Conjuntos Numéricos. É um subconjunto de números naturais que possuem exatamente dois divisores: o número 1 e ele mesmo. { }

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1 CURSO: ASTRONOMIA APLICADA À NAVEGAÇÃO PROFESSOR: ALEXANDRE RIBEIRO ANDRADE MÓDULO 1: MATEMÁTICA APLICADA NA ASTRONOMIA NÁUTICA Apostila 1: Sistema de Unidades utilizadas na Navegação e na Astronomia, Conjuntos Numéricos, Razão, Proporção e Regra de três simples Conjuntos Numéricos 1. Conjunto dos Números Naturais { } onde n é qualquer natural { } onde n é qualquer natural exceto o zero 1.1 Conjunto dos Números Primos É um subconjunto de números naturais que possuem exatamente dois divisores: o número 1 e ele mesmo. D(2) = {1,2}; D(11) = {1,11}; D(53) = {1,53} { } 1.2 Conjunto dos Números Compostos É um subconjunto de números naturais que possuem mais do que dois divisores. D(9) = {1,3,9}; D(10) = {1,2,5,10}; D(16) = {1,2,4,8,16} 1.3 Conjunto dos Números Naturais Pares { } onde n 1.4 Conjunto dos Números Naturais Ímpares { } onde n 2. Conjunto dos Números Inteiros { } { } onde { } { } onde { } onde { } onde { } onde 3. Conjunto dos Números Racionais { } { } 3.1 Números decimais finitos ¼ = 0,25; ½=0,5; ¾=0, Números decimais infinitos 4/3 = 1,333...; 5/11= 0, Dízima periódica simples 1/3 = 0,333...; Dízima periódica composta 5/6 = 0,

2 3.3 Transformar uma dízima periódica em fração Exemplo 1: 7, a. Observar a parte periódica: 17 (são dois algarismos, portanto colocar dois noves no denominador da fração) b. Em quantos algarismos ocorre o atraso da periodicidade: (1 algarismo, portanto colocar apenas um zero no denominador) c. Observar a parte não periódica aperiódica = 72 Formação fração geratriz: Exemplo 2: 8, Parte periódica: 362 (colocar três noves no denominador) Atraso de uma casa (não houve atraso, portanto não há zero no denominador) Parte não periódica aperiódica = 8 Formação fração geratriz: 4. Conjunto dos Números Irracionais Representa o conjunto dos números aperiódicos, caracterizados por possuir infinitas casas decimais. π = 3, ; ; 4.1 Número pi O número pi ou constante de Arquimedes é um número irracional que corresponde a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. 5. O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 2

3 Razão e Proporção 6. Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a:b. O termo a é chamado de antecedente ou numerador e o termo b é denominado de consequente ou denominador. Exemplo 1: O planeta Terra é formado por ¾ de água, isto significa que para cada parte de terra, existe três partes de água no planeta Terra. Exemplo 2: Velocidade da luz = m/s. Isto significa que a luz percorreu a distância de metros e o tempo gasto foi de 1 segundo. (observe que neste caso as unidades são diferentes). 7. Proporção É a igualdade entre duas razões. Exemplo: { 7.1 Propriedade fundamental da proporção O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 7.2 Outras propriedades da proporção 3

4 Regra de três simples 8. Definição É o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou inversamente proporcionais. 8.1 Regra de três simples direta Nesta modalidade de regra de três é envolvida duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas corresponde à mesma variação da outra grandeza dada no problema a ser resolvido. Exemplo: A luz leva aproximadamente 1,282 s para percorrer a distância média entre a Terra e a Lua (de km). Qual o tempo gasto para a luz percorrer a distância da Terra até o planeta Marte (de km)? Distância da Terra (km) Tempo gasto pela luz (s) Lua Marte ,282 t t 760 s Se um minuto tem 60 s, então 760/60 12 minutos para a luz percorrer a distância entre a Terra e Marte. 8.2 Regra de três simples inversa Nesta modalidade de regra de três é envolvida duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando existe a variação de uma das grandezas a outra varia, porém de forma contrária, mais na mesma proporção. Exemplo: A missão Apollo 11 levou 4 dias para chegar na Lua na velocidade média de 4 mil km/h. Supondo que a nave retornou em 3 dias, qual a velocidade da nave espacial? Velocidade da nave (mil km/h) Número de dias Ida 4 4 Retorno V 3 V 5,333 mil km/h Observação: A Apollo 11 está a caminho da Lua Desde o lançamento na manhã de 16 de julho até a injeção translunar, a atividade dos três astronautas foi marcada por operações relacionadas às manobras no espaço, necessárias à colocação da Apollo 11 no rumo correto para atingir a Lua. Uma vez que a nave estava no curso, apenas pequenas correções seriam necessárias, sempre com o objetivo de alcançar nosso satélite dentro da janela de injeção lunar. Não existe um tempo exato para a interceptação, que pode variar de 62 a 76 horas. Pouco a pouco a Apollo 11 se afasta da Terra e a cada minuto a nave perde velocidade, uma vez que a atração da Terra diminui sua influência sobre a nave. Apesar de ter sido arremessada a quase 40 mil quilômetros por hora após 4

