ. (b) Caso pudesse aumentar a dimensão da amostra, o que esperaria obter em termos de amplitude do novo intervalo comparativamente com o anterior. 28

32 (c) Qual deverá ser o novo n para que o erro da estimativa não ultrapasse os 5 minutos, com um grau de confiança de 99%. (d) Supondo que σ é desconhecido e que o desvio padrão da amostra é igual a 12 minutos, determine o intervalo de confiança a 90% para µ. 5.9 (a) Determine o intervalo de confiança a 90% para o valor médio de uma distribuição normal com desvio padrão 3, a partir da amostra: 3.3; -0.3 ; -0.6 ; (b) Calcule o intervalo de confiança a 90% para o valor médio admitindo que o desvio padrão da população é desconhecido Uma amostra de 144 observações possui média igual a 160 e variância igual a 100. (a) Determine o intervalo de confiança para a média da população com um grau de significância de 5%. (b) Se pretendermos que este intervalo tenha semi-amplitude de 1.2, quantas observações será necessário efectuar, supondo que a variância populacional é igual à variância amostral? 5.11 Num exame de Electrónica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos como uma amostra representativa da população dos alunos matriculados na disciplina e tendo em conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados: 31 x i = 299 ; 31 (x i x) 2 = 120 Determine um intervalo de confiança, com α = 10%, para a variância dos resultados em Electrónica dos alunos matriculados na disciplina Uma grande cidade dos E.U.A. pretende construir um complexo desportivo. Antes de tomar a decisão foi feito um estudo no âmbito do qual 400 pessoas foram entrevistadas. Destas, 310 indicaram poder vir a utilizar o complexo regularmente. Encontre um intervalo de confiança a 95% para a proporção de pessoas que poderá ser cliente habitual do complexo Num estudo de mercado, quantas pessoas devem ser inquiridas de modo a, com 95% de confiança, se cometer um erro inferior a 3% (para mais ou menos) na estimação da proporção de potenciais clientes do novo serviço de televisão por cabo? E se pretender uma estimativa a menos de 1% Duas v.a. s X 1 e X 2 seguem uma distribuição normal com variâncias σ1 2 = 3.64 e σ2 2 = 4.03, respectivamente. Construa um intervalo de confiança a 90% para a diferença entre as suas médias, sabendo que em amostras recolhidas se obtiveram os seguintes resultados: Amostra 1: n 1 = 32 x 1 = Amostra 2: n 2 = 40 x 2 = Pretende-se investigar o nível de remunerações de certa categoria profissional. 29

33 (a) Construa um intervalo de confiança a 99% para a diferença de médias com base nos seguintes resultados (em u.m.): Amostra de 250 Homens: x = 33.8 s 2 = 5.7 Amostra de 150 Mulheres: x = 31 s 2 = 10.3 (b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o quociente das variâncias dos níveis de remuneração dos homens e das mulheres ( σ2 1 ) com base nos seguintes resultados (em u.m.): σ 2 2 Amostra de 31 Homens: s 2 = 5.0 Amostra de 16 Mulheres: s 2 = Uma empresa encomendou um estudo sobre as preferências das senhoras entre dois detergentes para a loiça: A e B (sendo o detergente B pertencente a uma empresa concorrente). Verificou-se que, numa amostra de 100 senhoras de uma cidade do Norte, 40% das senhoras preferem o detergente A. Numa cidade do Sul do País, das 200 senhoras inquiridas, 60 revelaram que também preferem o mesmo detergente. Determine um intervalo de confiança a 90%, para a diferença entre proporções de senhoras das duas cidades que preferem o detergente A Presume-se que certo projecto governamental tem aceitação muito diferente consoante se trate de meios urbanos ou rurais. Informação recolhida a propósito forneceu os seguintes resultados: Nos meios urbanos, das 200 pessoas inquiridas, 78 afirmaram concordar com o projecto; Nos meios rurais, em 300 pessoas, 153 mostraram-se favoráveis. (a) Apresente uma estimativa para a diferença entre proporções de pessoas que favorecem o projecto nos dois meios. (b) Construa um intervalo de confiança a 99% (*) A capacidade (em amperes-hora) de um tipo de bateria varia segundo uma distribuição normal. Seleccionadas aleatoriamente 10 baterias registaram-se as seguintes capacidades: x i = 1443 ; 10 (x i x) 2 = (a) Determine um intervalo de confiança a 99% para o valor esperado e para o desvio padrão da capacidade da bateria, indicando, para cada caso, a variável aleatória fulcral. (b) Qual o número aproximado de baterias que deveriam ser seleccionadas se se quiser estimar o valor esperado da capacidade com um grau de confiança de 99% dentro de uma margem de erro de ±1.5 amperes-hora? Nota: Suponha que a variância amostral é igual à variância populacional. 30