Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 03 de Maio de 2015

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1 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 Qundo chel cubo con le cose ppresso Se qqugli á qulche numero discreto 1 Troun duo ltri differenti in esso Del numer fri due tl prt à uolo Che lun in lltr si produc schietto El terzo cubo delle cose in stolo Dpoi terri questo per consueto Che llor productto sempre si equle Alterzo cubo delle cose neto, Delle qul poi, per communprecetto Torri li lti cubi insieme gionti Et cotl somm sr il tuo concetto. El residuo poi suo generle Delli lor lti cubi ben sottrti Vrr l tu cos principle. 3 El terzo poi de questi nostri conti Se solue col secondo se ben gurdi Che per ntur son qusi congionti. In el secondo de cotestitti Qundo chel cubo restsse lui solo Tu osseruri questltri contrtti, Questi troui, non con pssi trdi Nel mille cinquecentè, qutroe trent Con fondmenti ben sldè gglirdi 1 [ Pr resolver x 3 + cx = d ] [ c ) ] 3 Encontre u, v de form que u v = d e uv = 3 3 [ Então, x = 3 u 3 v ] Sumário Nell citt dl mrintorno cent. Vej: Poem de Trtgli Visite: Arquivo de Históri d Mtemátic 1 Equções Riz de um equção Relções entre rízes e coeficientes Relções de Girrd) Exercícios Resolvidos Equções Um equção é um sentenç mtemátic que envolve um iguldde e lgum vlor desconhecido, que chmmos de incógnit. Dizemos que um equção é do primeiro gru, n incógnit x, qundo pode ser escrit de form gerl d seguinte mneir: x + b = 0 Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 1

2 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 em que e b são números reis, sendo 0. Já um equção n incógnit x é dit do segundo gru qundo pode ser escrit como: x + bx + c = 0 em que, b e c são números reis, sendo 0. Generlizndo, dizemos que um equção é de gru n qundo pode ser escrit d form: n x n + n 1 x n x + 0 = 0 em que n, n 1,..., 1 e 0 são números reis, sendo n 0. Os números n, n 1,..., 1 e 0 são chmdos coeficientes d equção. Exemplos: ) A equção x 5 = 0 é do primeiro gru. Nesse cso, os coeficientes d equção são = e b = 5. b) A equção x 4 = 0 é do segundo gru. Observe que os coeficientes são = 1, b = 0 e c = 4. Qundo ocorrer b = 0 ou c = 0, dizemos que equção do segundo gru é incomplet. 1.1 Riz de um equção Dd um equção, cd um dos vlores que, qundo tribuído à incógnit, torn sentenç verddeir é chmdo de riz d equção. Pr determinr esses vlores, podemos utilizr os seguintes procedimentos: 1. Pr equção do primeiro gru x + b = 0, bst isolr o x. Então, Como 0, podemos dividir por x + b = 0 x + b + b) = 0 + b) x = b x = b x = b Assim, temos pens o vlor x = b como riz d equção x + b = 0. Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p.

3 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 ) Pr equção dd no exemplo nterior x 5 = 0, temos que riz é x = 5) = 5.. Pr equção do segundo gru x + bx + c = 0, vmos novmente isolr o x. Como 0, começmos dividindo tudo por : x + bx + c = 0 x + bx + c = 0 x + bx = c Agor, vmos utilizr idei de Completr Qudrdos. Observe que no ldo esquerdo d equção cim ficmos com x + bx. Note semelhnç com o produto notável desenvolvido x + y) = x + xy + y Pr determinr o vlor de y, vmos igulr os termos que estão multiplicndo x: Então, nosso produto notável ficri b = y y = b ) = x b b + x + = x + bx + b 4 Ou sej, b 4 = x + bx Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 3

