UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA Reitor Prof. Msc. Pe. José Romualdo Desgaperi

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3 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA Reitor Prof. Msc. Pe. José Romuldo Desgperi UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA VIRTUAL Diretor Gerl d UCB Virtul Prof. Dr. Frncisco Vill Ulhô Botelho Diretori de Cursos de Grdução Distânci Profª. MSc. Berndete Moreir Pessnh Cordeiro Diretori de Pós-grdução Distânci Profª. MSc. An Pul Cost e Silv Coordenção de Produção Profª Esp. Edleide E. de Freits Alves Coordenção de Pólos e Logístic Profª Esp. Núi Aprecid Ros Coordenção de Informátic Prof. Esp. Weslle Rodrigues Sepúlvid Coordenção de Secretri Acdêmic Esp. Benedito Lr F. Junior Coordenção de Atendimento o Estudnte e Relcionmento Profª. MSc. Sndr Mr Bess Conteudist Equipe de Produção Técnic Prof. Adolfo Dni Anlists José Edurdo Pires Cmpos Júnior Vivine de Melo Resende Vivine Cristin V. Se Rmlho Yr Dis Fortun Edição de Conteúdo Kell Kreline de Oliveir Torres Márci Regin de Oliveir Montgem Acr Frederico Leocádio Anderson Mcedo d Silveir Bruno Mrques Beç d Silv Olávi Cristin Gomes Bonfim

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5 Sumário Sumário. Conjuntos Numéricos Conjunto dos Nturis Conjunto dos Inteiros Reltivos Negtivos e Positivos Conjunto dos Rcionis Conjunto dos Irrcionis Conjunto dos Reis Operções Fundmentis no Conjunto dos Números Reis Sinis Resultntes ns Operções Regr dos Sinis ns Operções de Adição e Sutrção Regr dos Sinis ns Operções de Multiplicção e Divisão Proprieddes Básics pr Relizr Operções no Conjunto dos Reis Operções e Sus Inverss Regr ds Operções Adição e Sutrção Regr ds Operções Multiplicção e Divisão Regr ds operções Potencição Rdicição - Logritmção Prioriddes ns Operções.... Relções e Funções..... Plno Crtesino..... Função do º Gru Função do º gru ou qudrátic Função Eponencil..... Função Logrítmic Funções Trigonométrics Soluções de Sistems de Equções Rzão - Proporção Regr de três Porcentgens Médis Rzão Proporção Números e grndezs proporcionis simples e composts Diretmente Proporcionis Inversmente Proporcionis Regr de três composts com grndezs direts e inversmente proporcionis Porcentgens T de Porcentgem (i) Porcentgem Médi Médi Aritmétic Simples Médi Aritmétic Ponderd Médi Geométric Operções com Epressões Algérics e Polinomiis Adição e sutrção de epressões Multiplicção de Epressões Algérics Polinomiis e Produtos Notáveis Produtos Notáveis Divisão de epressões Algérics e Polinomiis Ftorção e Simplificção Trigonometri e Relções Métrics no Triângulo Retângulo Relções Trigonométrics Relções Métrics... 8

6 Sumário 0. Medids e Grndezs Físics Proprieddes e Operções Grndezs Físics Fenômenos Físicos Medição Sistems de Uniddes Ftores que interferem n medição Precisão de um Instrumento de Medid Algrismo significtivo Arredondmentos Operções com Algrismos Significtivos Adição e Sutrção Multiplicção e Divisão: Notção Científic Ordem de grndez Grndezs Físics Grndezs Esclres Grndezs Vetoriis Operções com grndezs vetoriis Adição Regr d poligonl Regr do prlelogrmo Regr d decomposição crtesin Sutrção ou Diferenç Regr d poligonl Regr do prlelogrmo Regr d Decomposição Crtesin

7 Aul 0 Mtemátic Básic Pr podermos nos comunicr, por escrito, precismos do lfeto, síls, plvrs, frses, vírguls, pontos, etc. Semelhntemente, n mtemátic precismos dos lgrismos, números, símolos, sinis, prioriddes e proprieddes ns operções pr que possmos equcionr, crir fórmuls, relizr cálculos tão necessários em nosso quotidino e em tods s tividdes que relizmos. Mesmo qundo usmos clculdor ou computdor, precismos de conhecimento ásico de mtemátic pr o uso dequdo destes instrumentos e nos procedimentos serem seguidos.. Conjuntos Numéricos O conjunto dos números Reis (R) é o que melhor tende solução dos prolems ásicos de nosso quotidino e é composto pelos seguintes suconjuntos:.. Conjunto dos Nturis N { 0,,,,,... }.. Conjunto dos Inteiros Reltivos Negtivos e Positivos Z...,,,0,,,... { }.. Conjunto dos Rcionis Q { } 9 0,, 0,... Os.: Conseguimos escrever n form de frção deciml ets, dizims periódics simples e composts... Conjunto dos Irrcionis I { π... } Os.: Não conseguimos escrever n form de frção,9.. Conjunto dos Reis Juntndo: N, Z, Q, I formmos o conjunto dos Reis (R). Note que: N Z Q R ou ( Q I) R I está contido Q R Z I N 7

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9 Aul 0. Operções Fundmentis no Conjunto dos Números Reis.. Sinis Resultntes ns Operções... Regr dos Sinis ns Operções de Adição e Sutrção ( ) com ( ) dá ( ). Vej: 7 Os. Qundo é positivo, podemos deir sem o sinl n respost. ( - ) com ( - ) dá ( - ). Vej: () com ( - ) pode dr ( ) ou ( - ). Vej: ( - ) com ( ) pode dr ( ) ou ( - ). Vej:... Regr dos Sinis ns Operções de Multiplicção e Divisão ( ) com ( ) dá ( ). Vej: ( ) ( ) 6 Os. Qundo o número é positivo, podemos deir sem o sinl n multiplicção e divisão. ( - ) com ( - ) dá ( ). Vej: ( ) 6 6 ( ),, ( ) com ( - ) dá ( - ). Vej: ( ) 6 6 ( ) ( - ) com ( ) dá ( - ). Vej: ( ) 6 6 ( ) 9

