Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 Geometri Anlític e Álger Liner 8. Mtrizes Introdução As mtrizes estão presentes no nosso cotidino ds forms mis vrids. No entnto, em gerl não perceemos presenç dels, pois estão envolvids em certos prelhos que utilizmos tnto, que não nos importmos com o seu funcionmento. As mtrizes tmém estão envolvids num série de cálculos mtemáticos e n idéi de elorção de lguns jogos. Softwres As mtrizes estão presentes n progrmção d miori dos softwres e, inclusive, n interfce de lguns como s plnilhs eletrônics. Nestes progrms tel é dividid em cmpos que são dispostos em linhs e coluns e são referencidos como elementos de um mtriz ( ). As gends eletrônics tmém são orgnizds mtricilmente, onde lguns elementos de um mtriz são mtrizes ou correspondem um elemento de outr mtriz. Estndo tmém presentes em lguns jogos. Aprelhos Eletrônicos Vários prelhos eletrônicos possuem mtrizes evidentes ou nem tnto pr o seu funcionmento. Entre eles se destcm os monitores (TV e computdor), o computdor em si (CPU) e lgums impressors. Mtemátic N mtemátic, s mtrizes são usds pr resolver prolems diret ou indiretmente. Usndo s operções com mtrizes resolvem-se diversos prolems práticos. Além disso s mtrizes são usds n solução de sistems lineres de equções e de produtos vetoriis e mistos. Engenhri A gerção dos movimentos e deformções que vemos nos efeitos especiis do cinem, d TV, dos gmes de computdores e ns visulizções ds simulções científics está sed n multiplicção de mtrizes x no cso espcil e x no cso plno. Sendo que nesss plicções o prolem computcionl não reside no tmnho ds mtrizes ms quntidde dels e n velocidde que precismos fzer s multiplicções. Em muits outrs plicções, temos um situção quse que opost: um únic mtriz ms cujo tmnho pode ir ordem de centens e mesmo milhres de linhs e coluns. Isso é o que ocorre comumente em prolems que envolvem o estudo de cmpos elétricos, mgnéticos, de tensões elástics, térmicos, etc, os quis - por um processo de discretizção - são reduzidos um sistem de equções lineres, cuj mtriz tem grnde tmnho. Esse tipo de prolem é um dos mis comuns em vários cmpos d Engenhri. Outr situção que nos lev nos envolvermos com mtrizes enormes são s ssocids redes estduis de distriuição de energi elétric, grndes redes de comunicções, redes de trnsporte, etc. de fevereiro de Alex N. Brsil

2 Geometri Anlític e Álger Liner 9 Mtrizes: Definição, Conceitos e Operções Básics Operndo com mtrizes estmos utilizndo um form compct de fzermos operções com vários números simultnemente. Conceito Mtriz é um conjunto ou rrnjo de números (ou quisquer outrs entiddes simólics), chmdos de elementos d mtriz, ordendos em linhs e coluns. A mtriz ixo possui m linhs e n coluns, e diz-se que el é um mtriz m n: A m m n n mn Mtriz com m linhs e n coluns i =,,, m j =,,,n (.) A i-ésim linh de A é i i in j n, pr i =,..., m e j-ésim colun de A é pr j =,..., n. j j mj i m, Note que mtrizes serão representds simolicmente por letrs miúsculs A, B,..., ou pel notção [ ], que crcteriz um elemento gerl,. Sendo os elementos do corpo K representdos por letrs minúsculs,,... Os vetores, entretnto, serão designdos por letrs minúsculs e um único índice, como, por exemplo, = [,, ] Cd elemento d mtriz A está fetdo de dois índices:. O primeiro índice indic linh e o segundo colun que o elemento pertence. Usmos tmém notção A = ( ) m x n. Dizemos que ou [A] é o elemento ou entrd de posição i j d mtriz A. de fevereiro de Alex N. Brsil

