OPERANDO NÚMEROS INTEIROS COM O ÁBACO. Letícia Ramos Rodrigues 1 Tássia Oliveira de Oliveira 2

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1 OPERANDO NÚMEROS INTEIROS COM O ÁBACO Letícia Ramos Rodrigues 1 Tássia Oliveira de Oliveira 2 Resumo O aprendizado das operações fundamentais, sendo elas a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, no conjunto dos números inteiros é extremamente importante para o estudo de Matemática. E é um conteúdo em que os estudantes costumam apresentar muitas dificuldades e dúvidas. Visando a facilitar o processo ensino-aprendizagem dessas operações no conjunto dos números inteiros, idealizamos o trabalho com material concreto como uma alternativa para atingir esse objetivo. Um instrumento de cálculo milenar muito utilizado, principalmente na cultura oriental, como ferramenta no estudo de Matemática é o ábaco. Em geral, é utilizado para estudar o sistema de numeração decimal e realizar operações entre números naturais, mas também pode servir como ferramenta no estudo das operações no conjunto dos números inteiros. O ábaco é composto por uma base e suas hastes, e ainda inúmeras argolas, para serem colocadas nas hastes, geralmente utilizadas para representar as unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar entre outras posições referentes ao sistema de numeração decimal. Nesse estudo, utilizaremos um ábaco formado por uma base e duas hastes, onde uma representará as unidades inteiras positivas e a outra representará as unidades inteiras negativas. Fazendo uso de um roteiro de atividades, primeiramente faremos diversas representações de números inteiros nesse ábaco, salientando que um mesmo número possui infinitas formas de representação. Depois, ainda utilizando esse roteiro como material de apoio, serão apresentadas atividades onde faremos adição de números inteiros relacionando o acréscimo de argolas com a idéia de soma que todos possuem. A partir da reflexão e discussão sobre os resultados obtidos será deduzida a regra de sinais para essa operação. Relacionando a retirada de argolas do ábaco com a subtração e o acréscimo de grupos de argolas 1 Licencianda de Matemática na Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul. 2 Licencianda de Matemática na Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul. 572

2 no ábaco com a multiplicação, serão feitas as deduções para as regras de sinais das operações de subtração e multiplicação de números inteiros. Em todas as etapas acima indicadas o grupo será orientado para a percepção de que as regras de sinais dessas operações podem ser deduzidas a partir da análise dos resultados obtidos no estudo realizado com o ábaco. A utilização de material concreto para a construção do conhecimento envolvido nesse estudo permitirá uma maior participação do estudante no processo ensino-aprendizagem do que costuma ser no processo de ensino tradicional desse conteúdo. Acreditamos que a relação entre conteúdo, material e estudante quando também é física torna-se mais perceptível para os estudantes e, portanto mais eficaz. Assim, esperamos que este trabalho mostre uma forma alternativa de aprender Matemática, especialmente o tema proposto, que seja ao mesmo tempo prazerosa, agradável e participativa. Palavras-chave: ábaco; operações com números inteiros; ensino-aprendizagem. Introdução Nosso objetivo nesse mini-curso é propor uma metodologia de ensino para o processo ensino-aprendizagem das operações de adição, subtração e multiplicação de números inteiros. Esse conteúdo foi escolhido devido às dificuldades apresentadas pelos alunos para entender essas operações. Como alunas do Curso de Licenciatura em Matemática da PUCRS, realizamos, na disciplina de estágio, trabalho semelhante com alunos do Ensino Fundamental e pensamos, neste evento, socializar nossa experiência com outros professores e futuros professores. Segundo Teixeira (1993) a aprendizagem das operações com números inteiros precisa de ações e linguagens para ser assimilada. E de acordo com Nascimento (2002) é na 6ª série do Ensino Fundamental, quando os alunos iniciam o estudo dos números inteiros, onde os professores percebem que muitos não realizam adição e subtração corretamente. Visando a auxiliar no processo ensino-aprendizagem desse conteúdo, optamos por desenvolver uma metodologia a partir da idéia de Bianchini (2004) que sugere a utilização de um ábaco em sala de aula para trabalhar as operações no conjunto dos números inteiros. Duarte (2001, p.48) também diz que [...] o ábaco, uma criação do pensamento humano, surgido de uma necessidade colocada pela prática, traz implícitos em si alguns princípios e propriedades. A exploração desses princípios e propriedades contidos no ábaco traz a possibilidade de criação de novos instrumentos[...]. 573

