DECOMPOSIÇÃO MATRICIAL.

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO PRÁ INSTITUTO DE CIÊNCIS EXTS E NTURIS PROGRM DE PÓS GRDUÇÃO DE MTEMÁTIC E ESTTÍSTIC LENDRO EMNUEL D SILV RÊGO DECOMPOSIÇÃO MTRICIL BELÉM PRÁ

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3 LENDRO EMNUEL D SILV RÊGO DECOMPOSIÇÃO MTRICIL Monogrfi presentd à Universidde Federl do Prá - UFP, como instrumento prcil pr obtenção do gru de Mestre em Mtemátic Orientdor: Prof Dr Dilberto d Silv lmeid Junior BELÉM PRÁ

4 LENDRO EMNUEL D SILV RÊGO Monogrfi presentd como trblho de conclusão de curso de Mestrdo em Mtemátic pel Universidde Federl do Prá UFP, presentd e provd em / 8 / pel bnc emindor constituíd pelos, professores: Orientdor: Prof: Dr Dilberto d Silv lmeid Junior Membro : Prof: Dr Muro de Lim Sntos Membro : Prof: Dr Vlcir João Cunh Fris Conceito:

5 Ofereço o presente trblho os meus fmilires e migos por su compreensão, pciênci e poio neste importnte momento de minh vid

6 grdeço Deus, princípio de tudo, por su presenç constnte e proteção meus pis, por serem eemplo e licerce em minhs vids, formções e por terem sempre creditdo em mim meus fmilires e migos, em especil minh espos e minh filh n Croline, por comprtilhrem dos bons e mus momentos, oferecendo-me forç pr seguir Sociedde Brsileir de Mtemátic (SBM), por oportunir o PROFMT, progrm que me proporcionou imensurável crescimento intelectul Universidde Federl do Prá (UFP), por me proporcionr su estrutur físic e intelectul CPES, pelo reconhecimento e investimento que vibilirm este importnte projeto o meu orientdor Dr Dilberto d Silv lmeid Junior, pel dedicção, compreensão e por contribuir pr relição deste trblho

7 RESUMO Este trblho irá trer um propost de uso d decomposição de mtries pr lunos do ensino médio, sem utilir lingugem forml e teóric de álgebr liner s decomposições considerds mis cessiveis e básics, são: decomposição LU, digonlição de mtries e decomposição simétric e ntisimétric lgums plicções desses o tipos de decomposição serão tmbém mostrdos, visndo um melhor prendigem de ssuntos do ensino superior Este trblho irá focr preferencilmente à decomposição de mtries pr efetur cálculos utéis no ensino médio, portnto lguns teorems e proprieddes não serão demonstrdos e sequer citdos, pois iremos usr hipótese que tis tópicos já são ensindos comumente em um curso de mtries básico, ssim como o estudo de determinntes não frá prte do trblho e como form de bse estrá presente em neo, que possuirá tmbém lguns eercícios propostos sobre decomposiço de mtries Plvrs chves: Mtries, decomposição, digonlição, tipos de mtries, sistems lineres

8 BSTRCT This work will bring proposl for implementtion of mtri decomposition for high school students, without using the forml lnguge of liner lgebr The decompositions tught here will be considered more ccessible nd bsic, the re: LU decomposition, mtri digonlition nd smmetric nd ntismmetric decomposition Some pplictions of the decomposition will lso be shown, iming better lerning of subjects in higher eduction This work will focus minl on the decomposition of mtrices for clcultions of interest in high school, so some theorems nd properties will not be demonstrted nd even cited, becuse we will use the hpothesis tht such topics re lred tught in course of bsic rrs, s well s the stud of determinnts will not be prt of the work, but will be present in nne, which will hve lso some proposed eercises bout mtrices decomposition sstems Ke words: rrs, decomposition, digonlition, tpes of mtrices, liner

