GABARITO IV Olimpíada Interna de Matemática - Segunda Fase Nível 1 (6º e 7º Anos )

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1 GABARITO - Segunda Fase Nível 1 (6º e 7º Anos ) QUESTÃO 1: a) Lalá fica em Lobélia 3 dias por semana, nas 4 semanas (4 fins de semana por mês). 3 x 4 = 12 dias Assim, 12 / 30 das despesas do mês devem ser repartidas entre as amigas, e o resto Lelé e Lili. Temos então: 12 x 840 = : 3 = 112 E então: = : 2 = 252, = 364,00 Assim temos: Lalá pagará R$ 112,00. Lelé e Lili pagarão: R$364,00 cada uma. b) 1110, ,00 = 1212,00 Lalá ganha R$ 2004,00 Então: 2004, ,00 = 792,00 Sobrará para Lalá R$ 792,00. QUESTÃO 2: a) 3 competidores, cada um com 1 cor de bicicleta, cinza, vermelha e preta. Estavam com camisas, cinza, vermelha e preta. Somente 1 deles (Luiz) estava com a bicicleta e a camisa da mesma cor, Walmir não está com a bicicleta nem a camisa preta, Eduardo está com camisa cinza, logo concluímos que: Luiz está com camisa preta Walmir está com a camisa vermelha Eduardo está com a camisa cinza Se Luiz está com a bicicleta da mesma cor da camisa, então a bicicleta de Le é preta. E ao outros dois estão com as camisas e bicicletas com cores diferentes. Então: Luiz: camisa preta e bicicleta preta Walmir: camisa vermelha e bicicleta cinza Eduardo: camisa cinza e bicicleta vermelha b) Luiz.

2 QUESTÃO 3: a) chocolate = 14 café = 13 milkshake = 15 Temos então = 42 bebidas Se cada um tomou exatamente 2 bebidas: 42 : 2 = 21 Temos então 21 pessoas no grupo. b) Pessoas que tomaram bebidas distintas: = 8 ( chocolate e milkshake) = 7 ( café e milkshake) = 6 ( chocolate e café) Então temos: Pessoas que só beberam chocolate: = 14 Pessoas que só beberam café: = 13 Pessoas que só beberam milkshake: = 15 QUESTÃO 4: a) Camundongo branco = CB Camundongo preto = CP Gatos: Chatun, Chadê e Chatruá, COMEM CAMUNDONGOS PRETOS E BRANCOS CHATUN : CP -> SEGUNDA, QUARTA E SEXTA CB-> TERÇA, QUINTA, SÁBADO E DOMINGO CHADÊ : CP-> TERÇA, QUINTA E SÁBADO CB-> SEGUNDA, QUARTA, SEXTA E DOMINGO CHATRUÁ: CP-> SEGUNDA, SEXTA E SÁBADO CB-> TERÇA, QUARTA, QUINTA E DOMINGO O dia da semana que os três comeram os mesmos tipos de camundongos foi no domingo. b) CHATUN : CB-> TERÇA, QUINTA, SÁBADO E DOMINGO CHATRUÁ: CB-> TERÇA, QUARTA, QUINTA E DOMINGO Os dias da semana que Chatun e Chatruá, comeram camundongos brancos foram: terça, quinta e domingo. QUESTÃO 5: a) = = = = = = 2016

3 = = = = 2016 A sequência dos 6 primeiros números é: (2008, 2018, 2007, 2016, 2007,2016) b) = Os 7 primeiros divisores de = ( 1, 2,3,4,6,8,12)

4 GABARITO - Segunda Fase Nível 2 (8º e 9º Anos ) QUESTÃO 1: a) 14 anos. b) 12 anos. QUESTÃO 2: a) Considerando x o número de amigos e y o número de brindes temos: y = 3x + 2 y = 4( x 6) b) Resolvendo o sistema temos: 3x + 2 = 4x 24 x = 26 e y = 80 Portanto, o número de amigos que compareceram à festa é 26 6 = 20 QUESTÃO 3: a) R$ 2,95. b) R$ 3,00. QUESTÃO 4: a) < < < < < < < b) Como o participante comprou 215 itens, ele terá direito a 215 = 43 descontos de R$ 0,03. Logo, o participante 5 obteve um desconto total de 43 0,03 = R$ 1,29. Portanto, caso o cliente não participasse da promoção, ele pagaria ,29 = 156,29 reais. QUESTÃO 5: a) A figura I indica, com o número 3, os quadrados contaminados no terceiro estágio e apresenta o resultado da contaminação ao final deste estágio.

5 A figura II indica os quadrados contaminados em cada estágio subsequente e mostra o resultado final da contaminação. b) Os perímetros de contaminação no terceiro e no último estágios, destacados na figura III, são ambos iguais a 18 (correspondentes a 8 lados horizontais e 10 lados verticais de quadrados).

6 GABARITO - Segunda Fase Nível 3 (Ensino Médio ) QUESTÃO 1: a) Quando o visor mostra 804, o número de controle é = 22. b) Quando o visor mostra 690, o número de controle é = 7. Mostramos na tabela abaixo todas as possibilidades de giro de uma unidade dos discos C e U: Como o número de controle não mudou, vemos que o disco C foi girado para 5 e o número no visor passou a ser 580. QUESTÃO 2: a) No tabuleiro dado aparecem somas ímpares na primeira e segunda linhas, primeira e segunda colunas e na diagonal principal. Desse modo, a nota desse tabuleiro é 5. b) Abaixo temos os 4 tabuleiros com nota 8 QUESTÃO 3: a) O número de cartões na caixa é a soma dos números inteiros de 1 a 10, isto é, = 55. b) Basta escolher o cartão de número 1 e depois dois cartões de cada um dos números de 2 a 10. No total, teremos = 19 cartões, sem que haja três com o mesmo número. QUESTÃO 4: a) A figura I indica, com o número 3, os quadrados contaminados no terceiro estágio e apresenta o resultado da contaminação ao final deste estágio.

7 A figura II indica os quadrados contaminados em cada estágio subsequente e mostra o resultado final da contaminação. b) Os perímetros de contaminação no terceiro e no último estágios, destacados na figura III, são ambos iguais a 18 (correspondentes a 8 lados horizontais e 10 lados verticais de quadrados). QUESTÃO 5: O argumento geral para a resolução desta questão está ilustrado abaixo. O triângulo ABC é um dos triângulos resultantes do corte do quadrado e D é um ponto qualquer no lado AB, com DE perpendicular a AB. O triângulo ADE também é retângulo com dois lados iguais, e sua área é igual a metade da área do quadrado ADEF; a área do triângulo ADG é então igual a ¼ da área do quadrado ADEF. a) O argumento acima mostra que a região cinza (à esquerda) tem área igual a ¼ da área do quadrado de lado 3 cm, ou seja, Podemos também usar a fórmula da área de um triângulo. A altura relativa ao lado de 3 cm mede a metade do lado do quadrado, ou seja, 3/2 cm. A área da região cinza é então b) Aqui a área da região cinza (à direita) é Alternativamente, podemos usar a fórmula para a área de um triângulo para obter