10 Aul 0 Nos símolos de multiplicção e divisão podemos usr: / Multiplicção Divisão Deir o sinl negtivo d frção, qundo tiver, sempre no numerdor.... Proprieddes Básics pr Relizr Operções no Conjunto dos Reis. º) Todo o número elevdo o epoente zero vle (). Vej: 0 ; ( ) 0 0 ; ; ( ) 0 0 º) Não tem divisão de número por zero Vej: 7? (impossível, confir n clculdor). 0 ( impossível) 0 º) Zero dividido por qulquer número dá zero. Vej: 0 0 (confir n clculdor) º) Não tem riz qudrd ou de índice pr de números negtivos. Índice pr n R Índice () não se escreve R Não tem solução em R Não pertence o conjunto dos Reis 0

11 Aul 0 Índice pr R Os. Cuiddo, se o índice for impr, tem riz. Vej: Índice impr 8 º) Um número negtivo elevdo o qudrdo ou epoente pr, o resultdo fic positivo. epoente pr ( ) n > 0 Mior que zero (positivo) Vej: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Cuiddo: ( ) ( ) ( ) ( ) É diferente, pois: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 (número negtivo elevdo o epoente impr, o resultdo fic negtivo). 6º) Potênci de potênci, multiplicmos os epoentes. Vej: 8 m n mn ( ) 7º)Um potênci troc de sinl qundo mud de posição suindo pr o numerdor ou descendo pr o denomindor. n n n n Vej: ) )

12 Mtemátic Básic Aul 0 8º) O epoente de um frção mud de sinl qundo invertemos frção. Vej: 9 6 ; 8 9º) Equivlênci - potencição - rdicição (como tirr do rdicl e retornr) Vej: ) ) 7 7 c) º) Pr somr e sutrir frções precismos reduzir o mesmo denomindor. Vej: ) Achndo o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de e, ftormos ssim: Logo: m.m.c 0 0 é o m.m.c de e / / / / n n n n ou n m n m

13 Aul 0 Divide 0 pelo denomindor e respost que dá ( ) multiplic pelo numerdor dndo 0 etc. 6 Ao simplificr você deve dividir o numerdor e o denomindor por um mesmo número. 0 ) m.m.c de e : 6 Logo: m.m.c 60 c) lemre que logo, o m.m.c de,, é: Logo: m.m.c º) Pr multiplicção de frções, multiplicmos numerdor pelo numerdor e denomindor pelo denomindor. Vej: ) 8 ) Lemre que 8 / c) 60 / /

14 Mtemátic Básic Aul 0 º) Pr dividir frções multiplicmos º frção pel invers d ª frção. Vej: ) 6 0 / / / / ou 6 0 / / / / ) lemre que c) ( ) lemre que - º) N multiplicção de potêncis de mesm se permnece se e somm-se os epoentes m n n m ( se; m e n epoentes). Vej: ) 7 7 ) 0 9 c) d) º) N divisão de potêncis de mesm se permnece se e sutrem-se os epoentes n m n m ( se; m e n epoentes). Vej: ) ) c) 0 d) º) Deciml Et: vlor resultnte de um operção divisão de resto zero. Vej:

15 Aul 0 ) 0, tem um cs deciml (cs depois d vírgul) ) 0, tem dus css decimis c), tem três css decimis Pr oter frção que deu origem (gertriz) um deciml et, fzemos: Numerdor: colocmos o número todo sem vírgul. Denomindor: colocmos seguido de tntos zeros qunts forem s css decimis (css depois d vírgul). Vej: / ) 0, 0 / / ) / / 0, 00 / / / c), 000 6º) Dízim Periódic Simples: vlor resultnte de um operção divisão que não dá et e logo depois d vírgul prece um número que se repete, denomindo de período. Vej: ) 0,... Tmém representdo por 0, ) 0,777...ou 0, 7 c),... ou, Pr oter frção que deu origem (gertriz) de um dízim periódic simples fzemos: Numerdor: Colocmos o período (prte que se repete) Denomindor: Colocmos tntos noves quntos forem os lgrismos do período. Vej: / ) 0, 9/ 7 9 ) 0, c) Prte inteir não entr n regr.,... 0,...

16 Aul 0 7º) Dízim Periódic Compost: Vlor resultnte de um operção que não dá et e depois d vírgul prece um prte que não se repete (prte não periódic) seguid de um período (prte que se repete). Vej: ) 0,... Prte não periódic (que não se repete) () Prte periódic (que se repete) () Não periódic () ), Periódic (7) Pr oter frção que deu origem (gertriz) de um dízim periódic compost, fzemos: Numerdor: colocmos prte não periódic seguid de um período menor, prte não periódic. Denomindor: colocmos tntos noves quntos forem os lgrismos do período seguido de tntos zeros quntos forem os lgrismos d prte não periódic. Vej: Prte não periódic Periódic Prte não periódic ) 9 / / 0, / / 0 Um zero só, pois prte não periódic só é constituíd de um lgrismo que é o. Um nove só, pois prte periódic só é constituíd de um lgrismo que é o. Prte não periódic () Período (7) 7 8 / / / / 7 / / / / ), / / / / 90 / / / / Prte inteir não entr n regr () 7 7 6

17 Aul 0. Operções e Sus Inverss Pr resolver prolems e clculr vlores desconhecidos denomindos incógnits ou vriáveis necessitmos conhecer lgums regrs de relção entre s operções. Assim temos: invers Adição invers Sutrção Multiplicção invers invers Divisão invers invers Potencição Rdicição Logritmção invers invers Pr isolr viáveis determinndo ssim seus vlores, fzemos operções inverss. Pr trocr de memro um vlor qulquer, fzemos operção invers. É errdo dizer que trocmos de sinl qundo pssmos pr outro memro. O certo é dizer que fzemos operção invers. º Memro à esquerd d iguldde invers invers º Memro à direit d iguldde... Regr ds Operções Adição e Sutrção Adição invers Sutrção Vej os eemplos: ) : isolndo o, pssmos o ( ) que está fzendo dição(somndo) com o ( ) pr o segundo memro fzendo operção invers, isto é, sutrção. Logo: 7

