1)(Uerj) O código de uma inscrição tem 14 algarismos; dois deles e suas respectivas posições estão indicados abaixo.

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1 Centro de Estudos Matemáticos Professor: Erivaldo Testes Florianópolis S.C. 1)(Uerj) O código de uma inscrição tem 14 algarismos; dois deles e suas respectivas posições estão indicados abaixo. 5 8 x Considere que, nesse código, a soma de três algarismos consecutivos seja sempre igual a 0. O algarismo representado por x será divisor do seguinte número: a) 49 b) 64 c) 81 d) 15 )(Espm) Um número natural N é formado por algarismos cuja soma é igual a 9. A diferença entre esse número e o número que se obtém invertendo-se a ordem dos seus algarismos é igual a 7. A quantidade de divisores naturais de N é: a) 4 b) c) 8 d) 6 e) 1 3)(Espm) Todo número natural pode ser escrito de forma única utilizando-se uma base 17 = 3! +! + 1 1! = 1,,. fatorial, como, por exemplo, ( ) fat Genericamente, podemos representar = + ( ) + ( ) + + = ( ) em que a { 0, 1,,..., i }. N a n! a n 1! a n!... a 1! a, a, a,..., a, n n 1 n 1 n n 1 n 1 fat i Dessa forma, o número ( 3,1,0,1 ) equivale, na base 10, ao número: fat a) 83 b) 51 c) 79 d) 65 e) 47

2 4)(Enem) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número , sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão. 5)(Fgv) Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n= 47, então S(47) = 11 e P(47) = 8. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n= S(n) + P(n), então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b). c) 3. d) 6. e) 9. 6)(IFSP) Ada Byron (Condessa de Lovelace), filha do poeta inglês Lord Byron, viveu no século XIX e foi pioneira na história do desenvolvimento de programas para computador junto com Charles Babbage. Certo dia, ao lhe perguntarem a idade, ela respondeu: Se trocarmos a ordem dos seus algarismos e elevarmos ao quadrado, obteremos justamente o ano em que estamos. (Ministério da Educação. Explorando o Ensino da Matemática Artigos. Volume 1. Brasília, 004, p.191. Adaptado) Em 1977, após x anos de seu nascimento, Ada Byron foi homenageada: uma linguagem de programação foi desenvolvida recebendo o nome de ADA. O valor de x é a) 119. b) 18. c) 137. d) 151. e) 16.

3 7)(IFCE) Seja x = a 1 a a 3 a 4 um número de quatro algarismos. Considere o número y = a 4 a 3 a a 1 formado pelos mesmos algarismos de x, escritos na ordem inversa. A diferença x y é sempre divisível por a) b) 4 c) 5 d) 7 e) 9 8)(FGV) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um número natural. Por exemplo, se o número é 14, então x = 7 e y = 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N = x + y, o dígito da unidade de N é a). b) 3. c) 6. d) 8. e) 9. 9)(Unifesp) O conhecido quebra-cabeça "Leitor Virtual de Pensamentos" baseia-se no seguinte fato: se x 0 é o algarismo das dezenas e y é o algarismo das unidades do número inteiro positivo "xy", então o número z = "xy" - (x + y) é sempre múltiplo de 9. a) Verifique a veracidade da afirmação para os números 71 e 30. b) Prove que a afirmativa é verdadeira para qualquer número inteiro positivo de dois algarismos.

4 10)(Ufpr) Quando escrevemos 4307, por exemplo, no sistema de numeração decimal, estamos nos referindo ao número Seguindo essa mesma ideia, podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando apenas os dígitos 0 e 1, bastando escrever o número como soma de potências de. Por exemplo, 13 = e por isso a notação [1101] é usada para representar 13 nesse outro sistema. Note que os algarismos que ali aparecem são os coeficientes das potências de na mesma ordem em que estão na expressão. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. [111] = 7. [110] + [101] = [1010] 3. Qualquer que seja o número inteiro positivo n, a expressão de n em potências de tem apenas um dígito diferente de Se a = , então.a = dígitos 1dígitos Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas e 3 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas, 3 e 4 são verdadeiras. 11)(IFMG) Um número natural de três algarismos inicia-se com 6. Se esse primeiro algarismo for colocado depois dos outros dois, o dobro do novo número formado terá 75 unidades a menos que o original. A soma desses três algarismos é a) 14 b) 15 c) 16 d) 17

