MATRIZES E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA LUANA GONÇALVES LIMA MATRIZES E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES CAMPINA GRANDE PB

2 LUANA GONÇALVES LIMA MATRIZES E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES Trblho de Conclusão do Curso Licencitur Plen em Mtemátic d Universidde Estdul d Príb. Em cumprimento às exigêncis pr obtenção do Título. Orientdor: Profª. Ms. KÁTIA SUZANA MEDEIROS GRACIANO CAMPINA GRANDE PB

3 FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UEPB L68m Lim, Lun Gonçlves. Mtrizes e lgums de sus plicções [mnuscrito] / Lun Gonçlves Lim.. 7 f. : il. color. Digitdo. Trblho de Conclusão de Curso (Grdução em Mtemátic) Universidde Estdul d Príb, Centro de Ciêncis Tecnológics,. Orientção: Prof. M. Káti Suzn Medeiros Grcino, Deprtmento de Mtemátic e Esttístic.. Mtemátic - Aplicções.. Mtrizes.. Operções e Proprieddes. I. Título.. ed. CDD 6

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5 DEDICATÓRIA A minh mãe, Mri de Lourdes, que sempre será grnde responsável por minhs conquists, DEDICO.

6 AGRADECIMENTOS A Deus, pel forç, proteção e pel jud em superr os obstáculos com os quis me deprei o longo d cminhd. À minh mãe, Mri de Lourdes, pels plvrs de poio, incentivo e compnheirismo o longo de todos os nos. Ao meu irmão Arthur, por su jud, crinho e compreensão e minh ti Ináci quem devo o inicio d minh jornd escolr. À minh vó, Jon Pedro d Silv (in memorim), pelos ensinmentos que form decisivos n minh formção. À professor Káti, pel jud, disponibilidde e empenho pr que esse trblho fosse concluído. estudo. E os migos Rodolfo, An Nery e Hélio, com os quis dividi muits trdes de Por fim, todos que de form diret ou indiret, contribuírm pr que eu pudesse concluir ess grdução.

7 O tlento de Cyley se crcterizou pel clrez e extrem elegânci d form nlític; reforçndo por um cpcidde incomprável de trblho... Chrles Hermit

8 RESUMO O ensino ds mtrizes muits vezes é relizdo desprovido de plicções e contextulizção. Esses ftores podem dificultr prendizgem deste conteúdo, um vez que o lundo não consegue perceber utilizção ds mtrizes no seu cotidino. Neste trblho mostrremos um síntese d históri ds mtrizes e plicções, presentndo su evolução desde su origem té su definição tul. Reportr-nos-emos, definição de mtriz, representção, tipos, operções e proprieddes lém de bordr lgums plicções n resolução de situções-problem do nosso cotidino, como no comércio, n súde e nos esportes. Tem-se por objetivo, mostrr tnto de form lgébric como de form prátic, plicbilidde ds mtrizes. A fundmentção teóric está nos utores: Steinbruch (987), Boldrini (98), Boyer (996) e Ctns (6). Com isso, esper-se despertr stisfção em estudr s mtrizes juntmente com su históri, pr isso, evidenciremos o verddeiro significdo de tl conhecimento tnto n mtemátic como em plicções no cotidino. PALAVRAS-CHAVE: Mtrizes. Operções. Proprieddes. Aplicções.

9 A B S T R A C T The eduction of the mtrices mny times is crried through unprovided of pplictions nd contextuliztion. These fctors cn mke it difficult the lerning of this content, time tht the student does not obtin to perceive the use of the mtrices in its dily one. In this work we will show to synthesis of the history of the mtrices nd pplictions, presenting its evolution since the origin until the current definition. We will refer ourselves, the definition of mtrix, representtion, types, opertions nd properties beyond pproching some pplictions in the resolution of sitution-problem of our dily one, s in the commerce, the helth nd the sports. This is the objective, to show in such wy of lgebric form s of prcticl form, the pplicbility of the mtrices. The theoreticl recitl is in the uthors: Steinbruch (987), Boldrini (98), Boyer (996) nd Ctns (6). With this, one expects to wke the stisfction in together studying the mtrices with its history, for this, we will in such wy evidence true the mening of such knowledge in the mthemtics s in pplictions in the dily one. KEYWORDS: Mtrices. Opertions. Properties. Applictions.

