RESUMO. Palavras-chave: Adição e subtração com números inteiros, Material concreto, Ábaco.

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1 A UTILIZAÇÃO DO ÁBACO PARA SE ENSINAR ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO NO CONJUNTO DOS INTEIROS Educação Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio (EMAIEFEM) GT 10 RESUMO O aprendizado das quatro operações no conjunto dos inteiros é de extrema importância para o estudo da matemática. Visando tornar mais dinâmico o ensino aprendizagem no conjunto dos inteiros, idealizamos um estudo em sala de aula, numa turma de 7º ano do Ensino Fundamental baseado no uso de materiais concretos, particularmente o ábaco, o qual em geral serve para estudar o sistema de numeração decimal, mas também pode servir como ferramenta para o estudo das operações nos inteiros. A utilização de materiais concretos para a construção do conhecimento envolvido neste estudo permitirá uma maior participação dos alunos. Assim, esperamos que este trabalho mostre uma forma alternativa de aprender Matemática, especialmente o tema proposto, que seja ao mesmo tempo prazerosa, agradável e participativa. Palavras-chave: Adição e subtração com números inteiros, Material concreto, Ábaco. 1. Introdução Professor, menos com mais é menos ou é mais? Essa pergunta se repete no cotidiano de diversas salas de aula. A frequência com que esse questionamento é feito, inclusive muitas vezes pelo mesmo estudante, pode ser um primeiro indício de que a aprendizagem das operações envolvendo números inteiros ainda enfrenta obstáculos. Mais não é de agora que esse obstáculo vem sendo enfrentado. Os números negativos demoraram muito para serem aceitos pelos matemáticos. Colombo descobriu a América mais de dois séculos antes dos números negativos serem incorporados a sociedade dos números. Estes apareceram pela primeira vez quando começaram a resolver equações (ou problemas que podiam ser expressos como equações). Foi quando surgiu a necessidade de se estudar algo menor do que nada. Os escribas do Egito e da mesopotâmia podiam responder tais equações há mais de três mil anos atrás sem utilizarem números negativos. Os gregos, apesar de sua sutileza com a matemática ignoraram os números negativos (colocar referência).

2 Mas já um matemático indiano, Brahmagupta considerou os números positivos como sendo posse e negativos como sendo dívidas. Cinco séculos mais tarde, Baskara, depois de afirmar que as duas raízes da equação x² - 45x= 250 são 50 e 5, diz Aqui, a segunda resposta não deve ser tomada por causa de sua inaplicabilidade. Pois as pessoas não têm um entendimento claro no caso de uma quantidade negativa. A ideia de números negativos não sendo ainda influenciada por este trabalho. Daí por diante foram surgindo ideias de vários autores quanto aos números negativos, como os matemáticos árabes Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi no século IX foram bastante influentes, mas ainda não usavam os números negativos, dentre outros matemáticos. Em meados do século XVIII, os negativos se tornaram aceitáveis como números. Leonhard Euler ( ) parecia confortável com quantidades negativas. Em Elements of Algebra, publicado em 1770, ele diz: Como os números negativos podem ser considerados como débitos, já que os números positivos representam posses reais, podemos dizer que os números negativos são menos do que nada. Assim, quando um homem não tem nada seu e deve 50 coroas, é certo que ele tem 50 coroas menos do que nada; pois se qualquer um lhe desse um presente de 50 coroas para pagar seu debito, ele estaria ainda no ponto nada, embora estivesse realmente mais rico do que antes. Entendendo que essa dificuldade em operar com os números inteiros vem desde séculos atrás, até os dias de hoje, nosso objetivo é propor uma nova metodologia de ensino para o processo de ensino - aprendizagem das operações de adição e subtração de números inteiros. Esse conteúdo foi escolhido devido às dificuldades que os alunos apresentam para entender essas operações. Com isso apresentaremos neste uma pesquisa que realizamos com alunos do 7º ano, na qual trabalhamos com o ábaco para a introdução da adição e subtração dos números inteiros. 2. Aspectos Metodológicos da experiência Visando a auxiliar no processo ensino-aprendizagem dos números inteiros, optamos por desenvolver uma metodologia a partir da ideia de Bianchini (2004) que sugere a utilização de um ábaco em sala de aula para trabalhar as operações no conjunto dos números inteiros. Duarte (2001, p.48) também diz que:

3 [...] o ábaco, uma criação do pensamento humano, surgido de uma necessidade colocada pela prática, traz implícitos em si alguns princípios e propriedades. A exploração desses princípios e propriedades contidos no ábaco traz a possibilidade de criação de novos instrumentos [...]. O ábaco é um instrumento milenar utilizado para realizar cálculos, inicialmente criado e utilizado no oriente, hoje é mundialmente conhecido e frequentemente utilizado no processo de ensino-aprendizagem do sistema de numeração decimal. O ábaco geralmente é composto por uma base, argolas e quatro hastes, comumente utilizadas para representar as unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar do sistema de numeração decimal. Em geral este instrumento serve para estudar o sistema de numeração decimal, mas também pode servir como ferramenta para o estudo das operações nos inteiros. Neste estudo utilizaremos o ábaco com uma base, argolas para representar as unidades (argolas de cores diferentes) e duas hastes, onde um representará as unidades inteiras positivas e o outro as unidades inteiras negativas. O Ábaco será entregue já pronto para o uso, serão feitos com isopor e cano de plástico (a base será feita com o isopor e as hastes com os canos). Primeiramente introduzimos o conceito de números inteiros. Com o auxilio do ábaco produzido com cano, isopor e argolas retiradas de garrafas peti. Entregamos o roteiro de atividades (Apêndice A) para que juntos discutíssemos e trabalhassemos com o ábaco. Uma haste representara as unidades inteiras positivas e a outra as unidades inteiras negativas. Fazendo uso do roteiro de atividade, logo de início faremos diversas representações de números inteiros, lembrando que existem diversas formas de representar um mesmo número. E ainda serão apresentadas atividades onde faremos adição de números inteiros, relacionando o acréscimo de argolas com a ideia de soma que todos possuem e relacionando a retirada de argolas do ábaco com a subtração. A partir da reflexão e discussão sobre os resultados obtidos será deduzida a regra de sinais para essa operação. Em todas as etapas acima citadas o grupo será orientado para que perceba que as regras de sinais dessas operações podem ser deduzidas a partir dos resultados obtidos com o estudo no ábaco. O trabalho foi realizado em duplas e acompanhado e orientado da seguinte forma: leitura das páginas do roteiro para todo o grupo, auxílio conforme as necessidades que surgirem durante a realização das atividades e exposição, comparação e debate dos resultados