9 SUMÁRIO Introdução Cpítulo : UM BORDGEM INICIL DO ESTUDO DE MTRIZES Definição Representção de um mtri de ordem m n Mtries Especiis Mtri qudrd de ordem n Mtri Digonl Mtri Identidde Mtries Tringulres Operções com Mtries dição e Subtrção de Mtries Multiplicção de um número por um mtri Multiplicção Mtricil 7 Outrs mtries especiis 8 Mtri Trnspost 8 Mtri Simétric 8 Mtries Inversíveis 8 Unicidde d mtri invers 7 Sub-mtries de mtries qudrds Cpítulo : SISTEMS LINERES E DECOMPOSIÇÃO MTRICIL presentção de um Sistem Liner Sistem Homogêneo Resolução de sistems lineres e Regr de Crmer Sistems equivlentes Esclonmento de um sistem Elimicção de Guss e Teorem d Decomposição LU Resolução de um sistem liner utilindo decomposição LU Cpítulo : LGUNS TIPOS ESPECIIS DE DECOMPOSIÇÃO 8 Decomposição de um mtri como som de um mtri simétric com outr nti-simétric 8 Digonlição de mtries lgoritmo d Digonlição

10 Eemplo de plicção d digonlição Considerções Finis Referêncis NEXO : O ESTUDO DOS DETERMINNTES NEXO : CÁLCULO D INVERS DE UM MTRIZ 7

11 INTRODUÇÃO Historicmente, o estudo de mtries somente servi como pré-requisito pr o estudo de determinntes, e esse fto só veio mudr com os trblhos de Joseph Slvester, foi o primeiro dr um nome o novo rmo d mtemátic, porém foi Cle, migo de Slvester, prov e demonstrção ds plicções ds mtries em su obr Memoir on the Theor of Mtries em 88 Com cerc de nos s Mtries gnhrm um tenção especil, tulmente estudo como, computdores, engenhri civil, mecânic, elétric, ocenogrfi, meteorologi, entre outrs que dependem diretmente do estudo d mesm lguns historidores indicm que ntes de Cle já hvim pesquiss no ssunto, principlmente qundo Lgrnge fe o uso de Mtries pr clculr máimos e mínimos de funções reis de váris vriáveis No ensino médio o estudo de mtries é essencil pr o desenvolvimento de ssuntos posteriores do ensino superior, um deles conhecido como álgebr liner, onde o luno verá plicções de mtries bem mis contundentes Porém lguns tópicos de mtries que são muito necessários pr desenvolver tis ssuntos no ensino superior, são trblhdos de form bstnte superficil, cusndo ssim um problem de prendigem em grnde escl, isso se dá às vees à grnde quntidde de conteúdos que devem ser ministrdos n educção básic, flt de subsídios n escol, investimentos em linhs de pesquiss Júnior e à crênci peculir de mtemátic É importnte citr que pesr de todos esses ftores, vários profissionis tentm, d melhor form, não pens ministrr o conteúdo como tmbém trnsmiti-lo de mneir efic e incentivndo novs produções e descoberts Portnto esse trblho trrá um estrtégi metodológic, onde o luno prenderá lguns tópicos importntes de álgebr liner, sem precisr d lingugem forml utilid n mtéri, e sim utilindo pens o conhecimento de mtries Ess estrtégi é um form de crir um espécie de ponte do ssunto de mtries com álgebr liner, pr que o luno não sint tnt dificuldde qundo for do ensino básico pr o ensino superior Veremos neste lguns tipos de decomposição de mtries, tis como decomposição LU, que é muito util n resolução de sistems lineres qundo poderemos escrever mtri dos coeficientes como um produto LU, ssim: X B LU X B, onde L é um

12 mtri tringulr inferior e U é um mtri tringulr superior, e prtir de dois produtos de mtries encontrremos rpidmente solução do sistem Veremos tmbém decomposição de um mtri como som de um mtri simétric com outr nti-simétric, que é um método bem simples e servirá pr incentivr o prendido e uso de outrs decomposições Será mostrdo tmbém digonlição de mtries que consiste em trnsformr um mtri n form P D P, onde D é um mtri digonl e P um mtri inversível, e diemos que é digonliável Esse processo é muito útil pr relição de potêncis de mtries e pr descobrir que figur possui um equção d form ² + b² + c + d + e + f = sendo, b, c, d, e, f constntes reis