10 LISTA DE TABELAS Tbel - Ddos pessois... 6 Tbel - Cotção... Tbel - Grupo A... Tbel - Número de pontos... Tbel - Quntidde de livros... Tbel 6 - Preço em (R$)... Tbel 7 - Vlor rrecddo em (R$)... Tbel 8 - Exercícios x perd de peso... Tbel 9 - Controle semnl de perd de cloris... 6

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO.... O SURGIMENTO DAS MATRIZES.... A REFERÊNCIA MAIS ANTIGA ÁS MATRIZES.... POR QUE O NOME MATRIZ?.... O INÍCIO DA TEORIA DAS MATRIZES... BIOGRAFIA DE ARTHUR CAYLEY.... MATRIZES DEFINIÇÃO DE MATRIZ REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ TIPOS DE MATRIZ Mtriz Qudrd Mtriz-colun Mtriz-linh Mtriz nul Mtriz digonl Mtriz identidde qudrd Mtriz tringulr superior Mtriz tringulr inferior Mtriz simétric..... Mtriz opost.... OPERAÇÕES E PROPRIEDADES DAS MATRIZES..... Adição de mtrizes Proprieddes d dição de mtrizes..... Multiplicção de um esclr por um mtriz Proprieddes d multiplicção de um esclr por mtriz..... Multiplicção de mtrizes Proprieddes d multiplicção de um mtriz por outr mtriz ALGUMAS APLICAÇÕES DAS MATRIZES.... Mtrizes e consumo..... Mtrizes e súde..... Mtrizes e esporte..... Mtrizes e comércio..... Mtrizes e endocrinologi.... CONCLUSÃO... 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 8

12 INTRODUÇÃO O estudo ds mtrizes não deve ser um fim em si mesmo, ms sim está intimmente relciondo o domínio de sus plicções e que esses dois spectos podem cminhr juntos, trvés de um nálise putd n históri do surgimento ds mtrizes e n su plicbilidde. Este conceito é formdo por situções-problem. O que motivou est pesquis: compreensão do surgimento ds mtrizes, o processo de desenvolvimento ds proprieddes, operções e sus plicções, podendo utilizr su plicbilidde n súde, no comércio e nos esportes, por exemplo. Este trblho está dividido em cpítulos: O primeiro estud o surgimento ds mtrizes e o inicio de su teori. Aqui demos enfoque o inglês Arthur Cyley, que é considerdo O Pi ds Mtrizes. Pr Cyley o surgimento ds mtrizes está intrinsecmente ligdo às trnsformções lineres e n resolução de sistems de equções lineres. O segundo cpítulo bord definição de mtriz explicitndo seus tipos, representção, proprieddes e operções, constndo sus respectivs demonstrções. O último cpítulo retrt plicbilidde ds mtrizes nos setores já presentdos. A propost centrl do trblho é integrção d teori n prátic.

13 CAPÍTULO I. O SURGIMENTO DAS MATRIZES. A REFERÊNCIA MAIS ANTIGA ÁS MATRIZES A referênci mis ntig mtrizes dt de proximdmente do no..c., no livro chinês Chui-Chng Sun-Shu (Nove cpítulos sobre rte mtemátic). Este livro present problems sobre mensurção de terrs, gricultur, impostos, equções, etc. Um destes problems é resolvido com cálculos efetudos sobre um tbel, tis como efetumos hoje com s mtrizes.. POR QUE O NOME MATRIZ? O nome mtriz só veio com Jmes Joseph Sylvester, em 8. Usou o significdo coloquil d plvr mtriz, qul sej: locl onde lgo se ger ou cri. Com efeito, vi-s como... um bloco retngulr de termos... o que não represent um determinnte, ms é como se fosse um MATRIZ prtir d qul podemos formr vários sistems de determinntes.... Neste pequeno trecho publicdo n époc, podemos perceber que Sylvester ind vi s mtrizes como mero ingrediente dos determinntes.. O INÍCIO DA TEORIA DAS MATRIZES O início d teori ds mtrizes remont um rtigo de Cyley, de 8, embor o termo mtriz já tenh sido usdo por Sylvester cinco nos ntes. Neste rtigo Arthur Cyley slient, que embor logicmente noção de mtriz procedesse de determinnte, historicmente ocorrer o contrário, pois em virtude de descoberts histórics posteriores, lguns séculos ntes de Cristo, onde s mtrizes erm utilizds de form implícit n resolução de sistems de equções lineres. Podemos citr vários mtemáticos que contribuírm pr o desenvolvimento d teori ds mtrizes, exemplo de Jmes Joseph Sylvester (8-897), Benjmin Peirce(89-88), Chrles S. Peirce(89-9), no entnto dremos destque o Pi ds mtrizes, o inglês Arthur Cyley.