18 Aul 0 8 ) isolndo o, pssmos o 7 que está sutrindo pr o º memro onde estrá somndo fzendo ssim operção invers. Logo: 7 7 c) 0-0, pssndo 0 pr o º memro, como estv somndo, pss sutrindo Em (-) o vlor do isoldo deve sempre ficr positivo. Pr tnto, podemos multiplicr por (- ) os dois memros d iguldde. - 0 (-) -0.. Regr ds Operções Multiplicção e Divisão Multiplicção invers Divisão Vej os eemplos: ) - : isolndo o ( ), pssmos o ( ) que está multiplicndo o ( ) pr o segundo memro fzendo operção invers, isto é, dividindo. Logo: 7 ) isolndo o ( ), pssmos o ( ) que está dividindo pr o º memro multiplicndo, operção invers. Vej: e o que está multiplicndo o pr o º memro dividindo, operção invers. 6 c) 8 chndo o m.m.c. de, 8 e, pois 8

19 Aul 0 8 Logo: m.m.c Mesmo denomindor em mos os memros podemos simplificr Pssmos os termos semelhntes em pr o º memro e os números pr o º memro fzendo operções inverss Multiplicndo por (-) mos os memros temos (-) 0 76 Isolndo o, pssmos o ( 0) que está multiplicndo o pr o º memro dividindo 76 / / 8 / / 9 e depois simplificmos: 0 / / 0 / /.. Regr ds operções Potencição Rdicição - Logritmção invers invers Potencição Rdicição Logritmção invers Determinr () é clculr o logritmo (log) c Determinr o (c) é clculr potênci Determinr o () é clculr riz invers Potencição (isol potênci) c c Rdicição (isol se) Aplicndo rdicição ( c ) em mos os memros pr isolr o, temos: / c de onde otemos: c log Logritmção log (isol o epoente) 9

20 Aul 0 Aplicndo logritmção (log) em mos os memros pr isolr o, temos: log log onde, usndo um propriedde dos logritmos, podemos escrever log log de onde otemos: log. log Proprieddes dos logritmos. Qundo se é 0, não representmos. log 0 A log A Pr números ftoráveis, clculmos estes vlores como segue. Vej o eemplo. ) 8 Potênci ) 8 Mesm se igulmos os epoentes. Ftorndo (8) 8 Logo: Logritmo c) 8 Mesmo epoente igulmos s ses. Logo: riz. Os. 8 (ftorndo) ) log log log ) log log log ) log m mlog 8 Qundo não for possível concluir respost pelo método d ftorção, usmos clculdor cientific ou s tels produzids pr est finlidde. Vej lguns eemplos usndo clculdor cientific. ) 8 ) 8 log8 log Tecl: Tecl: ou Tecl: Tecl: Tecl: log ou ln Tecl: 8 Tecl: Tecl: log ou ln Tecl: Tecl: 0

21 Aul 0 Os. Nest seqüênci ou com pequens mudnçs pr diferentes mrcs de clculdors. Pode usr clculdor pdrão do Windows (Inicir > Eecutr > Clç). Configure pr ter opções d clculdor científic (no menu Eiir > Científic) c) 8 8 Tecl: Tecl: ndf ou Shift Tecl: Tecl: 8 Tecl: Resolvendo outros eemplos:, d), Tecl: Tecl: ou Tecl:, Tecl: e), Tecl: Tecl: ou Tecl:, Tecl: ± Tecl:,, f), 7 ou, 7 Tecl:, Tecl: ndf ou Shift Tecl: Tecl:,7 Tecl: g) log ou, log Tecl: log Tecl: Tecl: Tecl: log Tecl: Tecl: h), 9, 7 log9,7 7, log, Tecl: log Tecl: 9,7 Tecl: Tecl: log Tecl:, Tecl:

22 Aul 0 i) Vej utilidde de ser isolr vriável fzendo operções inverss pr oter fórmuls. Dd t fórmul do montnte no sistem de cpitlizção compost M C( i) M Montnte no finl do período de plicção C Cpitl i T t Tempo de plicção Isolr cd um ds vriáveis M, C, i, t utilizndo operções inverss. º) Pr clculr o (M) fórmul já está pront, pois o mesmo já está isoldo: M C( i) t º) Pr clculr (C) pssmos M dividindo. Logo: C t ( i) t ( i) que está multiplicndo o C pr o outro ldo (memro) º) Pr clculr o (t) que é epoente, usmos logritmos. Em está multiplicndo pr o outro ldo dividindo, ficndo ssim: ( ) t logritmo em mos os memros e depois isolmos o (t). Vej: M ) M i. Agor plicmos C M log t C log( i) t C( i pssmos o (C) que t º) Pr clculr o (i) que é se, usmos rdicição. Em M C( i) pssmos o (C) pr o M outro ldo, ficndo ssim: ( i) t. Agor plicmos rdicição isolndo o (i). Vej: C M M i t i t C C Notou como precismos ds (sete) 7 operções pr trlhr com est fórmul mis usd no mundo dos juros e montnte composto.

23 Aul 0. Prioriddes ns Operções (Quem resolver primeiro?). Qundo s (sete) 7 operções estão precendo em prte ou tods num mesm epressão numéric ou lgéric com: ( ), [ ], { }, devemos dr seguinte preferênci de resolução: º ( ), º [ ], º { }, e dentro de cd um desses símolos, ou mesmo n usênci deles, devemos resolver n seguinte ordem: (º) lugr: Potencição Rdicição Logritmção n ordem que precem d esquerd pr direit. (º) lugr: Multiplicção e Divisão n ordem que precem. (º) lugr: Adição e Sutrção n ordem que precem. Eemplos: ) log º lugr (potencição, rdicição, logritmção) 8 8 0, ,6 8 7,7 º lugr (multiplicção, divisão) º lugr (dição e sutrção) ) 6 log8 6 0,90 º lugr 6 0,90 9 0, -0 º lugr 9 0, 0,90 0, º lugr

24 Aul 0 c) { [ ( ) ] } { [ ( 9 0,) ] } { [ ( 9 0,) ] } { [ (,) ] } { [,] } { 90 } { 87} 6 º lugr (prênteses) º lugr (colchetes) º lugr (chves) d) m.m.c de e 8 é / 6 96 / / m.m.c de ; 96; é 96 8