3 Geometri Anlític e Álger Liner Ex.:. Dizemos que mtriz A é de ordem m por n (m n): A, B, C, D, E, F. As mtrizes A e B são x. A mtriz C é x, D é x, E é x e F é x. De cordo com notção que introduzimos, exemplos de elementos de lgums ds mtrizes dds cim são =, c = -, e =, [A] =, [D] =. Definição Um mtriz de ordem n é denomind mtriz-colun: A n A mtriz-colun de ordem n pode representr s componentes,,,, n de um vetor V do espço vetoril E de dimensão n. Por esse motivo mtriz é denomind vetor-colun. Definição Um mtriz de ordem n é um mtriz-linh: A n Os.: Então, um mtriz com m linhs e n coluns é dit ser de ordem m n; um mtriz (de ordem) n é chmd mtriz (vetor) linh; um mtriz m é chmd mtriz (vetor) colun. Definição Um mtriz qudrd é um mtriz que possui o número de linhs igul o de coluns; n Eq. (.), se m = n, então A é um mtriz qudrd. A mtriz o ldo é um exemplo de mtriz qudrd x ou, simplesmente, mtriz qudrd de ordem. A de fevereiro de Alex N. Brsil

4 Geometri Anlític e Álger Liner Definição Num mtriz qudrd A, os elementos, em que i j, constituem digonl principl. Ou sej, é mior digonl que contem os elementos em digonl d esquerd pr direit n mtriz. Assim, digonl formd pelos elementos:,,,, nn é digonl principl. A Digonl Secundári Digonl Principl Num mtriz qudrd A, os elementos, em que i j n, constituem digonl secundári. Ou sej, é mior digonl que contem os elementos em digonl d direit pr esquerd n mtriz. Sendo el, formd pelos elementos,,, n n... n..., n. Definição Um mtriz qudrd A sej, se i j, é chmd mtriz digonl. Definição Um mtriz digonl A sej, C pr i j e pr i j, é chmd um mtriz esclr., cujos coeficientes for d digonl são todos nulos, ou G H, cujos termos sore digonl principl são iguis, ou J, I Ex.:.. A seguinte mtriz fornece s distâncis éres entre s ciddes indicds (em milhs). Londres Londres Mdri 78 N. Y. 9 Tóquio 99 Mdri N. Y Tóquio de fevereiro de Alex N. Brsil

5 Geometri Anlític e Álger Liner Definição Um mtriz esclr de qulquer ordem que tem os elementos pr i j, é um mtriz identidde (ou mtriz unidde). I, I. Indic-se mtriz unidde por I n ou simplesmente por I. Definição Um mtriz qudrd A que tem os elementos pr i j, é um mtriz tringulr superior. A Definição Um mtriz qudrd A ] que tem os elementos [ pr i j, é um mtriz tringulr inferior. A Definição Um mtriz zero é mtriz cujos elementos todos nulos. são Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes são iguis se e somente se forem de mesm ordem e se todos os seus elementos correspondentes forem iguis. Em outrs plvrs, A = B, se e somente se =, ou sej, o elemento genérico de A é igul o elemento genérico de B. Ex.: Vmos, gor, introduzir s operções mtriciis. de fevereiro de Alex N. Brsil

6 Geometri Anlític e Álger Liner Qudro. Operções com Mtrizes Operção Adição e Sutrção: Multiplicção de Mtrizes Multiplicção de mtrizes por esclres Notção simólic Notção indicil (de elementos) Condições necessáris e suficientes pr que operção poss ser efetud: C = A B c = número de linhs e coluns; C terá o mesmo número de linhs e coluns As mtrizes A e B devem ter o mesmo que A e B. C = AB c n k ik kj ik kj O número de coluns de A deve ser igul o número de linhs de B; ssim, se mtriz A for de ordem m x n, B deverá ser de ordem n x p; mtriz C será de ordem m x p. C = ka c = k A mtriz C terá mesm ordem que mtriz A Qudro. Adição de Mtrizes A som de dus mtrizes de mesmo tmnho A = ( ) m x n e B = ( ) m x n é definid como sendo mtriz C = (c ) m x n otid somndo-se os elementos correspondentes de A e B, ou sej, c = +, pr i =,..., m e j =,..., n. Escrevemos C = A + B e [A + B] = +. Ex.:.. Considere s mtrizes: A, B Se chmmos de C som ds dus mtrizes A e B, então C ( ) A B ( ) 7 Produto de um Mtriz por um Esclr A multiplicção de um mtriz A = ( ) m x n por um esclr (número) é definid pel mtriz B = ( ) m x n otid multiplicndo-se cd elemento d mtriz pelo esclr, ou sej, =, pr i =,..., m e j =,..., n. Escrevemos B = A e [A] =. de fevereiro de Alex N. Brsil