13 CPÍTULO UM BORDGEM INICIL DO ESTUDO DE MTRIZES Pr relir propost deste trblho, primeirmente iremos definir um mtri, sus respectivs operções e lgums mtries especiis Definição: Chm-se mtri de ordem m n um conjunto de mn elementos dispostos em um tbel com m linhs e n coluns Se m = mtri é dit mtri-linh ou vetor-linh e se n = el será dit mtri-colun ou vetor-colun Os elementos de um mtri podem ser números reis ou compleos, polinômios, funções, etc Seguem bio lguns eemplos: E : E : Mtri colun E : i i Mtri Mtri linh Neste trblho vmos nos concentrr em utilir mtries cujos elementos são números reis Representção de um mtri de ordem m n Em um mtri qulquer, cd elemento é representdo por ij, onde i indic linh e j colun às quis o elemento se encontr Por convenção s linhs são numerds de cim pr e bio (de té m) e s coluns d esquerd pr direit (de té n), ssim: m De modo mis resumido, temos m ( ) ij mn n n mn

14 Mtries Especiis Clssificremos bio lgums mtries especiis que utiliremos muito no decorrer do trblho Mtri qudrd de ordem n: Um mtri recebe ess clssificção qundo for d form nn, ou sej, qundo o número de linhs for igul o número de coluns: nn n n n n Chm-se de digonl principl de um mtri qudrd de ordem n o conjunto dos elementos que possuem os dois índices iguis, ou sej: ij nn j i,,,, Eemplo: mtri qudrd de ordem Observção: Qundo mtri não é qudrd, diemos simplesmente que el é retngulr Mtri Digonl: É tod mtri qudrd em que os elementos que não pertencem digonl principl são iguis ero Seguem lguns eemplos: B C D Vle ressltr que mtri nul, quel em que todos os elementos são eros, é um tipo de mtri digonl No entnto, s mtries digonis de mior interesse são quels em que digonl principl possui pelo menos um elemento não-nulo

15 Mtri Identidde: Um mtri digonl cujos os elementos d digonl principl são todos iguis Represent-se Por n I Eemplos: I I Mtries tringulres: são mtries qudrds em que os elementos cim (ou bio) d digonl principl serem todos nulos Em função d posição desses elementos, reltivmente à digonl principl, este tipo de mtri pode ser clssificdo de dus mneirs: mtri tringulr superior ou mtri tringulr inferior Observção: s mtries digonis são mtries tringulres simultnemente superior e inferior, um ve que, tnto cim como bio d digonl principl, todos os elementos são nulos, como segue eemplo bio: D Mtri tringulr superior: Est designção é dd às mtries tringulres que, bio d digonl principl, pens têm elementos nulos Os restntes elementos estão posiciondos cim dess mesm digonl, com condição de não serem todos nulos Eemplo: M Mtri tringulr inferior: Ns mtries tringulres inferiores, contrrimente às mtries tringulres superiores, cim d digonl principl todos os elementos são iguis ero Os restntes elementos estão posiciondos bio dess digonl, podendo somente lguns deles serem nuloseemplo: N

16 Operções com mtries N mnipulção de mtries é importnte em lgums situções efeturmos certs operções Por eemplo, consideremos s seguintes tbels que representm s produções de um fábric de chocoltes de tipos, B, C nos primeiros meses de e : I PRODUÇÃO NO º TRIMESTRE DE Meses B C Jneiro 7 Fevereiro Mrço II PRODUÇÃO NO º TRIMESTRE DE Meses B C Jneiro Fevereiro 7 Mrço 7 8 Pr montr um tbel que dê produção por tipo de chocolte e por mês nos primeiros trimestres de e, conjuntmente, teremos que somr em cd linh e colun os elementos correspondentes, isto é: III PRODUÇÃO CONJUNT / Meses B C Jneiro 8 7 Fevereiro Mrço 7 Sendo produção do º trimestre de o dobro d produção do º trimestre de, montemos tbel IV

