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1 PORCENTAGEM Porcentagem é a razão entre uma quantidade qualquer e 100. O símbolo % (por cento) indica a taxa percentual = 5%; = 13% Observamos que a taxa pode ser escrita de forma percentual, indicada com o símbolo %, que é a referência para 100, ou, de forma unitária, quando dividimos por 100 sendo a referência para um. 3% (forma percentual) = 0,03 (forma unitária); 15% (forma percentual) = 0,15 (forma unitária). Da nossa prática diária sabemos operar com porcentagem calculando a todo momento o valor de um produto quando sofre um aumento ou diminuição percentual no seu preço. Por exemplo: Para um produto que custa R$ 80,00 e sofre um aumento de 20%. Na prática, pegamos uma calculadora e multiplicamos R$ 80 por 1,2 obtendo R$ 96,00. Se multiplicarmos R$ 80 por 0,2 obteremos o valor correspondente a 20% de R$ 80, ou seja, R$ 16,00, que somado a R$ 80,00 nos dá R$ 96,00. Por que 1,2? 100% é a taxa correspondente ao valor inicial do produto, ou seja, R$ 80. Pretende-se calcular seu valor acrescido de 20%, então: 100% + 20% = 120% = 1,2 Da mesma forma, se no lugar de acréscimo fosse desconto de 20%, faríamos 100% - 20% = 80 % = 0,8. Calculando o valor do produto com desconto de 20%, temos: R$ 80 x 0,8 = R$ 64,00. Podemos realizar cálculos percentuais com uma regra de três simples e direta: 100 % valor correspondente a 100% outro % valor correspondente a outro % No exemplo dos R$ 80,00 acrescidos de 20%, temos a regra de três: 100% R$ 80 20% x Resolvendo temos x = R$ 16 R$ 80 + R$ 16 = R$ 96 ou 100% R$ % x Resolvendo temos x = R$ 96 EXEMPLOS RESOLVIDOS: 1) Calculando 15% do preço de um produto, encontramos R$ 45,00. Qual o preço desse produto? Colocando os dados na regra de três: 100% x 15% 45 x = R$ 300,00 2) Uma mercadoria custava R$ 200,00 e após um desconto passou a custar R$ 176,00. De quantos por cento foi o desconto? Valor do desconto : R$ R$ 176 = R$ 24 Colocando os dados na regra de três: 100% 200 x 24 x = 12% São bastante comuns nos concursos, questões semelhantes a esse último caso. Dados os valores inicial e final da mercadoria, pergunta-se qual o percentual de aumento ou de desconto. Como nosso tempo é muito curto, vamos sempre procurar abreviar a resolução das questões. Vejamos os exemplos: 1) Custo inicial do produto: R$ 120,00 Custo final do produto: R$ 150,00 Qual o percentual do acréscimo? Basta dividir o VALOR FINAL pelo VALOR INICIAL e subtrair = 1,25-1 = 0,25 = 25% MATEMÁTICA FINANCEIRA 1

2 2) Custo inicial do produto: R$ 230,00 Custo final do produto: R$ 202,40 Qual o percentual do desconto? Basta dividir o VALOR FINAL pelo VALOR INICIAL e subtrair ,4 230 = 0,88-1 = - 0,12 ou seja, 12% de desconto. CÁLCULO COM INFLAÇÃO Para verificarmos a inflação acumulada ao longo de um período, aplicamos sobre um valor 100, sucessivamente, as taxas de inflação a considerar. Subtraindo o valor inicial 100 do valor final obtido, teremos a inflação acumulada no período. Exemplo: Consideremos que as taxas de inflação de três meses consecutivos foram 2%, 3% e 4%. Qual a inflação do trimestre? 100 1,02 = 102 1,03 = 105,6 1,04 = 109, = 9,26% TAXA DE INFLAÇÃO, TAXA REAL E TAXA APARENTE Passamos a considerar três tipos de taxas: a taxa oferecida pelo mercado financeiro, que remunera as aplicações, a qual chamaremos de taxa aparente; a taxa de inflação que corrige monetariamente os preços de produtos e serviços; e a taxa real, que representa o efetivo ganho do aplicador extraídas as corrosões inflacionárias. Seja uma aplicação financeira que remunera seus aplicadores à taxa de 8% ao mês. Se no mesmo mês for verificada uma inflação de 5%, então não é correto considerar um ganho real de 8% nessa aplicação mas apenas, um ganho aparente, já que, todos os preços foram reajustados em 5%. Nessa situação, podemos calcular o efetivo rendimento, relacionando as taxas real (i R ), de inflação (i I ) e aparente (i A ), da seguinte forma: Com os dados da situação anterior, temos: i R =? i I = 5% i A = 8% (1 + i R )(1 + 0,05) = 1 +0,08 (1 + i R )(1,05) = 1, i R = 1, i R = 1,0286 1, 05 i R = 1, = 0,0286 = 2,86% Portanto, o ganho real do aplicador foi de 2,86%. (1 + i R )(1 + i I ) = 1 + i A Cuidado! Não fazer nessa situação a diferença 8% - 5% = 3%, que não reflete a taxa real. Esta será portanto, menor que aquela diferença. EXEMPLO RESOLVIDO: 1) Um aplicador obteve o ganho real em uma aplicação financeira igual a 3,6%. Qual a inflação do período, sabendo que naquela ocasião, foi oferecida a taxa de aplicação de 7,5%? i R = 3,6% i I =? i A = 7,5% (1 + 0,036 )(1 + i I ) = 1 +0,075 (1,036) (1 + i I ) = 1, i I = 1, 075 i I = 1, , 036 i I = 3,8% MATEMÁTICA FINANCEIRA 2