14 Cyley foi um dos primeiros mtemáticos estudr mtrizes, definindo idéi de operrmos s mtrizes como n álgebr. Descobriu álgebr ds mtrizes em 87. Pr Cyley, s mtizes surgirm prtir d ligção com teori ds trnsformções. Cyley introduziu s mtrizes pr simplificr notção de um trnsformção liner. Assim, em lugr de: x' y' x cx by dy escrevi x', y' c b d x, y A observção do efeito de dus trnsformções sucessivs surgiu-lhe definição de produto de mtrizes. Dí chegou à idei de invers de um mtriz, o que obvimente pressupõe de elemento neutro (no cso, mtriz identidde). Em um outro rtigo, nos depois, Cyley introduziu o conceito de dição de mtrizes e o de multiplicção de mtrizes por esclres, chmndo inclusive tenção pr s proprieddes lgébrics desss operções. Ao longo deste trblho, fremos um bordgem em relção às proprieddes, operções e tmbém em relção os tipos de mtrizes conhecids e estudds té hoje, mostrndo lgums de sus vrids plicções.

15 BIOGRAFIA DE ARTHUR CAYLEY Mtemático e strônomo de origem ingles, nsceu em Richmond, Surrey, 6 de gosto de 8. Filho de um comercinte inglês que trblhv em St. Petersburg, onde pssou prte de su infânci n Rússi, té que fmíli retornou definitivmente pr Inglterr, em 89. Estudou em váris escols, onde se diplomou, em 8, no Trinity College, de Cmbridge. Aos vinte e cinco nos já hvi escrito quinze trblhos, o último dos quis encerr bo prte ds idéis sobre que viri debruçr-se em su long trjetóri mtemátic. Nquel époc, os mtemáticos despertrm pouco interesse com respeito às sus publicções, pesr de su importânci no mundo científico. Sem emprego em Cmbridge, Cyley decidiu estudr Direito, disciplin que se dedicou por qutorze nos, conseguindo cert fm e lucros, o que lhe permitiu dedicr-se, posteriormente, à mtemátic. Não obstnte, escreveu, durnte o período em que dvogv, nd menos de ou monogrfis, trtndo de questões mtemátics. Pel quntidde de trblhos produzidos, Cyley só encontr rivis em Euler e Cuchy, sendo os três mis prolíferos no cmpo d mtemátic. Seus trblhos de mior importânci concentrm-se n teori dos invrintes e n geometri dos hiperespços. Em 8, invriânci foi primeir ser exmind, trnsformndo-se em conceito de especil destque. A origem do estudo dos invrintes está num descobert de Lgrnge, cujo resultdo foi generlizdo por Boole, em 8, reconhecendo, Cyley, de imedito o significdo d descobert, pssndo estudr de modo sistemático s forms lgébrics e seus invrintes, reltivmente trnsformções lineres homogênes. Em 8, Cyley é o primeiro formulr e definir de modo rigoroso definição de grupo, construindo o sistem de postuldos que ind hoje crcterizm noção. Em vist de não despertr muito interesse com respeito o estudo de grupos, levndo outros utores

16 crcterizrem noção com ligeir vrinte, inclusive, usndo plvr grupo de mneir indequd, tendo em vist o sentido técnico dotdo universlmente, ess formulção foi bndond por um período muito longo. Em 88, é mostrdo por Cyley que os quterniões ( um dos tipos de vrieddes numérics ) podem ser representdos por meio de mtrizes em que, b, c, d são números complexos, sugerindo que o trblho de Hmilton, n pior ds hipóteses, teri influencido Cyley e inspirdo em sus pesquiss. Porém ele firmou em seu depoimento, s mtrizes são desenvolvids não em torno dos quterniões, ms prtir d noção de determinnte, ou sej, prtir do exme de sistems de equções: o sistem x' x + b e y' cx + d, está ssocido à mtriz suprcitd. c b d No domínio d nálise, devem ser slientdos seus estudos sobre s funções elíptics e belins, bem como sus pesquiss originis cerc ds funções representds por integris definids. Seus trblhos de mecânic celeste versm sobre tems tmbém originis, como teori ds perturbções e o método de determinção ds órbits plnetáris. Finlmente, em 86, Cyley consegue ser nomedo professor em Cmbridge, onde se destcou não pens como dministrdor, ms, tmbém, como pesquisdor. No período de , Cyley publicou mis de novecents memóris, brngendo todos os rmos d mtemátic pur. Sus obrs complets form publicds em Cmbridge, em volumes, com o título " The Collected Mthemticl ppers of Arthur Cyley ", ( Coletâne dos escritos mtemáticos de Arthur Cyley ) Cyley fleceu em Cmbridge no di 6 de jneiro de 89, três nos ntes d publicção totl de sus obrs.