4 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 Logo, substituímos o qudrdo que completmos n equção que tínhmos: x + bx = c b 4 = c = b 4 c = b 4c = 4 b 4c Cuiddo neste psso! Ddo um número qulquer y, temos que y = y, ou sej, y = ±y, e não simplesmente igul à y. Assim, temos 4 b 4c = 4 x + b b = ± 4c 4 x = ± b 4c b x = b ± b 4c Portnto, s rízes d equção do segundo gru x + bx + c = 0 são x 1 = b + b 4c e x = b b 4c. Note que, qundo trblhmos com números reis, esss rízes só fzem sentido se b 4c Relções entre rízes e coeficientes Relções de Girrd) Pr equção do primeiro gru x + b = 0, riz determind foi x = b. Já pr equção do segundo gru, x + bx + c = 0, determinmos s rízes Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 4

5 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 x 1 = b + b 4c e x = b b 4c. Se somrmos e multiplicrmos esses vlores, vmos obter: x 1 + x = b x 1 x = c Pr um psso psso, vej: Relções de Girrd pr equções do segundo gru Esss relções permnecem válids pr equções de grus miores. Por exemplo, pr equção do terceiro gru x 3 + bx + cx + d = 0, com rízes x 1, x e x 3, temos x 1 + x + x 3 = b x 1 x + x 1 x 3 + x x 3 = c x 1 x x 3 = d 1.3 Exercícios Resolvidos 1. PUC - MG) Todos os lunos de um turm vão o lbortório de informátic. Se em cd computdor ficrem lunos, 8 ficrão sem computdor. No entnto, se em cd computdor ficrem 3 lunos, hverá 4 computdores sobrndo. O número de lunos dess turm é: ) 4 b) 48 c) 54 d) 60 e) 66 Resolução Vmos dizer que quntidde de computdores é x e quntidde de lunos é y. Observe que frse Se em cd computdor ficrem lunos, 8 ficrão sem computdor pode ser trduzid como O totl de lunos é igul o dobro do número de computdores, mis 8. Assim, temos equção y = x + 8. Podemos trduzir outr frse [...] se em cd computdor ficrem 3 lunos, hverá 4 computdores sobrndo pr O totl de lunos é igul o número de computdores menos 4, multiplicdo por 3. Portnto, temos y = 3x 4). Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 5

6 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 Logo, igulndo s dus equções: 3x 4) = x + 8 3x 1 x = 8 x = 0 Ou sej, há 0 computdores. Substituindo n primeir equção, y = 0) + 8 = 48. Então, há 48 lunos ness turm. b). Unis - SP) Um ds rízes d equção x x + c = 0, com 0, é x 1 = 0. A outr riz é: ) b) 1 c) 9 d) 1 e) Resolução Vmos chmr outr riz de x. Então, pels Relções de Girrd, x 1 + x = ) 0 + x = x = 1 Logo, respost é letr b). 3. Vunesp - Adptd) Um vlor de m pr o qul um ds rízes d equção x 3mx+5m = 0 é o dobro d outr é: ) 5 b) c) d) 5 e) 5 Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 6

7 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 Resolução Pr começr, note que os coeficientes d equção cim são: = 1 b = 3m c = 5m Vmos ssumir que equção tem dus rízes reis, x e y, e que x = y. Então, x + y = b xy = c, ou sej { x + y = 3m) xy = 5m D primeir equção, y + y = 3m y = m D segund equção, y y = 5m y = 5m y = 5m A equção cim diz que 5m deve ser positivo, e por isso, m deve ser positivo. 5m 5m Então, temos que y = ou y =. Note que o segundo cso não fz sentido, pois m é positivo. Assim, temos y = m 5m y = Igulndo, 5 m = m 5 m = m m = 5 m ) Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 7

8 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 Como 5 m é positivo, m = 5 m m 5 m = 0 m m 5 ) = 0 Lembrndo que o produto de dois números é 0 qundo pelo menos um dos números for 0. Então, m = 0 ou m 5 = 0 m = 0 ou m = 5 Portnto, respost é letr e). Voltr pr o Sumário MAT-A- Equções p. 8