SEBENTA EXAME DE ACESSO 2017

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1 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS SEBENTA EXAME DE ACESSO 07 ENGENHARIAS E GEOCIÊNCIAS LÍNGUA PORTUGUESA LÍNGUA INGLESA MATEMÁTICA FÍSICA QUÍMICA

2 Sebent Engenhris e Tecnologis MATEMÁTICA Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

3 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS FICHA TÉCNICA Título: Eme de Acesso 0 - Engenhris e Tecnologis Língu Portugues - Autores: Rit Dl, An Vsconcelos e João Bento. Língu Ingles - Autores: José Augusto, Snsão Norton e Théophile Wdigesil. Mtemátic - Autores: Cláudio Bernrdo, Frncisco Gil, Leopoldin Pz Colbordores - Wlter Pedro, Luís Veg, Pulo Kmind, Joquim Bumb, Vldik Fonsec, Pulo Tek, Cláudi Mtoso, Vldick Jime, Mnuel Cbend, António Delgdo, Aleis Crrsco, Cândido João e Odl Perez. Físic - Autor: Krl Krush. Químic - Autores: Káti Gbriel, Domingos Sntn, Júlio Kuende, Mrth Molin, Mgt Nkub, Mário Re, Mónic Frncisco e Letíci Torres. Colbordor - Miguel Clemente. Editores - Káti Gbriel, Emnuel Tung e Cláudio Bernrdo. Cps e Seprdores - Assessori de Comunicção e Imgem Mord Av. Lund Sul, Ru Lterl Vi S0 Tlton - Lund - Angol Telefone: Emil: sebents@isptec.co.o 0 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS - ISPTEC

4 Sebent Engenhris e Tecnologis PREFÁCIO Est sebent foi elbord por um equip de Professores do Instituto Superior Politécnico de Tecnologis e Ciêncis (ISPTEC) de diverss áres de conhecimento, com o propósito de uilir os cndidtos no estudo dos conteúdos específicos vlidos nos Emes de Acesso, relizdos por est instituição. Os conteúdos qui descritos são s principis referêncis pr cndidtos que pretendem ingressr no ensino superior pois, brcm os conhecimentos mínimos necessários pr frequentr os Cursos de Engenhri dest instituição que é crcterizd pelos processos de ensino e prendizgem com qulidde e rigor licerçdos n investigção, inovção e etensão universitári. A sebent contém conteúdos de qutro () disciplins distribuídos d seguinte form: Língu Portugues: Tipo de teto; Ctegoris nrrtivs; Língu e comunicção; Ortogrfi; Leicologi; Verbos e tipos de conjugção. Mtemátic: Conjuntos numéricos; Potencição e rdicição; Equções lgébrics; Desigulddes lgébrics; Eponenciis e logritmos; Trigonometri; Geometri no plno; Noções básics de derivds. Físic: Mecânic; Fundmentos d termodinâmic; Eletricidde. Químic: Teori tómic; Símbolos e fórmuls químics; Soluções e uniddes de concentrção; Cálculo estequiométrico; Cinétic, químic e equilíbrio químico; Teoris ácido-bse; Trocs de energi em reções químics; Hidrocrbonetos. Cd disciplin referid bord, de form resumid, os conteúdos progrmáticos do Ensino Médio de Angol, n áre de Ciêncis Ets. Pr consolidr esses conteúdos, são presentdos eercícios resolvidos que permitem orientção e suporte dos cndidtos n resolução de outros eercícios propostos. Nest perspectiv, o ISPTEC lnç est sebent como mteril com vlor crescentdo pr suportr os estudos relizdos pelos cndidtos n compreensão dos tems borddos no percurso do ensino médio. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 i

5 Sebent Engenhris e Tecnologis CAPÍTULO - CONJUNTOS NUMÉRICOS. Principis Conjuntos Numéricos Os conjuntos denotm-se por letrs miúsculs do lfbeto: A, B, C, e os seus elementos por letrs minúsculs:, b, c,,,.pr indicr que é um elemento do conjunto A, escrevemos: A e se não é um elemento do conjunto A, escrevemos: A. Pr descrever qulquer conjunto utilizmos dois recursos: º) Descrição pel citção dos elementos do conjunto, Eemplo: M =, b, c, d e º) Descrição pel propriedde que crcteriz os seus elementos, Eemplo: M: é o conjunto ds qutro primeirs letrs do lfbeto. Os principis conjuntos numéricos são: ; ; Q e R. As relções entre conjuntos são mis evidentes qundo se mostrm com Digrms de Venn. Eemplo: é o conjunto dos números nturis e represent-se por: = {0,,,,,, } é o conjunto dos números inteiros e represent-se por: = {0,,,,, } Q é o conjunto dos números rcionis e represent-se por: Q = tl que os seus elementos podem representr-se como um frção deciml que possui finitos lgrismos pós vírgul (Eemplo: ou como um frção deciml de infinitos lgrismos de dízim periódic, isto é, pós vírgul repete-se sempre lgum dos lgrismos (Eemplo: ). Se os elementos não podem representr-se como um frção finit, pois possui infinitos lgrismo pós vírgul, ms não se repete nenhum, então eles não são Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

6 Sebent Engenhris e Tecnologis elementos do conjunto Q e chmm-se simplesmente números irrcionis (Eemplo: 0, ) cujo conjunto se denot por: I. R é o conjunto dos números reis que inclui os números rcionis e os números irrcionis. Os subconjuntos dos números reis representm-se com intervlos.. Intervlos de Números Reis Tbel 8 - Representção de intervlos de números reis Intervlos Representção n rect rel Condição Conjunto, b Fechdo, b Aberto, b Semiberto à esquerd, b Semiberto à direit Not: o primeiro dos csos chm-se intervlo fechdo, onde os etremos e b estão incluídos; o segundo chm-se intervlo berto onde não estão incluídos os etremos e os dois restntes são semibertos (ou tmbém semifechdos). b b b b b { R : b} < < b { R : < < b} < b { R : < b} < b { R : < b} EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Usndo notção de conjunto, escrev os seguintes intervlos: ) ], [ b) ], ] c) [, ] d) [, 0[ e) ], 0[ Solução: É importnte observr se os etremos do intervlo estão incluídos. Neste cso usm-se convenientemente os sinis ou. Assim escrevemos: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

7 Sebent Engenhris e Tecnologis ) ], [ = R : b) ] c) [ d) [, 0[ = R : 0 e) ], 0[ = R : 0, ] = R :, ] = R :. Se A = { R : < < } e B = { R : < 8}, determine: )A B b) B A c) A B Solução: em cd item é conveniente representr sobre mesm rect numéric os intervlos A e B, pr determinr com precisão os elementos comuns e tmbém observr se os etremos do intervlo estão incluídos n união ou n intersecção. Nestes csos usm-se convenientemente os sinis ou. Assim escrevemos: )A B = { R : < } b) B A = { R : < < 8 } c) A B = { R : < < }. Represente grficmente os resultdos de cd epressão bio: )], ] [, [ - b) [, ] [, ] EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Quis ds lterntivs bio são flss? ) {Ø} é um conjunto unitário b) { } é um conjunto vzio c) Se A = {,, }, então {} A d) M = { : = n, onde n N} é o conjunto dos números nturis ímpres Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

8 Sebent Engenhris e Tecnologis e) Ø [, ] f) Ø [,- ] { } g) B A (A B) h) Q (R ). Escrev cd proposição bio usndo o sinl de desiguldde. ) é um número positivo b) b é um número negtivo c) é mior que b. Represente grficmente os seguintes intervlos: ) [ 0, ] b) < < c) ], 0] d) e) ]0, + [ f) ], 7] [, 9] g) ], 7] [8, 0]. Sejm M = { R: <0}, N = { R: < < 8} e P = { R: 9}. Determine o conjunto P (M N). RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. São flsos os itens: c) Pois o elemento A, ms o conjunto {} A. d) Pois M é o conjunto dos nturis pres. e) Pois o intervlo [, ] não é um conjunto de conjuntos, então não inclui o conjunto vzio e tmpouco é um conjunto que não tem elementos, logo não é igul o Ø. h) Pois Q e se do conjunto dos reis se elimin, está-se eliminr um prte de Q e então Q não pode estr incluído no conjunto (R ).. ; b b. Apresentm-se os três primeiros: ) b) c ) 0. M N =, 8 8, 0 [ Logo P (M N) = ], 8 [ Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