25 Aul 0. Relções e Funções As relções e funções são fórmuls úteis n nálise e solução de prolems no nosso di di. Todo o controle ncário, nálise d economi, os cálculos de engenhri, esttístic, enfim, tudo o que envolve spectos quntittivos us de lgum form relções e funções. O que mtemátic denomin de ( ) e ( ) > vriáveis e,, c > coeficientes, s outrs áres do conhecimento triuem outros nome. Vej um eemplo só: Função do º gru em mtemátic, coeficientes, vriáveis independente(livre) dependente (depende de ) As fórmuls seguir tmém são funções do º gru que resolvem prolems ns diverss áres de conhecimentos. V t Vo Função d velocidde no MRUV S Vt S Função d posição no MRU o D P Função demnd de mercdo S P Função ofert de mercdo C q Função custo Etc., etc., etc. Como você percee, cd relção e função têm infinits plicções no nosso quotidino produzindo resposts numérics e permitindo nálises gráfics no plno crtesino... Plno Crtesino O plno crtesino possui dois eios perpendiculres entre si denomindos de eio () (scisss) e eio () (ds ordends) e os dois eios permitem estelecer s coordends de cd ponto. Ordend () (, ) Coordends do ponto (P) Asciss () P

26 Aul 0 Vejmos loclizção de lguns pontos. P (, ) 6 C ( 0, ) D ( -, 6 ) B (, ) F ( -, 0) A ( 0,0 ) - E ( -6, -).. Função do º Gru É um relção do tipo cujo gráfico no plno crtesino é um ret. > Coeficiente ngulr ou declividde d ret em relção o eio ( ) > Coeficiente liner, onde ret cort o eio ( ) > 0 crescente < 0 decrescente 0 constnte riz, onde ret cort o eio ( ) 6

27 Aul 0 Pr trçr o gráfico no plno crtesino podemos usr um dos métodos seguir: º Método: Atriuindo de form ritrári (livre) vlores pr e depois clculndo os vlores de (método d tel) º Método: Determinndo lguns pontos importntes como os pontos de intersecção com os eio () e () e outrs proprieddes dos gráficos que veremos seguir. º) Atriuindo vlores pr () e clculndo (), temos: Eemplo () 6-6 º Método: Atriuímos vlores pr () e clculmos (). Pr ret st dois vlores (pontos) (,-) 6-6 (0,-6) Ou escolh outros que chr mis fácil e útil e determine os correspondentes em (). º Método: Determinndo os pontos de intersecção com os eios. Em O coeficiente liner () é sempre o ponto de intersecção d ret com o eio () Em 6 6 Em Fzemos 0 e isolndo o vlor encontrdo é sempre o ponto de intersecção d ret com o eio que denominmos de riz. Logo: 0 riz ou ponto de intersecção d ret com o eio. Em 6 6 ( 6) riz 7

28 Aul 0 Com os vlores otidos podemos trçr o gráfico > 0 função crescente pois: > cresce > cresce Note que: - 6 > 0 > indic que função é crescente -6 Eemplo () - 8 º Método (0,8) - (,-) º Método: Intersecção com o eio () 8 8 8,66... Intersecção com o eio () ou riz < 0 Função decrescente, pois: > cresce > decresce 8, / 8

29 9 Mtemátic Básic Aul 0 Eemplo () 0 º Método: ) ( / º Método: > 0 Função crescente, pois: > cresce > cresce Eemplo () º Método: Intersecção com o eio () riz Intersecção com o eio () 0

30 Aul 0 º Método: 6 ou Intersecção () 6 ( impossível) 0 Logo ret não tem riz, não cort o eio (), É prlel este eio 0 função constnte pois: > cresce > constnte (vlor sempre 6) 6.. Função do º gru ou qudrátic É um relção do tipo: de práol. c cujo gráfico no plno crtesino é um curv denomind c > indic onde práol cort o eio () > indic: se > 0: CVC Concvidde Voltd pr Cim. Se < 0: CVB Concvidde Voltd pr Bio. CVC CVB ' " ± Fórmul de Báscr onde c e, indic onde práol cort o eio () que denominmos de rízes. V V 0

31 Aul 0 (X v, Y V ) > indic s coordends do vértice d práol. v c v Podemos qui tmém trçr o gráfico d práol usndo um dos métodos já vistos. º Método: Método d tel, triuindo vlores pr () e clculndo correspondentes em. º Método: Método dos pontos importntes e proprieddes. Vmos trçr lguns gráficos pelos dois métodos. Eemplo () c 6 c 6 º Método: Atriuímos vlores pr () e clculmos (). Pr práol precismos de diversos pontos. E este método não é o mis recomenddo, pois não grnte o trçdo completo d práol.

32 Mtemátic Básic Aul () 0 6 () (0) 6 ) ( 6 6 ) ( º Método: Os pontos importntes e proprieddes c 6 6 c ) C -6 > Ponto onde práol cort o eio () ) rízes > Ponto onde práol cort o eio () c 6) ( ± " ' ± ± " ' c) vértice: 6, 0, V V

33 Aul 0 d) > 0: CVC Juntndo s conclusões,, c, d trçmos práol. - -0, 6-6, Eemplo () Resolvendo só pelo º método ) c > ponto de intersecção d práol com o eio () ) rízes > intersecção d práol com o eio () c ( ) ( ) ± ( ) ± 9 ± 7 ( ) 7 ', 6, 7 " c) vértice ( ) V 0,7 ( ) CVB 9 9 V 6, -, -0,7 ( ) 8 ) - < 0: Logo CVB Eemplo () note que é um função do º gru incomplet, pois pr c e c, onde concluímos que: 0 c 0 fltm os termos

34 Aul 0 Podemos trçr o gráfico usndo o º método (tel) triuindo vlores ou o º método (pontos principis e proprieddes). Vmos usr o º método. ) c 0 > onde práol intercept o eio () ) Rízes: onde intercept o eio () c ± 0 ± 0 0 ± () 8 8 c) vértice 0 0 V 0 CVC V 0 6 d) > 0 : CVC logo.. Função Eponencil É um relção do tipo cujo gráfico depende do vlor de (). Se >, temos gráfico do tipo: Crescente. Se 0 < <, temos gráfico do tipo: Decrescente.