3 O ábaco é um instrumento milenar utilizado para realizar cálculos, inicialmente criado e utilizado no oriente, hoje é mundialmente conhecido e frequentemente utilizado no processo ensino-aprendizagem do sistema de numeração decimal. O ábaco geralmente é composto por uma base, argolas e quatro hastes, comumente utilizadas para representar as unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar do sistema de numeração decimal. Esperamos que com nosso estudo possamos auxiliar outros professores de Matemática em sua atuação profissional. Metodologia Primeiramente, serão apresentados slides para discutir com os participantes o que é ábaco, para que ele serve e mostrar seus diferentes formatos. Depois, emprestaremos os materiais necessários para que os participantes, em duplas, montem um ábaco com uma base e duas hastes. Uma haste representará as unidades inteiras positivas e a outra representará as unidades inteiras negativas Após a montagem desse ábaco, entregaremos a cada participante a primeira folha do roteiro de atividades que será utilizado durante o mini-curso, onde constarão as propostas da atividade e poderão ser registrados os resultados obtidos. O trabalho das duplas será acompanhado e orientado da seguinte forma: leitura das páginas do roteiro para todo o grupo, auxílio conforme as necessidades que surgirem durante a realização das atividades e exposição, comparação e debate dos resultados com todo o grupo. Após a primeira, cada página do roteiro será entregue à dupla somente quando a anterior tiver sido concluída. E ao final das atividades referentes a um mesmo objetivo, é o momento onde faremos uma reflexão sobre o trabalho com o grupo. No roteiro, inicialmente trabalharemos com a representação de números inteiros no ábaco. Assim como no ábaco convencional, o valor de uma argola depende de sua posição no ábaco, isto é, uma argola colocada na haste das unidades positivas representa uma unidade positiva ao passo que uma argola colocada na haste das unidades negativas representa uma unidade negativa. A representação de um único número inteiro pode ser feita de infinitas formas diferentes. Identificar essas formas é indispensável para realizar as operações e para tanto, consideraremos que uma argola na haste das unidades positivas anula uma argola na haste das unidades negativas, ou seja, juntas elas somam zero. Concluída a etapa de representação dos números inteiros, iniciaremos com a operação de adição, onde com o acréscimo de argolas será realizada a operação. Depois da adição, trabalharemos associando a idéia de tirar argolas do ábaco com a operação subtração. Após, trabalharemos associando as idéias de acréscimo e grupo à operação multiplicação. Nas 574

4 etapas acima descritas através da análise e discussão dos resultados, os participantes deduzirão as regras de sinais utilizadas nessas operações no conjunto dos números inteiros. Ao término das atividades propostas pelo roteiro, serão exibidos em slides, alguns registros de um grupo da 6ª série do Ensino Fundamental que utilizou o ábaco na aprendizagem das operações com números inteiros. Esboço do roteiro de atividades que será utilizado Aprendendo com o ÁBACO Parte 1 Nessa atividade, nós iremos estudar novos números, e para isso utilizaremos um ábaco como o da figura abaixo. Nesse ábaco temos apenas duas hastes, uma para representar unidades positivas e outra para representar unidades negativas. Com ele, poderemos representar vários números diferentes. Para fazer isso corretamente precisamos prestar atenção a três regras: 1- uma argola na haste das unidades positivas representa uma unidade positiva; 2- uma argola na haste das unidades negativas representa uma unidade negativa; 3- uma argola na haste das unidades positivas anula uma argola na haste das unidades negativas. Conhecendo as regras, vamos fazer algumas representações no ábaco. a) Se colocarmos 2 argolas na haste positiva, como ficaria o ábaco? Você pode escrever essa representação utilizando números conhecidos? Se sim, escreva. b) E se colocarmos 5 argolas na haste positiva e 2 argolas na haste negativa? 575