9 Sebent Engenhris e Tecnologis CAPÍTULO - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. Potencição A potênci é o produto de n fctores iguis, ou sej: n , n N. n ftores onde : é bse; né o epoente. Eemplos: b) ) 7 c) 9. Proprieddes d Potencição A) Multiplicção de Potêncis d Mesm Bse Procedimento: conserv-se bse e somm-se os epoentes. m. n = m + n Eemplos: ) c) b) ( 0,9) (0,9) (0,9) (0,9) 7 (0,9) d) 8 8 B) Divisão de Potêncis d Mesm Bse Procedimento: Conserv-se bse e subtrem-se os epoentes. m n m n ; 0 ou mn m n Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

10 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplos: ) b) c) d) C) Potênci de Um Potênci Procedimento: Conserv-se bse e multiplicm-se os epoentes. m n ( ) m. n Eemplos: ). ) b) ( b c) b b 7 7 d) D)Potêncis de Um Produto Procedimento: Elev-se cd fctor esse epoente. m n ( ) m. n Eemplos: ) b) c) 8 d) e) (.). 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

11 Sebent Engenhris e Tecnologis E) Potêncis de Um Quociente Procedimento: Elev-se o dividendo e o divisor esse epoente. b n b n n, com b 0 com n 0 n n e ; (b 0) n b b Eemplos: ) b) 9 c) d) F) Potênci deciml ou potênci de bse 0 Um potênci deciml é um múltiplo d potênci de bse 0, presentndo lgums vntgens: ) Evit trblhr-se com números muito etensos. b) Estes números etensos podem ser substituídos por epressões com o mesmo significdo e vlor. Eemplos: ) b) Conversão de 0 ou múltiplo de 0 num potênci deciml Pr relizr est conversão, bst contr o número de zeros à direit do lgrismo (que representrá o epoente d potênci). O epoente indic-nos quntos zeros devem ser colocdos à direit do lgrismo Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

12 Sebent Engenhris e Tecnologis Tbel 9 - Potênci de bse 0 Números Potênci Resolve-se Múltiplos de potênci de bse 0 A prtir de um número, obtém-se o seu produto e su potênci. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

13 Sebent Engenhris e Tecnologis Tbel 0 - Múltiplos de potênci de bse 0 Número Produto Potênci G) Csos prticulres i) Bse negtiv: A potênci é Positiv se o epoente for pr e é Negtiv se o epoente for ímpr. Eemplos: ) ( ) b) 7 ii) Bse positiv e epoente negtivo: é igul o inverso dess potênci com epoente positivo. n n Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 70

14 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplos: ) b) 9 d) c) 7 8 iii) Epoente frccionário: m n n m, 0 Eemplos: ) 7 7 b) c) d) e) 8 8 f) 9 9 iv) Potênci de epoente : é igul à bse. Qulquer número nturl é um potênci de epoente (um) Eemplo: ) (0) 0 b) (0) 0 c) f) 0 0 g) h) d) 7 7 d) (0,8) 0, 8 v) Potênci de bse é igul. Eemplos: b) ) c) d) e) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

15 Sebent Engenhris e Tecnologis vi) Potênci de bse 0 (zero) é igul 0. ) 0 0 b) 0 0 c) 0 0 d) e) 0 0 vii) Potênci de epoente 0 (zero): qulquer potênci de epoente zero em qulquer bse é igul (um). 0, ( 0) Eemplos: ) 0 b) ( ) 0 c) 0 d) 0 e) g) (00) 0 f) 9 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Clcule: ) 00 b) c) ( ) d) ( ). Escrev num só potênci: ) 7 b) c) d). Clcule cd um ds potêncis. ) b) c) 8 / d) 9.. Assinle se s línes são verddeirs ou flss. Corrij s flss. ) 7 8 b) ( ) c) ( 9 ) 8 d) (0,) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

16 Sebent Engenhris e Tecnologis. Escrev n form deciml. ) 0 b) 8 0 c). Escrev n form de potênci de bse. 0 d) 0 0, ) b) 0, 0, c) d) : 0, 7. Simplifique dndo respost n form de potênci de bse. [(0,) (7 ).( ).() ].(79 ).[(0, ) 8. Clculr o vlor ds epressões: ].9 ) (7 ) b),.0,0.,.0,0.0, c) d) Se e 9, então pode-se firmr que: ) é o dobro de b) = c) = d) é o triplo de 0. Se =, indique o vlor de. :. Simplifique epressão 0. Rdicição A riz enésim de um número é indicdo por: n b b n 0 e b 0, n Z e n Em n, temos: n - o índice; - o rdicndo. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

17 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplos: ) b) pois pois. Número Irrcionl É um número rel que não pode ser escrito sob form p/q, com p e q números inteiros. Eemplos:,,. Conversão de Um Rdicl em Potênci de Epoente Frccionário Um rdicl pode ser representdo n form de potênci com epoente frccionário: 0. n m, n m Eemplos: ) b) c). Conversão de Um Rdicl em Potênci de Epoente Frccionário em Rdicl Um potênci de epoente frccionário pode ser trnsformd num rdicl m n n m, 0 Eemplos: ) ( ) 0 0 b) c) ( ) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

18 Sebent Engenhris e Tecnologis.7 Proprieddes dos Rdicis ) Produto de rdicis com o mesmo índice Procedimento: Conserv-se o índice e multiplicm-se os rdicndos, simplificndo sempre que for possível o resultdo obtido. Eemplos: Efectue s multiplicções seguintes: ) 7 7 b) c) 8 d) 08 e) ( ) 9 (9 ) 7 b) Divisão de rdicis com o mesmo índice: Procedimento: Devemos conservr o índice e dividir os rdicndos, simplificndo sempre que for possível o resultdo obtido. Eemplos: Efectue s divisões bio: ) b) c) 0 0 d) e) 0 0 c) Potênci de rdicl Procedimento: Pr elevr um rdicl um potênci, conservmos o índice do rdicl e elevmos o rdicndo à potênci indicd. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

19 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplos: Clcule s potêncis: ( ) ) 9 ( ) ( ) (). b) c) ( ) d) ( 7) 7 ( ) d) Rdicl de rdicl Procedimento: Devemos multiplicr os índices desses rdicis e conservr o rdicndo, simplificndo o rdicl obtido, sempre que possível (considerndo o rdicndo um número rel positivo e os índices números nturis não-nulos). m n m. n mn., 0 Eemplos: Reduz um único rdicl: ) b) c) d) 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

20 Sebent Engenhris e Tecnologis.8 Redução dos Rdicis Pr reduzir os rdicis o máimo possível, devemos decompor primeiro os rdicndos. Eemplos: ) b) 9 c) Rcionlizção Procedimentos: Recorrer às proprieddes de rdicição.. Temos no denomindor pens riz qudrd:. Temos no denomindor rízes com índices miores que : ) Temos que multiplicr numerdor e denomindor por, pois + =. b) Temos que multiplicr numerdor e denomindor por, pois + =.. Temos no denomindor som ou subtrção de rdicis: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 77

21 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Dê o vlor ds epressões e presente o resultdo n form frccionári: ) 00 b) 0, 8 c), d) 9. Clcule riz indicd: ) 9 b) 8 c) 7 t d) t. Escrev n form de potênci com epoente frccionário: ) 7 b) c) d). Escrev n form de rdicl: ) 8 b) 7 c) b d) m n. Clcule s seguintes rízes: ) b) c) d). Fctorize e escrev n form de potênci com epoente frccionário: ) b) 8 c) 8 d) 7 7. Simplifique os rdicis: b) b c ) 0 c) 8. Determine s soms lgébrics: ) 7 b) 8 9. Simplifique s epressões e clcule s soms lgébrics: ) b) Simplifique epressão Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 78

22 Sebent Engenhris e Tecnologis. Rcionlize s epressões: ) b) RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE RADICIAÇÃO. ) 0 b) 0 9 c) 0 d). ) b) c) t t d) t. ). ). ) 7 8 b) b) b) 7 c) c) c).b d) d) d) m. n. ) 7. ) 8. ) 9. ) ) b) 7 b) b c 7 b) c) 7 d) c) b) b) d) CAPÍTULO POLINÓMIOS. Definição Um polinómio n vriável rel é definido como sendo um som lgébric de monómios. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 79