35 Aul 0 Eemplo () Usndo o º método (d tel) triuímos vlores pr () e clculmos (). - 0, ( ) 0, - 0, ( ) 0, 0 () 0 () Crescente > cresce > cresce - - 0, 0, Eemplo () : Usndo o método d tel temos: - 0, ( ) 0, - 0, ( ) 0, 0 () 0 () Decrescente > cresce > decresce 0, - -

36 Aul 0.. Função Logrítmic É um relção do tipo tipo: log cujo gráfico depende do vlor de () se >, otemos gráfico do crescente Se 0 < <, otemos gráfico do tipo: decrescente Eemplo: log0 log usndo o º método (d tel) triuindo vlores pr, temos: Usndo (log) n clculdor científic. 0 log0 0 log (0) 0 0, log 0, ( ) 0,0 log 0,0 0,0 0,

37 Aul 0 São infinits s relções funções e pr cd um dels corresponde um gráfico. Vejmos só mis um..6. Funções Trigonométrics Eemplo: 0sen( ) Ângulo Seno Pelo método d tel temos: X Y 0º 0 sen 0º 0 (0) 0 90º 0 sen 90º 0 () 0 80º 0 sen 80º 0 (0) 0 70º 0 sen 70º 0 (-) -0 60º 0 sen 60º 0 (0) 0 0º 0 sen 0º 0 () 0 0º 0 sen 0º 0 (0) 0 60º 0 sen 60º 0 (-) -0 70º 0 sen 70º 0 (0)

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39 Aul Soluções de Sistems de Equções Resolver sistems de equções signific determinr os vlores de (, ) que tendem simultnemente o sistem, ou sej, se são comuns às funções. Grficmente signific determinr o ponto de intersecção ds curvs ds funções colocds no mesmo plno crtesino. São inúmers s plicções deste cmpo d mtemátic de pontos comuns como: Equilírio ofert-demnd Ponto de nivelmento custo-receit Ponto de encontro (cruzmento) de corpos em movimento Pontos de mesm velocidde, celerção, inflção, etc. São muitos os métodos utilizdos pr solução de sistems. Os ásicos são: Método d dição Método d sustituição Método d comprção Eemplo () Resolv o sistem e represente no plno crtesino Resolvendo pelo método d dição, multiplicmos ª equção por () pr que, somndo com ª, possmos eliminr um ds vriáveis. 6 / / ( ) / / 6 Sustituindo o vlor encontrdo em um ds dus equções chremos correspondente. Escolhendo ª temos: 6 ( ) Logo: solução do sistem é (-, -) Pr trçr o gráfico ds dus funções no mesmo plno crtesino podemos usr o º método (tel) ou º método (pontos de intersecção com os eios) já visto. Vej: Usndo o º método, isolndo (), temos: (ª função) (ª função) 9

40 Aul 06 6 onde cort o eio () pr ª função onde cort o eio () pr ª função (, ) ponto comum pr ª e ª função. 6 º º - - -/ Eemplo () (ª ) (ª ) Resolvendo pelo método d sustituição, isolmos um ds vriáveis de um ds equções e sustituímos n outr. Isolmos () d ª equção e sustituímos n ª Sustituindo o () por n ª equção. ( ) Agor sustituímos - em. Pr determinr (), teremos: (-) -0 logo (0, -) é solução do sistem(intersecção ds rets). Pr trçr o gráfico, podemos isolr o () ns dus equções e chr s rízes (onde cd um cort o eio ) ( ) ; (º função) riz onde cort o eio ( ) ; (º função) riz onde cort o eio (0, -) > ponto comum pr ª e ª função 0

41 Aul 06 º f º f - Eemplo () Determinr o preço de equilírio e quntidde de equilírio pr s seguintes funções de demnd e ofert. D p ou S 8 p 8 8 D Pois p D > demnd (procur, compr de ens e serviços) S > ofert (vend de ens e serviço) P > preço por unidde Resolvendo pelo método d comprção, igulmos: D S p -8 p -p -p p - P 6 sustituindo em um ds equções, temos: D p D. 6 D 0 D Logo, pr o preço P 6 teremos s quntiddes de demnd e ofert D S em equilírio pr quntidde. logo (6, ) solução do sistem. S, D D S -8 6 P

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43 Aul Rzão - Proporção Regr de três Porcentgens Médis 7.. Rzão É um relção do tipo quociente entre dois vlores. Lê-se pr. Eemplo () Num concurso concorrerm pr 0 vgs 000 cndidtos. Qul relção cndidtos vgs? cndidto 000 / / / / Resolução: vg 0 / / São 80 cndidtos pr dd vg 80 Eemplo () Um crro de mrc (A) vende por mês 00 uniddes e d mrc (B) 0 uniddes. Qul rzão entre (A) e (B). A 00 / / / Resolução:. A relção é de d mrc (A) pr d mrc (B) ou mrc (A) vende B 0 / / vezes mis que mrc B. 7.. Proporção c É iguldde entre dus rzões. está pr ssim como c está pr d. d Propriedde ds proporções:. d. c 7.. Números e grndezs proporcionis simples e composts Diretmente Proporcionis São diretmente proporcionis qundo rzão de cd número d seqüênci A (,,... ) pel correspondente d seqüênci B (,,...) derem origem um constnte (K).... k No cso de grndezs vle mesm relção, pois serão diretmente proporcionis se o umento do vlor de um lev o umento proporcionl do vlor d outr e então s rzões de dois vlores de um é igul á rzão dos dois vlores correspondentes eles n outr. ou Se colocrmos n mesm colun grndezs de mesm nturez (unidde), então est montgem é denomind de regr de três simples. No esquem prático, como são grndezs diretmente proporcionis, s sets terão mesmo sentido.

44 Aul 07 Grndez( A) Grndez( B) ou Eemplo () Clculr e se sucessão dos números (0,, ) são diretmente proporcionis os números d sucessão (,, ). 0 0 Resolução: Eemplo () Cinco metros de um tecido custm R$: 80,00. Qunto custm oito metros? Resolução: Comprimento (m) preço (R$) Comprimento(m) 8 Preço (R$) 80 Sets no mesmo sentido por serem diretmente proporcionis. (qunto mior compr em metros mior será o preço) R$ :8,00 8 Eemplo () Se um pedreiro reocr 0m de prede em dis, qunto pode reocr em dis? Dis Reoco (m ) m Eemplo () Se distânci no mp, medido com régu, entre dus ciddes é de 0cm e escl do mp é /00000, qul distânci rel entre els? comprimento( mp) 0cm escl cm c cm 0km comprimento( rel) Inversmente Proporcionis São inversmente proporcionis qunto à rzão de cd número d seqüênci A (,,,... ) pelo inverso de cd número correspondente d seqüênci B(,,...) derem origem um constnte (k) ou o produto de cd número d seqüênci A (,,,... ) pelo correspondente d seqüênci B(,,...) derem origem um constnte (k).

