XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 2 (8º. ou 9º. anos) (antigas 7ª. ou 8ª. séries) GABARITO

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1 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (8º. ou 9º. anos) (antigas 7ª. ou 8ª. séries) GABARITO GABARITO NÍVEL 1) D 6) B 11) A 16) A 1) B ) C 7) E 1) D 17) A ) B 3) C 8) C 13) C 18) B 3) B 4) D 9) C 14) E 19) C ou D 4) B 5) C 10) D 15) E 0) C 5) E Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível = 5 pontos). Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: 1. (D) Como EDC é isósceles, CED = CDE = 80. Como BEC é isósceles CBE = BCE = β. Usando ângulo eterno, β = 40. Como ABE também é isósceles, BAE = α. Finalmente, usando mais uma vez ângulo eterno podemos concluir que α = 50.. (C) Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 11, 15, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que (C) = 1 = ( 3) = (D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É fácil ver que, 0 0. P +. I = I P = 4I Além disso, 4 I + I. I = 84 I = 0. Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é.4i = (C) Edmilson Eduardo Carlos y z y + 4 y y z + 4 z z A quantidade final de cada é R$ 50,00, então 1 + = 50, então = 76. E com isso, Eduardo tinha inicialmente R$ 3,00. Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

2 6. (B) Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i, os números ordenados assim: a > b > c > d > e > f > g > h > i. a + b + c + d + e + f + g + h + i Então, e = 9e = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Além 9 a + b + c + d + e disso, = 68 a + b + c + d + e = 340, e também temos a seguinte equação, 5 e + f + g + h + i = 44 e + f + g + h + i = 0. Portanto, 9 e + e = 560 e = 56. E 5 assim, a soma desejada será (E) Quadradinhos de lado 1 eistem 6 e quadradinho de lado eiste 1. Além disso, eistem três outros inclinados de lado. Portanto, temos 10 quadrados. 8. (C) 009 Domingo 01 Quinta (Pois é ano Bisseto) 010 Segunda 013 Seta 011 Terça 014 Sábado 9. (C) O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Neste caso, a = 1. Usando agora a definição do sistema decimal: b + c + 10c + b = 11 11( b + c) = 110 b + c = 10. Como os números citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é múltiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são 3 e 7 respectivamente. 10) (D) Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e, e com isso, a soma quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b ( a + c + d + e) = 155 = 5.31, onde 5 e 31 são primos, temos que b = 5 e a + c + d + e = 31. Da mesma maneira, c ( a + b + d + e) = 03, então c = 7 e a + b + d + e = 9. Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a + d + e = 4, a + b + c + d + e = 36 e da equação a ( b + c + d + e) = 18, obtemos que a ( 36 a) = 18, ou seja, a = 4 ou a = 3. Porém, a = 3 não poderá ser solução pois, caso fosse, teríamos a + b + c + d + e 40. Portanto, a + b + c = 16 e a equação e ( a + b + c + d) = 75 será a mesma que e ( 16 + d) = 75, onde d + e = 36 a b c = 0. Como 75 = e 16 + d 18, temos que e = 11 e d = 5 16 = 9. Observe que outra fatoração de 75 = 5.55 faria d = 39, que é muito grande. Portanto, a + b + c + d + e = = ) (A) É fácil ver que os triângulos EQH e HPF são isósceles, logo EQ = QH = b e HP = PF = c. E seja QP = a. No triângulo EHF, temos que EF = MN (MN é base média). Logo MN = 5. Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

3 1. (D) Sejam p, q números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos 14 seja eatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: p e p.q Assim teremos as seguintes possibilidades:.3 = 34, 3. = 144 e 5. = (C) Entre os números 1 e 100 o algarismo aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é 0 ( ) = y 14) (E) Temos que y = 1000 =, onde e y são, respectivamente, 10 as quantidade de moedas de 10 centavos e de 5 centavos. Para que seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer número par entre e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes. 15) (E) Devemos encontrar o maior valor possível para a, então determinaremos os maiores valores para d, c e b. Tomando d = 39, observa-se que c < 156. Tomando c = 155, observa-se que b < 465. Tomando b = 464, a deverá ser menor que 98, e portanto, o maior valor possível de a será (A) A soma de todos os números é: = = 15 como temos sete colunas com a mesma soma, o resultado da soma dos elementos de uma mesma coluna é 15/7 = (A) Temos que y = 85 = Temos, então, quatro possibilidades Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

4 y = 1 y = 5 y + = 5.17, y + = 5.17, Resolvendo os sistemas temos: y = 17 y + = 5.17, y = 5 y + = 17. O menor valor da soma y y é (B) Vamos chamar esse número de. A soma de todos os números de três algarismo é = = Assim, podemos montar a seguinte equação: 69 = = (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do eemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso pode ser feito de = 6 maneiras de modo que não haja dois cartões 4 pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 5 6 = 30 cartões diferentes. (D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes. 0. (C) Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

5 o o Como ABC = 110, então AOC = 140 e com isso OAC = 0 o. Por outro lado, IAC = 10 o. Portanto, IAO = 30 o (B) Total de alunos: 40. Com isso,.40 = 4 alunos. Como temos alunos então pelo 100 menos alunas participarão do trabalho.. (B) A B C A P A 1 A 3 Q 1 3 A D E F Seja P o ponto de interseção dos segmentos DB e AE; e Q o ponto de interseção de CE e BF. Note que os triângulos ADE e BDE possuem a mesma altura e a mesma base, logo possuem a mesma área. O mesmo ocorre com os triângulos BEF e CEF. Retirando as áreas comuns PDE e QEF, temos que [ADP]=[PBE] e [BEQ]=[QCF]. Logo, A = A 1 +A 3. Observação: [XYZ] denota a área do triângulo XYZ. 3. (B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que: Dinamarca perdeu todos os jogos. Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro. Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes. Áustria ganhou dois jogos e empatou outro. Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi (B) Como AC é um número de dois algarismos então AC = 10A + C. Com isso, 4.(10A + C) = 4C, e daí C = A. Temos agora um novo tabuleiro Agora, 4 = 4. 6C, então = 36C. Com isso, o produto mágico será (6C) 3. Fazendo C =, temos que o produto será 178 e assim a soma será 18, mas se C = 3, a soma será 583, que também terá soma 18. Para valores de C maiores ou iguais a 4 o número procurado terá mais que 4 algarismos. 4 6C C 4 Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

6 5. (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, eatamente 19 7 = 1 cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor. Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 6 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor. Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008