17 CAPÍTULO II. MATRIZES. DEFINIÇÃO DE MATRIZ Vejmos tbel de elementos dispostos em linhs e coluns. Por exemplo, o recolhermos os ddos referentes ltur, peso e idde de um grupo de pessos, podemos dispô-los d seguinte mneir n tbel bixo: Tbel - Ddos pessois Nome Altur (m) Peso (kg) Idde (nos) PAULO,7 7 ANDRÉ,7 6 JOÃO,6 Ao bstrirmos os significdos ds linhs e coluns, temos representção dispost d seguinte mneir:,7,7,6 7 6 È importnte observrmos que em um problem em que o número de vriáveis e de observções é muito grnde, ess disposição ordend dos ddos em form de mtriz torn-se bsolutmente indispensável. Definição: Chm-se de mtriz de ordem m por n um qudro de m x n elementos (números, polinômios, funções, etc.) dispostos em m linhs e n coluns como segue bixo: n n A mxn n [ ij ] mxn m m m mn 6

18 . REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ A mtriz A pode ser representd brevidmente por A i(,,,,...,m) e j vrindo de n, j(,,,,...,n). ij,i vrindo de m, Pr que possmos entender melhor porque mtriz A pode ser representd por, ij, devemos primeirmente fixr pr i, por exemplo, o vlor e seguir fçmos j vrir sucessivmente de n, como segue:... n Agor fixemos pr i o vlor, e fçmos j vrir de n, como segue:... n Em continução, fixemos pr i o vlor e fçmos j vrir de n, como segue:... n Repetindo o procedimento sucessivmente té que i tinj o vlor m, teremos: m m m... mn Portnto temos representção de um mtriz de m linhs e n coluns como segue mtriz bixo: n n A mxn n ij mxn m m m mn. TIPOS DE MATRIZ Estudndo s mtrizes, podemos observr que existem lgums que, sej pel quntidde de linhs ou coluns, ou ind, pel nturez de seus elementos, têm proprieddes que s diferencim de um mtriz qulquer. Além disso, estes tipos de mtrizes precem frequentemente n prátic e, por isso, recebem nomes especiis... Mtriz Qudrd Qundo o número de linhs é igul o número de coluns, tem-se um mtriz qudrd, ou sej, (mn). 7

19 n n A mxn n m m m mn Exemplos: B 9 6 C.. Mtriz-colun A mtriz de ordem n por é um mtriz-colun, ou sej, n. A n Exemplos: B 8 C D.. Mtriz-linh A mtriz de ordem por n é um mtriz linh, ou sej, m. A n Exemplos: A B C.. Mtriz nul A mtriz em que ij, pr todo i e j é um mtriz nul. A 8

20 .. Mtriz digonl. A mtriz qudrd (mn) onde ij, pr i j, isto é, os elementos que não estão n digonl são nulos, é denomind mtriz digonl. A mxn mm Segue exemplos: A B C 8..6 Mtriz identidde qudrd. A mtriz qudrd (mn) onde ij e ij pr i j é denomind mtriz identidde qudrd. A mxn Segue exemplos: I I I..7 Mtriz tringulr superior A mtriz qudrd onde todos os elementos bixo d digonl são nulos, isto é, mn e ij, pr i > j, é denomind mtriz tringulr superior. 9