17 PRODUÇÃO NO º TRIMESTRE DE IV Meses B C Jneiro Fevereiro 8 8 Mrço 8 nlisndo s qutro tbels cim, percebemos dus operções com mtries: dição (tbel III = tbel I + tbel II) e multiplicção por um número (tbel IV = tbel II) Ests operções serão definids formlmente seguir: dição e Subtrção: Dds dus mtries de mesm ordem = ( ij ) mn e B = (b ij ) mn chm-se mtri som + B mtri C = (c ij ) mn tl que c ij = ij + b ij i e j Temos o rciocínio nálogo pr subtrção Eemplo: Ddos 7 e 7 B temos que: 7 B e B Multiplicção de um número por um mtri Definição: Ddo um número α e um mtri = ( ij ) mn chm-se múltipl esclr de mtri B = (b ij ) mn onde b ij = α ij i e j Eemplo: Ddos α = e 7 temos que: 8 7

18 Multiplicção mtricil Vejmos o seguinte problem motivdor pr operção de multiplicção de mtries Um professor solicitou pr um luno resolver os eercícios de três livros O de álgebr ele deveri resolver págins por di, o de cálculo págins por di e o de geometri págins por di Se cd págin do livro de álgebr possui questões, enqunto que o de cálculo possui e o geometri 8, pergunt-se qul o totl de questões resolvids em um di por esse luno? Solução: 8 É fácil perceber que poderímos ter encontrdo este resultdo multiplicndo mtri linh ds págins por di pel colun ds questões, isto é: 8 = 8 Podemos estbelecer definição do produto de mtri linh n por um mtri colun n dess form: Dd um mtri linh n, n e um mtri colun n, b b B, define-se produto B à mtri, b n C n b b b b n n k k k Cso Gerl: Dds = ( ij ) mp e B = (b ij ) pn define-se o produto B mtri C = (c ij ) mn onde o elemento c ij é obtido pel som dos produtos dos elementos d i-ésim linh de pelos elementos correspondentes d j- ésim colun de B ssim sendo podemos escrever que c ij p i bij i b j ip bpj ik bkj k, i,,,m e j,,,n Observções importntes

19 ) condição pr que B eist é que o número de coluns de sej igul o número de linhs de B ) multiplicção é sempre feit por linh d ª mtri colun d ª mtri Outrs mtries especiis Mtri Trnspost Definição: Dd um mtri = ( ij ) mn chm-se de mtri trnspost de (represent-se por t ou ) mtri obtid de, trocndo-se s linhs pels coluns, ou sej, ij é substituído por ji Eemplo: Se t 8 R = 8 R= então Observe que se é um mtri qudrd os elementos d su digonl principl são invrintes pernte trnsposição mtricil, e consequentemente mtri trnspost de um mtri digonl é própri mtri Mtri Simétric Definição: Um mtri qudrd é dit simétric se t = Em um mtri simétric, ij = ji i e j Observção: Tod mtri digonl é simétric = 7 Mtries Inversíveis Definição: Dd mtri qudrd de ordem n, define-se que é mtri inversível, ou não singulr, se eistir um mtri B tl que B = B = I n Se não é inversível, diemos que é um mtri singulr

20 Unicidde d mtri invers invers de um mtri, qundo eiste, é únic Sej inversível e B mtri tl que B = B = I n Suponhmos que eist um mtri C B, tl que C = C = I n Temos: hipótese C I C n BC BC BI B n, que é um bsurdo, pois C B por condição pr que um mtri dmit invers é que o seu determinnte sej diferente de ero 7 Sub-mtries de mtries qudrds Chm-se sub-mtries de um mtri qudrd de ordem n e denot-se por ( k pr k =,,,, n) s outrs mtries qudrds presentes n mtri o diminuir su ordem Eemplo: s sub-mtries d mtri são:

21 CPÍTULO SISTEMS LINERES E DECOMPOSIÇÃO MTRICIL presentção de um Sistem Liner Mtemticmente, os Sistems de Equções Lineres constituem-se num conjunto de Equções lineres do tipo i i inn bi pr i =,,,, m, em que ij são os coeficientes, j são s vriáveis e b i os termos constntes Num notção mis compct, temos representção mtricil dd por, m n n b m em que b = (b, b, b,, b m ) t m, = (,,,, m ) t n e mn é um mtri de ordem m n Um solução de um sistem liner é um list ordend = (,,,, m ) t que stisf tods s equções do sistem Eiste um clssificção pertinente eistênci ou não de soluções pr Sistems Lineres, são eles: DETERMINDO um únic solução POSSIVEL ( dmite solução) INDETERMINDO Infinits soluções IMPOSSÍVEL ( não dmite solução) Um tipo de sistem muito utilido é chmdo de sistem homogêneo o qul definiremos seguir: Sistem Homogêneo Definição: é todo sistem que possui todos os termos independentes iguis ero Eemplo: É fácil perceber que todo sistem homogêneo possui solução nul = (,,,, ) t Veremos gor os métodos de resoluções plicdos no ensino médio e em seguid mostrremos um importnte método em potencil de plicção no ensino médio

22 Resolução de sistems lineres e Regr de Crmer: Resolveremos o sistem, representdo-o em produto mtricil, vejmos: B X º) Psso: Clcule o determinnte d mtri det º) Psso: Substitu os elementos d primeir colun d mtri pelos d colun d mtri B, em sus respectivs posições, pr ess nov mtri dremos o nome de, e em seguid clcule o determinnte det º) Psso: Depois é possivel demonstrr que det det, logo = - nlogmente podemos encontrr os vlores de e, ou sej, pr encontrr o vlor de, substituímos os elementos d segund colun d mtri pelos elementos d colun d mtri B, chmndo ess nov mtri de e em seguid efetundo det det, encontrremos nesse sistem = e posteriormente = Ess nesse sistem solução é dd pel mtri

23 Sistems equivlentes Esclonmento de um sistem Esclonr um sistem signific bsicmente em trnsformr mtri dos coeficientes em um mtri tringulr Vmos esclonr o sistem ddo por, ficndo: 7 º) Substituimos ª equção pel som d mesm com ª multiplicd por º) Substiuímos ª equção pel som d mesm com ª multiplicd por 7 º) Susbtituímos ª equção pel som d mesm com ª multiplicd por O sistem está n form esclond e resolvendo ª equção encontrremos =, e consequentemente susbtituindo n ª encontrremos = e por fim n ª o susbtituir os vlores teremos = Elimicção de Guss e Teorem d Decomposição LU Sej um mtri qudrd de ordem n cujs sub mtries são não- singulres det k pr k =,,,, n Nesss condições pode ser decompost em etmente um único produto d form = LU

24 Por eemplo, se, podemos usr Decomposição LU, pois k det pr k =,, Veremos como relir tl decomposição eliminção de Guss pode ser usd pr decompor um mtri dos coeficientes [], em dus mtries [L] e [U], onde [U] é um mtri tringulr superior (todos os elementos bio d digonl principl são nulos), e [L] é um mtri tringulr inferior Sej [] um mtri qudrd, por eemplo, O º psso n eliminção de Guss é multiplicr ª linh d mtri [] pelo ftor f subtrir este resultdo à ª linh de [], eliminndo, observe temos f multiplicndo esse resultdo n ª linh e subtrindo ª pel ª O º psso é multiplicr ª linh d mtri pelo f e proceder d mesm form como no psso nterior, só que gor entre ª e ª linh f ª temos:, então multiplicndo esse vlor n ª linh e subtrindo ª pel Com ª linh d mtri e os resultdos obtidos nos dois primeiros pssos, podemos escrever mtri o qul chmmos de :