3 EXERCÍCIOS 01. Complete os dados da tabela abaixo: VALOR PRINCIPAL PERCENTUAL DO AUMENTO DO DESCONTO DO EM R$ PRINCIPAL PERCENTUAL PERCENTUAL R$ 100,00 10,00% = R$ 10,00 R$ 110,00 R$ 90,00 R$ 500,00 5,00% = R$ 800,00 4,00% = R$ 850,00 3,50% = R$ 1.200,00 8,50% = R$ 700,00 12,00% = R$ 1.800,00 2,45% = R$ 1.550,00 12,51% = R$ 2.500,00 8,25% = R$ 1.300,00 6,50% = 02. Complete os dados da tabela abaixo: VALOR PRINCIPAL PERCENTUAL EM R$ DO PRINCIPAL R$ 100,00 10,00% = R$ 10,00 R$ 4,00% = R$ 8,00 R$ 5,00% = R$ 20,00 R$ 6,00% = R$ 36,00 R$ 4,50% = R$ 22,50 R$ 8,00% = R$ 80,00 R$ 1.200,00 = R$ 36,00 R$ 800,00 = R$ 64,00 R$ 2.100,00 = R$ 131,25 R$ 350,00 = R$ 24,50 R$ 850,00 = R$ 89,25 R$ 400,00 = R$ 8, Complete os dados da tabela abaixo: TAXA APARENTE TAXA DE INFLAÇÃO TAXA REAL 10,00% 4,00% 5,77% 4,00% 2,00% 7,00% 3,00% 9,00% 4,00% 12,00% 5,00% 15,00% 3,50% 3,00% 1,45% 2,50% 2,50% 2,00% 3,45% 1,45% 4,00% 8,00% 4,50% 9,00% 3,50% 7,50% 2,45% 10,00% 4,50% 04. Um equipamento pode ser adquirido por R$ 500,00. Na compra à vista, e concedido um desconto de 5%. O preço à vista é: MATEMÁTICA FINANCEIRA 3