21 n n A mxn n mn Segue exemplos: A B..8 Mtriz tringulr inferior A mtriz qudrd onde todos os elementos cim d digonl principl são nulos, isto é, mn e ij, pr i < j, é denomind mtriz tringulr inferior. A mxn m m m Segue exemplos: A 8 B 6..9 Mtriz simétric A mtriz onde mn e ij ji, é denomind mtriz simétric. Segue exemplos: A B 7.. Mtriz opost A mtriz onde A -A, isto é ij - ij, é denomind mtriz opost. Segue exemplos:

22 Se A então (-A). OPERAÇÕES E PROPRIEDADES DAS MATRIZES Ness seção trtremos cerc ds operções e proprieddes ds quis s mtrizes são munids: dição de mtrizes, multiplicção de mtrizes por um esclr e multiplicção de um mtriz por outr mtriz... Adição de mtrizes Definição: A som de dus mtrizes de mesm ordem A mxn ij e B mxn b ij, é um mtriz mxn, que denotremos A + B, cujos elementos são soms dos elementos correspondentes de A e B, isto é: A + B ij b ij Demonstrção: Como A e B M mxn,a + B M mxn, dicionlmente: (A + B) ij ij + b mxn b ij ij ij Como ij e b ij M mxn, e M mxn é fechdo em relção à dição, isto é, M mxn, então ij bij M mxn. Exemplo: Dds s mtrizes A e B, qul mtriz C tl que C A + B? C + 9, logo C 9... Proprieddes d dição de mtrizes A seguir, mostrremos s proprieddes que são válids pr ritmétic mtricil. Els são muito semelhntes àquels que são válids pr os números reis. Dds s mtrizes A, B e C de mesm ordem mxn, temos s seguintes proprieddes d operção d dição de mtrizes: i) A + (B + C) (A + B) + C Demonstrção: Como A, B e C M m n então A + (B + C) e (A + B) + C estão definids, logo: [A + (B + C)] ij ij + (B + C) ij

23 ij + (b ij + c ij ) ( ij + b ij ) + c ij (porque dição é ssocitiv em R (A + B) ij + c ij [(A + B) + C] ij ; Exemplo: Dds s mtrizes A B e C, verifique que A + (B + C) (A + B) + C. Somndo B + C, temos: Relizndo som d mtriz A com mtriz resultnte d som A + B, temos: A + (B + C) Somndo A + B, temos: Relizndo som d mtriz C com mtriz resultnte d som A + B, temos: (A + B) + C Logo: A + (B + C) (A + B) + C. ii) A + B B + A Demonstrção: Como A e B M m n então (A + B ) e (B + A) estão definids, logo: (A + B) ij ([ ij ]+[b ij ]) ij + b ij b ij + ij (porque dição é comuttiv em R ) [b ij ] + [ ij ] (B + A) ij

24 Exemplo: Dds s mtrizes A e B, verifique se A+BB +A. Somndo A + B, temos: + Somndo B + A, temos: + Logo: A + B B + A. iii) A + A, onde O é denot mtriz nul de M mxn., Demonstrção: Sej A M m n e B m n M m n. Então: (A + B) ij ( [ ij ]+[b ij ]) [ ij ] + [] (porque é o elemento neutro d dição em R) [ ij ] (A) ij Exemplo: Dds s mtrizes A e B, verifique se A + A Somndo A +, temos: + Logo: A + A iv) A + (-A) Demonstrção: Sej A j,..., n. Então: (A + B) ij ([ ij ]+[b ij ]) [ ij + b ij ] [ ij, + ( ij )] ij M m n e B b ij M m n tl que b ij - ij, i,...,m; (porque, b : + b e -b) Exemplo: Dds s mtrizes A, verifique se A + (-A) Devemos encontrr mtriz opost de A, que é: -A

25 Somndo A + (-A), temos: +, Logo: A + (-A).. Multiplicção de um esclr por um mtriz Definição: Sej A ij M m n e um esclr. Define-se o produto de λ por A e denot-se por λ A (ou λa) à mtriz B bij M m n,tl que ij λb ij, (i,j) {,...,m} {,...,n}.... Proprieddes d multiplicção de um esclr por mtriz Dds s mtrizes A, B M m n e um esclr, temos s seguintes proprieddes d multiplicção de um esclr por um mtriz. i) λ (A + B) λa + λb Demonstrção: (λ (A + B)) ij λ [( ij + b ij )] [λ ( ij + b ij )] [λ ij + λ b ij ] [λ ij ] + [λ b ij ] λ [ ij ] + λ [b ij ] (λa) ij + (λb) ij Exemplo: Dds s mtrizes A, B λ -, clcule λ (A + B). (A + B) + λ (A + B) (-) λ (A + B) (-) ( ( )( )( ) ) ( )( ) ( ) λ (A + B) 6 8 ii) (λ + )(A) ij λ.a +.A [(λ + ) ij ] [λ ij + ij ]