7 Geometri Anlític e Álger Liner de fevereiro de Alex N. Brsil Ex.:.. O produto d mtriz A pelo esclr - é ddo por 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A Produto de Mtrizes O produto de dus mtrizes, tis que o número de coluns d primeir mtriz é igul o número de linhs d segund, A = ( ) m x p e B = ( ) p x n é definido pel mtriz C = (c ) m x n otid d seguinte form: pj ip j i j i c (.) kj ik p k (.) pr i =,..., m e j =,..., n. Escrevemos C = AB e kj ik p k AB. A equção (.) está dizendo que o elemento i j do produto é igul som dos produtos dos elementos d i-ésim linh de A pelos elementos correspondentes d j-ésim colun de B. mn m n pn pj p n j n j mp m m ip i i p c c c c c N equção (.) estmos usndo notção de somtório pr escrever equção (.) de form compct. O símolo p k signific que estmos fzendo um som em que o índice k está vrindo de k = té k = p.

8 Geometri Anlític e Álger Liner Ex.:.. Considere s mtrizes: A, B 7 Desde que A sej um mtriz e B um mtriz, o produto AB é um mtriz. Pr determinr, por exemplo, o elemento n linh e colun de AB, nós primeirmente pegmos linh de A e colun de B. Então, como ilustrdo ixo, nós multiplicmos os elementos correspondentes e sommos estes produtos. 7 [] [] [] [] [] [] [] O elemento n linh e colun de AB é clculdo como se segue. 7 [] [] [] [] [] [] [] Os cálculos restntes são: AB 8 7 Os.: A definição de produto de mtrizes exige que o número de coluns d primeir mtriz A sej igul o número de linhs d segund B, pr formr o produto AB. Se est condição não é stisfeit, o produto não é definido. A mtriz resultnte AB terá o número de linhs de A e o número de coluns de B, como mostr figur ixo. A B AB dentro for Fig.. N figur., os memros de dentro são iguis, então o produto é definido. Os memros de for dão ordem d mtriz produto. de fevereiro de Alex N. Brsil

9 Geometri Anlític e Álger Liner Ex.:.. Considere s mtrizes: A, B Se chmmos de C o produto ds dus mtrizes A e B, então C ( ) ( ) AB ( ) ( )( ) ( ) 7 9. Oserve que neste exemplo o produto BA não está definido. Entretnto, mesmo qundo está definido, BA pode não ser igul AB, como mostr o exemplo seguinte. Ex.:.7. Sejm A e B Então 7 AB e BA 9 Apresentremos gor lguns exemplos fim de que simologi e definições presentds cim possm ser ssimilds. Exemplos Ex.:.8. Dê exemplos de mtrizes de ordem x, x e x :,, e, são, respectivmente, exemplos de mtrizes de ordem x, x e de um mtriz qudrd de ordem. Ex.:.9. Vetor e mtriz. Quis s diferençs entre vetores e mtrizes? Resp.: Todo vetor é um mtriz linh ou colun. Entretnto, o vetor, com seu sentido geométrico e, eventulmente, físico, ind goz d lei de produto vetoril que não é definido pr mtrizes em gerl. Assim, todo vetor linh ou colun é um mtriz, ms nem tod mtriz linh ou colun é um vetor. É comum confundirem-se os termos vetores com vetores linhs e coluns de fevereiro de Alex N. Brsil

10 Geometri Anlític e Álger Liner 7 Ex.:.. Vetores como componentes de mtrizes. Mostre como um mtriz pode ser considerd como sendo compost de vetores. A =, ) pode ser considerd como sendo constituíd pelos seguintes vetores linh (todos x ): e ser escrit n form: = [ -], = [, -] e = [ ], A = ) ou como sendo constituíd pelos vetores colun (todos x ):,,, e, e ser escrit n form: A = [ ] Ex.:.. Adição de mtrizes. Otenh mtriz C, som ds mtrizes A e B, dds ixo, e indique qul o vlor do elemento c : - A = / B = / / Resp.: A mtriz C é dd por: + (-) + + C = A + B = ( ) / / / = / 9 O elemento c = /. de fevereiro de Alex N. Brsil