25 O último psso é multiplicr ª linh de por de por esse resultdo obtido, vejmos: f, então: f e subtrir ª linh Substituindo ª linh de pelo resultdo nterior obteremos mtri U mtri [L] é um mtri tringulr inferior, cujos os elementos d digonl principl são s e os restntes elementos são os ftores f, f, f : L f f f, logo no eemplo ddo temos: L, então podemos escrever e Resolução de um sistem liner utilindo decomposição LU O método de resolução utilindo decomposição LU, é feit utilindo seguinte técnic: Coloque o sistem n form mtricil como já mostrdo em csos nteriores, e em seguid decomponh mtri dos coeficientes em LU, ssim: B X B LU X B L U X Chmndo mtri UX = Y teremos: B LY B X B LU X B L U X Posteriormente encontre mtri Y resolvendo o produto mtricil LY=B, e em seguid mtri X utilindo UX = Y Fremos um eemplo:

26 Vmos resolver o sistem 7 Escrevendo n form mtricil temos: 7 B X Decompondo em LU temos: (Eemplo nterior) Então: 7 7 B X Escrev o produto (I) e substitu no sistem obtendo: 7, resolvendo o produto mtricil encontrremos:, e por fim substitu o resultdo em I:, consequentemente : que é solução do sistem proposto inicilmente De um form simplificd resolveremos outro eemplo

27 Resolveremos o sistem : Primeirmente iremos decompor mtri utilindo os pssos já ensindos f, logo: f, logo: 7 Com isso montemos mtri 7 Por fim temos f e:

28 7 Então U e L e gor voltemos resolver o sistem proposto inicilmente: B X Substituindo temos, logo solução do sistem é = ; = e = -

29 CPÍTULO lguns tipos especiis de Decomposição Neste cpítulo iremos mostrr outros dois tipos de decomposição que tmbém nos uilim muito pr resolver lguns problems, decomposição de um mtri em som de um mtri simétric e outr nti-simétric e digonlição de mtries Decomposição de um mtri como som de um mtri simétric com outr nti-simétric ntes de mostrrmos este tipo de decomposição, iremos provr que T é um mtri simétric e qudrd de ordem n Demonstrção: T é um mtri nti-simétric pr qulquer mtri T T T T Observe que T T T Como T T T T diemos que mtri T T T T Por outro ldo T T T T T Como T T diemos que é simétric é nti-simétric De posse dos ftos nteriores, observe que: T T T T, chmndo T de s e T de s temos que S mtri qudrd 8 s Veremos um eemplo prático decompondo

30 Com mtri podemos firmr que trnspost de é dd por 8 t, e consequentemente firmmos que 8 8 S e s Logo Digonlição de mtries: Dd um mtri qudrd de ordem n, diemos que é digonliável qundo eistir um mtri digonl D tl que P P D, onde P é um mtri inversível Veremos seguir como digonlir mtri, ou sej, encontrr mtri digonl D e inversivel P que stisfç situção dd cim lgoritmo d Digonlição: º Psso: Devemos resolver seguinte equção det I, ou sej, encontrr os vlores de, sendo mtri qudrd dd e I mtri identidde de mesm ordem d mtri º Psso: De posse dos vlores de, encontrremos s mtries coluns ou vetores coluns que stisfem tl equção mtricil: v I Obs: Perceb que pr cd teremos um vetor colun diferente, ssim: n v n v v º Psso: mtri P é tl que cd colun é formd pelos vetores coluns encontrdos nteriormente: v n v v P º Psso: Os elementos d digonl principl d mtri digonl D são os encontrdos nteriormente:

31 n D Vmos dr um eemplo digonlindo mtri º Psso: Resolveremos det I ² º Psso: Resolveremos equção mtricil v I pr cd vlor de Pr : v Pr : v º Psso: Com isso temos que P P º Psso: De posse dos temos que D, então: P D P Obs: Se mtri qudrd de ordem n possuir n vlores distintos de n resolução do º psso, já podemos grntir que é digonliável Eemplo de plicção d digonlição Há váris vntgens em digonlir um mtri Vejmos um seguir