26 [λ ij ] + [ ij ] λ [ ij ] + [ ij ] (λa) ij + ( A) ij Exemplo: Dds s mtrizes A, λ - e, clcule (λ + )A. (λ + )A (- + ) (λ + )A (-) (λ + )A ( ( ) ) ( ( )( )( ) ) (λ + )A iii) (λ )A λ( A) Demonstrção: (λ (μa)) ij λ (μ ij ) λ [μ ij ] [(λμ) ij ] (λμ)[ ij ] ((λμ)a) ij Exemplo: Dds s mtrizes A, λ - e -, clcule (λ )A. (λ )A[( -).(-)] (λ )A ( -) (λ )A ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

27 (λ )A iv).a A Demonstrção:.A ij.a.ij.a ij Exemplo: Dd mtriz A,mostre que. A A. A A.(.( ) ).. A A.. Multiplicção de mtrizes Definição: Sejm A ij mxn e B brs nxp, definimos AB cuv mxp onde c uv n k uk b kv ub v un b nv Observções: ) Só podemos efetur multiplicção entre dus mtrizes A mxn e B lxp se o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund, isto é, n l. Além disso, mtriz resultdo C AB será de ordem mxp. ) O elemento c ij ( i-ésim linh e j-ésim colun d mtriz-produto) é obtido, multiplicndo os elementos d i-ésim linh d primeir mtriz pelos elementos correspondentes d j-ésim colun d segund mtriz, e somndo estes produtos. Exemplo : ( ( ( ) ) )

28 Exemplo :. Não é possível efetur est multiplicção, porque o número de coluns d primeir mtriz é diferente do número de linhs d segund.... Proprieddes d multiplicção de um mtriz por outr mtriz Dds s mtrizes A ij mxp, B bij mxp, C cjk pxq, D djk pxq e E elk, temos s seguintes proprieddes d multiplicção de um mtriz por outr. i) (A + B) C AC +BC (distributividde direit) Observemos que A ij mxp, e B bij qxn e mxp tem mesm ordem, ou sej, mxn e C cjk pxq, de ordem pxq, pelo que (A + B) C e AC + BC tem ordem mxq. ((A +B)C) ik p j ( A B) ijcjk p ( ij bij) c jk j p ijcjk bijcjk j (AC) ik + (BC) ik ii) A( C+ D) AC + AD (Distributividde esquerd) Demonstrção: Observemos que A A (C + D) e AC + AD tem ordem mxq. (A (C + D) ik ij( C D) jk p j ij mxp, C cij pxq e D djk pxq, pelo que p j ij( c jk d jk ) c d ij jk ij jk (AC) ik + (AD) ik iii) (AC) E A (CE) Associtividde Demonstrção: Observemos que (AC) E e A (CE) são de mesm ordem, ou sej, mxn. 7

29 (AC)E) il q k ( AC) ikekl q p ij jk kl k j c q p ij jk kl k c e e p j ij q k c jk e kl p ij j (CE) jl (A(CE) il iv) AD A D A D Demonstrção: AD ik p ijdjk j p j p j ( ( ) ij djk A) ijdjk Ms tmbém, A D ik p ijdjk j p ij djk j p ij D jk j A D ik v) Em gerl AB BA, ou sej, comuttividde em relção o produto de mtrizes não se plic todos os csos, como segue contr-exemplo seguir. Sejm A e B 6 8

30 Então: AB e 6 BA, logo AB BA 6 Note ind que AB, sem que A ou B, logo dds dus mtrizes A e B, se o produto dels for mtriz nul, não é necessário que A ou B sejm mtrizes nuls. 9