4 05. Uma mercadoria custava R$ 600,00 e após um aumento passou a custar R$ 702,00. De quantos por cento foi o aumento? 06. O preço de um bem passou de R$ ,00 para R$ ,00. Qual foi o percentual de aumento? 07. Uma mercadoria custava R$ 500,00 e após um desconto passou a custar R$ 385,00. De quantos por cento foi o desconto? 08. Ao pagar uma conta no valor de R$ 3.500,00, tive que pagar R$ 700,00 de multa. De quantos por cento foi a multa? % do preço de um objeto é R$ 2.100,00. Qual é o preço desse objeto? 10. Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada mês. Quanto receberá num mês em que vendeu R$ ,00? 11. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que compareceu às aulas nesse dia? 12. O preço de venda de um equipamento, com lucro de 10%, é R$ 275,00. Qual o preço de aquisição do equipamento? a) R$ 247,50 b) R$ 250,00 c) R$ 200,00 d) R$ 274,50 e) R$ 210, (ESAF) Um terreno foi vendido por R$ ,00 com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$ ,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de a) 38% b) 40% c) 28% d) 51,8% e) 25,45 % 14. (CESPE/UnB) O cotidiano dos brasileiros é permeado de índices, reajustes, diferentes taxas de juros, tabelas etc. A todo momento, vêem-se resultados de pesquisas eleitorais, taxas de reajustes de preços de produtos, de mensalidade escolares e de rendimento de aplicações financeiras, sendo todas essas informações dadas em forma de porcentagens. Em relação a percentuais, assinale a opção incorreta. a) Calcular 25% de certa quantia é equivalente a encontrar a quarta parte dessa quantia. b) Dois reajustes consecutivos de 10% correspondem a um reajuste final de 21%. c) Dois descontos consecutivos de 10% correspondem a um desconto final de 19%. d) Se um salário recebe um reajuste de 200%, então esse salário dobra de valor. e) Um desconto de 10% e, em seguida, um aumento de 20% correspondem a um aumento de 8%. 15. Três acréscimos sucessivos de 8%, 12% e 15%, correspondem a um acréscimo final de : a) 35% b) 37,5% c) 39,1% d) 40% e) 69% 16. Três descontos sucessivos de 10%, 8% e 9%, correspondem a um desconto final de: a) 24,65% b) 75,35% c) 27% d) 29,49% e) 9% 17. Uma fábrica, que tem preços tabelados para suas mercadorias, remarcou com 30% de abatimento as unidades que apresentavam defeitos de fabricação. As pessoas que comprassem dez ou mais unidades teriam ainda 20% de abatimento sobre o preço remarcado. Uma pessoa comprou 12 dessas unidades. Pergunta-se: a) Qual a taxa de desconto que lhe foi feita? b) Quanto pagou, se o total sem desconto era de R$ 1.852, Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de unidades, em 5%. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria? 19. As ações de certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, qual a situação do preço final dessas ações comparado com o preço inicial? 20. Sabendo que determinada aplicação financeira pagou em um mês 8% de juros aos seus aplicadores e que neste mesmo mês a inflação foi de 3%, qual a taxa real de juros dessa aplicação? MATEMÁTICA FINANCEIRA 4

5 21. (CESPE/UnB) O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00 no dia 1º de agosto de Considerando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% c) superior a 1,5% e inferior a 2,0% d) igual a 2,0% e) superior a 2,0% 22. Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, qual a quantia que deverá ser desembolsada pelo proprietário? 23. IPCA e INPC têm nova fórmula A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estrutura e ponderação. Com base na Pesquisa de Orçamento Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE repassou os hábitos de consumo e estabeleceu nova relação entre a quantidade, o preço e a participação de cada um dos produtos que compõem a lista de itens pesquisados no orçamento das famílias brasileiras. Veja, nos gráficos abaixo, a evolução e participação percentual de cada item na apuração do IPCA. Jornal do Brasil, 11/8/99 (com adaptações) Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem como verdadeiros ou falsos, relativos ao cálculo do IPCA. I. A partir de agosto, o item Saúde e cuidados pessoais passou a ter maior participação do que tinha até julho de II. A partir de agosto, o item Vestuário passou a ter menos da metade da participação que tinha até julho de III. Até julho, a participação atribuída ao conjunto dos itens Transporte, Alimentação e bebidas, Comunicação e Educação era maior que a participação atribuída a esse mesmo conjunto a partir de agosto de IV. A partir de agosto, a participação do item Comunicação aumentou mais de 90% com relação à que tinha até julho de (ENADE 2004) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de hosts, ou seja, número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico abaixo mostram a evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América Latina. Número de hosts Brasil México Argentina Fonte: Internet Systems Consortium, 2004 MATEMÁTICA FINANCEIRA 5

6 Fonte: Internet Systems Consortium, 2004 Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts no período foram: a) Brasil e México b) Brasil e Argentina c) Argentina e México d) Argentina e Brasil e) México e Argentina 25. (ENADE 2007) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de hosts, isto é, o número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico abaixo mostram a evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América do Sul Brasil Argentina Colômbia Fonte: IBGE (Network Wizards, 2007) Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts, no período , foram a) Brasil e Colômbia b) Brasil e Argentina c) Argentina e Brasil d) Colômbia e Brasil e) Colômbia e Argentina MATEMÁTICA FINANCEIRA 6

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