5 a injeção translunar, a velocidade cairá gradualmente a 7600 km/h quando a Apollo estiver a 128 mil quilômetros da Terra e chegará a apenas 3400 km/h quando estiver a 320 mil quilômetros de distância. Nesse ponto a situação se inverte e a Lua passa a exercer sua força de atração, puxando a nave para si e aumentando novamente a velocidade da Apollo 11. Fonte: 9. Sistemas Internacional de Unidades e medidas 9.1 Unidade Antigas Unidade Símbolo Valor no SI Polegada In 0,0254 m ou 2,54 cm Palmo 0,22 m ou 22 cm Côvado 0,66 m ou 66 cm Pé Ft 0,3048 m ou 30,48 cm Passo 1,48 m ou 148 cm jardas Yd 0,9144 m ou 91,44 cm 9.2 As principais grandezas do SI Grandeza Unidade Símbolo Comprimento Metro M Massa quilograma Kg Tempo segundo S Corrente elétrica ampère A Temperatura termodinâmica Kelvin K Quantidade de matéria Mol Mol Intensidade luminosa candela Cd 9.3 Algumas grandezas derivadas do SI Unidade Símbolo Valor no SI Área metro quadrado m² Volume metro cúbico m³ Velocidade metro por segundo m/s Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s² Ângulo plano radiano Rad Velocidade angular radiano por segundo rad/s 9.4 Unidades aceitas pelo SI Grandeza Unidade Símbolo Relação com o SI minuto Min 1 min = 60 s Tempo hora H 1 h = 60 min = 3600 s dia D 1 d = 24 h = s 5

6 grau 1 = π/180 rad Ângulo plano Volume Massa minuto ' 1' = (1/60) = π/ rad segundo " 1" = (1/60)' = π/ rad litro l ou L 1 l = 0,001 m³ tonelada T 1 t = 1000 kg 9.5 Unidades Marítimas Uma milha náutica é baseada na circunferência do planeta Terra. Se cortássemos a Terra ao meio na linha do equador, poderíamos pegar uma das metades e vê-la como um círculo. Poderíamos dividir esse círculo em 360º e cada grau em 60 minutos. Um minuto no arco do planeta Terra é uma milha náutica. Esta unidade de medida é usada por todas as nações para viagens aéreas e marítimas. Um nó é uma unidade de medida de velocidade. Viajar a 1 milha náutica por hora é o mesmo que viajar na velocidade de 1 nó. Antigamente, um quilômetro também era definido usando o planeta Terra como escala de referência. Se pegássemos a Terra e a cortássemos ao meio com uma linha passando do Pólo Norte até Paris e medíssemos a distância da curva que vai do Pólo Norte até o equador naquele círculo e depois dividíssemos essa distância por 10 mil, teríamos a unidade tradicional para o quilômetro, conforme definido em 1791 pela Academia Francesa de Ciências. Desde 1983, o metro é definido como a distância percorrida pela luz no vácuo, durante o intervalo de tempo correspondente à 1/ segundo. Uma milha náutica equivale a metros ou 1,852 km. No sistema inglês de medidas, uma milha náutica equivale a 1,1508 milhas ou pés. Para viajar pelo equador ao redor da Terra, teríamos que percorrer milhas náuticas, milhas ou quilômetros. Fonte adaptada: 9.6 Unidades Astronômicas A velocidade da luz no vácuo, por definição, é igual a m/s. O ano-luz é uma medida de comprimento, com valor aproximado de 10 trilhões de quilômetros (1016 metros, perto de 6 trilhões de milhas). Conforme a definição da União Astronômica Internacional (UAI), um ano-luz é a distância que a luz atravessa no vácuo em um Ano Juliano (365,25 dias = s). A Unidade Astronômica (UA) é a distância média entre o Sol e a Terra (150 milhões km). Planeta Distância do Sol (UA) Mercúrio 0,39 Vênus 0,72 Terra 1,00 Marte 1,52 Júpter 5,20 Saturno 9,53 Urano 19,10 Netuno 30,00 6