45 Aul K... k No cso de grndezs, vle mesm relção, pois serão inversmente proporcionis se o umento do vlor de um lev diminuição proporcionl do vlor d outr e então s rzões dos vlores de um pelo inverso d correspondente é igul rzão d outr pel invers d correspondente. ou Se colocrmos n mesm colun grndezs de mesm nturez (unidde), então est montgem é denomind de regr de três simples. No esquem prático, como são grndezs inversmente proporcionis, s sets terão sentidos contrários. Grndez( A) Grndez( B) Pr igulr, invertemos set d grndez (B) com seus vlores fzendo com que s dus grndezs pontem pr o mesmo sentido. ou Eemplo () Clculr e se sucessão de números (,, ) são inversmente proporcionis os números d sucessão (9,, 6). Resolução: Eemplo () Três torneirs ns mesms condições enchem um tnque em 90 min. Qunts torneirs de mesm vzão que esss serim necessáris pr encher o mesmo tnque em min? Tempo(m) 90 nº torneis

46 Aul 07 Sets em sentido contrário por se trtr de grndezs inversmente proporcionis, pois diminuindo o tempo teremos que umentr o número de torneirs. Invertendo um ds sets pr ficrem com mesmo sentido, temos: 90 Tempo(m) ( torneirs) nº torneis 7... Regr de três composts com grndezs direts e inversmente proporcionis. Seguem s mesms regrs já vists pr s regrs de três simples com grndezs direts e inversmente proporcionis. Só que gor um grndez vri em dependênci com dus ou mis grndezs. Eemplo () Dez pessos, trlhndo dis, 6h por di produzem 00 peçs. Qunts pessos trlhndo 7dis, 8h por di produzem 00 peçs? Resolução: º Psso: Montmos tel com s grndezs do mesmo tipo em colun nº Pessos 0 nº Dis nº Hors 6 nº Peçs º Psso: Colocmos um set n colun d vriável sentido qulquer e depois comprmos est colun com cd um ds demis colocndo set no mesmo sentido se trtr de grndezs diretmente proporcionis e sentido contrário se trtr de grndezs inversmente proporcionis, sem olhr pr os números d colun. Só pense no comportmento d idéi d colun. nº Pessos nº Dis nº Hors nº Peçs Comentário: Deve-se pensr que (mesmo que os números d tel não confirmem): Se umentr o nº de pessos diminui o número de dis (sets contráris). Se umentr o nº de pessos diminui o número de hors (sets contráris). Se umentr o nº de pessos ument o número peçs. º Psso: Pr resolver fzemos tods s sets pontrem no mesmo sentido d colun d vriável ()

47 Aul 07 º Psso: A rzão d colun d vriável é iguld rzão do produto ds demis coluns / 00 / / / Simplificndo 6/ 00 / / / (proimdmente pessos) 7... Porcentgens É um rzão onde o denomindor é 00. Est form de pensr sore 00 é muito utilizd no nosso quotidino como t de impostos, t de juros, t previdênci, etc. Eemplo () 0% de minh produção de soj se perdeu por flt de chuv. 0 0% de cd 00 prtes 0 form perdids. 00 Eemplo () 0% dos lunos tirrm not superior % de cd 00 lunos ou sore 00 lunos 0 otiverm not superior T de Porcentgem (i) Rzão centesiml é tod rzão com denomindor igul 00 Eemplo: ( rzão centesiml) 0,0( t unitári) %( t percentul) i 0,0 % (lê-se por centro) e representmos i % ou i0,0 ou i/ Porcentgem Qundo plicmos um t de porcentgem um ddo vlor, o resultdo otido tmém recee um nome especil: porcentgem. P i. p P Porcentgem i T de porcentgem p Vlor sore o qul plicmos um t (vlor principl) Eemplo () Qunto é % de 70. Resolução: 7

48 Aul 07 i % p ,0 P? P i p 0, Podemos tmém usr regr de três simples. Vej: T( porcentgem) Porcentgem 00% 70 % Eemplo () Quinze por cento do preço de um ojeto é R$: 800,00. Qul o preço desse ojeto? i % 0, 00 p? P P i p 800 0, p p R$ :, 0, Usndo regr de três: % 800 ou 00% R$ :, Eemplo () Ao pgr um dívid no vlor de R$: 800, 00, tive que pgr R$ 0,00 de mult. De quntos por cento foi mult? Resolução: i? p 0 P 800,00 0 P i p 0 i 800 i 0,07 7,% 800 Ou regr de três: % % 7,% 8

49 Aul Médi É otenção de um resultdo único prtindo de um seqüênci de ddos com finlidde de oter um informção clssifictóri ou pr comprr com outros vlores similres Médi Aritmétic Simples Médi ritmétic simples (X S ) é rzão entre som dos vlores (,,,... n ) e n (quntidde destes vlores). X S... n n Eemplo: As nots nos () imestres em mtemátic de um luno form: º B ; º B ; º B 6 e º B 8. Qul médi ritmétic do no? X S 6 8, 7... Médi Aritmétic Ponderd Médi ritmétic ponderd (X P ) é rzão entre som do produto dos pesos ( p p,... pn ) pelos seus respectivos vlores,,... ) e som dos pesos. ( n X P p p... pn n p p... p n Eemplo: As nots nos () imestres em mtemátic de um luno form º B ; º B ; º B 6 e º B 8. Qul médi ritmétic ponderd se os pesos dos imestres form: º B ; º B ; º B ; º B X P , Médi Geométric A médi geométric de (n) números reis positivos é riz n-ésim do produto entre esses números, isto é: n G n X... 9

50 Aul 07 Eemplo () A médi geométric entre os números 7,, 8, é dd por: ,7 X G Eemplo () Qul o retângulo de menor perímetro com áre de 6 cm? 6 A médi geométric de fornece este vlor: X G 6 8 É o qudrdo de ldo 8 cujo perímetro vle cm. 0

