Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4

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1 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 1 Contents Cálculo em Computdores 2006 Integris de funções de dus vriáveis 1 Áres no plno exercícios Integris de funções de dus vriáveis reis exercícios Descontinuiddes exemplo e exercício

2 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 2 1 Áres no plno Est secção é um revisão rápid d teori de integrção de funções de um vriável rel. Dd um função f : [, b] R, queremos clculr áre d região no plno entre o gráfico y = f(x) e o eixo xx, pr x [, b], como prte zul n figur que voce frá com os comndos Mple seguir: > restrt; > with(plots): > f:=sin(4*x)+cos(5*x)+3; > :=Pi:b:=3*Pi: > Pf:=plot(f,x=..b,filled=true,colour=cyn): > Pq:=plot(f,x=0..4*Pi,colour=blck): > disply([pf,pq]); Aquí f(x) = sen 4x + cos 5x = 3 no intervlo [, b] = [π, 3π]. A áre será clculd proximdmente usndo retângulos. Um proximção por R = 8 retângulos é desenhd executndo, depois dos comndos Mple cim, os seguintes: > R:=8: > delt:=(b-)/r: > X:=[seq(+j*delt,j=0..R+1)]: > Y:=[seq(subs(x=X[j-1],f),..R+1)]: > ListRets:=[Pq,seq(plot(Y[j],x=X[j-1]..X[j],filled=true),j=2..R+1)]: > disply(listrets); Observe como proximção melhor qundo umentmos o vlor de R, por exemplo pr o dobro. Com 64 retângulos o desenho já se prece bstnte com áre clculr e com 128 retângulos já é preciso mplir bstnte o desenho pr ver diferenç. No progrm cim, dividimos o intervlo [, b] em R = 2 n intervlos de mesmo tmnho, delimitdos por R + 1 pontos uniformemente espçdos em [, b], ddos por x j = + jδ n pr j = 0,..., R, com δ n = (b )/R, ou sej, x 0 =, x j = x j 1 + δ n j = 1,..., R, x R = b. Pr o desenho, usmos como ltur do retângulo o vlor de f no ponto x i d esquerd do intervlo [x i, x i+1 ] i = 0,..., R 1. Obtemos um proximção E(n) pr áre, dd pel som ds áres dos R retângulos: E(n) = 2 n 1 j=0 δ n f(x j ) que podemos chmr de áre proximd à esquerd. Poderímos ter usdo o vlor de f em outro ponto do mesmo intervlo, o que dri um outr proximção pr mesm região. Por exemplo, podemos definir áre proximd à direit D(n), usndo como ltur o vlor d função no extremo direito do intervlo [x i, x i+1 ]: D(n) = δ n f(x j ) o que drá um outro vlor proximdo pr áre. Podemos clculr um proximção por excesso d áre, A(n), usndo como ltur de cd retângulo o máximo d função f no intervlo [x i, x i+1 ] e um proximção por defeito, (n) usndo o mínimo d função no mesmo intervlo: A(n) = 2 n δ n mx f(x) (n) = 2 x [x i,x i+1] n δ n min f(x). x [x i,x i+1] Teorem 1 Sej f : [, b] R um função contínu, < b R. Então s sucessões A(n), (n), E(n) e D(n) convergem pr o mesmo limite qundo n.

