Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º - Data / / SISTEMA DE FORÇAS

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1 Força (F ) e (Beer and Johnston,1991) SISTEMA DE FRÇAS Força não tem definição, é um conceito primitivo ou intuitivo. Matematicamente a força é o vetor aplicado (P,F ), caracterizado por módulo, direção e sentido (F ), bem como, ponto de aplicação(p). F X Unidade de força é Newton (N). Da Geometria Analítica temos: X P. F (equação da reta) onde é um número real qualquer. P (França e Matsumura, 2001) Um conjunto de forças é chamado de um Sistema de Forças. Considerando um sistema de forças (Pi, F i), sendo i de 1 a n elementos, chama-se Resultante do sistema ao vetor: n R Fi F1 F2 F3... Fn i1 Aplicado a um sistema triortogonal de coordenadas, sendo: F x, F y, F z os componentes escalares de R Z i X k o j Y R Unidade de Força N (Newton) Importante: 1kgf = 9,81 N Fxi Fyj Fzk Página n.º 1

2 Momento Polar. (Mo ) (Beer e Johnston, 1995) e (França e Matsumura, 2001) Dada a força (P,F ) e o ponto (pólo), define-se momento polar ao vetor dado pelo seguinte produto vetorial: M ( P ) F Sentido do momento dado pela regra da mão direita Desenho esquemático: M o P F Regra da Mão Direita. Apoiando-se a mão direita fechada no plano definido pela força (P, F ) e o polo, e abrindo-se a mão de modo que os quatro dedos indiquem o sentido da força (P, F ), o polegar indicará o sentido do Momento Polar Mo. Unidade do Momento: N.m (Newton x metro) Importante: 1 kgf = 9,81 N. Braço do Momento. Seja h a distância do Polo à linha de ação da força e tomando-se o módulo do momento: h o P' P F M F P sen Logo: P -.sen = h Portanto: M F h Notar que M o não se altera aplicando a força em qualquer ponto da sua linha de ação; de fato, sendo P e P dois pontos da linha de ação temos: Página n.º 2

3 identidade (P - ) = P - P + P - Equação do momento: M o = (P-) F, Logo:. ( P P') ( P' ) F M ( P' ) F P P' )F ( é zero. Para um sistema de forças quaisquer (Pi, F i) o momento em relação ao ponto o é o vetor: Exemplo 1: Calcular: Exercício 1 n Mo ( Pi ) Fi i 1 a) momento da força (P, F ) relativo ao polo = (0,0,0) b) braço do momento h. Sendo F = 2i + 3j 4k (N) P = (2,1,3) m. Para o sistema abaixo, constituído pelas forças (Pi, F i), calcular: a) A Resultante do Sistema de Forças; b) momento do sistema relativo ao polo Q = (1, -2, 3) m; c) A reta paralela à Resultante, passando pelo ponto Q. Dados: P1 = (0,1,0) ; F 1=(2,1,0) P2 = (-2,0,1) ; F 2=(1,1,1) P3 = (3,2,1) ; F 3=(2,-2,3) P4 = (2,-1,2) ; F 4=(-3,1,-2) Exemplo 2: Verificar se as forças (P1 ; F 1) = [(-1,0,1) ; (j,k )] e (P2 ; F 2) = [(-1,1,2) ; (j,k )] têm a mesma linha de ação, justificar: Página n.º 3

4 Exercício 2: (Kaminski, 2000) No sistema de vetores indicados na figura, determinar: a) A resultante R. b) momento polar em relação a o. Sendo: A B C 3 m F 1 = 1 N F 2 = F 3 = 18 N Z F1 C F2 F3 o B Y X A Página n.º 4

5 Teorema de Varignon: (França e Matsumura, 2001) Ilustração do Livro La Estructura Autor: H. Werner Rosenthal Forças concorrentes são forças que têm linhas de ação concorrentes em um mesmo ponto. momento de um sistema de forças concorrentes, em relação a um pólo qualquer, é igual ao momento, em relação a, da resultante do sistema, aplicada no ponto A. Sejam as forças (F i, A) Fn F1 A F3 F2 n n Mo ( A ) Fi ( A ) Fi ( A ) R i 1 i 1 cálculo do item b do exercício 2, ilustra bem este Teorema. M o pode ser aplicado como: M o=(c-)r i j k Mo i 9 jn. m Mudança de Polo: (França e Matsumura, 2001) momento de um sistema (F i ; Pi) em geral varia com o polo. Sendo e dois pólos, tem-se: M o=(pi-) F i Subtraindo, membro a membro, as expressões acima: M o - M o=(pi- )F i - (Pi-)F i M o - M o=(pi- )-(Pi-)F i M o - M o=(- ) F i M o - M o= (- ) F i Logo: M o =(Pi- ) F i M o = M o+ (- ) R chamada FÓRMULA DE MUDANÇA DE PL Página n.º 5