31 CAPÍTULO III. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS MATRIZES seguir. Neste cpítulo bordremos lgums plicções ds mtrizes. Observe situção. Mtrizes e consumo. Um empresário oferece menslmente limentos dois orfntos. Pr o º são dodos kg de rroz, kg de feijão, kg crne e kg de btt. Pr o º orfnto são dodos 8 kg de rroz, kg de feijão, kg de crne e 8 kg de btt. em reis. O empresário fez cotção de preços em dois supermercdos. Vej cotção tul, Tbel - Cotção Produto Supermercdo A Supermercdo B Arroz,, Feijão,, Crne,, Btt,6, Determine o gsto mensl desse empresário, por orfnto, supondo que todos os produtos sejm dquiridos no mesmo supermercdo e que este represente melhor opção de compr. Com mtriz A vmos representr compr dos produtos pr os dois orfntos: A,,,,6,,,, Vmos clculr o gsto mensl do empresário ns qutro situções possíveis: Com o º orfnto: Supermercdo A., +., +., +.,6, Supermercdo B., +., +., +., 6, Com o º orfnto:

32 Supermercdo A 8., +., +., + 8.,6, Supermercdo B 8., +., +., + 8., 6, Esses vlores podem ser representdos n mtriz C, 68,8 6, 69, Portnto melhor opção é comprr no supermercdo A. N situção expost inicilmente, fizemos utilizção d multiplicção entre mtrizes n resolução d questão. N form mtricil, temos: A 8 8, que represent quntidde de limentos comprdos, sendo que ª linh corresponde à quntidde de limentos do º orfnto e ª linh corresponde à quntidde de limentos do º orfnto.,, A mtriz B,,,, represent os preços prticdos em cd supermercdo,,6, sendo que ª colun corresponde os preços prticdos no supermercdo A e ª colun corresponde os preços prticdos no supermercdo B. Relizndo multiplicção AB, temos:,,,, 8 8,,,6,.,.,.,.,6.,.,.,., 8.,.,., 8.,6 8.,.,., 8.,, 68,8 6, 69,. Mtrizes e súde. Um nutricionist recomendou os tlets de um time de futebol ingestão de um quntidde mínim de certos limentos (frut, leite e cereis) necessári pr um limentção sdi. A mtriz D fornece quntidde diári mínim (em grms) dqueles limentos. A mtriz M fornece quntidde (em grms) de proteíns, gordurs e crboidrtos fornecid por cd grm ingerid dos limentos citdos.

33 D M,6,,,,8,8 6,8,,6 Escrever mtriz que mostr quntidde diári mínim (em grms) de proteíns, gordurs e crboidrtos fornecid pel ingestão desses limentos. Pr determinr quntidde diári mínim (em grms) de proteíns, por exemplo, devemos multiplicr quntidde de proteín fornecid por cd limento pel quntidde diári mínim dos limentos e depois somr os vlores, ou sej:,6. +,. +,8.6 fruts leite cereis O mesmo ocorre com s gordurs e crboidrtos. Esses vlores são obtidos prtir do produto entre s mtrizes M e D. Assim, mtriz que mostr quntidde mínim (em grms) de proteíns e crboidrtos é dd pel multiplicção :,6,,,,8,8,6.,.,.,.,8.6,8.6 7,9,,8,,6 6,8.,.,6.6, Assim, s quntiddes são: 7,9 g de proteíns,, g de gordurs e g de crboidrtos.. Mtrizes e esporte. Durnte primeir fse d cop do mundo de futebol de 998 o grupo A er formdo por píses: Brsil, Escóci, Mrrocos e Norueg. Observe os resultdos (número de vitóri, emptes e derrots) de cd um dos, registrmos em um tbel. Tbel - Grupo A Vitóri Empte Derrot Brsil Escóci Mrrocos Norueg De cordo com tbel cim, temos seguinte mtriz A de ordem x.

34 A Pelo regulmento d cop, cd resultdo (vitóri, empte ou derrot) tem pontução correspondente ( pontos, ponto ou ponto). Vej esse fto registrdo em um tbel. Tbel - Número de pontos Vitóri Empte Derrot De cordo com tbel cim, temos seguinte mtriz B de ordem x. B Termind ª fse, clssificção foi obtid com o totl de pontos feitos por cd pís. Ess pontução pode ser registrd num mtriz que é representd por A.B (produto de A por B). Vej como é obtid clssificção: Brsil... 6 Escóci... Mrrocos... Norueg... Relizndo multiplicção AB, temos: AB Logo o Brsil conquistou 6 pontos, Escóci ponto, o Mrrocos pontos e Norueg pontos.. Mtrizes e comércio. Sejm s tbels, 6 e 7 de um livrri.