3 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 3 Demonstrção: Pr todo n tem-se: (n) E(n) A(n) (n) D(n) A(n) de modo que bst mostrr que s sucessões A(n) e (n) convergem pr o mesmo limite. Pr isto começ mos por observr que pr todo n tem-se: m(b ) (n) A(n) M(b ) onde M e m são o máximo e o mínimo de f no intervlo fechdo [, b], respectivmente. Cd um ds sucessões A(n) e (n) é monóton, respectivmente decrescente e crescente. Est últim propriedde vem d mneir como construímos os retângulos: cd um dos retângulos usdos n proximção A(n + 1) está contido em um dos retângulos usdos em A(n), cuj bse foi dividid o meio pr fzer proximção seguinte. Como s dus sucessões A(n) e (n) são monótons e limitds, então els convergem. Rest ver que convergem pr o mesmo limite. Pr isto estimmos o êrro cometido em cd proximção, que é E(n) = A(n) (n) = ( ) δ n mx f(x) min f(x) 2 n ( ) = δ n mx f(x) min f(x). x [x i,x i+1] x [x i,x i+1] x [x i,x i+1] x [x i,x i+1] Sbemos que lim δ b n = lim n n 2 n = 0 e pel continuidde de f temos ( ) lim n logo lim E(n) = 0, como querímos. n mx f(x) min f(x) x [x i,x i+1] x [x i,x i+1] = 0 Denotmos o limite lim n (n) = b f(x)dx e definimos áre (orientd) entre o grfico de f e o eixo como sendo este limite. Dizemos que um função f : [, b] R é seccionlmente contínu em [, b], se existir um conjunto finito de pontos = c 0 < c 1 <... < c k < c k+1 = b tis que f é contínu em cd um dos intervlos [c j, c j+1, j = 0,..., k, o que quer dizer, em prticulr, que existem os limites f(x) e f(x), j = 0,..., k. lim x c + j lim x c j+1 Isto é, pode existir um número finito de pontos onde f tem um descontinuidde de tipo slto. O Teorem 1 continu válido pr funções seccionlmente contínus em vez de contínus. Convém lembrr que integrl define um áre orientd: s regiões bixo do eixo horizontl são considerds áres negtivs. 1.1 exercícios 1. () Escrev um procedimento Esquerd em Mple que ddos: números, b, um expressão f(x) e um nturl n; clcule E(n), o vlor proximdo de estimd à esquerd. (b) Use o procedimento Esquerd pr clculr o vlor proximdo de b f(x)dx usndo 2 n retângulos, com ltur 3π π sen 4x cos 5x + 3dx com diferentes vlores de n. Compre com o resultdo obtido usndo o comndo int de Mple. 2. Modifique o procedimento do exercício 1) pr produzir um procedimento Direit que clcule D(n), o vlor proximdo de b f(x)dx usndo 2 n retângulos, com ltur estimd à direit.

4 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 4 3. Modifique s instruções Mple do texto que form usds pr representr os retângulos com áre E(n) pr que pssem representr os retângulos com áre D(n). 4. Pr n = 1,..., 7, clcule diferenç entre o resultdo dos procedimentos que escreveu em 1) e 2) plicdos o cálculo de 3π π sen 4x cos 5x + 3dx. O que pode concluir prtir destes cálculos? 5. Use os seus procedimentos pr obter estimtivs de E(n), D(n) e E(n) pr f(x) = sen( x 3 ) + cos(x), = 3π/2, b = π e compre s estimtivs com o vlor obtido usndo o comndo int de Mple. Fç o gráfico de f no intervlo [, b]. O que se pode concluir? 6. Repit o exercício 5) pr: f(x) = { x + 1 se x 0 sen x se x < 0 com = 1 e b = Sejm: n um número nturl, x 0 = < b = x 2 n R, δ n = b 2 n, x j = x j 1 +δ n [, b] e f : [, b] R um função seccionlmente contínu. () Sej t j, j = 1,..., 2 n o trpézio cujos vértices são os pontos: (x j 1, 0), (x j, 0), (x j 1, f(x j 1 )), (x j, f(x j )). Escrev um procedimento Mple que, ddos, b, n e f, represente n mesm figur os trpézios t j pr j = 1,..., 2 n e o gráfico de f(x). (b) Clcule áre de t j. (c) Escrev um procedimento Mple que, ddos, b, n e f, clcule áre T (n) que é som ds áres dos trpézios t j pr j = 1,..., 2 n. (d) Mostre que (n) T (n) A(n) pr todo n nturl. (e) Compre o vlor de T (n) com os resultdos dos exercícios cim. Este método de cálculo proximdo de áres chm-se método dos trpézios. Pr funções de clsse C 1 pode-se mostrr que T (n) converge pr b f(x)dx muito mis depress do que E(n) e D(n). 2 Integris de funções de dus vriáveis reis Podemos dptr o método d secção 1 pr clculr o volumes em R 3. Ddo um retângulo R = [, b] [c, d] R 2 e um função ϕ : R R queremos clculr o volume orientdo d região entre o gráfico de ϕ(x, y) e o plno horizontl (que é o gráfico d função constnte igul zero). Começmos por subdividir o retângulo R, subdividindo cd um dos seus ldos em R = 2 n segmentos. Adptndo notção d secção 1, temos: δ x n = b 2 n, x 0 =, x j = x j 1 + δ x n j = 1,..., R, x j = + jδ x n, x R = b δ y n = c d 2 n y 0 = c, y j = y j 1 + δ y n j = 1,..., R, y j = c + jδ y n, y R = d e ssim obtemos 2 2n retângulos R ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], pr i, j = 1,..., R. Clculmos o volume proximdo escolhendo como bse um prlelepípedo pr cd um dos pequenos retângulos e usndo como ltur o máximo de ϕ(x, y) no retângulo, o que nos dá um volume V (n) proximdo por excesso. O volume v(n) proximdo por defeito é obtido usndo o mínimo de ϕ(x, y) como ltur: V (n) = i, δnδ x n y mx ϕ(x, y) v(n) = (x,y) R ij i, δnδ x n y min ϕ(x, y). (x,y) R ij Teorem 2 Sej ϕ : [, b] [c, d] R um função contínu, < b R e c < d R. Então s sucessões V (n) e v(n) convergem pr o mesmo limite qundo n.