11 Geometri Anlític e Álger Liner 8 Ex.:. Multiplicção de mtrizes. Qul é mtriz produto D ds mtrizes A e B do exemplo.? Resp.: A mtriz produto envolve o produto ds mtrizes A e B, ou sej, o produto de mtrizes de ordem x X x. Um vez que o número de coluns de A é, e, portnto, diferente do número de linhs (ou fils) de B,, não é possível efetur multiplicção. Ex.:. Multiplicção de mtrizes. Qul é mtriz D, produto ds mtrizes A e B dds ixo? A = / B = Resp.: O produto envolve mtrizes de ordem x X x; portnto, mtriz resultnte D será de ordem x. Usndo definição de produto de mtrizes, dd no Qudro (.), temos: d ll ll = x + x +x + x = (note o produto d primeir linh l de A pel primeir colun de B). d l l l l = x + -x +/x + x = (note o produto d segund l linh de A pel primeir colun de B). d l l l l = x + x +x + -x = (note o produto d terceir linh l de A pel primeir colun de B). d l l l l = x + x +x + x = (note o produto d primeir linh l de A pel segund colun de B). d l l l l = x + -x +/x + x = 7 (note o produto d segund l linh de A pel segund colun de B). d l l l l = x + x +x + -x = 9 (note o produto d terceir l linh de A pel segund colun de B). Portnto: D = d 7 9 de fevereiro de Alex N. Brsil

12 Geometri Anlític e Álger Liner 9 Ex.:. Produto de vetores. Efetue o produto dos vetores = [ ] pelo vetor = [ 7] Resp.: Trt-se de um produto de vetores (mtrizes) de ordem x X x. Como tl, est operção não é possível, pois o número de coluns de (=), deveri ser igul o número de linhs de (=). A operção de produto seri possível se s ordens de, e do produto fossem, respectivmente: x X x x ( operção result num esclr; neste cso o produto dos vetores é equivlente um produto esclr ou interno de vetores); x X x x ( operção result num mtriz x). Exemplificndo: T = 7 Por outro ldo: Note: T simologi utilizd pr vetores trnspostos ou trnspostos de vetores, T e T ;. pr se efetur um produto interno ou esclr deve-se multiplicr um vetor linh por um vetor colun; não se pode, por exemplo, efetur produto de vetor linh por vetor linh. Ex.:. Produto de um mtriz por um esclr. As dus mtrizes ixo são equivlentes? A = B 8 = Resp.: Sim, pois o se efetur o produto de todos os elementos de B por, otém-se os elementos de A; lém deste fto, deve-se notr que A e B são de mesm ordem. Mtrizes Especiis Váris mtrizes qudrds, com crcterístics especiis, precem no estudo de fenômenos de trnsportes, de soluções de sistems de equções lineres e n formulção de métodos computcionis. Já vimos definição de mtriz qudrd, que é um cso prticulr d definição de mtrizes. Outrs mtrizes importntes são: de fevereiro de Alex N. Brsil

13 Geometri Anlític e Álger Liner Qudro. Mtrizes Especiis Mtriz especil Definição Exemplo Mtriz identidde A mtriz identidde I é mtriz qudrd definid por: I = [ ], em que: se i = j se i j I = Mtriz trnspost Mtriz simétric ou uto-djunt Mtriz invers Mtriz ortogonl A mtriz trnspost A T é mtriz otid de A, trocndo sus linhs pels sus coluns, ou sej, dd mtriz A = [ ], então A T = [ ji ] É mtriz que é igul à su trnspost, ou sej: A = [ ] = A T = [ ji ] ou ind, é mtriz cujos elementos são simétricos em relção à su digonl principl, isto é, = ji Dd mtriz A, su mtriz invers, designd por A - é um mtriz tl que A - A= I = A A - Um mtriz A é ortogonl se A T = A - - Se A = - - T então, A = A = , = A T Note:, e - são os elementos d digonl principl de A Se A =, então A - = - - pois A - A = A, ixo, é ortogonl: = I Se A = / / - - / / então A T = A - = -, Mtrizes Auto-djunts ou Hermitins são mtrizes iguis às sus mtrizes trnsposts conjugds, ou sej, iguis às trnsposts ds mtrizes cujos elementos são números complexos conjugdos d originl; se s mtrizes forem reis, s mtrizes Hermitins ou uto-djunts são equivlentes mtrizes simétrics. de fevereiro de Alex N. Brsil