32 Eemplo : Sendo, clcule Um processo possível seri, é clro, multiplicr por si mesmo vees, ms é óbvio que é um jeito muito doloroso Vejmos outro mis inteligente, utilindo digonlição: Sendo P P D, onde D, pelo eemplo nterior, observemos que: ² ² P P D P P P P D P D P P D P ³ ² ² ² ³ P P D D P P P P D P D P P P D e ssim sucessivmente De um modo gerl, P P D n n Então: 7 7 P P D

33 CONSIDERÇÕES FINIS o escrever um curso preprtório de Mtries, voltdo pr o ensino médio, que present tópicos importntes introdutórios à Álgebr Liner, diferente ds Mtries que são trdicionlmente presentds nos livros didáticos, lém de buscr tender o estipuldo pelo progrm de que "Os Trblhos de Conclusão de Curso devem versr sobre tems específicos pertinentes o currículo de Mtemátic do Ensino Básico e que tenhm impcto n prátic didátic em sl de ul, tính em mente tmbém, s dificulddes que nós e muitos de nossos colegs de profissão enfrentm em sl de ul o terem que ensinr o conteúdo de Álgebr Liner form de presentção do teto já foi utilid pelo utor de form independente e o bom resultdo obtido levou orgnir ests nots no intuito de comprtilhr eperiênci com est bordgem Longe de ser um mteril definitivo, é um esforço inicil que vis dr o professor um mteril cessível e que contenh um crcterístic diferencid: Espero com produção deste mteril não só fornecer um sequênci didátic lterntiv pr o ensino de Mtries, como tmbém inspirr um refleão cerc do ensino de Mtemátic n Educção Básic brsileir Um ensinr voltdo pr o profundmento de certos conteúdos, pr esses lunos que depois do ensino básico ingressrão no ensino superior

34 REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS () OLIVEIR, M R Coleção Elementos d Mtemátic: Sequêncis, nálise combintóri e mtri Vol, ª Ed Belém: () IEZZI, G Fundmentos de mtemátic elementr: sequêncis, mtries, determinntes e sistems Vol, 7ª Ed São Pulo: tul, () LIPSCHUTZ, S Álgebr Liner: Teori e problems ª Ed São Pulo: Person, () CRKUSHNSKY, S M e L PENH G M Introdução Àlgebr Liner ª Ed Mc Grw Hill 7

35 NEXO O ESTUDO DOS DETERMINNTES noção de determinntes surgiu com resolução de sistems lineres, como visto nesse trblho n regr crmer, e isso ocorreu ntes do conceito de mtri proprimente dito Embor nos dis de hoje, eistm outrs mnenirs mis prátics de resolver sistems, os determinntes são utilidos muito, ind, pr por eemplo, sintetir certs epressões mtemátics complcds qui nesse pêndice dremos um noção básic, visto que pr relição desse trblho não precismos de ferrments muito sofisticds desse ssunto ) Definição: Temos o conjunto ds mtries qudrds de elementos reis Sej M um mtri de ordem n desse conjunto Chmmos determinnte d mtri M, e indicmos por det M, o número que podemos obter operndo com os elementos de M d seguinte form: ) Sej Mtri de ordem, então det M tem como vlor o próprio elemento Eemplo: = () então det = ) Se M é de ordem, o produto será ddo pelo produto d digonl principl menos o produto d digonl secundári Eemplo: Se então Det = (- ) = ) Se é de ordem,, temos que det = + + Podemos ssimilr est definição usndo o dispositivo prático conhecido como regr de Srrus: ) Repete-se, em ordem, o ldo do qudro mtricil, s dus primeirs coluns e procur-se clculr todos os produtos com elementos sendo que o obtido segundo direção d digonl principl conservrão o sinl enqunto os obtidos segundo direção d digonl secundári mudrão de sinl