5 1) As tecnologias atuais, além de tornar os equipamentos eletroeletrônicos mais leves e práticos, têm contribuído para evitar desperdício de energia. Por exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e entrou em funcionamento em fevereiro de Sua memória permitia guardar apenas 00 bits, possuía milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um galpão imenso da Universidade da Pensilvânia - EUA. Consumia energia correspondente à de uma cidade pequena. O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que acarretou grande complexidade ao projeto de construção do computador, problema posteriormente resolvido pelo matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a utilização de recursos do sistema numérico binário, simplificando o projeto e a construção dos novos computadores. O sistema de numeração posicional e decimal, conhecido como base 10, utiliza dez algarismos (0 a 9) para representar números (figura 1). Já o sistema de numeração posicional binário, conhecido como base, utiliza apenas dois algarismos (0 e 1) para representar números (figura ). Considere o número escrito na base. Esse número corresponde, na base 10, ao número 1n3 em que n representa um algarismo desconhecido. Nessas condições, o algarismo n é a) b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 13)(Fuvest) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6 14)(Puc) Para a orientação dos maquinistas, ao longo de uma ferrovia existem placas com a indicação da quilometragem. Um trem percorre essa ferrovia em velocidade constante e, num dado instante, seu maquinista observa uma placa em que o número indicador da quilometragem tinha algarismos. Após 30 minutos, ele passa por uma outra em que, curiosamente, os algarismos assinalados eram os mesmos da primeira, só que escritos na ordem inversa. Decorridos 30 minutos de sua passagem pela segunda placa, ele passa por uma terceira em que o número marcado tinha os mesmos algarismos das anteriores mas na mesma ordem dos da primeira e com um zero intercalado entre eles. Nessas condições, a velocidade desse trem, em quilômetros por hora, era a) 7 b) 90 c) 100 d) 116 e) 10 15)(Ufla) Os computadores trabalham com números na base por uma série de fatores. Nessa base, os resultados da soma e do produto ( ) + (110101) e (101).(111) são, respectivamente, a) ( ), (11101) b) ( ), (100001) c) ( ), (101010) d) ( ), (100011) e) ( ), (111000)

7 Gabaritos: 01) Gabarito: a Considere a figura. 5 a b c 8 d e f x Sabendo que a soma de três algarismos consecutivos é sempre igual a 0, vem 5+ a+ b = 0 a+ b = c = 0 c = d = 0 d= 7 7+ e+ f = 0 e+ f = x = 0 x = 7. Portanto, como 49 = 7, segue que x é divisor de 49. 0) Gabarito: d Seja N= ab, com a e b naturais menores do que ou iguais a 9. Invertendo-se a ordem dos algarismos de N, obtemos o número ba, tal que ab ba = 7 10a + b (10b a) = 7 9a 9b = 7 a b = 3. Além disso, como a soma dos algarismos de N é igual a 9, vem a+ b= 9 a= 6. a b= 3 b = 3 Daí, é N= ab = 63 = 3 7 e, portanto, segue que a quantidade de divisores naturais de N ( + 1)(1 + 1) = 3 = 6.

8 03) Gabarito: c De acordo com a definição, vem (3, 1, 0, 1) = 3 4! + 1 3! + 0! + 1 1! fat = = = ) Gabarito: c 05) Gabarito: e Seja n= ab, com a e b naturais positivos menores do que 10. Como n= S(n) + P(n), segue que 10 a + b = a + b + a b 9 a a b = 0 a (9 b) = 0. Portanto, como a é diferente de zero, temos que b = 9. 06) Gabarito: e Seja ab a idade de Ada Byron no dia em que lhe fizeram a pergunta. Assim, como ela viveu no século XIX, segue que ba = 43, pois 43 é o único inteiro positivo que satisfaz 1801< ba < De fato, 44 = 1936 e 4 = 1764 enquanto que 43 = Portanto, Ada Byron tinha 34 anos em 1849 e x = = ) Gabarito: e Temos que x= aa 1 a3a4= 1000 a a+ 10 a3+ a4e y= a4a3aa1= 1000 a a a + a 1. Logo, x y = 999 a + 90 a 90 a 999 a = 9 (111 a + 10 a 10 a 111 a ), ou seja, a diferença x y é sempre divisível por 9.

9 08) Gabarito: e N = 10.a + b x + y = 10.a + b a + b + a.b = 10.a + b a(1 + b) = 10.a 1 + b = 10 b = 9 09) Gabarito: a) Para 71, temos: z1 = 71 - (7 + 1) = 63 = 9. 7 M(9) Para 30, temos: z = 30 - (3 + 0) = 7 = 9. 3 M(9) b) z = "xy" - (x + y) é sempre múltiplo de 9. z = 10.x + y x y z = 9.x Portanto z é sempre múltiplo de nove. 10) Gabarito: d 11) Gabarito: b 1) Gabarito: e 13) Gabarito: c 14) Gabarito: b 15) Gabarito: d