4 com todo o grupo. Após a primeira, cada página do roteiro será entregue à dupla somente quando a anterior tiver sido concluída. E ao final das atividades referentes a um mesmo objetivo, é o momento onde faremos uma reflexão sobre o trabalho com o grupo. No roteiro trabalharemos com a representação de números inteiros no ábaco. Assim como no ábaco convencional, o valor de uma argola depende de sua posição no ábaco, isto é, uma argola colocada na haste das unidades positivas representa uma unidade positiva ao passo que uma argola colocada na haste das unidades negativas representa uma unidade negativa. A representação de um único número inteiro pode ser feita de infinitas formas diferentes. Identificar essas formas é indispensável para realizar as operações e para tanto, consideraremos que uma argola na haste das unidades positivas anula uma argola na haste das unidades negativas, ou seja, juntas elas somam zero. Concluída a etapa de representação dos números inteiros, iniciaremos com a operação de adição, onde com o acréscimo de argolas será realizada a operação. Depois da subtração, trabalharemos associando a idéia de tirar argolas do ábaco com a operação subtração. Espero que com esse estudo possamos auxiliar outros professores de Matemática em sua atuação profissional. Com isso compartilhar nossa experiência com outros futuros professores e professores. Segundo Teixeira (1993) a aprendizagem das operações com números inteiros precisa de ações e linguagens para ser assimilada. E de acordo com Nascimento (2002) é na 6ª série do Ensino Fundamental, quando os alunos iniciam o estudo dos números inteiros, onde os professores percebem que muitos não realizam adição e subtração corretamente. 3. Resultado da pesquisa A utilização de matérias concretos para o ensino das operações adição e subtração de números inteiros, e uma ótima opção para despertar o interesse dos alunos quanto aos números inteiros, que eles consideram como sendo algo difícil. Os alunos que participaram dessa pesquisa estavam cursando o 7º ano do ensino fundamental e já tinham tido contato prévio com este conjunto, mas não o dominava, isto é, os alunos não haviam conseguido assimilar os conceitos envolvidos no estudo desse conteúdo

5 assim como também não eram capazes de realizar as atividades de soma e subtração com números inteiros. Observamos que durante a realização da aula mediada pelo uso do ábaco, os alunos se mostraram bastantes participativos com a atividade. Surgiram diversas dúvidas relacionadas à como representar as unidades, dezenas e centenas no ábaco e também dúvidas com a própria utilização do instrumento. Porém, aos poucos as duplas foram compreendendo os conceitos matemáticos envolvidos assim como desenvolvendo a habilidade em manusear o ábaco. Dai começaram a entender como a soma e subtração nos inteiros, viram que a adição e a subtração esta relacionada com acréscimo e retirada das argolas. O uso desse material concreto motivou bastante os alunos facilitando a compreensão do conteúdo, pois eles estavam trabalhando com os números e não calculando em um papel. Verificamos que após a nossa intervenção em sala de aula os alunos passaram a dominar a adição e subtração nos inteiros, além de alguns terem enfatizado que o conteúdo não é difícil (depois de realizada a nossa atividade). 4. Considerações finais Procuramos aqui relatar uma experiência de utilização do ábaco como recurso pedagógico capaz de auxiliar o ensino e a aprendizagem da adição e subtração com números inteiros em uma turma de 7º ano do ensino fundamental. Após a realização dessa experiência foi possível observar que os alunos demonstraram mais facilidade em compreender os conteúdos matemáticos envolvido com o tema e também se sentiram mais motivados na aula de Matemática. Concluímos esse relato esperando que com esse trabalho possamos alcançar o objetivo inicial de apresentar uma alternativa de metodologia para o ensino de operações com números inteiros que seja mais prazerosa, participativa e agradável. Essa aula que ministramos, serviu de incentivo para que continuemos ministrando em outras escolas da cidade. Pretendemos melhorar e aperfeiçoar nossa pesquisa e expandir o material para as quatro operações nos inteiros.

6 Referências BIANCHINI, Edwaldo; MIANI, Marcos. Construindo conhecimentos em Matemática. 6ªsérie. 1 ed. São Paulo: Moderna, BERLINGHOFF, William P. A matemática através dos tempos: um guia fácil e pratico para professores e entusiastas/ William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêia; tradução Elza Gomide, Helena Castro. São Paulo: Edgard Blucher, DUARTE, N. O ensino de matemática na educação de adultos. 8 ed. São Paulo: Cortez, NASCIMENTO, R. A. Um estudo Sobre Obstáculos em Adição e Subtração de Números Inteiros Relativos: explorando a reta numérica dinâmica. Dissertação (mestrado em Educação) Departamento de Educação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, TEIXEIRA, L. R. M. Aprendizagem operatória de números inteiros: obstáculos e dificuldades. In: Pro-posições. v. 4, n. 1. Campinas: UNICAMP e Cortez Editora, 1993, p

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