23 Sebent Engenhris e Tecnologis P n n n n... 0, onde (n N0).. Monómio Um monómio é um epressão constituíd por um número, por um vriável ou por um produto de números de epoentes nturis.. Gru de Polinómio Ddo o polinómio P n 0 n n... n n 0, não identicmente nulo, com, o gru do polinómio é ddo pel mis lt potênci d vriável do polinómio P(). Tbel - Gru de polinómios Eemplos Procedimentos Gru do polinómio P Epoente do mior termo 7 mior gru P Número 0 P Som dos epoentes do termo de Observção: Um Polinômio é nulo, (P() = 0) qundo todos os coeficientes são iguis Zero. Eemplos: ) P() = = 0 b) Se P( ) ( 7) ( b) ( c ) d é identicmente nulo, concluímos que: ( b) 0 b ( c ) 0 c d 0 d 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 80

24 Sebent Engenhris e Tecnologis ) Em relção um ds vriáveis, o gru do polinómio é ddo pelo mior epoente dess vriável. Eemplos: P( ) gr( P( )) ) Polinómio do º gru b) P gr(p) gru do polinómio P() em relção gr(p) gru do polinómio P() em relção P c) gr(p) gr(p) gru do polinómio P() em relção gru do polinómio P() em relção. Vlor Numérico Qundo é tribuído um número à vriável, ou sej ( n n 0 R), e clculmos n n P..., dizemos que P é o vlor numérico do polinómio pr. Eemplos: Determinr o vlor numérico do polinómio P pr: ) b) c) 0 d) Resolução: ) Substituindo vriável por teremos: P Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

25 Sebent Engenhris e Tecnologis b) Substituindo vriável por teremos: P P c) P 7 8 d) EXERCÍCIOS. Determine o vlor numérico dos seguintes polinómios: P pr ) b) P 7 pr P pr c) P d) P. A prtir do polinómio P 0.. Determine o gru dos seguintes polinómios: pr, obtenh o vlor numérico de, de modo que ) F( ) b bc b d) B( ) 0c b) G( ) 8 e) L ( ) 0d c) D ( b) b b f) A( ). Operções com Polinómios Sejm P Q Q b n n e, tis que P b n n n n... b b b 0... n n 0 e, br., e Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

26 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso Adição (ou Som) e Subtrção (ou Diferenç) de Polinómios As operções de dição e subtrção de polinómios requerem plicção de jogos de sinis, redução de termos semelhntes e o reconhecimento do gru do polinómio. Vejmos com eemplos, como são relizds s operções de dição e subtrção. ) Adição 0 0 b... b b b Q P n n n n n n Observção: Q P Q P Eemplo: Ddos os polinómios Q P e, clcule Q P. 7 Q 7 P. e Somndo-se os coeficientes dos termos do mesmo gru, obtemos: Q P b) Subtrção Subtrindo-se os coeficientes dos termos de mesmo gru, obtemos: 0 0 b... b b b Q P n n n n n n Observção: Q P Q P Eemplo: Ddos os polinómios Q P e, clcule Q P. 7 e 7. Q P Subtrindo-se os coeficientes dos termos de mesmo gru, obtemos: Q P

27 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:. Efectue s seguintes dições de polinómios: ) 7 9 b) 8 c). fectue s seguintes subtrções de polinómios: ) 8 9 b) c) 8 7 Resolução:.) b) c).) b).c) EXERCÍCIOS PROPOSTOS:. Efectue s seguintes dições e subtrções: ) b) 7 c) 0 9

28 Sebent Engenhris e Tecnologis d) 7 e) f) 7b c c 0 Respost: ) ; b) ; c) 0 ; d) ; e) ; f) 7b c 7 0. Multiplicção de polinómios.. Multiplicção de Polinómios por Um Número Rel (ou Esclr) N multiplicção de um polinómio por um número rel (ou esclr), devemos observr o seguinte procedimento: seguir cuiddosmente regr dos sinis e redução dos termos semelhntes... Regr de Sinis d Multiplicção ; ; e k P n n k k k k k n n Observção: k P k P..., k_constnt e 0 Eemplos: Multiplique os seguintes polinómios pels constntes correspondentes: ) P 7 e k - Multiplicndo-se os coeficientes dos termos do polinómio pel constnte - obtemos: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

29 Sebent Engenhris e Tecnologis P P 7 e k b). Multiplicndo-se os coeficientes dos termos do polinómio pel constnte obtemos: P Multiplicção de Um Monómio por Um Polinómio Pr multiplicrmos um polinómio por um monómio devemos multiplicr cd monómio do polinómio por cd monómio multiplicdor, plicndo propriedde distributiv d multiplicção. Vejmos o eemplo bio: Multiplicr o polinómio pelo monómio 7. Efectundo s multiplicções, teremos: Vej mis eemplos: 7b c 7b c b ) c b) b c ( c) b c 8c c) bc EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Multiplicr o polinómio 7 pelo monómio. efetundo s multiplicções, teremos: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

30 Sebent Engenhris e Tecnologis 7 7. Multiplicr o polinómio pelo monómio. Efectundo s multiplicções, teremos: 0. Multiplicr o polinómio 0 7 pelo monómio. Efectundo s multiplicções, teremos: Multiplicr o polinómio pelo monómio 0,. Efectundo s multiplicções, teremos: 0, 0, 0, 0, 0, 0,. Multiplicr o polinómio pelo monómio. Efectundo s multiplicções, teremos:. Multiplicr o polinómio pelo monómio. Efectundo s multiplicções, teremos: 9 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 87

31 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso Simplifique s epressões: ) b) 7 Resolução: 0 0 ) b).. Multiplicção de Um Polinómio por Um Polinómio Pr multiplicr dois polinómios, plicmos propriedde distributiv d multiplicção em relção à dição e à subtrção. Isto é, multiplicmos cd termo do º polinómio por cd termo do º polinómio. Em seguid, grupmos os termos semelhntes. Eemplos:. Se multiplicrmos por, teremos: plicr propriedde distributiv. Portnto:

32 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso Multiplicndo por, teremos: plicr propriedde distributiv Portnto: 0. Ddos os polinómios P e Q, clcule Q P ) 7 P e Q Q P b) 7 e b Q b b P b b b b Q P b b b b b b b b b b b b b EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Efectue os seguintes produtos: ) b) c) b

33 Sebent Engenhris e Tecnologis d) e) f) g) h) 8 Resolução ) ; b) 0 c) b b d) 0 0 e) 7 0 f) 7 g) 8 8 h) EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Considere os polinómios: P ; Q e R Clcule: P c) P Q e) Q ) Q b) P R d) P Q f) R Q Resposts: ) 0 b) c) d) 8 0 e) f) Efectue e simplifique s epressões seguintes: ) b) b c b c Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 90

34 Sebent Engenhris e Tecnologis d) c) Resposts: ) c ; b) ; c) ; d). Clcule os seguintes produtos: b ) b) c) e) d) Resposts: c) 7 e) 7 b) 0 ) b d).. Divisão de Polinómios... Divisão de Polinómios Pelo Método ds Chves Ddos os polinómios P() e Q() e Q q, pois q Q r P onde r P, é o resto d divisão. O resto d divisão r é um polinómio cujo gru não pode ser igul nem mior que o gru do divisor Q. As prtes que constituem um divisão são: P Dividendo; Q Divisor ; q Quociente e r Resto Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

35 Sebent Engenhris e Tecnologis Este método consiste no seguinte formto P() r() Q() q() Eemplo : Divid P por Q. º) Escolh o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicdo pelos termos do divisor. Pode tmbém dividir directmente o º termo de mior gru do polinómio P (dividendo) pelo º termo de mior gru do polinómio quociente. Q (Divisor);, obtendo ssim o º termo do º) Multiplique o termo do quociente obtido e psse o inverso do resultdo pr subtrir do polinómio. º) Agor deve repetir o primeiro psso, escolher o termo conveniente pr multiplicr pelo primeiro termo do divisor pr que fique igul o primeiro termo do polinómio que foi resultdo d primeir operção. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

36 Sebent Engenhris e Tecnologis º) Repit o mesmo processo do segundo psso. Como o resto tem um gru menor do que o gru do divisor não é possível continur com divisão. Assim temos que q e que r. Eemplo : Assim temos que q e o resto r. 0 Eemplo : Assim temos que q 9 e o resto - r. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