35 Tbel - Quntidde de livros Edição luxo Edição bolso Livro A 76 Livro B 8 Tbel 6 - Preço em (R$) Regulr Ofert Edição luxo 8 6 Edição Bolso Tbel 7 - Vlor rrecddo em (R$) Regulr Ofert Livro A 7,, Livro B 6,, Supondo que todos os livros A form vendidos o preço regulr e todos os livros B form vendidos o preço de ofert, clcule qunti rrecdd pel livrri n vend de todos esses livros. Aind utilizndo s tbels 6 e 7, clcule quntidde de livros vendid pr referid rrecdção. Pr primeir questão, vmos clculr mtriz quntidde x preço, como segue bixo: Então, como todos os livros A form vendidos o preço regulr de R$ 8, e R$, temos um montnte de R$ 88, e como todos os livros B form vendidos o preço de ofert de R$6, e R$,, temos um montnte de R$ 8,, logo o vlor rrecddo foi de R$.68,. Pr segund questão temos o seguinte modelo pr referid rrecdção: c b d Relizndo s operções pertinentes, temos:

36 8 6 8c 6c b b d d 7 ( i) ( ii) 6 ( iii) ( iv) Resolvendo-se (i) e (ii), temos: 8 b 7 b 88 6 Substituindo em (ii), temos: 6. b b b Por outro ldo, resolvendo-se (iii) e (iv), temos: 8c c d d 6 68 c c Substituindo c em (iv), temos: 6. d d 8 d Então neste cso form vendidos: livros A (Regulr) Edição Luxo livros A (Ofert) Edição Bolso livros B (Regulr) Edição Luxo 6 livros B (Ofert) Edição Bolso 6. Mtrizes e endocrinologi. Pr que você conheç o gsto clórico proximdo de lgums tividdes, um endocrinologist montou tbel bixo. Est tbel é bsed num pesso de 6kg de peso corporl em tividdes físics, num tempo de hor. Tbel 8 - Exercícios x perd de peso Peso Andr de biciclet Cminhr celerdo Correr km/h Hidroginástic 6 kg cloris cloris 89 cloris cloris Suponhmos um compnhmento de um pesso com este peso por meio de um progrm com estes exercícios o longo de um semn.

37 Tbel 9 - Controle semnl de perd de cloris Di Andr de biciclet Cminhr celerdo Correr km/h Hidroginástic ª feir ª feir ª feir,, ª feir,, 6ª feir, Com s informções d Tbel 7 e Tbel 8, podemos montr um mtriz x e outr x respectivmente e depois relizrmos multiplicção entre s mtrizes, como segue:,,,,, ,., ,.89,., A pesso que nos referimos nest situção, com este progrm de exercícios, queimrá cloris n segund-feir, 89 cloris n terç-feir, 6 cloris n qurt-feir, 89 cloris n quint feir e 678 cloris n sext-feir. 6

38 CONCLUSÃO Atrvés d nálise históric, pode-se concluir que s mtrizes form utilizds n resolução de sistems de equções lineres e estão diretmente ligds teori ds trnsformções lineres. Vle lembrr que durnte o século XIX, houve um mplição de seu conceito no desenvolvimento teórico mtemático. Est pesquis permitiu concluir que históri ds mtrizes e su evolução se tornm relevnte no sentido de que possibilit o pesquisdor compreender o seu surgimento e como podemos utilizr su plicbilidde em muitos contextos do nosso cotidino. Tem-se clro que trvés d bordgem presentd pelos livros, e mesmo por este trblho, que s mtrizes figurm de mneir importnte pr mtemátic e pr su utilizção n resolução de situções-problem do nosso cotidino. 7

39 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOLDRINI, José Luiz. COSTA, Sueli Rodrigues. Álgebr liner, ed. HARBRA. São Pulo, 98. BOYER, C. Históri d mtemátic. ed. Trd. Elz Gomide. Edgrd Blücher, São Pulo, 996. CATANAS, Fernndo. Álgebr liner. Disponível em < DOMINGUES, Hygino H. Cyley e Teori ds Mtrizes. Disponível em < RIZZATO, Fernnd Buhrer, RINALDI Bárbr Leister. Arthur Cyley. Disponível em < Mtrizes em nosso di di. Disponível em < STEIMBRUCH, Alfredo. Winterle, Pulo. Álgebr liner, ed. Afilid. São Pulo,