14 Geometri Anlític e Álger Liner Mtriz ntissimétric Um mtriz é ntissimétric se seus elementos são tis que ji Form típic: A = -A T Mtrizes Auto-djunts ou Hermitins são mtrizes iguis às sus mtrizes trnsposts conjugds, ou sej, iguis às trnsposts ds mtrizes cujos elementos são números complexos conjugdos d originl; se s mtrizes forem reis, s mtrizes Hermitins ou uto-djunts são equivlentes mtrizes simétrics. Mtriz digonl Mtriz digonl é mtriz qudrd cujos únicos elementos não nulos são os elementos d digonl principl Ex.. A = Ex.. A mtriz identidde I Mtriz tridigonl Mtriz tridigonl é mtriz cujos elementos for d digonl principl e ds dus digonis vizinhs são nulos. A = Mtriz tringulr inferior Mtriz tringulr inferior é mtriz qudrd cujos elementos cim d digonl principl são nulos A = Mtriz tringulr estritmente inferior Mtriz tringulr estritmente inferior é mtriz qudrd cujos elementos n e cim d digonl principl são nulos A = Mtriz tringulr superior Mtriz tringulr superior é mtriz qudrd cujos elementos ixo d digonl principl são nulos A = Mtriz tringulr estritmente superior Mtriz tringulr estritmente superior é mtriz cujos elementos n e ixo d digonl principl são nulos A = de fevereiro de Alex N. Brsil

15 Geometri Anlític e Álger Liner Mtriz esclr Mtriz esclr é mtriz digonl cujos elementos são iguis. A = Mtriz não singulr Mtriz não singulr é um mtriz cuj mtriz invers existe. Ver exemplo de mtriz invers. Qudro. Mtriz Trnspost A trnspost de um mtriz A = ( ) m x n é definid pel mtriz B = ( ) n x m otid trocndo-se s linhs pels coluns, ou sej, = ji, pr i =,..., m e j =,..., n. Escrevemos B = A T e [A T ] = ji. Ex.:. As trnsposts ds mtrizes A, B e C são T T A, B e T C A seguir, mostrremos s proprieddes que são válids pr ritmétic mtricil. Els são muito semelhntes àquels que são válids pr os números reis. Um propriedde importnte que é válid pr os números reis, ms não é válid pr s mtrizes é comuttividde do produto, como foi mostrdo no exemplo.7. Por ser compct, usremos notção de somtório n demonstrção de váris proprieddes. Algums proprieddes dest notção estão explicds no Apêndice I. Operções complementres e Proprieddes Os métodos de diferençs finits, elementos finitos e volumes finitos e su implementção em computdores requerem o uso de um série de produtos mtriciis e operções com mtrizes. Portnto, s operções ixo devem ser em estudds fim de que exposição futur dos métodos sej suve. de fevereiro de Alex N. Brsil

16 Geometri Anlític e Álger Liner Qudro. Soms Mtriciis Propriedde Notção Simólic Exemplo ou demonstrção Sejm A, B e C mtrizes com tmnhos propridos, e esclres. São válids s seguintes proprieddes pr s operções mtriciis A + B = B + A c A + (B + C) = (A + B) + C c Existe um únic mtriz.m x n, tl que A + = A pr qulquer mtriz A, m x n. Pr cd mtriz A, existe um únic mtriz B, tl que A + B = Qudro. Qudro. Produtos Mtriciis Propriedde Notção Simólic Exemplo ou demonstrção Não comuttividde, em gerl, do produto de dus mtrizes Distriutividde do produto de mtrizes AB BA, em gerl Ver exemplo.7 D = (A+B)C = AC + BC d c = c ik ik ki c ik ki ik ki Associtividde do produto de mtrizes D = (AB)C = A(BC) = ABC d c c ik km mi ik km mj = c ik km mj Comuttividde d multiplicção por esclr B = ma = Am m m Qudro. Not: A justifictiv pr os produtos cim, Qudro., é que os elementos ds mtrizes são números reis; os números reis gozm ds proprieddes de distriutividde, ssocitividde e comuttividde d multiplicção. A seguir presentremos váris expressões que envolvem produtos de mtrizes trnsposts. Note que é comum designr um mtriz trnspost simplesmente pelo termo trnspost. de fevereiro de Alex N. Brsil

17 Geometri Anlític e Álger Liner Qudro. Operções mis comuns envolvendo mtrizes trnsposts Operção Notção simólic Notção indicil Demonstrção Trnspost d trnspost de um mtriz (A T ) T = A ( T ik ) T = ik ikt T ki T ik Mtriz trnspost de um produto de mtrizes (AB) T = B T A T ( ik ki ) T = jk ki T c c ik jk ki kj T ji O produto B T AB é um mtriz simétric, desde que A sej simétric (B T AB) T = B T AB se A T = A ( ik km mj ) T = ik km mj (B T AB) T = (AB) T (B T ) T = B T A T B = B T A B A mtriz produto de um mtriz pel su trnspost é um mtriz simétric (B T B) T = B T B ( ik kj ) T = ik kj (B T B) T = B T (B T ) T = B T B Qudro. Not: As justifictivs pr s demonstrções neste qudro encontrm-se ns linhs nteriores do próprio qudro ou ns definições ásics, Qudros... APÊNDICE I: Notção de Somtório São válids lgums proprieddes pr notção de somtório: ) índice do somtório é um vriável mud que pode ser sustituíd por qulquer letr: f i = f j. ) O somtório de dus prcels pode ser querdo em dois somtórios: Lemre-se que k é um índice mudo. de fevereiro de Alex N. Brsil