7 Lista de Exercícios 1. A soma da distância entre dois planetas de uma estrela é de 57 UA. Para um dos planetas, essa distância é o dobro do outro. Calcule a distância de cada um deles em relação à estrela. 2. A soma da distância entre dois planetas de uma estrela é de 78 UA. Para um dos planetas, essa distância é o quíntuplo do outro. Calcule a distância de cada um deles em relação à estrela. 3. Numa adição de sete parcelas da compra de um telescópio, às parcelas de ordem ímpar eu adiciono 6 unidades e às parcelas de ordem par eu subtraio 9 unidades. Que alteração sofrerá o total dessa adição? 4. Um astronauta é 26 anos mais velho que a filha. Qual é sua idade se ele tem o triplo da idade dessa filha? 5. Um cometa passou quando eu nasci e meu pai tinha 24 anos. A próxima vez que esse cometa passar, eu terei a quarta parte da idade de meu pai. Qual a minha idade e do meu pai no dia da próxima passagem deste cometa? 6. As idades de dois irmãos gêmeos somam 31 anos, calcule a idade de cada um deles sabendo que após uma viagem espacial, aquele que ficou na Terra envelheceu, aparentando ser 5 anos mais velho que o outro. 7. Um livro de Astronomia tem 350 páginas. Uma pessoa já leu 10 páginas mais do que outra e tem, ainda, 30 páginas a ler para completar a leitura do livro. Quantas páginas cada pessoa já leu? 8. Um pai combina com seu filho que pagaria R$ 7,00 por cada foto de boa qualidade da Lua e receberia dele R$ 4,00 por cada foto de péssima qualidade da Lua. Se o álbum de foto constava de 25 fotos, quantas fotos de boa qualidade ele precisou tirar para receber R$ 32,00? 9. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? 10. Existem dez números inteiros consecutivos com soma igual a 35. Que números são esses? 11. Existem oito números inteiros consecutivos com soma igual a -12. Que números são esses? 12. O produto de dois números é 620. Se adicionássemos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores? 13. O produto de dois números é -72. Se diminuíssemos 4 unidades ao fator positivo, o produto ficaria aumentado de 48 unidades. Quais são os dois fatores? 14. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas receberam cada menino e cada menina? 7

8 15. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês? 16. Encontre o valor de x das equações abaixo: a. f. k. b. g. l. c. h. m. d. i. n. e. j. o. 17. Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x? 18. Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da primeira proporcional x? 19. Uma Estação Espacial de forma retangular, medindo 20 m de largura por 35 m de comprimento, deve ser ampliada para 120 m de largura. O comprimento correspondente será: 20. Uma grupo de astronautas composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pasta alimentar. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, para o mesmo grupo de astronautas? 21. Numa Estação espacial, 3 astronautas dispõem de ração espacial para víveres 60 dias. Se mais 9 astronautas chegarem na Estação, então, por quanto tempo a Estação ficará abastecida? 22. Um foguete, deslocando-se a uma velocidade média de 4.000Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 4.800km/h? 23. Uma equipe de astronautas, trabalhando 4 horas por dia, realizou o reparo em um satélite em 12 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 3 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 24. Uma satélite natural leva 20 dias para dá 1 volta em torno do planeta em que órbita. Quantas voltas o satélite dará após 150 dias? 8

9 25. Um ônibus espacial, a uma velocidade média de 6,5 mil km/h, fez um percurso em 4 horas para pousar. Quanto tempo levará, aumentandose a velocidade média para 8,4 mil km/h? 26. Com 10 cientistas podemos realizar 14 experiências científicas no espaço sideral, em 2 dias. Quantos dias levarão 5 cientistas para fazer o mesmo trabalho? 27. Faça as conversões de unidades abaixo: a. 0,39 UA para km b. 0,72 UA para km c. 1,52 UA para km d. 30 nós para m/s e. 19 milhas para km f. 15 m/s para nó g m para milha h. 0,25 nós para km/min i. 4,5 milhas/horas para m/min j. 5,20 UA para milhas k. 40,5 t para kg l. 8 dias para horas m. 0,156 m³ para Litros CURIOSIDADES O Parsec (símbolo: pc) é uma unidade de distância usada em trabalhos científicos de astronomia para representar distâncias estelares. Equivale à distância de um objeto cuja paralaxe anual média vale um segundo de arco (1"). Devido à definição da paralaxe anual, o parsec também pode ser entendido como a distância à qual se deveria situar um observador para ver uma unidade astronómica (UA) -- equivalente à distância da Terra ao Sol -- sob o ângulo de um segundo de arco. FAÇA OS EXERCÍCIOS - AGUARDE A 2ª APOSTILA!!! - 9

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