51 Aul Operções com Epressões Algérics e Polinomiis As epressões lgérics contêm prte numéric e prte literl (letrs) e são usds n solução de prolems e demonstrções de fórmuls em tods s áres do conhecimento quntittivo. Polinômios: As epressões lgérics são denominds de polinômios qundo possuírem só um tipo de vriável n form dos eemplos seguir: Monômio (um termo) Binômio (dois termos) Trinômio (três termos) Polinômio (denominção genéric). 8.. Adição e sutrção de epressões Só podemos operr (juntr) termos semelhntes, isto é, que tem mesm prte literl com mesmo epoente. semelhntes Eemplo () ( z) ( z) ( z) semelhntes semelhntes Eemplo () ( ) ( z 6) ( 6) 8 semelhntes 8.. Multiplicção de Epressões Algérics Polinomiis e Produtos Notáveis. Multiplicmos prte numéric com prte numéric e prte literl com literl. Eemplo () ( ) ( ) Eemplo () ( ) ( ) 7 Eemplo () ( ) ( ) Podemos tmém usr o lgoritmo em coluns. Os. O (-) e o ( ) multiplicm cd termo e os resultdos são postos em coluns por semelhnç pr somrmos em seguid.

52 Mtemátic Básic Aul Produtos Notáveis Denominmos de produtos notáveis qundo multiplicmos inômios iguis. Vej: ) ( ) ( ) ( º ) )( ( ) ( ) ( º ) ( ) ( º Desenvolv usndo produtos notáveis. Eemplo () 0 9 ) ( ) ( ) ( Eemplo () Usndo o º produto notável ) ( Eemplo () Usndo o º produto notável 9 ) ( ) )( ( ) ( ) ( -

53 Aul Divisão de epressões Algérics e Polinomiis Dividimos número por número e prte lgéric por prte lgéric de cd termo do numerdor pelo termo do denomindor. Eemplo () / / / / / / / / / / / Eemplo () 8 8 ( 8) Eemplo () ( ) ( ) Podemos tmém usr o lgoritmo, neste cso, pr divisão de polinômios. Lemre: A B A B C R R C A Dividendo B Divisor C Quociente R Resto 0 / / / / 6 9/ / 9/ / 8 7 / / / 7 / / / 9 7 A respost d divisão é 9 7 com resto Podemos provr que: ( 9 7) ( ) Divide sempre º termo do dividendo pelo º do divisor e respost que dá no quociente multiplic por cd termo do divisor colocndo o resultdo de io do dividendo com sinl contrário em

54 Aul 08 coluns semelhntes pr somr e retornr o mesmo procedimento podendo sorr no finl resto diferente de zero. 8.. Ftorção e Simplificção Sempre que for possível ftorr e simplificr pr tornr mis simples um epressão numéric ou lgéric devemos fzê-lo com os seguintes procedimentos. Colocndo em evidênci o que é comum cd termo (ftorção) Cncelndo ftores do numerdor com ftores do denomindor d frção que sejm semelhntes (simplificção) Dividindo numerdor e denomindor por um mesmo vlor (simplificção) Juntndo (dição e sutrção) termos semelhntes (ftorção) Ftore e ou simplifique s epressões seguir sempre que for possível. Eemplo () 6 º) Colocndo em evidênci () no numerdor por serem comuns cd termo e () do denomindor por ser comum cd termo. ( ) ( ) º) Dividimos cd termo ddo inicilmente pel prte post em evidênci. Vejmos. / / / 6/ / / / / / / / / Vej denomindor / / º) Simplificmos () (prte comum em evidênci do numerdor e denomindor) e otemos respost / ( ) / ( ) ( ) Eemplo ()

55 Aul 08 6 (Ftormos) lemrndo o produto notável ( ) ( ). É só etrir 9 riz pr oter os vlores nteriores. 6 9 Logo: 6 9 Eemplo () 8 6 vem de um produto notável do tipo: ( ) ( ) ( ). Pr chr e é só etrir riz de e 6. 6 Logo: 8 6 ( ) ( ) Eemplo () 9 Ftorndo numerdor e denomindor com os produtos notáveis temos: ( ) ( ) 6 9 ( ) ( ) 9 Logo: 9 ( )( ) 6 9 ( )( ) Eemplo () Cuiddo ns simplificções numérics. Ns dições e sutrções, todos os termos do numerdor devem ser simplificdos com o denomindor, pois equivle pôr em evidenci. Vej: 0 0 0( ) 8 pois ( ) 8 N multiplicção e divisão, é um ftor do numerdor com um do denomindor. Vej: /

56 Aul ( ) pois: 0 ( ) ( ) 6

57 Aul Trigonometri e Relções Métrics no Triângulo Retângulo A trigonometri ásic do triângulo é um ds prtes d mtemátic mis ntig e plicd pelos povos ntigos em sus construções de pirâmides, cálculos de distâncis, lturs, topogrfi, etc. Estudremos qui só s relções métrics e trigonométrics do tringulo retângulo. 9.. Relções Trigonométrics (Relções ldos - ângulos) c α α ângulo( lf) seno seno cos seno cos tn gente tg sen α cos α senα tgα cosα sen α c cteto oposto o ângulo (α ) c hipotenus cos α c cteto djcente o ângulo (α ) c hipotenus tg α cteto oposto o ângulo (α ) cteto djcente o ângulo (α ) Eemplo: Clculr o seno, cosseno e tngente do ângulo (α ) e comprovr s demis relções. α 7

58 Aul 09 senα 0,6 cosα 0,8 tgα 0,7 sen α cos α senα tg α cos α 9 6 / / 0,7 O ângulo α vle 6, º, usndo sen - (0,6) n clculdor podemos oter este vlor. sen 6, º 0,6 cos 6, º0,8 tg 6, º0,7 9.. Relções Métrics Pitágors A som dos qudrdos dos ctetos ( ) é igul o qudrdo d hipotenus (c ) c Relções secundáris c c m m c h c n m n c m n c h h n α 8

59 9 Mtemátic Básic Aul 09 Eemplo: Conferir s relções métrics do triângulo retângulo n n n c m m m c 6 9 c n m, 6 9 n m h n m h, h c α m n h c