5 Você pode escrever, utilizando números conhecidos? Que número você usaria? c) E se não colocarmos argolas no ábaco? Que número poderíamos utilizar para representar o ábaco sem argolas? d) E se colocarmos 7 argolas na haste positiva e 7 argolas na haste negativa? Que número poderíamos utilizar para representar o ábaco? e) O número utilizado no item d) mudaria se acrescentássemos mais argolas na haste positiva e a mesma quantia de argolas na haste negativa? Por quê? f) Mas, se colocarmos 2 argolas na haste negativa, como ficaria o ábaco? Utilizando números, escreva essa representação. g) Coloque no ábaco agora, 4 argolas na haste positiva e 8 argolas na haste negativa, como ficou? Utilizando números, escreva essa representação. h) Agora que já sabemos representar vários números diferentes, que tal exercitar esse conhecimento! 1- Represente em seu ábaco, o número zero de 5 maneiras diferentes, e registre-as nas ilustrações abaixo. 576

6 2- Represente em seu ábaco, o número 4 de 5 maneiras diferentes, e registre-as nas ilustrações abaixo. 3- Represente em seu ábaco, o número -3 de cinco maneiras diferentes, e registre-as nas ilustrações abaixo. Muito bem! Agora, você já sabe representar números positivos e negativos no ábaco!!! Aprendendo com o ÁBACO Parte 2 Nessa atividade, nós utilizaremos as representações de números inteiros no ábaco para estudar algumas operações no conjunto dos números inteiros. 1- Represente em seu ábaco o número 3, depois acrescente duas argolas na haste positiva de seu 2- Represente em seu ábaco o número 4, depois acrescente três argolas na haste negativa de seu 3- Represente em seu ábaco o número -5, depois acrescente duas argolas na haste positiva de seu 4- Represente em seu ábaco o número -2, depois acrescente três argolas na haste negativa de seu 577

7 5- Represente em seu ábaco o número -6, depois acrescente oito argolas na haste positiva de seu 6- Represente em seu ábaco o número 2, depois acrescente quatro argolas na haste negativa de seu 7- Represente em seu ábaco o número -10, depois acrescente quatro argolas na haste positiva de seu 8- Represente em seu ábaco o número 12, depois acrescente catorze argolas na haste negativa de seu 9- Represente em seu ábaco o número -8, depois acrescente oito argolas na haste positiva de seu 10- Represente em seu ábaco o número 2, depois acrescente duas argolas na haste negativa de seu O que você fez nos itens de 1 a 6 pode ser representado através de símbolos conhecidos e muito utilizados em Matemática. Escreva nos espaços indicados abaixo, como você escreveria utilizando linguagem simbólica o que foi feito em cada item anterior Que operação você acaba de descobrir no conjunto dos inteiros? Agora, faça com seu ábaco as somas indicadas abaixo. a) (+8) + (+4) = g) (-3) + (-7) = m) (+3) + (-7) = b) (+6) + (+2) = h) (-8) + (-5) = n) (+9) + (-6) = c) (+9) + (+3) = i) (-6) + (-4) = o) (+6) + (-8) = d) (+17) + (+11) = j) (-13) + (-8) = p) (+10) + (-6) = e) (+14) + (+13) = k) (-9) + (-14) = q) (-15) + (+8) = f) (+9) + (+12) = l) (-12) + (-3) = r) (-17) + (+11) = Analisando os resultados encontrados, o que você pode concluir? 578

