Por que utilizar vetores?
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- Anderson Nelson Bonilha Beltrão
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1 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Por que utilizar vetores? Existem grandezas físicas f perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade. Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido. deslocamento velocidade força aceleração torque comprimento massa tempo temperatura pressão Inúmeras leis da física f são expressas em termos de operações vetoriais.
2 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul O que são vetores? ntes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTDOS Dois pontos no espaço o definem: ) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos e, bem como todos os pontos entre e ; ) Um segmento de reta orientado de origem no ponto e extremidade no ponto, indicado por e representado por uma flecha de para ; C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto e extremidade no ponto, indicado por e representado por uma flecha de para.
3 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul SEGMENTOS ORIENTDOS Os segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem: Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada. u.m. Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados sós podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção N L C Y X D Direções diferentes Não podemos comparar sentidos P Q Mesma direção Sentidos contrários rios K M Mesma direção Mesmo sentido
4 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul SEGMENTOS ORIENTDOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido. C Podemos escrever: CD OS: não são IGUIS,, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes. D Propriedades: 1) Se CD então C D C D C D
5 Propriedades: 2) Se CD e CD EF então EF Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul E C F D CD CD EF EF 3) Dado um segmento orientado e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que CD CD C D
6 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul VETORES: Definição Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si. = 1 vetor = outro vetor este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto. Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a. Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre. Nomenclatura: ou v ou (-)(
7 Vetores iguais Dois vetores e CD são iguais se, e somente se, CD Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul VETORES = = CD ; e CD tem mesma direção; e CD tem mesmo sentido. Vetor nulo Os segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0. Vetores opostos Dado um vetor v =, o vetor é um vetor oposto a,, indicado por ou v. Vetores unitários ou versores É um vetor cujo módulo m (ou comprimento) é igual a 1. O versor de um vetor v é indicado por v, e apresenta mesma direção e sentido de v. v v
8 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul OPERÇÕES ELEMENTRES COM VETORES 1) Produto de um número n real por um vetor Dado um vetor v e um número n a qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características : direção do vetor p é a mesma do vetor v ; O módulo m (comprimento) do vetor p é o módulo m do vetor v vezes o módulo m do número n real a ; O sentido do vetor p depende do sinal do número n real a : se a > 0, p e v tem mesmo sentido se a < 0, p e v tem sentidos contrários rios Exemplos: p = 2 v r = -3 w d = - 4,5 e u.m. v p w r e d
9 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul 2) Soma de vetores Uma das maneiras de se somar dois vetores é através s do método gráfico fico.. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último. v s = v + p p s
10 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Propriedades a) v + p = p + v (propriedade comutativa) v s p s = v + p = p + v
11 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Propriedades a) s = v + p + w = v + w + p = w + p + v p (propriedade comutativa) v w s
12 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Propriedades b) s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa) p v v + p w p + w s
13 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul 2) Subtração de vetores Não se define a subtração para vetores. o invés s disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo d = v p = v + ( p ) p v p d d
14 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul 2) Subtração de vetores d = r u = r + ( u ) r d u u
15 DESVNTGENS DO MÉTODO GRÁFICO Qual o módulo m (intensidade), direção e sentido do vetor soma? É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos...
16 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES h v v = v + h h Podemos escrever que: v = sen h = cos E também m que: v = cos h = sen
17 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES by = ax + ay ax = cos ay = sen ay = bx + by bx = cos by = sen bx ax S = + S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = ( ax + bx ) + ( ay + by )
18 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES S = + S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = ( ax + bx ) + ( ay + by ) by S ay Sy Quem é o vetor S? módulo direção sentido bx ax Sx S = Sx + Sy Sx = ax + bx Sy = ay + by Módulo: S = ( Sx ) 2 + ( Sy ) 2 Direção e Sentido: = tg 1 (Sy / Sx) = tg 1 (Sx / Sy)
19 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES Definindo os versores das direções horizontal e vertical: by j j i Vamos determinar: ay j S = + S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) bx i ax i S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j ) S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) j S = Sx i + Sy j S Sx Sy S = ( Sx ) 2 + ( Sy ) 2 = tg 1 (Sy / Sx)
20 EXEMPLO 1: Vamos determinar S = + = = 12 cm = = 6 cm Lembrando que: j i by j ay j bx ( -i ) ax i ax = 12 cos(60 ) = 6 cm ay = 12 sen(60 ) = 10,4 cm bx = 6 cos(30 ) = 5,2 cm by = 6 sen(30 ) = 3 cm S = + = ax i + ay j + bx (-i ) + by j S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j S = (6 5,2) i + (10,4+3) j S = 0,8 i + 13,4 j S Sx Sy S = ( Sx ) 2 + ( Sy ) 2 S = (0,8) 2 + (13,4) 2 S = 13,42 cm = tg 1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6
21 EXEMPLO 2: Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5 a nordeste. que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida? N Dx D = D = 209 Km D = Dx + Dy O Dy S 22,5 D L Dx é a distância que o avião viajou ao leste Dy é a distância que o avião viajou ao norte Dx = 209 sen(22,5 ) = 80 Km Dy = 209 cos(22,5 ) = 193 Km RESPOST: O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida.
22 EXEMPLO 3: Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro Dx = Dx = 32 Km N Dy = Dy = 47 Km D = Dx + Dy O S D Dx Dy L D = ( Dx ) 2 + ( Dy ) 2 D = (32) 2 + (47) 2 D = 56,9 Km D é o vetor que indica a localização do carro Quem é o vetor D? módulo direção sentido tg = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593 = tg 1 (0,593)= 30,7
23 z Em três dimensões az k ax i i k j ay j y x Podemos dizer que: = ax i + ay j + ay k
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