5 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 5 A demonstrção é tão precid com do Teorem 1 que não vle pen ser feit e fic como exercício. Definimos R ϕ = lim n V (n). Este limite pode ser clculdo proximdmente usndo prlelepípedos cuj ltur é o vlor de ϕ em lgum ponto escolhido do retângulo R ij, como foi feito n secção 1. Aquí há mis escolhs nturis, como por exemplo: EE(n) = i, δ x nδ y nϕ(x i 1, y j 1 ) DD(n) = i, δ x nδ y nϕ(x i, y j ). O cálculo d integrl é um dptção modern do método clássico de cálculo do volume de um sólido por exustão 1 que, no Livro XII dos Elementos de Euclides (séc. III.C.) é tribuído Eudoxo (séc IV.C.). O método consiste em estimr o volume V (n) de um conjunto de 2 2n prlelepípedos que contêm o sólido no seu interior e o volume v(n) de outros prlelepípedos que estão contidos no interior do sólido. O Teorem 2 diz que existe um único vlor v tl que pr todo n, v(n) v V (n). Est formulção do cálculo de volumes foi feit por I. Newton ( ) e tornd rigoros, pr os pdrões tuis, por A.L. Cuchy ( ). 2.1 exercícios 1. Mostre que pr todo n, v(n) EE(n) V (n) e v(n) DD(n) V (n). 2. Mostre que se ϕ : [, b] [c, d] R for contínu então s sucessões EE(n) e DD(n) convergem pr R ϕ. 3. Modifique o procedimento Esquerd do exercício 1) d secção 1 pr obter um procedimento que clcule proximdmente o volume R ϕ usndo 2n 2 n prlelepípedos como em EE(n). 4. Mostre que se ϕ : R R for um função contínu e se k R então R kϕ = k ϕ (cuiddo com o R sinl de k). 5. Mostre que se ϕ e ψ : R R forem funções contínus e se ϕ(x, y) ψ(x, y) pr todo (x, y) R então R ϕ R ψ. 6. Mostre que se ϕ e ψ : R R forem funções contínus então R (ϕ + ψ) = R ϕ + R ψ. 3 Descontinuiddes N secção 2 clculmos o volume d prte de um prism de bse retngulr que fic bixo do gráfico de um função contínu n verdde definimos este volume como um limite. Seri interessnte clculr volumes de regiões cujs bses tivessem outrs forms, como por exemplo região zul dd pels instruções Mple: > restrt: with(plots): > g1:=sin(3*x)*cos(2*x)+1; > g2:=1+3*cos(x/4)/2; > plot([g1,g2],x=0..2*pi,filled=true, colour=[white,blue]); Pr um região mis simples, experimente: > restrt: with(plots): > g1:=sin(x/2):g2:=2*sin(x/2): > plot([g1,g2],x=0..2*pi,filled=true, colour=[white,blue]); > phi:=(x-pi)^2+(y-1)^2+1; > plot3d([phi,0],x=0..2*pi,y=1..2,colour=[blue,cyn]); > crist1:=subs(y=g1,phi); 1 No folclore: o método d exustão consiste em clculr volumes té ficrmos exustos.