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61 Aul 0 0. Medids e Grndezs Físics Proprieddes e Operções 0.. Grndezs Físics Grndezs físics (físics, químics, iológics, etc) são tods s grndezs que podemos medir ou contr e que pr tl tem instrumentos de medição e contgem e um significdo físico pdrão tmém denomindo de unidde. 0.. Fenômenos Físicos O homem oserv os fenômenos pr descorir s leis que os regem. As descoerts científics se trduzem em plicções tecnológics como o vião, o crro, o telefone celulr, etc. 0.. Medição A medição é operção pel qul ssocimos um número um grndez físic. E: mss de um porção de ouro, m kg, medid com lnç. 0.. Sistems de Uniddes Sistem Interncionl (SI) grndezs fundmentis d físic. Um unidde físic é um pdrão de comprção. O sistem interncionl de medids (SI) tmém é denomindo MKS (metro-kilogrm segundo) que constituem s grndezs fundmentis d mecânic. Eistem, ind, dois outros sistems em uso, vej seguir. Uniddes e suuniddes toneld t.000 kg tempo: h 60 min.600s Eemplos: km.000 m kg.000 g 8 h s,80 m 80 cm 6

62 Aul g 0,6 kg mm 0,00 m m.000 dm.000 km m 00 0, m km.600m m 6 0 h.600s s 0.. Ftores que interferem n medição É impossível medir um grndez físic com precisão solut devido ftores como incompetênci e destenção do medidor, imperfeições do prelho, gru de precisão do instrumento, etc. Fenômenos como diltções, tempertur, umidde do r e outros interferem no vlor d medid Precisão de um Instrumento de Medid A precisão de um instrumento de medid corresponde à menor divisão do instrumento. E.: um régu grdud em milímetros tem precisão de milímetros e um lnç grdud em dg (decigrm) tem precisão de decigrm Algrismo significtivo É todo o lgrismo relciondo com medição e o instrumento utilizdo. Os lgrismos corretos e o primeiro lgrismo duvidoso, isto é, que vi lém d menor divisão oferecid pelo instrumento, são chmdos de lgrismos significtivos. Eemplo: Em um régu cuj menor divisão é o milímetro, deve-se oter medids té décimos de mm. Assim, por eemplo, o se medir o comprimento de um lápis com est régu podemos oter vlores como:, cm 0.8. Arredondmentos duvidoso em décimos de mm (vi lém do instrumento) precisão do instrumento em (mm) Os vlores ds grndezs são rredonddos pr mnter o número de lgrismos significtivos d medição. Assim, o procedimento mis simples utilizdo é o seguinte: se o lgrismo imeditmente à direit do último lgrismo ser conservdo for inferior, suprimimos o lgrismo e todos os suseqüentes ele, e o nterior fic como está; se for igul ou superior, o nterior é umentdo de um unidde. 6

63 Aul 0 E.: se desejmos um precisão de dus css decimis, fzemos: 0, cm 0, cm. 0,9 cm 0, cm Operções com Algrismos Significtivos Adição e Sutrção O resultdo deverá ter o número de css decimis d prcel que menos os tiver: Eemplos: ), cm css 0, cm cs 6, 6, cm cs ) 8,89 m css 0,0 m css 8,789 m 8,79 m css c) 7,9 kg css, kg cs,9 kg, kg cs Multiplicção e Divisão: O resultdo deverá ter o número de lgrismos significtivos do ftor que menos os tiver. Eemplos: ),cm, cm 9, / / / cm 9 cm ) signif. sign. sign. m,78, m,8697 / m,8 m signif. sign. sign Notção Científic Notção científic de um grndez físic é escrever este vlor num produto de dois ftores, onde o é um número situdo entre e 0 e o é um potênci de 0. E.: 0,000s, s. 6

64 Aul 0 m,. 0 m. 0,00g,. 0 - g. crg elétric elementr, coucom Ano-luz 9,6. 0 metros. N de Avogdro 6,0. 0 Mss d Terr,98. 0 quilogrms. Operções: Adição: ,0 7,0 7 Sutrção: ,0 8,60 8 Multiplicção: (.0 ).(.0 6 ) Divisão: Ordem de grndez. É potênci de dez mis próim do vlor d medid. Pr fcilitr otenção d ordem de grndez de um número dotmos os seguintes pssos: º psso: escrevemos o número em notção cientific. º psso: se o número que multiplic potênci de dez for igul ou superior,, isto ger 0 que vi se juntr à potênci já eistente. Cso for inferior,, ger 0 0 que não vi lterr potênci nterior. E.: 8 8, , , , ,00, Grndezs Físics É tod grndez que podemos medir Grndezs Esclres são s que ficm em definids qundo epresss por: um número um significdo físico (unidde) E.: kg, s significdo físico número 0... Grndezs Vetoriis são s que ficm em definids qundo epresss por: um número um significdo físico (unidde) 6

65 Aul 0 um orientção (direção e sentido que é ddo por um flech que denominmos de vetor.) E.: número (intensidde) N Newton (unidde de forç) direção: horizontl sentido: pr direit 0... Operções com grndezs vetoriis 0... Adição S V V ou R V V Sej som dos vetores V ev Vejmos três métodos pr determinr o vetor resultnte Regr d poligonl Os vetores são postos um pós o outro. R R R V V V V cosα cos ,08 6

66 Aul Regr do prlelogrmo Os vetores têm mesm origem. θ 60º R V V V V cosθ R cos 60 R 6, Regr d decomposição crtesin V V cos 60º. 0,, V V sen 60º. 0,866,98 Note que: V foi projetdo sore o eio e sore o eio, já o vetor V já está sore o eio ou sej, já se encontr projetdo onde: V V (sore o eio ) V 0 (sore o eio ) Logo: 66

67 Aul 0 R V V,, resultnte sore o eio R V,98 resultnte sore o eio R R R R R (,) R (,98) 0, 6,796 6,9996 6, Sutrção ou Diferenç D V V Procede-se como n dição, stndo inverter o vetor. Vej: 0... Regr d poligonl D D D V V V V cosθ cos 60, Regr do prlelogrmo D D V V D,6 ou V V cos0 ( 0,) 67

68 Aul 0 D D V V V V 0, cos60 D, Regr d Decomposição Crtesin V V cos 60º.0,, V V sen 60º.0,866,98 R V V,, R V,98 D R R D 6, 6,796 D,9996 D,6 68