37 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplo : Assim temos que q e o resto r 0. Eemplo : Assim temos que q e o resto r 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ) Clcule os seguintes quocientes: ) b) 8 7 c) 7 d) 7 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

38 Sebent Engenhris e Tecnologis e) 7 0 f) 7 Resposts: ) e resto 0; b) e resto ; c) e resto 0 ; d) e resto 0 e) 7 e resto 0 f) e resto 0.7 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini O dispositivo prático de Briot-Ruffini consiste n divisão de um polinómio por um divisor do primeiro gru d form ( ), onde é um ds sus rízes. Eemplo: Ddos: P() = + e Q() =. Aplicndo regr do Briot Ruffini, teremos: O primeiro coeficiente de P() é o. Repete-se o primeiro coeficiente n linh de bio Em seguid, multiplic-se o por e som-se o resultdo com o segundo coeficiente de P(), o número ( ), isto é,. + ( ) = 8. O resultdo 8 deve ser escrito em bio do coeficiente ( ). Repete-se o processo, multiplicndo 8 por e somndo-se o terceiro coeficiente de P(), o número. O cálculo é ddo por 8. + = 9. Escreve-se o resultdo em bio do coeficiente. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

39 Sebent Engenhris e Tecnologis Aplicndo o mesmo procedimento pel últim vez, multiplic-se o 9 por e som-se o resultdo o ( ), ou sej, 9. + ( ) = 7. O resultdo (7) é colocdo em bio de ( ) e é o resto d noss divisão. O polinómio resultnte dess divisão tem como coeficientes, 8 e 9 e terá um gru menos que o polinómio inicil. Isto é, divisão de + por é e o resto d mesm é r = 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Sej o polinómio P () = - +-0, efectur divisão pelo binómio (-). Vemos que P () está incompleto, fltndo o termo 0. Completmo-lo d seguinte form: P () = Concluímos que o quociente q() = e o resto r()= 0. Efectur, utilizndo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, divisão do polinómio P() = por Q() = ( ). Resolução Concluímos que o quociente q() = + e o resto r() = Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

40 Sebent Engenhris e Tecnologis. Obter o quociente e o resto d divisão de P() = + por Q()=( + ). Resolução Assim sendo, o quociente q() = e o resto r() = EXERCÍCIOS PROPOSTOS:. Aplicndo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, clcule o quociente e o resto, cso eist, d divisão de: ) P por Q b) P por Q c) P 7 por Q d) P 0 8 por Q e) P por Q f) P por Q Soluções: ) q 8 ; r b) q 7 ; r c) q ; r d) q 8 ; r e) q ; r f) q ; r 9 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 97

41 Sebent Engenhris e Tecnologis.8 Produtos Notáveis e Fctorizção.8. Produtos Notáveis (ou Csos Notáveis) Tbel - Produtos notáveis Designção Epressão Epnsão do produto Produto d som pel diferenç Qudrdo de um som Qudrdo de um diferenç Cubo de um som Cubo de um diferenç Produtos especiis Eemplos: ) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 98

42 Sebent Engenhris e Tecnologis 9 b) 9 c) d) 9 e) f) 8 g) Completr Qudrdo O método de completr qudrdo consiste em formr trinómios qudrdos perfeitos. Este foi crido por Al-Khowrkmi. Pr completr o qudrdo é necessário recordr qul é form de um trinómio qudrático perfeito. Nest equção: O coeficiente do primeiro termo deve ser (repr que O último termo é o termo independente. ). O coeficiente do termo do meio é o dobro d riz qudrd do último termo pelo º termo ( ; e o seu dobro ). Dest form teremos: 0 0 (neste cso há um riz dupl). 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 99

43 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplos: ) 8 0 O coeficiente do primeiro termo é. O último termo é o qudrdo perfeito de. O coeficiente do termo do meio é o dobro d riz qudrd do último termo. Então (riz dupl) b) 0 O coeficiente do primeiro termo é. O último termo não é um qudrdo perfeito. O coeficiente do termo do meio não é o dobro d riz qudrd do último termo. Nestes csos multiplic-se e divide-se o º termo, por e elev-se metde desse número o qudrdo. Em seguid, dicion-se pr completr o qudrdo perfeito, e como não podemos lterr equção inicil, subtrímos metde e desse número o º termo usndo b b b vem: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 00

44 Sebent Engenhris e Tecnologis A equção tem dus rízes reis: 8 ou b) Resolução de equção qudrátic trvés do método de Completr o qudrdo: Dd equção 8 0 Pr tornr o coeficiente do termo igul, dividimos mbos os termos d equção por : 0 Multiplic-se e divide-se o º termo, isto é, o coeficiente de por (dois) e dicion-se e subtri-se o qudrdo d metde do coeficiente do termo em pr formr o qudrdo perfeito: A equção tem dus soluções (ou rízes): 0 ou 0 8 d) 0 O coeficiente do primeiro termo é O último termo é o qudrdo perfeito de (reprr que ) O coeficiente do termo do meio é o dobro d riz qudrd do último termo 0 Então 8 0 (neste cso há um riz dupl).0 Fctorizção A fctorizção de um polinómio consiste em colocá-lo n form de um produto de dois ou mis fctores. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

45 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso Condições de Fctorizção de Polinómios I. Colocção de Fctor Comum em Evidênci Coloc-se em evidênci o fctor comum do polinómio pr obter form fctorizd. Eemplos: ) b) c) 8 d) II. Agrupmento Agrupm-se termos do polinómio que possuem fctores em comum que são colocdos em evidênci. Eemplos: ) b) 0 0 III. Fctorizção de Trinómios Qudrdos Perfeitos Os Trinómios qudrdos perfeitos são o resultdo d epnsão do qudrdo de um som ou do qudrdo de um diferenç de dois termos. Pr fctorizr um Trinómio qudrdo perfeito é preciso identificr quis são esses termos, o que é feito por inspeção (ou tenttiv). Eemplos: Fctorize s seguintes epressões: )

46 Sebent Engenhris e Tecnologis 9 b) 9 c) 0 d) e) EXERCÍCIOS PROPOSTOS:. Fctorize s seguintes epressões: ) b) c) b d) 9 b e) b f) 00b g) Resposts: ) b) d) b b e) b f) 0b 0b c) ou b b g) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

47 Sebent Engenhris e Tecnologis CAPÍTULO - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. Definição Um equção é um iguldde entre dus epressões lgebrics, chmds membros, que incluem diverss operções mtemátics relcionds com números e vriáveis ou incógnits.. Clssificção As equções clssificm-se em função dos seus grus. Assim sendo, um equção pode ser do º gru, º gru, º gru, etc. Eemplos: ) - + = (equção do º gru) b) + 7 = + (equção do º gru) c) =. (equção do º gru). Resolução de Um Equção Resolver um equção signific tentr descobrir os vlores que podem ssumir s vriáveis em um domínio numérico determindo pr converter ess equção num epressão verddeir mis simples, ou sej é chr um equção equivlente d form = c, onde c é denomindo solução d equção. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

48 Sebent Engenhris e Tecnologis A. Procedimento pr resolução de um Equção Liner Um equção liner (ou do primeiro gru) num vriável pode reduzir-se n form = b, com, b e 0. Pr resolver um equção liner plicm-se os seguintes pssos: ) Eliminr os prêntesis; b) Reduzir os termos semelhntes, cso eistm, em cd membro d equção; c) Pssr pr o º membro s vriáveis e pr o º, os termos independentes; d) Isolr vriável d equção = b; e) Escrever o conjunto solução encontrdo. Eemplos:. Encontrr o número nturl que stisfz seguinte equção: + ( + 0,) = + ( + ) Resolução + ( + 0,) = + ( + ) Eliminndo prêntesis + 0 = + Reduzindo os termos semelhntes + = + = 8 = 8 : ( ) = = - S =, pois - não é um número nturl (- N). A Jon perguntou à An: quntos conhecidos tens qui n ru? A An respondeu: terç prte são jovens, set prte são senhores, oitv prte, crinçs e há ind 9 senhors. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