6 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 6 > prede1:=plot3d([x,g1,z],x=0..2*pi,z=0..crist1): > crist2:=subs(y=g2,phi); > prede2:=plot3d([x,g2,z],x=0..2*pi,z=0..crist2): > tmps:=plot3d([phi,0],x=0..2*pi,y=g1..g2,colour=[blue,cyn]): > disply(prede1,prede2,tmps); O primeiro plot desenh bse e preimeir instrução plot3d fz o gráfico de ϕ(x, y) sobre um retângulo. A instrução disply mostr um sólido do tipo dqueles cujo volume queremos clculr. Pr desenhr o sólido correspondente à primeir região que desenhmos, bst substituir s expressões de g1 e g2 e crescentr um terceir prede (porque?) com s isntruções: > crist3:=subs(x=0,phi);l1:=subs(x=0,g1):l2:=subs(x=0,g2): > prede3:=plot3d([0,y,z],y=l1..l2,z=0..crist3): > disply(prede1,prede2,prede3,tmps); Se deixrmos o progrm sem terceir prede podemos ver o sólido pelo ldo de dentro (não se queixe se chr o exemplo confuso). Em gerl, sej Ω R = [, b] [c, d] R 2 um região como s que desenhmos com Mple, isto é, um região delimitd pelos gráficos de dus funções Ω = {(x, y) : x [, b] e g 1 (x) y g 2 (x)} com g 1 e g 2 : [, b] [c, d] funções de clsse C 1. O prism de ltur 1 e bse Ω é região entre o plno {(x, y, z) : z = 0} e o gráfico d função crcterístic χ Ω (x, y): { 1 se (x, y) Ω χ Ω : R R χ Ω (x, y) = 0 se (x, y) Ω e pode ser desenhdo em Mple, pr g 1 e g 2 no exemplo cim, substituindo ns instruções função ϕ(x, y) pel função constnte ϕ(x, y) = 1. A prtir d função crcterístic poderímos definir o volume entre o gráfico de um função ϕ(x, y) e o plno z = 0, pr (x, y) Ω como o volume entre o gráfico de ψ(x, y) = ϕ(x, y) χ Ω (x, y) e o plno z = 0 pr (x, y) R. O problem é que o Teorem 2 não pode ser plicdo porque s funções χ Ω e ψ(x, y) são descontínus. Pr clculr o volume do prism e o do sólido precismos de um extensão do conceito de integrl. Continu ser possível definir os volumes proximdos V (n) e v(n) pr função χ Ω, já que el tem um máximo e um mínimo em cd retângulo R ij e continu ser verdde que V (n) e v(n) são monótons e limitds e portnto convergem. A únic dificuldde em definir χ Ω reside em mostrr que lim n V (n) = lim n v(n). Pr o cso de um vriável definimos integrl pr funções que tinhm descontinuiddes bem comportds, desde houvesse poucos pontos de descontinuidde. No plno teremos que nos preocupr com mneir como s descontinuiddes estão distribuíds, o que poderá fetr iguldde dos dois limites. Definimos um função seccionlmente contínu em um retângulo R = [, b] [c, d] R 2 como sendo um função ϕ : R R cujs únics descontinuiddes em R estão tods contids em um número finito de gráficos y = g j (x), j = 1,..., k de funções de clsse C 1. Além disto, exigimos que s distribuições mrginis f x : [c, d] R dds por f x (y) = ϕ(x, y), sejm seccionlmente contínus ou sej, exigimos que nos pontos de descontinuidde, existm os limites de f x (y) à esquerd e à direit (sem serem necessrimente iguis). Est rrumção ds descontinuiddes fz com que sej possível ignorr o erro que els introduzem ns estimtivs de V (n) v(n), e obtem-se o resultdo seguir, que não provremos. Teorem 3 Sej ϕ : [, b] [c, d] R um função seccionlmente contínu, < b R e c < d R. Então s sucessões V (n) e v(n) convergem pr o mesmo limite qundo n. R

7 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes exemplo e exercício 1. Um outr mneir de produzir os gráficos dos exemplos cim é escrever função ψ(x, y) = ϕ(x, y)χ Ω (x, y) como um procedimento: > psi:=proc(x,y) locl g1,g2; > g1:=proc(x)sin(3*x)*cos(2*x)+1 end proc; > g2:=proc(x)1+3*cos(x/4)/2 end proc; > if ((y<g1(x)) or (y>g2(x))) then 0 > else (x-pi)^2+(y-1)^2+1 end if > end proc; Pr descobrir porque não escolhemos este processo, fç: > plot3d(psi,0..2*pi,1..2); e compre com os resultdos dos exemplos cim. 2. Use o procedimento do exercício pr clculr proximdmente definid pelo procedimento do exercício 1) e onde R = [0, 2π] [1, 2]. R ψ onde ψ(x, y) é função