36 form: Eemplo: Se det, clculemos seu determinnte d seguinte 8 O teorem que iremos mostrr seguir é muito útil pr o cálculo de determinntes de mtri cuj ordem é mior que e lguns de seus lgoritmos serão importntes pr o cálculo de um tri invers ) Teorem de Lplce: Pr enunciá-lo veremos primeiro o significdo de menor complementr: ) Menor complementr de um elemento: Dd um de ordem n defini-se menor complementr de um elemento ij e indic-se por ij o determinnte d submtri de M obtid pels eliminções d linh i e colun j de M Eemplo: Sendo clculemos o : ) Coftor ou complemento lgébrico de um elemento: Dd um mtri de ordem n defini-se coftor de um elemento m ij e indic-se por ij o número i j ij Eemplo: Sendo clculemos :

37 ) Regr de Lplce: O determinnte de Mtri de ordem n é som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (colun ou linh) pelos seus respectivos coftores, ou sej: Se escolhermos linh i d mtri : i n i n n n n Então det i i i i in in in j nn D mesm form teremos se escolhermos um colun ij ij Observção: Como podemos escolher qulquer fil (linh ou colun) é melhor escolhermos fil que possui mior quntidde de eros Como eemplo d regr de Lplce clculremos o determinnte de Perceb que colun possui mior quntidde de eros Utilindo primeir colun temos que det s proprieddes dos determinntes não serão mostrds nesse trblho, ssim como csos prticulres do cálculo de determinnte

38 NEXO CÁLCULO D INVERS DE UM MTRIZ No trblho já foi definido que mtri invers de, é um mtri -, tl que - =I eistem váris mneirs de se clculr um invers, porém nesse neo iremos nos conter clculá-l por dois processos, que são os mis utilidos n educção básico º Método: Resolução de um sistem liner Utilindo o fto de que - =I, clculremos invers mtri Sej - invers d mtri e dd por i f c h e b g d temos que: i f c h e b g d Resolvendo o produto mtricil chegremos em três sistems, os quis veremos seguir: I b c b c II e d f e d f d e III h g i h g i g Vmos resolver o sistem I utilindo regr de crmer: Em form de mtri temos c b b, det e det, então D mesm form encontrremos b e c

39 o resolver o sistem I percebe-se que mtri dos coeficientes sempre será própri mtri, e s demis mtries são formds por meio d troc de um ds coluns d mtri por um d mtri identidde, perceb que troc primeir colun d mtri pel primeir colun d mtri I, encontrmos o vlor de, o clculr rão entre os determinntes dess nov mtri e d mtri, e o trocr segund colun d mtri pel primeir colun d mtri I, encontrmos o vlor de b, igulmente em, e substituindo terceir colun d mtri pel primeir colun d mtri I, seguindo este rciocínio encontrremos o vlor de C Portnto pr encontrr os vlores de d, e e f fremos o mesmo que eplicdo nterirormente, porém gor trocndo s coluns d mtri pel segund colun d mtri I Vmos mostrr como encontrr o vlor pr melhor entendimento: det, trocndo primeir colun de pel segund colun de I, montemos mtri d cujo det d, logo Fendo o mesmo pr e e f encontrremos d e e d f Repetindo o processo pr encontrr os elementos g, h e i, terceir colun d mtri invers de, subsituindo terceir colun d mtri I em cd colun, encontrremos g, h e i, e portnto O próimo método pode ser fcilmente justificdo e demonstrdo pelo º método, ficndo ess justifictiv e demonstrção crgo do leitor º Método: Por meio d mtri djunt Pr relir esse segundo método definiremos primeirmente dois tipos de mtries ) Mtri Coftor: Dd = ( ij ) mn, defini-se coftor de ou mesmo cof mtri M = ( ij ), onde ij, é o coftor do elemento ij pertencente mtri

40 ) Mtri djunt: Defini-se mtri djunt de ou comtri de e se represent por *, mtri trnspost d coftor, ou sej, dj = * = (cof ) t Eemplo: Se dj t ) Cálculo D mtri invers: invers de um mtri é dd por dj det, como já citdo nteriormente demonstrção não será feit nesse trblho Eemplo: Vmos clculr invers d mtri do método nterior Com, clculndo os coftores d mtri, teremos que mtri coftor de é dd por cof e então djunt de é igul : t dj De posse d djunt temos que invers de é dd por det dj