6 ...que assim se enuncia: momento resultante do sistema em relação a um novo polo ( ) é igual ao momento resultante do sistema em relação ao polo antigo () mais o momento da resultante do sistema aplicado no polo antigo, em relação ao novo polo Dessa fórmula conclui-se: Se R =0, o momento do sistema independe do polo e o sistema é constituído por um conjunto de binários. Se M o =M o, para qualquer polo o então R =0 Se R 0 Exercício 3 então M o =M o se e somente se (- ) for paralelo a R Dado o sistema de forças abaixo e o polo, determinar: (unidades no S.I.) a) momento do sistema relativo a b) A resultante do sistema de forças; c) momento do sistema relativo ao polo. P1=(0,1,0) ; F 1=(-1,1,0) P2=(2,0,1) ; F 2=(0,2,-3) P3=(3,0,0) ; F 3=(4,-1,1) P4=(2,-1,3) ; F 4=(0,1,2) = (2,1,1) = (1,-1,1) Página n.º 6

7 Momento Axial. Seja uma reta orientada (eixo) passando por (polo) e u o versor do eixo. A projeção de Mo em u é o momento axial. Mu M u Teorema. momento axial independe do polo tomado sobre o eixo. Mu = M o x u Mu = (P-) F x u identidade (P - ) = P - P + P - Substituindo a identidade na fórmula anterior, temos: Mu = (P -) F x u + (P-P ) F x u = (P-P ) F x u Notar que: P e pertencem ao eixo, logo (P - ) F x u = 0 Esquema do momento axial: P P F Página n.º 7

8 Seja o eixo u e a força (P,F ), o vetor F poderá ser decomposto em outros três. Desenhar esquema de forças. Fa é Força axial (paralela a u ) Fr é Força radial (perpendicular a u ) Ft é Força transversal (ortogonal a u ) F = Fa + Fr + Ft momento axial é devido somente ao componente transversal da força. Mu = (P-P ) F x u = (P-P ) (Fa + Fr + Ft )x u = (P-P ) Ft x u Fa e Fr não giram em torno do eixo u. Logo: h = (P - P ) Mu h Ft Exemplo 3. Dados: F = 3j - k N. P = (-1,2,3) m Determinar: a) momento axial de (P, F ) relativo ao eixo X = Q +.K, com Q = (0,1,2) m Página n.º 8

9 Exercício 4: (P1-1º semestre de Prof. Damin) Para o sistema de Forças Representado na Figura, sendo as coordenadas do Ponto P = (4,2,2) m, determinar: X Z F 5 F 1 F 2 F 4 P F 3 Y a) A resultante do sistema de força. b) momento do sistema relativo ao polo c) momento do sistema relativo ao polo Q=(4,0,0)m. d) momento do sistema em relação ao ponto P As respostas devem ser escritas no Sistema Internacional de Unidades. Solução: Página n.º 9

10 Exercício 5 P2-1º semestre de Prof. Damin Um carro com problemas B mecânicos necessita de uma força A 30º de 400 N para ser removido. Para essa remoção foram instalados dois cabos AB e AC, como ilustra a figura abaixo. Sabendo-se que a C resultante das duas forças aplicadas em A têm a direção do eixo do carro, Calcule, a tração no cabo AC quando o ângulo = /4 Resumo do Sistema de Forças. Resultante : R É o vetor não aplicado Que não é uma força. R Fi ( sendo i de 1 a n elementos) Momento Polar :Mo É a somatória dos momentos de cada força, calculados em relação a um mesmo polo, é a resultante dos momentos. M ( Pi ) Fi ( sendo i de 1 a n elementos). Mudança de Polo: M ' M ( ' ) R Momento Axial Mu ( Pi ) Fi u ( sendo i de 1 a n elementos). Página n.º 10

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