49 Sebent Engenhris e Tecnologis Resolução Nest equção represent o totl de conhecidos d An. Em primeiro lugr, vmos escrever epressão cim com o mesmo denomindor (mmc ). Dest form, o mmc(,,8,)=. Aplicndo o princípio de equivlênci, multiplic-se por mbos os membros d equção. (grupndo os termos semelhntes) Logo, An tem conhecidos. B. Procedimento pr Resolução de Um Equção Qudrátic Um equção qudrátic (ou do º gru) num vriável é um epressão reduzid n form + b + c = 0, onde, b, c são os coeficientes e, b, c, com 0. Pr resolvermos um equção do º gru recorremos à Lei do nulmento do produto e à fórmul de Bháskr (fórmul resolvente). ) Lei do nulmento do produto O produto (-)(-b)=0 -=0 ou -b=0, logo = ou =b. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

50 Sebent Engenhris e Tecnologis Not: Um produto é nulo se, e somente se, pelo menos um dos seus fctores for nulo. Eemplo: Vmos resolver equção Consideremos equção Resolvendo equção teremos: Assim sendo, e são soluções d equção. b) Fórmul de Bháskr (fórmul resolvente) Dd equção qudrátic + b + c = 0 bsed no cálculo do discriminnte e representd por: =b c onde, b e c são os coeficientes d equção qudrátic. O discriminnte () indic quntidde de soluções d equção qudrátic. Ou sej: Se Se Se > 0, equção tem dus = 0, equção tem dus < 0, equção não rízes rízes reis iguis tem rízes reis; reis. (ou um únic riz); e b b Eemplo: Determinr o conjunto solução d equção: = 0 Solução Como =, b = - e c = -, substituindo n fórmul, temos: b b, c Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 07

51 Sebent Engenhris e Tecnologis S, Equções Biqudrátics Chm-se equção biqudrátic tod equção que pode ser reduzid n form, onde, com 0. Resolução de equção Biqudrátic Dd equção, se, 0 teremos Neste cso, b Como então b Eemplo: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 08

52 Sebent Engenhris e Tecnologis S,,, Propreddes ds equções biqudrátics ) b) - c) - C. Equções Frccionáris Um equção frccionári um vriável é um epressão lgébric que tem vriável, pelo menos, em lgum denomindor. Ou sej, tomm form: P() Q() 0, com Q() 0 Pr obtermos solução ds equções frccionáris, procedemos d seguinte form: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 09

53 Sebent Engenhris e Tecnologis ) Determin-se o domínio d equção, isto é, eclui-se todos os vlores que nulm os denomindores; b) Simplific-se, se for possível, tods s frcções lgébrics; c) Ach-se o denomindor comum ds frcções e posteriormente eliminmo-lo; d) Efetu-se os produtos indicdos e grup-se os termos semelhntes; e) Isol-se vriável pr determinr solução d equção qudrátic plicndo o lgoritmo visto nteriormente. Eemplo: Resolver seguinte equção: Resolução: 0 D = {: - e } Determinr o domínio ( ) ( ) MMC é ( +)( + ) =0 Eliminr os denomindores e Resolver equção Como = - nul um dos denomindores, então, solução d equção é = S = { }. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

54 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolv s equções usndo fórmul resolvente Determine os vlores de K pr os quis equção tenh rízes reis e desiguis.. Determine os vlores de pr os quis equção tenh rízes reis iguis. 7. Resolv seguinte equção usndo form do nulmento do produto. Soluções..... k. = ou = 7. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

55 Sebent Engenhris e Tecnologis CAPÍTULO - DESIGUALDADES ALGÉBRICAS. Introdução Sobre Inequções Inequções são epressões mtemátics que envolvem os símbolos: ) > (mior que) b) < (menor que) c) (mior ou igul ) d) (menor ou igul ) Resolver um inequção em signific encontrr todos os vlores de pr os quis inequção é verddeir. O conjunto de tods s soluções de um inequção é o que chmmos conjunto solução.. Mnipulção de Equções As inequções podem ser mnipulds como s equções e s regrs são muito similres, ms eiste um ecepção. Se dicionrmos um mesmo número os dois membros d inequção, est mntem-se inlterável. Se subtrirmos um mesmo número os dois membros d inequção, est mntem-se inlterável. Se multiplicrmos ou dividirmos mbos os membros por um número positivo, inequção mntem-se verddeir. Se multiplicrmos ou dividirmos mbos os membros por um número negtivo, mud o sinl d desiguldde. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

56 Sebent Engenhris e Tecnologis.. Inequções do º gru Um inequção liner é escrit d form,, e onde são números reis com O conjunto ds soluções de um inequção liner com um vriável form um intervlo de números reis. Por este fcto, podemos presentr o conjunto solução por meio d representção gráfic d rect rel ou em form de intervlos. Eemplos: Resolver s inequções: ) b) c) d) 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

57 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) b) c) d) e) 0 f) g) h) i) 7 j) ( ) Soluções ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

58 Sebent Engenhris e Tecnologis.. Inequções do º Gru Considere função, onde, sendo e números reis. A inequção do º gru é tod desiguldde tl que: ou A resolução de um inequção do º gru consiste n determinção dos vlores de que stisfçm desiguldde, envolvendo o estudo dos sinis de um função do º gru. Eemplos: ) Achndo os zeros de, temos: Os vlores que stisfzem desiguldde são queles que. Avlindo os sinis d função n rect rel: b) c) d) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

59 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) b) c) d) e) f) g) h) 0 i) j) Soluções: ) b) c) d) e) f) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

60 Sebent Engenhris e Tecnologis g) h) S i) S j).. Inequções Modulres As inequções modulres são dds segundo definição de módulo. De modo gerl, se é um número positivo, então: º cso: º cso: ou Eemplos: ) 7 b) Elevndo mbos os ldos d desiguldde o qudrdo, temos: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

61 Sebent Engenhris e Tecnologis c) d) º Cso Se, temos: º Cso Se, temos: A solução d inequção propost é: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

62 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) + Soluções: ) b) c) S R : e d) 8 e) f) g) h) i) j) S Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

63 Sebent Engenhris e Tecnologis.. Inequções Produto Consideremos e funções de vriável. Chmmos inequções produto às seguintes desigulddes: ou Pr resolvê-ls, é necessário fzer o estudo do sinl seprdmente, trnsportr os sinis pr um qudro, efectur o produto dos sinis e determinr os intervlos de vlores em que inequção se torn verddeir. Eemplos: ) 0 ou 0 ou S R : ou b) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

64 Sebent Engenhris e Tecnologis 0 ou 0 ou c) d) 0 ou 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

65 Sebent Engenhris e Tecnologis b) c) d) e) f) g) h) i) j) Soluções ) b) c) d) e) f) g) h) i) j).. Inequções Quociente Consideremos e funções de vriável. Chmmos inequções quociente às seguintes desigulddes: f ( ) 0 g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ), 0, 0 f ( ) g( ) ou 0 A resolução d inequção quociente é similr o d inequção produto pois no conjunto dos números reis, divisão ou multiplicção de dois números present mesm regr de sinis, lembrndo que g ( ) 0. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

66 Sebent Engenhris e Tecnologis Eemplos ) b) e e Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

67 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 c) e e EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) 0 b) 0 c) d) 0 e) 0 7 f) 0 g) h) 0 i)

68 Sebent Engenhris e Tecnologis j) 0 0 Soluções ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) CAPÍTULO : EXPONENCIAIS E LOGARITMOS. Equções Eponenciis As equções em que s vriáveis precem como epoentes de potêncis, chmm-se equções eponenciis.. Resolução de Equções Eponenciis ) Obter nos dois membros d equção, potêncis de bses iguis. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

69 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 b) Igulr os epoentes. c) Determinr o vlor d vriável (). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) ) ( 0, 8 ) ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 0 Resolvendo equção do segundo gru temos: 7-7 S = { -/ ; } ) 0 Colocndo em evidênci: ) (. Inequções Eponenciis As desigulddes que contêm vriáveis no epoente chmm-se inequções eponenciis. b b b,, ou b com ou 0

70 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso Resolução de Inequções Eponenciis ) Converter os dois membros d inequção em potêncis d mesm bse. b) Comprr os epoentes. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) 9 : R S ) 8 : R S ) ) ( / 8 8 R : S ) ) ( : R S ) 0 0 : ou R S