8 Até agora, nós representávamos um número no ábaco e acrescentávamos mais algumas argolas, nesse momento nós faremos um pouco diferente. Lembre-se que um mesmo número pode ser representado de várias maneiras diferentes. 11- Represente em seu ábaco o número 3, depois retire duas argolas da haste positiva de seu 12- Represente em seu ábaco o número 4, depois retire três argolas da haste negativa de seu 13- Represente em seu ábaco o número -5, depois retire duas argolas da haste positiva de seu 14- Represente em seu ábaco o número -2, depois retire três argolas da haste negativa de seu 15- Represente em seu ábaco o número -6, depois retire oito argolas da haste positiva de seu 16- Represente em seu ábaco o número 2, depois retire quatro argolas da haste negativa de seu 17- Represente em seu ábaco o número -10, depois retire quatro argolas da haste positiva de seu 18- Represente em seu ábaco o número 9, depois retire 10 argolas da haste negativa de seu ábaco. Analisando o ábaco que número você obteve? 19- Represente em seu ábaco o número -8, depois retire oito argolas da haste positiva de seu 20- Represente em seu ábaco o número 2, depois retire duas argolas da haste negativa de seu Escreva nos espaços indicados abaixo, como você escreveria utilizando linguagem simbólica o que foi feito em cada item anterior

9 Agora, faça com seu ábaco as somas indicadas abaixo. a) (+3) + (-2) = f) (+2) + (+4) = b) (+4) + (+3) = g) (-10) + (-4) = c) (-5) + (-2) = h) (+9) + (+10) = d) (-2) + (+3) = i) (-8) + (-8) = e) (-6) + (-8) = j) (+2) + (+2) = Comparando as equações 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20 com as equações a, b, c, d, e, f, g, h, i e j. O que você pode concluir? Aprendendo com o ÁBACO Parte 3 Nessa atividade, estudaremos as regras de outra operação no conjunto dos números inteiros, a multiplicação. Assim como no conjunto dos números naturais, no conjunto dos números inteiros os termos de uma multiplicação são chamados de fatores. Para realizarmos a multiplicação de números inteiros utilizando o ábaco, vamos considerar que o primeiro fator indica: se positivo, quantos grupos do segundo fator devem ser colocados no ábaco; se negativo, quantos grupos do segundo fator devem ser retirados do ábaco. Sabendo disso, faça as multiplicações abaixo. a) (+2).(+3) = f) (-2).(-4) = k) (-2).(+3) = b) (+3).(+4) = g) (-4).(-3) = l) (-6).(+2) = c) (+1).(+10) = h) (-5).(-2) = m) (-1).(+10) = d) (+5).(+2) = i) (-7).(-1) = n) (+3).(-5) = e) (+4).(+2) = j) (-3).(-5) = o) (+4).(-2) = Analisando os resultados obtidos, o que você pode concluir? 580

10 Considerações Finais Assim, esperamos com esse trabalho alcançar o objetivo inicial de apresentar uma alternativa de metodologia para o ensino de operações com números inteiros que seja mais prazerosa, participativa e agradável. Bem como, ao concluir esse mini-curso, almejamos melhorar e aperfeiçoar nossa pesquisa e nosso material. Referências Bibliográficas BIANCHINI, Edwaldo; MIANI, Marcos. Construindo conhecimentos em Matemática. 6ª série. 1 ed. São Paulo: Moderna, DUARTE, N. O ensino de matemática na educação de adultos. 8 ed. São Paulo: Cortez, NASCIMENTO, R. A. Um estudo Sobre Obstáculos em Adição e Subtração de Números Inteiros Relativos: explorando a reta numérica dinâmica. Dissertação (mestrado em Educação) Departamento de Educação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, TEIXEIRA, L. R. M. Aprendizagem operatória de números inteiros: obstáculos e dificuldades. In: Pro-posições. v. 4, n. 1. Campinas: UNICAMP e Cortez Editora, 1993, p