18 Geometri Anlític e Álger Liner (f i + g i ) = f i + g i. Pois, (f i + g i ) = (f + g ) (f n + g n ) = (f f n ) + (g g n ) = f i + g i. Aqui form plicds s proprieddes ssocitiv e comuttiv d som de números. c) Se no termo gerl do somtório prece um produto, em que um ftor não depende do índice do somtório, então este ftor pode sir do somtório: Pois, f i g k = g k f i. f i g k = f g k f n g k = g k (f f n ) = g k f i. Aqui form plicds s proprieddes distriutiv e comuttiv do produto em relção som de números. d) Num somtório duplo, ordem dos somtórios pode ser trocd: Pois, f = f. f = (f i f im ) = (f f m ) (f n f nm ) = (f f n ) (f m f nm ) = (f j f nj ) = f. Aqui form plicds s proprieddes comuttiv e ssocitiv d som de números reis. de fevereiro de Alex N. Brsil

19 Geometri Anlític e Álger Liner de fevereiro de Alex N. Brsil Exercícios Numéricos. Considere s seguintes mtrizes 7 A, 8 B, C D, 9 9 E Se for possível, clcule: () AB - BA; R.: 8 () C - D; R.: Não é possível pois, s dimensões ds mtrizes são diferentes. (c) (D T - E T ) T ; R.: 7 9 (d) D - DE; R.: 7 8. Sejm A e B R.: Verifique que AB = A + A + A, onde A j é j-ésim colun de A, pr j =,,.. Encontre um vlor de x tl que AB T =, onde x A e B R.: x. Sejm 9 9 A e B Encontre: () ª. linh de AB; R.: () ª. colun de AB; R.: 9 (c) ª. linh de A T B T ; R.: 8 (d) ª. colun de A T B T. R.: 7 8

20 Geometri Anlític e Álger Liner 7 Exercícios usndo o MATLAB Um vez inicilizdo o MATLAB, precerá n jnel de comndos um prompt >> ou EDU>>. O prompt signific que o MATLAB está esperndo um comndo. Todo comndo deve ser finlizdo teclndo-se Enter. Comndos que form ddos nteriormente podem ser otidos novmente usndo s tecls e. Enqunto se estiver escrevendo um comndo, este pode ser corrigido usndo s tecls,, Delete e Bckspce. O MATLAB fz diferenç entre letrs miúsculs e minúsculs. No MATLAB, pode-se oter jud sore qulquer comndo ou função. O comndo: > > help mostr um listgem de todos os pcotes disponíveis. Ajud sore um pcote específico ou sore um comndo ou função específic pode ser otid com o comndo: > > help nome, (sem vírgul!) onde nome pode ser o nome de um pcote ou o nome de um comndo ou função. Além dos comndos e funções pré-definids, escrevemos um pcote chmdo gl com funções que são mis dequds pr este curso. O comndo help gl dá informções sore este pcote. Vmos descrever qui lguns comndos que podem ser usdos pr mnipulção de mtrizes. Outros comndos serão introduzidos medid que forem necessários. >> syms x y z diz o MATLAB que s vriáveis x y e z são simólics. >> A=[,,...,n;,,...;...,mn] cri um mtriz, m por n, usndo os elementos,,..., mn e rmzen num vriável de nome A. Por exemplo, >> A=[,,;,,] cri mtriz A ; >> A+B é som de A e B, >> A-B é diferenç A menos B, >> A*B é o produto de A por B, >> A. é trnspost de A, >> num*a é o produto do esclr num por A, >> A^k é potênci A elevdo k. >> Aj=A(:,j) é colun j d mtriz A, >> Ai=A(i,:) é linh i d mtriz A. >> formt rt mud exiição dos números pr o formto rcionl. O comndo help formt mostr outrs possiiliddes. >> solve(expr) determin solução d equção expr=. Por exemplo, >> solve(x-) determin s soluções d equção x - = ; de fevereiro de Alex N. Brsil