71 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolv s seguintes inequções: ) b) 8 c) 8 d) 7. Logritmo ( b c log ) Chm-se logritmo do número b em relção à bse representção log b c c b.. Condição de Eistênci do Logritmo Pr que eist o logritmo c é preciso que: b 0; 0; Eemplos: ) log 8 8 b) log ( ) c) log d) log 0 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

72 Sebent Engenhris e Tecnologis Proprieddes ) Logritmo de em qulquer bse é igul zero. log 0 0 b) Logritmo d bse log c) Logritmo de potênci d bse log n n n n Eemplos: ) log 8 log 8 b) log 7 log.. Logritmos Iguis Dois logritmos d mesm bse são iguis, se os seus logritmndos forem iguis. log b log c b c.. Logritmo do Produto O logritmo do produto é igul à som dos logritmos dos fctores. log ( A. B) log A log B Eemplo: log (.8) log log 8 log log log log Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

73 Sebent Engenhris e Tecnologis.. Logritmo do Quociente O logritmo do quociente é igul à diferenç entre o logritmo do dividendo e do divisor: log A ( ) log B A log B Eemplo: 8 log log 8 - log 7 log - log Cologritmo de Um Número É o logritmo do inverso desse número. colog b log - log b b.. Logritmo d Potênci n log ( B ) n. log B Eemplo: log ( ) log log...7 Logritmo d Potênci d Bse log b log b, com n 0 n n Eemplo: log log log. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

74 Sebent Engenhris e Tecnologis..8 Logritmo d Riz n-ésim O logritmo d riz n-ésim é igul o inverso do índice d riz multiplicdo pelo logritmo do rdicndo. n log A. log n A Eemplo: log 8.log 8.log..log... Mudnç de Bse Est operção permite-nos pssr de um outr bse, segundo noss conveniênci. Eistem dus forms:.. Mudnç d Bse Como Quociente O logritmo de b n bse - é igul o logritmo de b num outr bse (c), dividindo pelo logritmo de n bse (c). log log b log c c b Eemplos: ) log log log 7 7 b) log log 7 log 7 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

75 Sebent Engenhris e Tecnologis.. Mudnç de Bse Como Produto O logritmo de n bse, é igul o logritmo de b (nov bse) n bse, multiplicdo pelo logritmo de num outr bse b. log (log b).(log b ).7 Função Eponencil.7. Definição Um função do tipo com R, 0 e chm-se função eponencil. A. Domínio d função eponencil D = R (o epoente pode ser qulquer número rel). B. Imgem d função eponencil + ( potênci é sempre um número positivo) C. Zero d função A função eponencil não possui zeros, pois 0.7. Representção Gráfic Pr representrmos grficmente um função eponencil, podemos fzê-lo d mesm form que fizemos com função qudrátic, ou sej, tribuímos lguns vlores rbitrários o, montmos um tbel com os respectivos vlores de f(), loclizmos os pontos no plno crtesino e trçmos curv do gráfico. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

76 Sebent Engenhris e Tecnologis Pr representção gráfic d função f ), 8 (, Atribuímos o os vlores representdos no qudro bio: Tbel - Atribuição de vlores rbitrário o Gráfico ) Função Eponencil Crescente Se, temos um função eponencil crescente, qulquer que sej o vlor rel de. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

77 Sebent Engenhris e Tecnologis b) Função Eponencil Decrescente Se 0, temos um função eponencil decrescente em todo o domínio d função..8 Função Logrítmic Tod função definid pel lei de formção f() = log, com e > 0 é denomind função logrítmic de bse. Neste tipo de função, o domínio é representdo pelo conjunto dos números reis miores que zero e o contrdomínio, o conjunto dos reis. Eemplos: ) f() = log b) f() = log c) f() = log/ d) f() = log0 e) f() = log/ f) f() = log g) f() = log( ) h) f() = log0,.8. Domínio d Função Logrítmic Dd função f() = log( ) ( ), temos s seguintes restrições: ) > 0 > < b) > 0 > c) + Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

78 Sebent Engenhris e Tecnologis Relizndo intersecção ds restrições, b e c, temos o seguinte resultdo: < < e < <. Dest form, D = { R / < < e < < }.8. Gráfico de Um Função Logrítmic Pr construção do gráfico d função logrítmic devemos estr tentos dus situções: ) > ) 0 < < ) Função crescente ( > ) b) Função decrescente (0 < < ) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

79 Sebent Engenhris e Tecnologis.8. Crcterístics do Gráfico d Função Logrítmic log ) O gráfico está totlmente à direit do eio, pois el é definid pr >0. b) O gráfico intersect o eio ds bscisss no ponto (,0), então riz d função é =. Atrvés dos estudos ds funções logrítmics, chegmos à conclusão que el é um função invers d eponencil. Observe o gráfico comprtivo seguir: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

80 Sebent Engenhris e Tecnologis CAPÍTULO 7: TRIGONOMETRIA 7. Relções Trigonométrics no Triângulo Rectângulo: Teorem de Pitágors c = + b sena cteto oposto hipotenus c cteto djcente cos A hipotenus b c tn ga cteto oposto cteto djcente b ou tn ga sen(a) cos (A) cot ga tn ga b cteto djcente cteto oposto sec A cos e A cosec A sena 7. Fórmul Fundmentl d Trigonometri cos sen A A tg A, cos A 0 cos A Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

81 Sebent Engenhris e Tecnologis 7. Ângulos Notáveis Os chmdos ângulos notáveis são queles que precem com mis frequênci, sber: Tbel - Ângulos notáveis Gru 0º 0º º 0º 90º 0º º 0º 80º 0º º 0º 70º 00º º 0º 0º - 0-0º - º - 00º - 70º - 0º - º - 0º - 80º - 0º - º - 0º -90º -0º -º -0º 0 Rdinos 0 0 Seno Cosseno 0-0 Tngente Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

82 Sebent Engenhris e Tecnologis 7. Fórmuls Trigonométrics Tbel - Fórmuls Trigonométrics Fórmuls de dição Fórmuls de subtrcção cos + sen cos sen( -) = sen cos cos sen cos( +) = cos cos sen sen cos( -) = cos cos +sen sen tg tg tg tg tg( ) tg( ) tg tg tg tg sen( +) = cos Fórmuls de duplicção Fórmuls de bissecção sen( ) =. sen. cos cos sen( / ) ) = cos sen cos cos( / ) tg tg ( ) cos tg ( / ) tg cos cos( Fórmuls de trnsformção sen sen sen cos sen sen sen cos cos cos cos cos cos cos sen sen sen( ) sen( ) tn tn tn tn cos cos cos cos Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

83 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. No triângulo rectângulo d figur bio, determine s medids de e indicds (Use: sen = 0,9; cos = 0, ; tg =,) Resolução cos = 9 sen = 9 0, * 9 = 0,9 * 9 = =,78 = 8,9. Considerndo o triângulo rectângulo ABC d figur, determine s medids e b indicds. (sen 0 = 0,8) Resolução sen 0 = cos 0 = b / 0, * = b 0,8. = 0,78 b = =. Nos triângulos ds figurs bio, clcule tg Â, tg Ê, tg Ô: ) b) c) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

84 Sebent Engenhris e Tecnologis Resolução ) tg  = tg Ê = b) tg Ô = tg Ê = c) ² = ² + ² ² = = 7 tg Ô, não eiste. tg Â, não eiste. tg  = 7 = 7 7 tg Ô = 7 tg Ê, não eiste.. Sbendo que o triângulo retângulo d figur bio é isósceles, quis são os vlores ds tg  e tg Ê? Respost Sendo um triângulo isósceles, então os seus ldos são iguis. Logo, tg  = CE AC, pois, CE, então, tg Ê = AC Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

85 Sebent Engenhris e Tecnologis. Encontre medid RA sbendo que tg  =. Resolução = 9, onde é o ldo YA = 9 = ( RA )² = 9² + ². Encontre e : ( RA )² = 90 RA = 0 ) b) Resolução ) cos = Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

86 Sebent Engenhris e Tecnologis Como o ângulo entre hipotenus e os ctetos é º, então, =, logo, =0. b) Cos 0 = 9 9 = 8 8² = 9 = + ² ² = 8 = 9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Um nvio prtiu do porto A, percorreu 70 milhs pr sul e tingiu o porto B. Em seguid, percorreu 0 milhs pr leste e tingiu o porto C. Finlmente, nvegou 0 milhs pr o norte e chegou o porto D. Qunts milhs teri poupdo se fosse directmente do porto A pr o porto D? (Respost: 0 milhs). Sendo, b e c s medids dos comprimentos dos ldos de um triângulo, indique, justificndo, queles que são rectângulos: ) = ; b = 7 e c = ; (Respost: Fls) b) = ; b = 0 e c = 8. (Respost: Verddeir) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

87 Sebent Engenhris e Tecnologis. Clcule o vlor de em cd um dos triângulos rectângulos: ) (Respost: = ) b) (Respost: = ). Clcule s áres ds seguintes figurs. ) (Respost: A = ) b) (Respost: A = 08) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

88 Sebent Engenhris e Tecnologis. Qul é ltur do poste? (Respost: 9m). Qul é distânci percorrid pelo berlinde? (Respost: cm =, m) 7. Equções Trigonométrics São equções que podem ser reduzids ns seguintes forms: sen sen, cos cos, tg tg, ctg ctg, etc. Els são chmds de equções fundmentis. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

89 Sebent Engenhris e Tecnologis 7..- Equção do Tipo sen sen Atendendo à periodicidde do seno, então: sen sen k 0º ou 80º k 0º, k Z ou, em rdinos: k k, k Z sen sen k ou k, ou ind 7..- Equção do Tipo cos cos Devido o fcto do cosseno ter período, s soluções que divergem entre si de um múltiplo inteiro do período tmbém são solução. Logo, são solução gerl de cos cos k 0º, k Z ou ind, em rdinos: cos cos k, k Z cos cos EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Resolve s seguintes equções. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

90 Sebent Engenhris e Tecnologis Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

91 Sebent Engenhris e Tecnologis ) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

92 Sebent Engenhris e Tecnologis 7..- Equção do Tipo tg tg A tngente tem período 80º, ou rdinos. O resultdo em rdinos é: tg tg. k, k Z 7..- Equção do tipo ctg ctg A cotngente, tl como tngente, tem período rdinos. O resultdo em rdinos é: cotg cotg. k, k Z Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

93 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Resolver s seguintes equções. Dividindo os membros d equção por cos, vem: Donde vem que: Dividindo os membros d equção or cos, vem: Fzendo tg = u, vem Donde vem que Resolvendo o conjunto d equção, tem se Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

94 Sebent Engenhris e Tecnologis c) tg tg tg 0 Ftorizndo tg, pr todo k, k Z, vem: tg ( tg tg ) 0 0 k k tg 0,, plicndo o nulmento do produto, tem-se: tg tg ou 0, e fzendo tg=t n segund equção, vem: t -t-=0, onde, teremos, t=- ou t=; voltndo à vriável, vem: tg ou n tg, onde se tem: rctg m ou onde : k, n e m Z Solução: k rctg m, n ou ctg ctg, fzendo ctg t, pr k, vem: t t d) equção do segundo gru, temos: ctg ou ctg t ctg ctg, ou ctg rcctg( ) n k ou rctg n ou t. Voltndo à vriável, vem:. Resolvendo est k ou 8 n rcctg, são s soluções. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolv s seguintes equções em R. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

95 Sebent Engenhris e Tecnologis cos l). cos m) 0 sen sen. n) 0 o) sen, [ 0, ]. t. p) sent sent, [ 0, ] q) cos sen sen sencos. r) 0 s) tg tg. t) cos cos. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

96 Sebent Engenhris e Tecnologis u) Se [ 0, ] 8, equção sen 0 tem dus soluções reis e distints e b. Sbendo que > b, é verdde que: ) b b) b c) b d) b e) b tg v) A equção cos tem, pr no intervlo dizer: 0,, um riz sobre qul podemos ) b) sen c) sen d) cos e) w) O conjunto solução d equção sen cos, sendo 0, é: ) b) c) d), e), ) Sbe-se que 9 tg e E. Então, epressão sen cos cotg vle: ) b) c) d) e) 9 ) Sbendo que sen e, o vlor de cos sec sec é: cot g ) b) c) d) e) Simplifique s seguintes epressões. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

97 Sebent Engenhris e Tecnologis n) Clcule sen sbendo-se que tg + cotg =. o) Sejm, R. Se + = e =, clcule o vlor de t, sendo sen sen t cos cos 7. Inequções Trigonométrics Fundmentis Quse tods s inequções trigonométrics, qundo convenientemente trtds e trnsformds, podem ser reduzids pelo menos um ds inequções fundmentis. Vmos conhecê-ls, seguir, trvés de eemplos. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

98 Sebent Engenhris e Tecnologis Por eemplo, o resolvermos inequção encontrmos, inicilmente, que é um solução prticulr no intervlo. Acrescentndo ) às etremiddes dos intervlos encontrdos, temos solução gerl em IR, que é: O conjunto solução é, portnto: Por outro ldo, se inequção fosse então, bstri incluir s etremiddes de e o conjunto solução seri: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

99 Sebent Engenhris e Tecnologis Por eemplo, o resolvermos inequção, encontrmos, inicilmente, que é um um solução prticulr no intervlo. Acrescentndo IR, que é: ) às etremiddes dos intervlos encontrdos, temos solução gerl em O conjunto solução é, portnto: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

100 Sebent Engenhris e Tecnologis º cso: cos <cos (cos cos ) Por eemplo, o resolvermos inequção encontrmos, inicilmente, que é um solução prticulr no intervlo. Acrescentndo IR,que é: ) às etremiddes do intervlo encontrdo, temos solução gerl em O conjunto solução é, portnto: Por outro ldo, se inequção fosse, então, bstri incluir s etremiddes de Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

101 Sebent Engenhris e Tecnologis e o conjunto solução seri: º Cso: cos > cos ( cos cos ) Por eemplo, o resolvermos inequção encontrmos, inicilmente,, que é um solução prticulr no intervlo. Acrescentndo ) às etremiddes dos intervlos encontrdos, temos o conjunto solução seguinte: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

102 Sebent Engenhris e Tecnologis º cso: tg < tg (tg tg ) Por eemplo, o resolvermos inequção encontrmos, inicilmente, que é um solução prticulr no intervlo. A solução gerl em IR pode ser epress por O conjunto solução é, portnto: Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

103 Sebent Engenhris e Tecnologis º Cso: tg > tg ( tg tg ) Vmos estudr este último cso resolvendo inequção como eemplo. N resolução d inequção encontrmos, inicilmente, que é um solução prticulr no intervlo. A solução gerl em IR pode ser epress por O conjunto solução é, portnto: EXERCÍCIOS PROPOSTOS Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 0

104 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolv s seguintes inequções trigonométrics no intervlo 0 π: ) sen R: 7 0,, b) cos R:, c) tg > R:,, d) cos > R: 0,, e) sen R: 0, 7, f) tg R: 0,,, g) cos > R: h) cos < R: 7, i) sen + cos R:,, Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

105 Sebent Engenhris e Tecnologis j) sen > cos R:,, k) cos< R: l) sen > R: m) sen R: 0 π n) sen R:, CAPÍTULO 8 GEOMETRIA A geometri é o rmo ds mtemátics que estud s proprieddes e s medids ds figurs no espço ou no plno. No seu desenvolvimento, geometri us noções tis como pontos, rects, plnos e curvs, entre outrs. 8. Uniddes de Medid de Áre e de Volume O cálculo de áres e volumes ds figurs geométrics plns ou sólids eige dos lunos o conhecimento de uniddes de medids. Qundo s uniddes de medid são diferentes, devemos efectur redução à mesm medid. Os qudros bio presentm um resumo ds Uniddes de medids. A. Uniddes de Áre Tbel - Uniddes de Áre km hm dm m dm cm mm Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

106 Sebent Engenhris e Tecnologis A unidde principl (ou fundmentl) d medid de áre é o metro qudrdo (m ) Eemplos: km = 00 hm ou km = 0 hm m = 0,0 dm ou m = 0 - hm B. Uniddes gráris Tbel 7 - Uniddes gráris Uniddes gráris h c hectr re centire Eemplos: h = hm = dm c = m C. Uniddes de Volume Tbel 8 - Uniddes de Volume km hm dm m dm cm mm A unidde principl (ou fundmentl) d medid de volume é o metro cúbico (m ) Eemplos: km = 000 hm ou km = 0 hm m = 0,00dm ou m = 0 - hm Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

107 Sebent Engenhris e Tecnologis D. Uniddes de Cpcidde Tbel 9 - Uniddes de Cpcidde Uniddes de cpcidde kl hl dl l dl cl ml A unidde principl (ou fundmentl) d medid de cpcidde é o litro (l) l = 000 ml kl = 000 l Obs.: Qundo se clcul áre de um figur geométric su unidde de medid prece sempre o qudrdo (por eemplo, em metros qudrdos (m )). 8. Áres de Figurs Geométrics Plns Figure - Áres de figurs geométrics plns Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

108 Sebent Engenhris e Tecnologis 8. Áres e Volumes de Figurs Geométrics Sólids Figure - Áres e volumes de figurs geométrics sólids Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

109 Sebent Engenhris e Tecnologis EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Um mes rectngulr mede, m 0,8 m. Se num ds quins dest mes eu fir um brbnte com um prego, qul deve ser o tmnho proimdo do brbnte de mneir que eu consig percorrer um sector circulr com um terço d áre d mes? (Respost: o comprimento do brbnte é de proimdmente 0,8 m). Um pizz circulr tem áre de 70,8 cm. Qul é áre intern d menor ci qudrd pr trnsportá-l? (Respost: A áre intern d menor ci qudrd pr trnsportr pizz é de 900 cm ). Se dobrrmos s medids d bse e d ltur de um rectângulo, em qunto estremos umentr su áre? (Respost: Dobrndo s medids ds lteris de um rectângulo qudriplic-se su áre). Um prto tem cm de diâmetro e o outro tem 0 cm. Em termos de áre, o prto menor é quntos por cento do mior? (Respost: %) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07

110 Sebent Engenhris e Tecnologis. Observe figur. Determine áre d prte colorid d figur., cm ) (Respost:. Observe s dimensões do novo quário do Abel. O Abel decidiu colocr um cmd de rei de cm de espessur no fundo do quário e pediu o João pr ir o mercdo comprá-l. Que quntidde de rei, em cm, deverá o João comprr? (Respost: 9000 cm ) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

111 Sebent Engenhris e Tecnologis. Introduziu-se n provet um prlelepípedo, que ficou completmente submerso. As dimensões do prlelepípedo são: Comprimento: 8 cm, lrgur; cm, ltur: cm Qul é leitur do volume mrcdo n provet, depois de colocdo n provet o prlelepípedo? (Respost: 08 cm ) 7. N cs d Inês, gstm-se por mês 0 grrfs de, litros de águ. Pr ficr mis económico, os seus pis resolverm pssr comprr águ em grrfões de litros. Quntos grrfões são necessários comprr? (Respost: São necessários comprr grrfões de litros) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 8

112 Sebent Engenhris e Tecnologis 8. O Plno Crtesino Pr representr grficmente um pr ordendo de números reis, fimos um referencil crtesino ortogonl no plno. A rect é o eio ds bscisss e rect é o eio ds ordends. Dá-se o nome de eio ou eio ds bscisss à rect horizontl. À verticl denomin-se eio ou eio ds ordends. A orientção positiv ds rects é representd por um set como podemos ver n figur bio. Figure - Referencil ou sistem de referênci Figure - Qudrntes mtemáticos 8. Representção de Coordends no Plno Pr se determinr s coordends de um ponto P qulquer no plno, trçm-se linhs perpendiculres os eios X e. Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 9

113 Sebent Engenhris e Tecnologis 8. Distânci Entre dois Pontos de Um Plno Por meio ds coordends dos pontos A e B pode-se determinr distânci d(a,b) entre dois pontos representdos no plno. N figur bio, os pontos A, B e C formm um triângulo rectângulo em C. Assim sendo, distânci de A B pode ser clculd plicndo-se o teorem de Pitágors. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Determine distânci entre os pontos A(,) e B (,7). Resolução. A (,): = e = e B (,7): = e =7 d ( A, B) ( ) (7 ) d ( A, B) 9. Clcule o perímetro do triângulo cujos vértices são A(-,-), B(,) e C(,-). Resolução: Pr se conhecer medid de cd ldo bst clculr s distâncis entre os pontos Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 70

114 Sebent Engenhris e Tecnologis o perímetro vle EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Clcule s distâncis entre os pontos bio: ) A (,-) e B (,) b) B (-,) e D (,-) c) E (-,-) e F (-,-. Clcule distânci do ponto P (8,-) à origem do sistem.. A distânci entre os pontos A (, ) e B(-, 7) é. Então: ) = ou = - b) = ou = - c) = ou = - d) = 0 ou = - e) = - ou = -. Se o ponto P(m, O) é equidistnte dos pontos P(, ) e P(,), então m é igul : ) b) 7 c) 8 d) 9. Quis s coordends do ponto P do plno crtesino que pertencem à bissetriz do segundo qudrnte e equidistnte dos pontos A (0,) e B(-,0)? ) (, ) b) (0, ) c) (, 0) d) (-, ) e ) (, -). Ddos os pontos A(-, -), B(, -7) e C(, ), determine sbendo que o ponto c é equidistnte dos pontos A e B. 7. O perímetro do tringulo ABC cujos vértices são A(0,0), B(, ) e C(0, -) é: ) b) c) d) e) Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

115 Sebent Engenhris e Tecnologis 8.7 Equção Gerl d Rect no Plno Rect no plno As equções n form + b + c = 0 são epressões representtivs de rects no plno. Os coeficientes, b e c são números reis constntes, considerndo e b vlores diferentes de zero. A ess representção mtemátic dmos o nome de equção gerl d rect. Podemos escrever equção gerl d rect utilizndo dus forms: ª trvés d determinção do coeficiente ngulr d rect plicdo n form gerl dd por: = m ( ). Coeficiente ngulr (ou inclinção) d rect ( m ( ) ) 9 m ( ) m - Equção gerl d rect no ponto P(,) = m ( ). = ( + ) = + + = 0 + = 0 Então, equção d rect é + = 0 ª trvés de um mtriz qudrd formd pelos pontos pertencentes à rect dd. ª form Vmos determinr equção d rect s que pss pelos pontos A(, ) e B(, ). Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

116 Sebent Engenhris e Tecnologis ª form Considerndo o ponto genérico P(, ), pertencente à rect s que pss pelos pontos A(, ) e B(, ), vmos construir mtriz formd pels coordends dos pontos ddos: Digonl principl * ( ) * = * * = * ( ) * ( ) = Digonl secundári * * = * * ( ) = * ( ) * = s: + + ( ) = 0 s: = 0 s: = 0 (dividindo equção por ) A equção de rect desejd é s: + = 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Encontre inclinção do segmento com etremos nos pontos ) A(, ) e B(, 8); b) A(0, ) e B(, ); Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

117 Sebent Engenhris e Tecnologis. O vlor de b pr que o coeficiente ngulr d rect que pss pelos pontos A(,) e B(b +,b) sej é: ) b) 0 c) d) e) n.d.. A equção gerl d rect que pss pelos pontos (,) e (,) é: ) + 7 = 0 b) + 7 = 0 c) 7 = 0 d) + 7 = 0 e) n.d.. Dd equção d rect r: + = 0 e s firmções: I o ponto (,) pertence r III o coeficiente ngulr de r é P(,) II rect pss n origem do sistem crtesino IV r intercept rect s: + = 0 no ponto ) pens I é verddeir b) pens III é verddeir c) nenhum é fls d) pens I é fls e) n.d.. Determine equção reduzid d rect r, representd pelo gráfico bio: ) = + b) = - + c) = + d) = e) = - +. Determine equção gerl d rect representd pelo gráfico bio: ) - 8 = 0 b) + = 0 c) = 0 d) + = 0 e) + = 0 Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7

118 Sebent Engenhris e Tecnologis 7. Determine equção d rect que pss pelos pontos A(-, ) e B(, -) ) + + = 0 b) + + = 0 c) + + = 0 d) + = 0 d) = Estudo d Circunferênci Circunferênci é o lugr geométrico de todos os pontos do plno que se encontrm à mesm distânci de um ponto fio(centro) Equção Reduzid d Circunferênci 8.8. Equção Gerl d Circunferênci Desenvolvendo equção reduzid d rect teremos equção gerl d circunferênci Sebent Eclusiv pr o Eme de Acesso 07 7